幂函数学案
幂函数教学设计
幂函数教学设计幂函数是初等函数的一种，是指以自然数为指数的函数。
其函数式可以表示为y=x^n，其中x为自变量，n为常数指数，y为函数的值。
以下是五个优秀的幂函数教学设计：1.教学目标：通过本节课的学习，学生将掌握幂函数的概念、性质和图像。
教学过程：(1)导入环节：通过提问引入幂函数的概念，如何用自然数表示指数。
(2)基础知识讲解：介绍幂函数的定义、性质和图像特点。
(3)解答问题：让学生通过例题解答，巩固对幂函数的理解。
(4)实例操作：以实际问题为背景，让学生应用幂函数解决实际问题。
(5)总结归纳：总结幂函数的特点和应用，并提醒学生注意幂函数与其他函数的区别。
2.教学目标：通过本节课的学习，学生将理解幂函数的增减性质和相关应用。
教学过程：(1)导入环节：通过展示两个幂函数的图像，让学生观察并讨论它们的变化趋势。
(2)基础知识讲解：讲解幂函数的增减性质，即正指数的幂函数递增，负指数的幂函数递减。
(3)实例分析：通过实例分析，揭示幂函数增减性质的应用，如求不等式的解等。
(4)实践操作：让学生通过练习题巩固对幂函数增减性质的理解和应用。
(5)拓展讨论：引导学生思考其他函数的增减性质，并与幂函数进行比较。
3.教学目标：通过本节课的学习，学生将学会化简幂函数表达式。
教学过程：(1)导入环节：通过提问引入化简幂函数表达式的概念和意义。
(2)基础知识讲解：介绍幂函数的化简规则和步骤，如指数相加相乘规则等。
(3)解答问题：通过例题解答，让学生掌握幂函数化简的方法和技巧。
(4)实例操练：让学生通过练习题巩固幂函数化简的能力。
(5)拓展应用：引导学生将化简幂函数应用到求导、积分等数学问题中。
4.教学目标：通过本节课的学习，学生将了解幂函数的特殊性质和图像变化规律。
教学过程：(1)导入环节：通过提问引入幂函数的特殊性质，如y=x^0、y=x^1等。
(2)基础知识讲解：介绍幂函数特殊性质的证明和图像变化规律。
(3)实例演示：通过示例演示，展示幂函数图像在特殊情况下的形态和变化特点。
3.3 幂函数 导学案(1)
3.3 幂函数1.理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象; 2.结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质； 3.能应用幂函数性质解决简单问题。
1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质；2.教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。
一、幂函数的是概念：一般地，函数 叫做幂函数(power function) ，其中 为自变量， 为常数。
二、幂函数的性质一、探索新知 探究一 幂函数概念 （一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付P = W 元 ， P 是W 的函数 （y=x ）(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a 2 ， S 是a 的函数（y=x 2）。
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a 3， S 是a 的函数（y=x 3）。
(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a= 12S 。
a 是S 的函数 。
（y=12x ） (5)如果某人 t s 内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t -1，V 是t 的函数 。
（y=x -1）问题1：以上问题中的函数具有什么共同特征?（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义：一般地，函数y=x ɑ叫做幂函数(power function) ，其中x 为自变量，ɑ 为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y = x a 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”． 【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 思考1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？ 思考2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？思考3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？看看自变量x 是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。
练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）4y x =；（2）22y x =；（3）2y x =-；（4）2x y =；（5）2y x -=；（6） 3+2y x =。
学案3：4.4 幂函数
4.4 幂函数【课标要求】课程标准：1.通过具体实例，了解幂函数的概念.2.结合函数y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x ，y ＝x 3的图像，了解幂函数图像的变化规律，掌握幂函数的图像与性质.教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图像与性质. 教学难点：幂函数性质的简单应用.【知识导学】知识点一 幂函数的概念一般地，函数 称为幂函数，其中 为常数． 知识点二 一些常用幂函数的图像同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12 的图像(如图)．知识点三 幂函数的共同特征(1)所有的幂函数在区间 上都有定义，并且图像都通过点 ． (2)如果α>0，则幂函数的图像通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是 函数．(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是 函数，且在第一象限内：当x 从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方且无限地逼近 轴；当x 无限增大时，图像在x 轴上方且无限地逼近 轴．【新知拓展】1．幂函数的特征 (1)x α的系数为1. (2)x α的底数是自变量．(3)xα的指数为常数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．2．幂函数与指数函数的区别3．一些常用幂函数的性质【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x3＋2是幂函数．()(2)幂函数的图像必过(0,0)和(1,1)这两点．()(3)指数函数y＝a x的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．()(4)对于幂2 12，既可以看成某指数函数的函数值，也可以看成某幂函数的函数值．( ) (5)当x ＞1时，函数y ＝x 2的图像总在函数y ＝x 3的图像的下方．( ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＋n ＝________.(2)已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,8)，则f (－2)＝________.(3)若y ＝ax a 2－15是幂函数，则该函数的定义域是______，值域是_______，奇偶性是________，单调性为____________________________．【题型探究】题型一 幂函数的定义例1 已知幂函数y ＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．【规律方法】判断函数是幂函数的依据判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 【跟踪训练1】(1)在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知y ＝(m 2＋2m －2) ＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．题型二 幂函数的图像及应用例2幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x 13，y＝x－12在第一象限内的图像依次是图中的曲线()A．C2，C1，C3，C4B．C4，C1，C3，C2C．C3，C2，C1，C4D．C1，C4，C2，C3【规律方法】解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1或y＝x 12或y＝x3)来判断．【跟踪训练2】(1)如图是幂函数y＝x m与y＝x n在第一象限内的图像，则()A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1(2)已知函数y＝x 2 3 .①求定义域；②判断奇偶性；③已知该函数在第一象限的图像如图所示，试补全图像，并由图像确定单调区间．题型三幂函数的性质及应用——角度1比较幂值大小——例3比较下列各组数的大小：(1)1.512，1.712；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2；(4)0.53,30.5，log30.5.【规律方法】幂大小的比较方法两个或几个幂比较大小，当指数相同，而底数不同时，常先构造幂函数，然后利用单调性比较大小；有时可与0,1等值比较，从而进一步进行比较，这种方法常称为媒介法．【跟踪训练3】比较下列各组中两个幂的值的大小：(1)⎝⎛⎭⎫230.5，⎝⎛⎭⎫350.5； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1，⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)(－0.23) 23 ，0.32 23.——角度2 解不等式——例4 已知(a ＋1)－13<(3－2a ) －13 ，求实数a 的取值范围．【规律方法】利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数．(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系． (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 【跟踪训练4】已知(a ＋1)－2>(3－2a )－2，求a 的取值范围．【随堂达标】A ．①⑤⑥B ．①②③⑦C ．②④D ．②③⑤⑦2．幂函数y ＝x 34的定义域是( ) A ．RB ．[0，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．以上都不对3．函数y ＝x 53的图像大致是图中的( )4．设a ＝⎝⎛⎭⎫1223 ，b ＝⎝⎛⎭⎫15 23 ，c ＝⎝⎛⎭⎫1213 ，则a ，b ，c 从小到大的顺序是________． 5．已知幂函数f (x )＝x 3m －9(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f (x )的解析式．【参考答案】【知识导学】知识点一 幂函数的概念 y ＝x αα知识点三 幂函数的共同特征 (1) (0，＋∞) (1,1)(2)原点 增 (3)减yx 轴【基础自测】1．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2．答案 (1)3 (2)－8(3)R [0，＋∞) 偶函数 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增【题型探究】题型一 幂函数的定义 例1[解] ∵y ＝(m 2－m －1)x m2－2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 故m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3或y ＝x 0，它们的定义域都是{x |x ≠0}．【跟踪训练1】 答案 (1)B (2)见解析解析 (1)因为y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于系数为2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；常函数y ＝1的图像比幂函数y ＝x 0的图像多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．故选B. (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.题型二 幂函数的图像及应用 例2[解析] 由于在第一象限内直线x ＝1的右侧，幂函数y ＝x α 的图像从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图像在第一象限内直线x ＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图像为C 1，y ＝x －1在第一象限内的图像为C 4，y ＝x 13 在第一象限内的图像为C 2，y ＝x －12在第一象限内的图像为C 3. [答案] D 【跟踪训练2】 答案 (1)B (2)见解析解析 (1)在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图像有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.(2)①y ＝x 23 ＝3x 2，定义域为实数集R .②设y ＝f (x )，因为f (－x )＝3(－x )2＝3x 2＝f (x )，且定义域关于坐标原点对称， 所以函数y ＝x 23是偶函数．③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图像关于y 轴的对称图像， 即得函数y ＝x 23的图像，如图所示．根据图像易知，函数y ＝x 23在区间[0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数. 题型三 幂函数的性质及应用 ——角度1 比较幂值大小—— 例3[解] (1)∵y ＝x 12在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7， ∴1.5 12 <1.7 12 .(2)∵y ＝x 3在R 上是增函数，－1.2>－1.25， ∴(－1.2)3>(－1.25)3. (3)∵y ＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1.∵y ＝5.26x 在R 上是增函数，－1>－2. ∴5.26－1>5.26－2.综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2. (4)∵0<0.53<1,30.5>1，log 30.5<0， ∴log 30.5<0.53<30.5. 【跟踪训练3】解 (1)∵幂函数y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数，且23>35，∴⎝⎛⎭⎫230.5>⎝⎛⎭⎫350.5. (2)∵幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是减函数，且－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵y ＝x 23为R 上的偶函数， ∴(－0.23) 23 ＝0.23 23.又∵y ＝x 23 为[0，＋∞)上的增函数，∴0.23 23 <0.32 23 ，∴(－0.23) 23 <0.32 23 .——角度2 解不等式——例4[解] ∵y ＝x －13 在(－∞，0)及(0，＋∞)上单调递减，又(a ＋1) －13 <(3－2a ) －13 ，∴3－2a <1＋a <0或a ＋1>3－2a >0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a >0. 解得23<a <32或a <－1. 【跟踪训练4】解 由幂函数y ＝x －2的图像(如图)可知，|x |越小，y 值越大．∵(a ＋1)－2>(3－2a )－2，∴|a ＋1|<|3－2a |，即(a ＋1)2<(3－2a )2，∴3a 2－14a ＋8>0，结合y ＝3a 2－14a ＋8的图像，得a <23或a >4. 【随堂达标】1. 答案 C解析 符合幂函数y ＝x α形式的只有②④，故选C.2．答案 B解析 由y ＝x 34 ，得y ＝4x 3，x 3≥0，即x ≥0.故此函数的定义域是[0，＋∞)．3．解析 ∵函数y ＝x 53 是奇函数，且53>1，∴函数y ＝x 53 的图像大致为B. 4．答案 b <a <c解析 a ＝⎝⎛⎭⎫12 23 ，b ＝⎝⎛⎭⎫15 23 ，可利用幂函数的性质，得a >b ，a 与c 可由指数函数的单调性得c >a ，∴b <a <c .5．解 ∵幂函数f (x )＝x 3m－9在(0，＋∞)上是减函数， ∴3m －9<0，即m <3.又∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又f (x )＝x 3m －9的图像关于y 轴对称，即该函数是偶函数，∴3m －9是偶数，∴m ＝1，∴f (x )＝x －6.。
幂函数教案
2.3幂函数（一）教学目标： ㈠知识和技能1．理解幂函数的概念，会画幂函数的图象，并能结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质。
2．理解几个常见的幂函数的性质。
1．通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图水平。
2．使学生进一步体会数形结合的思想。
㈢情感、态度与价值观1．通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。
2．利用计算机等工具，理解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分理解到现代技术在人们理解世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。
教学重点常见幂函数的概念和性质 教学难点幂函数的单调性与幂指数的关系 教学过程（一）引入新课(1) 假如张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p=w 元，这里p 是w 的函数；(2) 假如正方形的边长为a ，那么正方形的面积S=a 2，这里S 是a 的函数； (3) 假如立方体的边长为a ，那么立方体的体积V=a 3，这里V 是a 的函数；(4) 假如一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长21S a =，这里a 是S 的函数； (5) 假如某人t 秒内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v=1-t km/s ，这里v 是t 的函数。
思考：这些函数有什么共同的特征？他们有以下共同特点：(1)都是函数；(2) 指数为常数. (3) 均是以自变量为底的幂； （二）新课讲授1、一般地，函数y=x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 注意：幂函数中α的能够为任意实数.2、练一练：1。
判断以下函数是否为幂函数.(1) 4x y = （2）21x y = （3）22x y = （4）2x y -= （5）23+=x y()。
m ，x m m x f m 的值求是幂函数已知例3221)(:1+-+=.),,2()(:22解析式试求出这个函数的的图像过点已知幂函数例x f y =3、在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x ，2x y =，3x y =，21x y =，1-=x y 的图象：观察图象，总结填写下表：x y = 2x y = 3x y = 21x y = 1-=x y定义域 值域 奇偶性 单调性 定点1.在第一象限内一定有幂函数的图像，第四象限肯定没有幂函数的图像，在第二象限、第三象限可能有也可能没有（根据幂函数的奇偶性来判断）。
幂函数教学设计(共7篇)
幂函数教学设计〔共7篇〕第1篇：幂函数教学设计《幂函数》教学设计一、设计构思设计理念注重开展学生的创新意识。
学生的数学学习活动不应只限于承受、记忆、模拟和练习，倡导学生积极主动探究、动手理论与互相合作交流的数学学习方式。
这种方式有助于发挥学生学习主动性，使学生的学习过程成为在老师引导下的“再创造”过程。
我们应积极创设条件，让学生体验数学发现和创造的历程，开展他们的创新意识。
注重进步学生数学思维才能。
课堂教学是促进学生数学思维才能开展的主阵地。
问题解决是培养学生思维才能的主要途径。
所设计的问题应有利于学生主动地进展观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动。
内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。
伴随新的问题发现和问题解决后成功感的满足，由此刺激学生非认知深层系统的良性运行，使其产生“乐学”的余味，学生学习的积极性与主动性在教学中便自发生成。
本节主要安排应用类比法进展讨论，加深学生对类比法的体会与应用。
注重学生多层次的开展。
在问题解决的探究过程中应表达“以人为本”，充分表达“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”，“不同的人在数学上得到不同的开展”的教学理念。
有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知识经历根底之上，而学生的根底知识和学习才能是多层次的，所以设计的问题也应有层次性，使各层次学生都得到开展。
注重信息技术与数学课程的整合。
高中数学课程应尽量使用科学型计算器，各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进展探究和发现。
另外，在数学教学中，强调数学本质的同时，也让学生通过适度的形式化，较好的理解和使用数学概念、性质。
教材分析^p幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学第二章第四节的内容。
该教学内容在人教版试验修订本中已被删去。
标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。
故在教学过程及后继学习过程中，应可以让学生体会其实际应用。
幂函数 优秀教案
幂函数优秀教案幂函数教学目标】1.知识与技能：1) 理解幂函数的概念，能够画出幂函数y=x，y=x^2，y=x^3，y=x^-1，y=x^2的图像。
2) 根据常见的幂函数图像，理解幂函数图像的变化情况和性质，并能进行简单的应用。
2.过程与方法：1) 通过观察、总结幂函数的性质，培养学生的识图能力和概括能力。
2) 使学生进一步体会数形结合的思想方法。
3.情感态度与价值观：1) 通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的研究兴趣。
2) 利用计算机，了解幂函数图像的变化规律使学生认识到现代技术在数学认识过程中的作用，从而激发学生的研究欲望。
教学重点】从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。
教学难点】画五个具体幂函数的图像并由图像概括其性质，体会图像的变化规律。
教法】启发、引导教学过程】一、创设情景，引入新课通过观察几个例子的函数模型，引入新课。
二、互动探究，讲解新课1.幂函数的定义：一般地，函数y=x^α叫做幂函数，其中x为自变量，α为常数。
练：判断下列函数是否为幂函数？1) y=x^4 (2) y=2x^2 (3) y=-x^3 (4) y=2.常见幂函数的图像与性质：自主探究]分别作出函数y=x，y=x^2，y=x^3，y=x^-1，y=x^2的图像并观察函数图像，将你发现的结论写在下表内：定义域。
|。
值域。
|。
奇偶性。
|。
单调性。
|。
定点。
|R。
|。
R+。
|。
奇函数。
|。
增函数。
|。
(1,1)。
|R。
|。
R+。
|。
偶函数。
|。
增函数。
|。
(0,0)。
|R。
|。
R。
|。
奇函数。
|。
增函数。
|。
(0,0)。
|R*。
|。
R*。
|。
奇函数。
|。
减函数。
|。
(1,1)。
|R+。
|。
R+。
|。
无奇偶性。
|。
增函数。
|。
(0,0)。
|合作探究]根据上表的内容并结合图像，试总结函数y=x，y=x^2，y=x^3，y=x^-1，y=x^2的共同性质。
归纳：1) 函数y=x，y=x^2，y=x^3，y=x^-1和y=x^2的图像都通过点(1,1)。
2023年高中数学幂函数教学教案(7篇)
2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。
（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。
力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。
情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。
（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。
2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。
教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。
3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。
（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。
为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。
问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。
函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。
）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。
将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。
教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。
幂函数学案
§6.1 幂函数学习目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 的图象； 2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．知识点一一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质21知识点三 一般幂函数的图象特征1． 所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 ．2． 当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象 ；当0<α<1时，幂函数的图象 ． 3． 当 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按 从 到 的顺序排列．1．下列函数中不是幂函数的是________． ①y ＝x 0； ②y ＝x 3； ③y ＝2x ； ④y ＝x －1.2．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,211,1α，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________．3．当x ∈(0,1) 时，x 2________x －1.(填“>”“＝”或“<”)4．已知幂函数f (x )＝x α图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)＝________.例1 (1)下列函数：①y ＝x 3；②xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知222()2223m y m m x n －＝＋－＋－是幂函数，求m ，n 的值．A.12 B ．1 C.32 D ．2例2 (1)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点P ⎝⎛⎭⎫2，14，试画出f (x )的图象并指出该函数的定义域与单调区间．(2)如图所示，C 1，C 2，C 3为幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取( )A.43，－2，34 B ．－2，34，43 C ．－2，43，34 D.34，43，－2例3 比较下列各组数的大小． (1)5.052⎪⎭⎫ ⎝⎛与5.031⎪⎭⎫ ⎝⎛； (2)132-⎪⎭⎫ ⎝⎛-与153-⎪⎭⎫⎝⎛-； (3)1332⎛⎫ ⎪⎝⎭与1413⎛⎫ ⎪⎝⎭.1．以下结论正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 2．下列不等式成立的是( ) A.12121312--⎛⎫> ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭B.23233423⎛⎫<⎛⎫⎝⎪⎪⎭⎝⎭ C.232⎪⎭⎫ ⎝⎛> 223⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．7878819-⎛⎫< ⎪⎝⎭3．函数y ＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．4．若幂函数()22231()m m f x m m x －－＝－－在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________. 5．先分析函数23y x =的性质，再画出其图象．1．知识清单： (1)幂函数的定义． (2)几个常见幂函数的图象． (3)幂函数的性质． 2．方法归纳：(1)运用待定系数法求幂函数的解析式．(2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想．1．下列函数中是幂函数的是( )A ．y ＝x 4＋x 2B ．y ＝10xC ．y ＝1x3 D ．y ＝x ＋12．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x－1C ．y ＝x 2D ．y ＝13x3．已知f (x )＝12x ，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f (a －1) <f (b －1) B ．f (a －1) <f (b －1) <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f (b －1) <f (a －1) D ．f (a －1)<f (a )<f (b －1)<f (b ) 4．已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2 D ．35.如图所示曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－126．已知幂函数f (x )＝x m －3(m ∈N *)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m 等于( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．37．函数y ＝12x －1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )8．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．9．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________．10．若12(1)a ＋<12(32)a －，则a 的取值范围是________．11．已知幂函数()x f 的图象过点(9,3)，则⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝________，函数⎪⎭⎫⎝⎛-11x f 的定义域为________．。
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幂函数
学习目标:了解幂函数概念;会画常见幂函数的图象;结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 1／2
的图象了解
幂函数图象的变化情况和简单性质;会用幂函数的单调性比较两个底数不同而指数相同的幂的大小 学习重点：幂函数的概念和奇偶函数的概念
学习难点：简单的幂函数的图像性质。
函数奇偶性的判断 学习过程： 一 探究新知
1.写出下列y 关于x 的函数解析式:正方形边长x 、面积y;②正方体棱长x 、体积y;③正方形面积x 、边长y;④某人骑车x 秒内匀速前进了1m,骑车速度为y;⑤某人购买了每千克1元的蔬菜x 千克,那么她需要支付的钱数y.上面5个函数是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？
2.幂函数的定义：一般地，函数y=x a
叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数.
练习:（1）①y=1／x 3②y=2x 2③y=x 2+x ④y=0.2x ⑤y=x 0
⑥y=1属于幂函数的是_________.
（2）若函数f(x)=(a 2-3a-3)x 2
是幂函数，则a 值为________.
3.幂函数的图象与性质,由幂函数y ＝x 、y ＝12
x 、y ＝x 2
、y ＝x －1
、y ＝x 3
的图象，可归纳出幂函数的如下性质： (1)幂函数在__________上都有定义；(2)幂函数的图象都过点__________；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点________与________，且在(0，＋∞)上是单调________；(4)当a<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是单调________. 4.幂函数的比较
①幂函数的图象比较
②函数y ＝x ，y ＝x 2，y=x 3,y=x 0.5
,y ＝1x
(x≠0)的图象和性质
4.在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴.
幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
5.①所有的幂函数在 都有定义,并且函数图象都通过点 ;②如果a>0,则幂函数的图象过点 并在(0,+∞)上为 (增、减)函数;③如果a<0,则幂函数的图象过点 ,并在(0,+∞)上为 (增、减)函数
二 课内自测
1.①下列函数中不是幂函数的是( ) A y=x B y=3
x C. y=2x D.y=x -1
②如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n
在第一象限内的图象，则( )
A -1＜n ＜0＜m ＜1
B n ＜-1,0＜m ＜1
C -1＜n ＜0，m ＞1
D ．n ＜-1，m ＞1
③设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2553，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2552，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3552
，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．a ＜b ＜c D ．b ＞c ＞a
2.若幂函数y=f(x)的图像经过点()9,3，则f(25)=______________
3.比较下列各组数的大小：（1）0.752
1
____0.762
1 （2）（-3.14）2_____2
π
4.如图，曲线是幂函数 y=x k
在第一象限内的图象，已知 k 分别 取-1,1,2,-0.5四个值，则相应图象依次为________
5.幂函数y=(m 2
-m-1)x m
在区间()+∞,0上是减函数，则 m 的值为________
6.比较下列各组中两个值的大小 ① (-0.95)31，(-0.96)3
1；②0.313
.2，0.31
4
.2
7.比较下列各组中两个值的大小：
(1)1.553与1.65
3；(2)0.61.3与0.71.3
；(3)3.53
2-
与5.3
3
2-
；(4)0.18
－0.3
与0.15
－0.3
.
8.求下列函数的定义域和值域
(1)y ＝x 2
3 (2)y ＝x 7
2 (3)y ＝x 5
3 (4)y ＝x
5
2
(5)y ＝x
3
1
(6)y ＝x
4
3
(7)y ＝x
2
-
9.已知幂函数y ＝f(x)的图像过点(3，1/9)求函数解析式
10.证明幂函数f （x ）=x 在（0，+∞）上是增函数
11.函数f(x)＝(m 2
－m －1)3
2-+m m x
，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式
12.幂函数f(x)的图象过点(25,5),①求f(x)的解析式;②若函数g(x)＝f(2－lg x),求g(x)的定义域、值域
三 课堂达标
1.①下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝5x B ．y ＝x 5 C ．y ＝5x D ．y ＝(x ＋1)3
②下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．y ＝x 3
1 B ．y ＝x 21-
C ．y ＝x 35
D ．y ＝x 3
2
③设a ∈﹛-1,1，1／2,3﹜，则使函数y ＝x α
的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为( ) A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D ．－1,1,3
④已知幂函数f(x)的图象经过点(2, 2／2)，则f(4)的值为( ) A ．16 B.1／16 C. 1／2 D ．2 ⑤下列命题中正确的是( )
A 当α＝0时，函数y ＝x α
的图象是一条直线 B 幂函数的图象都经过(0,0)(1,1)两点
C 若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α
在定义域上是增函数 D 幂函数的图象不可能在第四象限 ⑥下列幂函数中①y＝x －1
；②y＝x 2
1；③y＝x ；④y＝x 2；⑤y＝x 3
，其中在定义域内为增函数的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
⑦当0＜x ＜1时，f(x)＝x 2，g(x)＝x 1／2，h(x)＝x －2
的大小关系是( )
A ．h(x)＜g(x)＜f(x)
B ．h(x)＜f(x)＜g(x)
C ．g(x)＜h(x)＜f(x)
D ．f(x)＜g(x)＜h(x)
⑧下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A ．y ＝x －2
B ．y ＝x －1
C ．y ＝x 2
D ．y ＝x 1／3
2.若a ＝(12)53，b ＝(15
)53
，c ＝(－2)3
，则a 、b 、c 的大小关系为________
3.幂函数f(x)＝(m 2
－m －1)·3
22--m m x 在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________
4.幂函数y ＝f(x)的图象经过点(2，1／8)，则满足f(x)＝－27的x 值等于________
5.比较下列各组数中两个数的大小
(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1321与⎝ ⎛⎭⎪⎫1421；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35－1；(3)0.2541-与6.2541
；(4)0.20.6与0.30.4
.
6.比较下列各组数的大小：(1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫230.5与⎝ ⎛⎭⎪⎫350.5 (2) －3.143与－π3
(3) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1243与⎝ ⎛⎭
⎪⎫3421
7.已知y ＝(m 2
＋2m －2)·2
1
1
m x -＋(2n －3)是幂函数，求m 、n 的值
8.已知f(x)＝(m 2
＋2m) 1
2-+m m x ，m 为何值时，f(x)是①正比例函数；②反比例函数；③二次函数；④幂函数
9.已知幂函数y ＝2
43m m x --(m∈Z)的图象与y 轴有公共点，且其图象关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图象.
10.已知幂函数y ＝f(x)＝x 3
-22+-m m ，其中m∈{x|－2＜x ＜2，x∈Z}，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．
11.幂函数f(x)＝223
m m x --(m∈N *
)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足3
(1)
m
a -
+<3
(32)
m a -
-的a 的取值范围
12.已知幂函数f(x)＝21
()m m x -+(m∈N *
).(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f(2－a)>f(a －1)的实数a 的取值范围。