运筹学习题集(第七章)
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学与最优化方法习题集
一．单纯性法一．单纯性法1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 122121212max 25156224..5,0z x x x x x s t x x x x =+£ìï+£ïí+£ïï³î 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 2322..2210,0z x x x x s t x x x x =+-³-ìï+£íï³î 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1234123412341234max 24564282..2341,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+£ìï-+++£íï³î4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 123123123123123max 2360210..20,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++£ìï-+£ïí+-£ïï³î 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12312312123max 224..26,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++£ìï+£íï³î6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 105349..528,0z x x x x s t x x x x =++£ìï+£íï³î7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分）分） 12121212max 254212..3218,0z x x x x s t x x x x =+£ìï£ïí+£ïï³î二．对偶单纯性法二．对偶单纯性法1.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分）12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î 2.灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 121212212max 3510501..4,0z x x x x x x s t x x x =++£ìï+³ïí£ïï³î 3.用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1212121212min 232330210..050z x x x x x x s t x x x x =++£ìï+³ïï-³íï³ïï³î4.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 124123412341234min 262335,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x =+-+++£ìï-+-³íï³î5.运用对偶单纯形法解下列问题（共运用对偶单纯形法解下列问题（共 16 分）分） 12121212max 24..77,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+³íï³î6.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分） 12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î三．0-1整数规划整数规划1.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345123345max 567893223220..32,,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x or =++++-++-³ìï+--+³ïí--+++³ï=î 2.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 12312312323123min 4322534433..1,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x or =++-+£ì++³ïí+³ïï=î 3.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 1234512345123451234512345max 20402015305437825794625..81021025,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++++++++£ìï++++£ïí++++£ïï=î或 4.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345max 2534327546..2420,,,,01z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-+-+-+-+£ìï-+-+£íï=î或 5.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12341234123412341234min 25344024244..1,,,01z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =+++-+++³ì-+++³ïí+-+³ïï=î或6.7.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 123451234513451245max 325232473438..116333z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x =+--+++++£ìï+-+£ïí-+-³ï 1231231231223max 3252244..346z x x x x x x x x x s t x x x x =-++-£ìï++£ïï+£íï+£ïï=四.K-T 条件条件1.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共）条件求解以下问题（共 15 分）分）22121122121212max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+£ìï+£íï³î2.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下非线性规划问题。
运筹学第五、六、七、八章答案
运筹学第五、六、七、八章答案5.2 用元素差额法直接给出表5-53及表5-54下列两个运输问题的近似最优解．表5-53 B1 B2 B3 B4 B5 Ai A1 19 16 10 21 9 18 A2 14 13 5 24 7 30 A3 25 30 20 11 23 10 A4 7 8 6 10 4 42 Bj 15 25 35 20 5 表5-54 B1 B2 B3 B4 Ai A1 5 3 8 6 16 A2 10 7 12 15 24 A3 17 4 8 9 30 Bj 20 25 10 15 【解】表5-53。
Z=824 表5-54 Z=495 5.3 求表5-55及表5-56所示运输问题的最优方案．（1）用闭回路法求检验数（表5-55）表5-55 B1 B2 B3 B4 Ai A1 10 5 2 3 70 A2 4 3 1 2 80 A3 5 6 4 4 30 bj 60 60 40 20 （2）用位势法求检验数（表5-56）表5-56 B1 B2 B3 B4 Ai A1 9 15 4 8 10 A2 3 1 7 6 30 A3 2 10 13 4 20 A4 4 5 8 3 43 bj 20 15 50 15 【解】（1） (2) 5.4 求下列运输问题的最优解（1）C1目标函数求最小值；（2）C2目标函数求最大值 15 45 20 40 60 30 50 40 (3)目标函数最小值,B1的需求为30≤b1≤50, B2的需求为40，B3的需求为20≤b3≤60,A1不可达A4 ，B4的需求为30．【解】（1）（2）（3）先化为平衡表 B11 B12 B2 B31 B32 B4 ai A1 4 4 9 7 7 M 70 A2 6 6 5 3 3 2 20 A3 8 8 5 9 9 10 50 A4 M 0 M M 0 M 40 bj 30 20 40 20 40 30 180 最优解： 5.5（1）建立数学模型设xij(I=1,2,3;j=1,2)为甲、乙、丙三种型号的客车每天发往B1，B2两城市的台班数，则 (2)写平衡运价表将第一、二等式两边同除以40，加入松驰变量x13,x23和x33将不等式化为等式，则平衡表为： B1 B2 B3 ai 甲乙丙 80 60 50 65 50 40 0 0 0 5 10 15 bj 10 15 5 为了平衡表简单，故表中运价没有乘以40，最优解不变（3）最优调度方案：即甲第天发5辆车到B1城市，乙每天发5辆车到B1城市，5辆车到B2城市，丙每天发10辆车到B2城市，多余5辆，最大收入为 Z=40（5×80+5×60+5×50+10×40）=54000（元） 5.6（1）设xij为第i月生产的产品第j月交货的台数，则此生产计划问题的数学模型为（2）化为运输问题后运价表（即生产费用加上存储费用）如下，其中第5列是虚设销地费用为零，需求量为30。
《运筹学》 第七章决策分析习题及 答案
《运筹学》第七章决策分析习题1． 思考题（1）简述决策的分类及决策的程序； （2）试述构成一个决策问题的几个因素；（3）简述确定型决策、风险型决策和不确定型决策之间的区别。
不确定型决策能否转化成风险型决策？（4）什么是决策矩阵？收益矩阵，损失矩阵，风险矩阵，后悔值矩阵在含义方面有什么区别；（5）试述不确定型决策在决策中常用的四种准则，即等可能性准则、最大最小准则、折衷准则及后悔值准则。
指出它们之间的区别与联系； （6）试述效用的概念及其在决策中的意义和作用；（7）如何确定效用曲线；效用曲线分为几类，它们分别表达了决策者对待决策风险的什么态度；（8）什么是转折概率？如何确定转折概率？（9）什么是乐观系数，它反映了决策人的什么心理状态？ 2． 判断下列说法是否正确（1）不管决策问题如何变化，一个人的效用曲线总是不变的；（2）具有中间型效用曲线的决策者，对收入的增长和对金钱的损失都不敏感； （3）3． 考虑下面的利润矩阵(表中数字矩阵为利润)准则（3）折衷准则（取λ=0．5）（4）后悔值准则。
4． 某种子商店希望订购一批种子。
据已往经验，种子的销售量可能为500，1000，1500或2000公斤。
假定每公斤种子的订购价为6元，销售价为9元，剩余种子的处理价为每公斤3元。
要求：（1）建立损益矩阵；（2）分别用悲观法、乐观法（最大最大）及等可能法决定该商店应订购的种子数；（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。
5． 根据已往的资料，一家超级商场每天所需面包数（当天市场需求量）可能是下列当中的某一个：100，150，200，250，300，但其概率分布不知道。
如果一个面包当天卖不掉，则可在当天结束时每个0.5元处理掉。
新鲜面包每个售价1.2元，进价0.9元，假设进货量限制在需求量中的某一个，要求 （1）建立面包进货问题的损益矩阵；（2）分别用处理不确定型决策问题的各种方法确定进货量。
6．有一个食品店经销各种食品，其中有一种食品进货价为每个3元，出售价是每个4元，如果这种食品当天卖不掉，每个就要损失0．8元，根据已往销售情况，这种食品每天销售1000，2000，3000个的概率分别为０．３，０．５和０．２，用期望值准则给出商店每天进货的最优策略。
(完整版)《运筹学》习题集
第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
(完整版)运筹学习题集
销地
产地
1
2
3
产量
1
5
1
8
12
2
2
4
1
14
3
3
6
7
4
销量
9
10
11
表3-4
销地
产地
1
2
3
4
5
产量
1
10
2
3
15
9
25
2
5
20
15
2
4
30
3
15
5
14
7
15
20
4
20
15
13
M
8
30
销量
20
20
30
10
25
解：
（1）在表3-3中分别计算出各行和各列的次最小运费和最小运费的差额，填入该表的最右列和最下列。得到：
+ = + +
+ =
建立数学模型：
Max z=(1.25-0.25)*( + )+(2-0.35)*( + )+(2.8-0.5) -(5 +10 )300/6000-(7 +9 +12 )321/10000-(6 +8 )250/4000-(4 +11 )783/7000-7 *200/4000
s.t
2.确定 的范围,使最优解不变;取 ,求最优解;
3.确定 的范围,使最优基不变,取 求最优解;
4.引入 求最优解;
解1.由单纯形方法得
即,原问题的最优解为
例求下面运输问题的最小值解：
1
运筹学习题答案第七章共29页PPT资料
安徽大学管理学院
电话：5108157(H)，5107443(O) E-mail: Hongwen9509_cnsina
洪文
运筹学教程
第七章习题解答
7.1 现有天然气站A，需铺设管道到用气单位E，
可中以间选加择压的站设 ，计各路线线路如的下费图用所已示标，在线Bl，段…旁，(单D位2各：点万是 元)，试设计费用低的路线。
-
-
1
64
2
0 64 68 -
-
2
68
3
0 64 68 78 -
3
78
4
0 64 68 78 76 3
78
page 9 5/5/2020
School of Management
运筹学教程
第七章习题解答
状态（可能的 投资数）
0 1 2 3 4
工厂2 决策（分配资金）
01234
0
-
-
-
-
64 42 -
7.5 为保证某设备正常运转，需对串联工作的三
种不同零件Al，A2，A3，分别确定备件数量。若增加 备用零件的数量，可提高设备正常运转的可靠性，但
费用要增加，而总投资额为8千元。已知备用零件数与
它的可靠性和费用关系如表7-2l所示，求Al，A2，A3的 备用零件数量各为多少时，可使设备运转的可靠性最
运行模型后，1月生产5，2月生产6，最小费用为67。
page 7 5/5/2020
School of Management
运筹学教程
第七章习题解答
7.4 某公司有资金4万元，可向A，B，C三个项目 投资，已知各项目不同投资额的相应效益值如表7-20 所示，问如何分配资金可使总效益最大。
《管理运筹学》习题7解答
《管理运筹学》习题7解答1.某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达次数服从泊松（普阿松）分布，平均每小时4人，修理时间服从负指数分布，平均需6min。
求：（1）请画出各状态间概率强度的转移图，并写出状态概率的稳定方程。
（2）修理店至少有一个顾客的概率。
（3）店内有3个顾客的概率。
（4）在店内顾客的平均数和平均逗留时间。
若工人在修理店每逗留1小时平均丧失工作收入100元，修理服务费用正比于其服务率为每小时4元。
假定顾客到达率不变，为使得店铺和顾客的总损耗费用最低，求该店的最优服务率和平均最低费用。
（5）平均等待修理（服务）时间。
（6）必须在店内消耗15min以上的概率。
（7）假设若店内已有3个顾客，那么后来的顾客即不再排队。
这时排队系统的模型类型是什么？并求店内空闲的概率、在店内平均的顾客数、在店内平均逗留时间。
（8）若顾客平均到达率增加到每小时12人，仍为泊松流，平均修理时间不变。
是否需要增加工人？求修理工为2人时店内有两个或更多顾客的概率。
注：以上各问是无关联的。
解：λ=4人/小时，μ＝60/6=10人/小时，ρ＝λ/μ=0.4。
(1)此系统为M/M/1排队模型。
各状态间概率强度的转移图如下：状态概率的稳定方程，如下：-4P0+10P1=04P n-1+10P n+1-14P n=0(n≥1)(2)修理店至少有一个顾客的概率等于1-P0；∵P0=1-ρ=1-0.4=0.6 ∴1-P0=1-0.6=0.4(3)P3=ρ3(1-ρ)=0.43(1-0.4)=0.0384(4)店内顾客的平均数L s=λ/(μ-λ)=4/(10-4)=2/3（人）；一个顾客的平均逗留时间：W s=L s/λ=2/3÷4=1/6（小时）＝10（分钟）；系统单位时间总耗费T(μ)=100L sw+4μ=100·4/(μ-4)+4μ令dT(μ)/dμ=-400/(μ-4)2+4=0解得μ*＝14(人/小时)；此时，系统每小时平均总耗费最低，为T*(μ)=100·4/(14-4)+4×4=56（元/小时）(5)平均等待修理（服务）时间W q=W s-1/μ=1/6-1/10=1/15(小时)＝4（分钟）(6)15分钟即1/4小时。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
判断题
判断正误，如果错误请更正
第七章网络计划
1.网络计划中的总工期等于各工序时间之和。
2.在网络计划中，总时差为0的工序称为关键工序。
3.在网络图中，只能有一个始点和终点。
4.在网络图中，允许工序有相同的开始和结束事件。
5.在网络图中，从始点开始一定存在到终点的有向路。
6.在网络图中，关键路线一定存在。
7.PERT是针对随机工序时间的一种网络计划编制方法，注重计划的评价和
审查。
8.事件i的最迟时间等于以i为开工事件工序的最迟必须开工时间的最小
值。
9.紧前工序是前道工序。
10.后续工序是紧后工序。
11.箭示网络图是用节点表示工序。
12.事件j的最早时间等于以j为结束事件工序的最早可能结束时间的最大
值。
13.虚工序是虚设的，不需要时间、耗费和资源，并不表示任何关系的工序。
14.若将网络中的工序时间看作距离，则关键路线就是网络起点到终点的最长
路线。
15.（i,j）是关键工序，则有TES(i,j)=TLS(i,j)。
16.网络计划中有TEF（i,j）=TE(i)+t(i,j)。
17.工序的总时差R(i,j) =tLF(i,j)+tLS(i,j)-t(i,j)。
18.工序(i,j)的最迟必须结束时间TLF(i,j)= TL(i)+t(i,j)。
19.工序时间是随机的，期望值等于3种时间的算术平均值。
选择题
在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第七章网络计划
1.事件j的最早时间T E(j)是指 A 以事件j为开工事件的工序最早可能开工时间
B 以事件j为完工事件的工序最早可能结束时间
C 以事件j为开工事件的工序最迟必须开工时间
D 以事件j为完工事件的工序最迟必须结束时间
2.时间i的最迟时间T L（i）是指 A以事件i为开工事件的工序最早可能开工时间以事件i为完工事件的工序最早可能结束时间C 以事件i为开工事件的工序最迟必须开工时间 D 以事件i为完工事件的工序最迟必须结束时间
3.工序（i,j）的最迟必须结束时间T LF（i，j）等于 A T E（i）+t（i，j） B T L （j）C T L（j）-t ij D min{T L（j）-t ij}
4.工序（i,j ）的最早开工时间T ES（i，j）等于 A T E（i） B maxT E（k）+t ki
C T L（i）
D min{T L（j）-t ij}
E T EF（i，j）-t ij
5.工序（i,j）的总时差R（i，j）等于 A T EF（i，j）- T ES（i，j） B T LF（i，j）- T EF（i，j） C T LS（i，j）- T ES（i，j） D T L（j）- T E（i）- t ij E T L
（j）- T E（i）+ t ij
计算题
(1)分别用节点法和箭线法绘制表7-16的项目网络图，并填写表中的
紧前工序。
(2) 用箭线法绘制表7-17的项目网络图，并填写表中的紧后工序
表7-16
工序A B C D E F G
紧前工序－－－A C A
F、D、B、
E
紧后工序
D
,E
G E G G G
－
表7-17
工序A B C D E F G H I J K L M
紧前工序---B B
A
,B
B
D
,G
C,
E,F,H
D
,G
C
,E
I
J
,K,L
紧后工序F
E,
D,F,G
I
,K
H
,J
I
,K
I H
,J
I
L
M M M－
【解】（1）箭线图：
节点图：
（2）箭线图：
根据项目工序明细表7-18：
（1）画出网络图。
（2）计算工序的最早开始、最迟开始时间和总时差。
（3）找出关键路线和关键工序。
表7-18
工序A B C D E F G
紧前工序-A A
B
,C
C
D,
E
D
,E
工序时间（周）96
1
2
1
9
678
【解】(1)网络图
(2)网络参数
工序A B C D E F G
最早开始099
2
1
2
1
40
4
最迟开始0
1
5
9
2
1
3
4
41
4
总时差0600
1
3
10
(3)关键路线：①→②→③→④→⑤→⑥→⑦；关键工序：A、C、D、G；完工期：48周。
表7-19给出了项目的工序明细表。
表7-19
工序A B C D E F G H I J K L M N
紧前工序---
A
,B
B
B
,C
E
D
,G
E E H
F
,J
I
,K,L
F
,J,L
工序时间(天) 857
1
2
8
1
7
1
6
8
1
4
5
1
2
3
1
5
1
2
（2）在网络图上求工序的最早开始、最迟开始时间。
（3）用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差。
（4）找出所有关键路线及对应的关键工序。
（5）求项目的完工期。
【解】(1)网络图
（2）工序最早开始、最迟开始时间
工序t T ES T EF T LS T LF总时
差S
自由时
差F
A80
891
7
9
B5050500 C7077700
D128
20172
9
9
9
(4)关键路线及对应的关键工序
关键路线有两条，第一条：①→②→⑤→⑥→⑦→○11→○12；关键工序：B,E,G,H,K,M 第二条：①→④→⑧→⑨→○11→○12；关键工序：C,F,L,M
（5）项目的完工期为62天。