2拉伸与压缩
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材料力学(机械类)第二章 轴向拉伸与压缩
第
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
材料力学教案 第2章 拉伸、压缩与剪切
第2章拉伸压缩与剪切教学目的：了解材料的力学性质；掌握轴向拉伸、压缩、剪切和挤压的概念；掌握轴向拉压时构件的内力、应力、变形的计算；熟练掌握剪切应力及挤压应力的计算方法并进行强度校核；掌握拉压杆的超静定问题。
教学重点：建立弹性杆件横截面上内力、内力分量的概念；运用截面法画轴力图；掌握低碳钢的力学性质；掌握轴向拉伸和压缩时横截面上正应力计算公式及其适用条件；掌握拉压杆的强度计算；熟练掌握剪切和挤压的实用计算。
教学难点：低碳钢类塑性材料在拉伸过程中反映出的性质；许用应力的确定和使用安全系数的原因；强度计算问题；剪切面和挤压面的确定；剪切和挤压的实用计算；拉压杆超的静定计算。
教具：多媒体。
教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
举例掌握轴向拉伸、压缩和剪切变形概念，通过例题、作业，加强辅导熟练运用截面法，掌握轴力图的画法；建立变形、弹性变形、应变、胡克定律和抗拉压刚度的概念；教学内容：轴向拉伸和压缩的概念；强度计算；材料的力学性能及应力应变图；许用应力与安全系数；超静定的计算；剪切概念；剪切实用计算；挤压实用计算。
教学学时：8学时。
教学提纲：2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例1．实例（1）液压传动中的活塞杆（2）内燃机的连杆（3）起吊重物用的钢索（4）千斤顶的螺杆（5）桁架的杆件2．概念及简图这些杆件虽然外形各异，受力方式不同，但是它们有共同的特点：（1）受力特点：作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。
（如果两个F 力是一对离开端截面的力，则将使杆发生纵向伸长，这样的力称为轴向拉力； 如果是一对指向端截面的力，则将使杆发生纵向缩短，称为轴向压力）。
（2）变形特点：主要变形是纵向伸长或缩短。
（3）拉（压）杆的受力简图：（4）说明：本章所讲的变形是指受压杆没有被压弯的情况下，不涉及稳定性问题。
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力1．截面法求内力(1)假想沿m-m 横截面将杆切开(2)留下左半段或右半段(3)将弃去部分对留下部分的作用用内力代替(4)对留下部分写平衡方程，求出内力（即轴力）的值。
5 材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
μ
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
23
四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
23
四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
2第二章拉伸、压缩与剪切概述
22
屈服极限的确定方法
σ
b
0.2
o
0.2%
在ε轴上取0.2％的点, 对此点作平行于σ－ε曲线 的直线段的直线（斜率亦为 E）,与σ－ε曲线相交点对 应的应力即为σ0.2 .
ε
σb是衡量脆性材料强度的唯一指标。
材料力学 土木工程系 陈爱萍
23
§2.5 材料压缩时的力学性能
国家标准规定《金属压缩试验方法》（GB7314—87)
材料力学 土木工程系 陈爱萍
28
§2.7 失效、 安全因数和强度计算
一、极限应力、安全系数、许用应力
材料破坏时的应力称为极限应力。 由于各种原理使结构丧失其正常工作能力的现象，称为失效
jx
s b
塑性材料 脆性材料
构件工作时允许达到的最大应力值称许用应力
jx
n
材料力学 土木工程系 陈爱萍
(3) 必须是等截面直杆，否则横截面上应力将不是均匀 分布，当截面变化较缓慢时，可近似用该公式计算。
材料力学 土木工程系 陈爱萍
12
§2.3 直杆拉伸或压缩时斜截面上的应力
F
FF
p cos
FN A
cos cos2
p
sin
cos sin
1 sin 2
材料力学 土木工程系 陈爱萍
37
求解超静定问题的基本步骤：
（1）平衡方程； （2）几何方程——变形协调方程； （3）物理方程——弹性定律； （4）补充方程：由几何方程和物理方程得； （5）解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
材料力学 土木工程系 陈爱萍
38
材料力学 第2章杆件的拉伸与压缩
第2章 杆件的拉伸与压缩提要：轴向拉压是构件的基本受力形式之一，要对其进行分析，首先需要计算内力，在本章介绍了计算内力的基本方法——截面法。
为了判断材料是否会发生破坏，还必须了解内力在截面上的分布状况，即应力。
由试验观察得到的现象做出平面假设，进而得出横截面上的正应力计算公式。
根据有些构件受轴力作用后破坏形式是沿斜截面断裂，进一步讨论斜截面上的应力计算公式。
为了保证构件的安全工作，需要满足强度条件，根据强度条件可以进行强度校核，也可以选择截面尺寸或者计算容许荷载。
本章还研究了轴向拉压杆的变形计算，一个目的是分析拉压杆的刚度问题，另一个目的就是为解决超静定问题做准备，因为超静定结构必须借助于结构的变形协调关系所建立的补充方程，才能求出全部未知力。
在超静定问题中还介绍了温度应力和装配应力的概念及计算。
不同的材料具有不同的力学性能，本章介绍了塑性材料和脆性材料的典型代表低碳钢和铸铁在拉伸和压缩时的力学性能。
2.1 轴向拉伸和压缩的概念在实际工程中，承受轴向拉伸或压缩的构件是相当多的，例如起吊重物的钢索、桁架第2章 杆件的拉伸与压缩 ·9··9·2.2 拉(压)杆的内力计算2.2.1 轴力的概念为了进行拉(压)杆的强度计算，必须首先研究杆件横截面上的内力，然后分析横截面上的应力。
下面讨论杆件横截面上内力的计算。
取一直杆，在它两端施加一对大小相等、方向相反、作用线与直杆轴线相重合的外力，使其产生轴向拉伸变形，如图2.2(a)所示。
为了显示拉杆横截面上的内力，取横截面把m m −拉杆分成两段。
杆件横截面上的内力是一个分布力系，其合力为N F ，如图2.2(b)和2.2(c)所示。
由于外力P 的作用线与杆轴线相重合，所以N F 的作用线也与杆轴线相重合，故称N F 为轴力(axial force)。
由左段的静力平衡条件0X =∑有：()0+−=N F P ，得=N F P 。
材料力学——2拉伸和压缩
对于拉压杆，学习了 • 应力计算 • 力学性能 • 如何设计拉压杆？—— 安全，或 不失效
反面看：危险，或 失效（丧失正常工作能力） （1）塑性屈服 （2）脆性断裂
28
• 正面考虑 —— 应力 为了—— 安全，或不失效
( u — Ultimate, n — 安全因数 Safety factor)
（1）塑性 n =1.5 - 2.5 （2）脆性 n = 2 - 3.5 • 轴向拉伸或压缩时的强度条件 ——
截面法（截、取、代、平） 轴力 FN（Normal） 1．轴 力
Fx 0
得
FN P 0 FN P
5
•轴力的符号
由变形决定——拉伸时，为正 压缩时，为负
注意： • 1）外力不能沿作用线移动——力的可传性不
成立 变形体，不是刚体
6
2． 轴 力 图
• 纵轴表示轴力大小的图（横轴为截面位 置） 例2-1 求轴力，并作轴力图
哪个杆先破坏?
§2-2 拉 （ 压 ） 杆 的 应 力
杆件1 —— 轴力 = 1N, 截面积 = 0.1 cm2 杆件2 —— 轴力 = 100N, 截面积 = 100 cm2
哪个杆工作“累”？
不能只看轴力，要看单位面积上的力—— 应力 • 怎样求出应力？
思路——应力是内力延伸出的概念，应当由 内力 应力
材料力学
Mechanics of Materials
1
2
§2-1 概念及实例
• 轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸）
• 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
3
拉、压的特点：
• 1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反
• 2. 变形—— 沿轴线的伸长或缩短
反面看：危险，或 失效（丧失正常工作能力） （1）塑性屈服 （2）脆性断裂
28
• 正面考虑 —— 应力 为了—— 安全，或不失效
( u — Ultimate, n — 安全因数 Safety factor)
（1）塑性 n =1.5 - 2.5 （2）脆性 n = 2 - 3.5 • 轴向拉伸或压缩时的强度条件 ——
截面法（截、取、代、平） 轴力 FN（Normal） 1．轴 力
Fx 0
得
FN P 0 FN P
5
•轴力的符号
由变形决定——拉伸时，为正 压缩时，为负
注意： • 1）外力不能沿作用线移动——力的可传性不
成立 变形体，不是刚体
6
2． 轴 力 图
• 纵轴表示轴力大小的图（横轴为截面位 置） 例2-1 求轴力，并作轴力图
哪个杆先破坏?
§2-2 拉 （ 压 ） 杆 的 应 力
杆件1 —— 轴力 = 1N, 截面积 = 0.1 cm2 杆件2 —— 轴力 = 100N, 截面积 = 100 cm2
哪个杆工作“累”？
不能只看轴力，要看单位面积上的力—— 应力 • 怎样求出应力？
思路——应力是内力延伸出的概念，应当由 内力 应力
材料力学
Mechanics of Materials
1
2
§2-1 概念及实例
• 轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸）
• 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
3
拉、压的特点：
• 1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反
• 2. 变形—— 沿轴线的伸长或缩短
材料力学第2章轴向拉伸与压缩
ε 相同，这就是变形的几何关系。
图2.5
(2)物理关系
根据物理学知识，当变形为弹性变形时，变形和力成正比。因为各“纤维” 的正应变ε 相同，而各“纤维”的线应变只能由正应力ζ 引起，故可推知横
截面上各点处的正应力相同，即在横截面上，各点处的正应力ζ 为均匀分布
，如图2.6所示。
图2.6
(3)静力学关系 由静力学求合力的方法，可得
α
和沿斜截面的切应力
，如图2.8(d)所示，即得
从式(2.4)可以看出，ζ
α
和α 都是α 的函数。所以斜截面的方位不同，截 ， 即横截面上的正应力是所有截
面上的应力也就不同。当α =0时，
面上正应力中的最大值。当α =45°时，α 达到最大值，且
可见，在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值，最大切应力在数 值上等于最大正应力的1/2。 关于切应力的符号，规定如下：截面外法线顺时针转90°后，其方向和切应 力相同时，该切应力为正值，如图2.9(a)所示；逆时针转90°后，其方向和 切应力相同时，该切应力为负值，如图2.9(b)所示。
同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(见图2.4(d))为
在求CD段内任一横截面上的轴力时，由于截开后右段杆比左段杆受力简单， 所以宜取右段杆为研究对象(见图2.4(e))，通过平衡方程可求得
结果为负，说明N3的实际方向与假设方向相反。 同理，DE段内任一横截面上的轴力为
依据前述绘制轴力图的规则，所作的轴力图如图2.4(f)所示。显然，最大轴 力发生在BC段内，其值为50 kN。
由此可得杆的横截面上任一点处正应力的计算公式为
对于承受轴向压缩的杆，式(2.3)同样适用。但值得注意的是：细长杆受压
时容易被压弯，属于稳定性问题，将在第11章中讨论，式(2.3)适用于压杆 未被压弯的情况。关于正应力的符号，与轴力相同，即拉应力为正，压应力
图2.5
(2)物理关系
根据物理学知识，当变形为弹性变形时，变形和力成正比。因为各“纤维” 的正应变ε 相同，而各“纤维”的线应变只能由正应力ζ 引起，故可推知横
截面上各点处的正应力相同，即在横截面上，各点处的正应力ζ 为均匀分布
，如图2.6所示。
图2.6
(3)静力学关系 由静力学求合力的方法，可得
α
和沿斜截面的切应力
，如图2.8(d)所示，即得
从式(2.4)可以看出，ζ
α
和α 都是α 的函数。所以斜截面的方位不同，截 ， 即横截面上的正应力是所有截
面上的应力也就不同。当α =0时，
面上正应力中的最大值。当α =45°时，α 达到最大值，且
可见，在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值，最大切应力在数 值上等于最大正应力的1/2。 关于切应力的符号，规定如下：截面外法线顺时针转90°后，其方向和切应 力相同时，该切应力为正值，如图2.9(a)所示；逆时针转90°后，其方向和 切应力相同时，该切应力为负值，如图2.9(b)所示。
同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(见图2.4(d))为
在求CD段内任一横截面上的轴力时，由于截开后右段杆比左段杆受力简单， 所以宜取右段杆为研究对象(见图2.4(e))，通过平衡方程可求得
结果为负，说明N3的实际方向与假设方向相反。 同理，DE段内任一横截面上的轴力为
依据前述绘制轴力图的规则，所作的轴力图如图2.4(f)所示。显然，最大轴 力发生在BC段内，其值为50 kN。
由此可得杆的横截面上任一点处正应力的计算公式为
对于承受轴向压缩的杆，式(2.3)同样适用。但值得注意的是：细长杆受压
时容易被压弯，属于稳定性问题，将在第11章中讨论，式(2.3)适用于压杆 未被压弯的情况。关于正应力的符号，与轴力相同，即拉应力为正，压应力
拉伸和压缩
解 （1）计算AB杆和BC杆的轴力
d
A
B
30
取结点B为研究对象，其受力如图所示。由 平衡方程
Fx 0, FNBC cos 30 FNAB 0
Fy 0, FNBC sin 30 F 0
C aa FNAB
F
B AB
FNAB
3F，FNBC
2F
（2）校核AB杆和BC杆的强度
FNAB AAB
3F d2 /4
3
二、内力与应力
1、内力
杆件在外力作用下产生变形，其内部相互间的 作用力称为内力。这种内力将随外力增加而增 大。当内力增大到一定限度时，杆件就会发生 破坏。内力是与构件的强度密切相关的，拉压
杆上的内力又称为轴力。
F
FN
2、求内力的方法—截面法
将受外力作用的杆件假想地 切开，用以显示内力的大 小，并以平衡条件确定其 合力的方法，称为截面法。 它是分析杆件内力的唯一 方法。具体求法如下：
例 图示支架中，杆①的许用应力[]1＝100MPa，杆②的许用 应力[]2＝160MPa，两杆的面积均为A=200mm2,求结构的许
可载荷[F]。
解 （1）计算AC杆和BC杆的轴力
B 取C铰为研究对象，受力如图所示。列平衡
方程
A ① 45 30 ②
§2-2 拉伸和压缩
一、拉伸与压缩时的应用与特点
实验：
F
ac
a
c
F
b
d
bd
1.变形现象
横向线ab和cd仍为直线，且仍然垂直于轴线;
结论：各纤维的伸长相同，所以它们所受的力 也相同。 2.平面假设
变形前原为平面的横截面，在变形后仍保
持为平面，且仍垂直于轴线。
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两平行截面mk和m'k'切下的薄片的受力情况如图：
m m p
m m
m m
k k
k k
将两相邻截面拉开
k k
使两截面产生相对错动
规定：作用在一个薄片两个截面上的剪应力组成的力偶如果
是顺时针的，则剪应力τ为正值，反之为负值。
正，＞0
负，＜0
1 2
x
sin
2
1 2
x
sin
2(
)
河南师范大学 王晓兵
解：a） AB段轴力：∑FX=0 →-S1-Q+P=0→ S1=P-Q=100-200= -100N
BC段轴力：∑FX=0 → -S2-Q=0→ S2= -Q=-200N
轴力图如右。
b）AB段：S1 P 100 N （拉）
BC段：
S2 P Q 100 200 100 N （压）
CD段：S3 P 100 N （拉）
●结论：任一截面上的轴力，等于该截面一侧所有轴向外力的 代数和，其中背离该截面的外力为正，反之为负。
河南师范大学 王晓兵
9
材料力学
20.8.9
2.2、拉伸和压缩
应力:
应力：截面上各点所承受的内力数值。
或：单位面积上所承受内力的大小。
σ—正应力或法向应力。P之法向分量，与截面垂直。 τ—剪应力或切向应力。P之切向分量，与截面相切。 应力的单位：Pa（N/m2）、Mpa（兆帕）、kMPa（千兆帕）
或：物体因受外力而变形（弹性），其内部各质点（原子） 之间因相对位置改变而引起的相互作用力。
内力由外力所引起，随外力引起的弹性变形而增大，达到一 定程度就会引起构件破坏，因此分析内力是解决强、刚度问题 的基础。
材料的机械性能多由拉压试验获得，所以本章首先讨论拉压变 形及其内力。而构件的内力常用截面法来求。
max
N A
[ ]
2、截面设计；
A N
[ ]
3、确定许用载荷。 N A[ ]
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19
材料力学
20.8.9
2.2、拉伸和压缩
2.2.3、直杆受轴向拉伸或压缩时的强度条件
二、强度条件可解决的问题（1、强度校核）
例2-5 已知油压力p=2MPa，内径D=75mm，活塞杆直径d=18mm，材 料的许用应力[σ]=50MPa，校核活塞杆的强度。
A1
N1
1.875
10
4
m2
A3
N3
1.25
10 4
m2
A1 : A3 2 :1
A1 2 A3 2.50 10 4 m2
b1 b2 13.4mm h1 h2 18.7mm
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21
材料力学
20.8.9
2.2、拉伸和压缩 确定许用载荷：
例2-7 悬臂起重机撑杆AB为中空钢管，外径105mm，内径95mm。钢 索1和2互相平行，且设钢索1可作为相当于直径d=25mm的圆钢计 算。材料[σ]=60MPa，确定许可吊重。
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3
材料力学
20.8.9
§2、拉伸与压缩
2.1、材料力学的基本概念
2.1.2 构件变形的基本形式
构件：杆件、板、壳。
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4
材料力学
20.8.9
§2、拉伸与压缩
2.1、材料力学的基本概念
2.1.2 构件变形的基本形式
1、拉伸、压缩
2、弯曲
3、剪切
4、扭转
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材料力学中所研究的一切物体都是变形固体。
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2
材料力学
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§2、拉伸与压缩
2.1、材料力学的基本概念
2.1.1任务和研究对象
反映材料力学性能的主要指标：
强度性能：抵抗破坏的能力，用σs和σb表示 弹性性能：抵抗弹性变形的能力，用E表示
塑性性能：塑性变形的能力，用延伸率δ和截面收缩率ψ 表示。
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2009.3
化工设备机械基础
王晓兵
电 话：13700739041 E-mail：wangxb@
化学与环境科学学院
化 工、环 境 专 业
材料力学
20.8.9
§2、拉伸与压缩
2.1、材料力学的基本概念
2.1.1任务和研究对象
材料的机械性能(或力学性能)—材料在外力作用下表现出来的性 能。如：弹性、 强度、韧性、硬度和塑性等。
25MPa
3
N3 A
50 103 400 106
125MPa
20.8.9
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14
材料力学
20.8.9
2.2、拉伸和压缩
2.2.2、直杆受轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力变化
α—斜截面mk的外法线与杆轴x间夹角。逆时针为正。
Fx 0 N F
q F cos / A 0 cos x
P N max 28.1kN 3.35
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22
材料力学
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2.2、拉伸和压缩
例2-7 悬臂起重机撑杆AB为中空钢管，外径105mm，内径95mm。钢 索1和2互相平行，且设钢索1可作为相当于直径d=25mm的圆钢计 算。材料[σ]=60MPa，确定许可吊重。
P Nmax 28.1kN 3.35
11
材料力学
20.8.9
2.2、拉伸和压缩
2.2.1、直杆受轴向拉伸或压缩时截面上的应力变化
σ=N/A=F/A 拉应力为正，压应力为负。（A为横截面积）
平均应力：pC
Q A
k点的应力:
p
lim
A0
pC
lim
A0
Q A
dQ dA
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12
材料力学
20.8.9
2.2、拉伸和压缩
2.2.1、直杆受轴向拉伸或压缩时截面上的应力变化
l
l
横向应变ε'： ' 1 1
'
μ为横向应变系数或称为泊松比,因ε与ε'的符号总是相反，
所以又可写为：ε’=-με
河南师范大学 王晓兵 P38
26
材料力学
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2.2、拉伸和压缩
2.2.4、直杆受轴向拉伸或压缩时的变形（应变） 二、横向应变
μ为横向应变 系数或称为泊松 比,它与弹性模 量E一样,表示材 料的力学性质的 一个弹性常数, 其数值有实验求
X 0 Y 0
T1 T2 Psin 300 N cos150 0 N sin150 P cos300 0
钢索2的拉力T2=P， N 3.35P
(a)
带入方程组解得： T1 1.74P
(b)
而撑杆AB允许的最大轴力为：
Nmax A 94.2kN
带入（a）式得AB杆相应的吊重为：
ΔL被称为绝对伸长或压缩，伸长时为正值，压缩为负值。
相对伸长（纵向应变、线应变）：
l
l
ε伸长时为正值，压缩为负值
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材料力学
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2.2、拉伸和压缩
2.2.4、直杆受轴向拉伸或压缩时的变形（应变） 一、纵向应变
平均应变： m
u x
线应变或应变：
lim u du
例2-3：受力情况如图，截面积A=5cm2。求：1、画轴力图； 2、求最大正应力σmax。
解：1、画轴力图
AB段： FX 0 S1 60kN
BC段： FX 0 S2 80 60 0
S2 20kN
CD段： S3 30kN
2、求最大正应力 max
max Smax / A 60 1000 / 5104 120MPa
截面法
F
0,
N
F
0, N
F
轴力，拉为正，压为负
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7
材料力学
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§2、拉伸与压缩
2.1.3 内力与截面法
截面法步骤
m
1、在需要求内力处假想用一横截面将构件 F
F
截开，分成两部分；
2、以任一部分为研究对象；
m
3、在截面上加上内力，以代替另一部分对 F
N
研究对象的作用
4、写出研究对象的平衡方程式，解出截面
N
F
上的内力。
例2-1。P28
轴力图：在选取的一个坐标系里，用纵坐标表示相应截面上的 轴力，横坐标表示相应截面所在的位置，便可用图形 表示杆件轴线的变化情况。这种图形称为轴力图。
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材料力学
20.8.9
例2-2 画图示杆件轴力图。设 P P 100N ,Q Q 200N
5
材料力学
20.8.9
§2、拉伸与压缩
2.1、材料力学的基本概念
2.1.2 构件变形的基本形式
4、扭转
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6
材料力学
20.8.9
§2、拉伸与压缩
2.1、材料力学的基本概念
2.1.3 内力与截面法
外力—构件以外物体对构件的作用力。如载荷、约束反力等。 内力—构件本身的某一部分与相邻部分之间相互作用的力。
x0 x
dx
γ为剪应变或角应变，用弧度
线应变ε由正应力σ决定 剪应变γ由剪应力τ决定。
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25
材料力学
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2.2、拉伸和压缩
2.2.4、直杆受轴向拉伸或压缩时的变形（应变） 二、横向应变
纵向伸长ΔL=L1-L时， 横向收缩Δα=α1-α
α杆变形后的横向尺寸
纵向应变ε：
l l1 l
P D 2 p 8.84kN
m m p
m m
m m
k k
k k
将两相邻截面拉开
k k
使两截面产生相对错动
规定：作用在一个薄片两个截面上的剪应力组成的力偶如果
是顺时针的，则剪应力τ为正值，反之为负值。
正，＞0
负，＜0
1 2
x
sin
2
1 2
x
sin
2(
)
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解：a） AB段轴力：∑FX=0 →-S1-Q+P=0→ S1=P-Q=100-200= -100N
BC段轴力：∑FX=0 → -S2-Q=0→ S2= -Q=-200N
轴力图如右。
b）AB段：S1 P 100 N （拉）
BC段：
S2 P Q 100 200 100 N （压）
CD段：S3 P 100 N （拉）
●结论：任一截面上的轴力，等于该截面一侧所有轴向外力的 代数和，其中背离该截面的外力为正，反之为负。
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材料力学
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2.2、拉伸和压缩
应力:
应力：截面上各点所承受的内力数值。
或：单位面积上所承受内力的大小。
σ—正应力或法向应力。P之法向分量，与截面垂直。 τ—剪应力或切向应力。P之切向分量，与截面相切。 应力的单位：Pa（N/m2）、Mpa（兆帕）、kMPa（千兆帕）
或：物体因受外力而变形（弹性），其内部各质点（原子） 之间因相对位置改变而引起的相互作用力。
内力由外力所引起，随外力引起的弹性变形而增大，达到一 定程度就会引起构件破坏，因此分析内力是解决强、刚度问题 的基础。
材料的机械性能多由拉压试验获得，所以本章首先讨论拉压变 形及其内力。而构件的内力常用截面法来求。
max
N A
[ ]
2、截面设计；
A N
[ ]
3、确定许用载荷。 N A[ ]
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2.2、拉伸和压缩
2.2.3、直杆受轴向拉伸或压缩时的强度条件
二、强度条件可解决的问题（1、强度校核）
例2-5 已知油压力p=2MPa，内径D=75mm，活塞杆直径d=18mm，材 料的许用应力[σ]=50MPa，校核活塞杆的强度。
A1
N1
1.875
10
4
m2
A3
N3
1.25
10 4
m2
A1 : A3 2 :1
A1 2 A3 2.50 10 4 m2
b1 b2 13.4mm h1 h2 18.7mm
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2.2、拉伸和压缩 确定许用载荷：
例2-7 悬臂起重机撑杆AB为中空钢管，外径105mm，内径95mm。钢 索1和2互相平行，且设钢索1可作为相当于直径d=25mm的圆钢计 算。材料[σ]=60MPa，确定许可吊重。
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2.1、材料力学的基本概念
2.1.2 构件变形的基本形式
构件：杆件、板、壳。
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2.1、材料力学的基本概念
2.1.2 构件变形的基本形式
1、拉伸、压缩
2、弯曲
3、剪切
4、扭转
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材料力学中所研究的一切物体都是变形固体。
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2.1、材料力学的基本概念
2.1.1任务和研究对象
反映材料力学性能的主要指标：
强度性能：抵抗破坏的能力，用σs和σb表示 弹性性能：抵抗弹性变形的能力，用E表示
塑性性能：塑性变形的能力，用延伸率δ和截面收缩率ψ 表示。
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2.1、材料力学的基本概念
2.1.1任务和研究对象
材料的机械性能(或力学性能)—材料在外力作用下表现出来的性 能。如：弹性、 强度、韧性、硬度和塑性等。
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50 103 400 106
125MPa
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2.2.2、直杆受轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力变化
α—斜截面mk的外法线与杆轴x间夹角。逆时针为正。
Fx 0 N F
q F cos / A 0 cos x
P N max 28.1kN 3.35
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例2-7 悬臂起重机撑杆AB为中空钢管，外径105mm，内径95mm。钢 索1和2互相平行，且设钢索1可作为相当于直径d=25mm的圆钢计 算。材料[σ]=60MPa，确定许可吊重。
P Nmax 28.1kN 3.35
11
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2.2、拉伸和压缩
2.2.1、直杆受轴向拉伸或压缩时截面上的应力变化
σ=N/A=F/A 拉应力为正，压应力为负。（A为横截面积）
平均应力：pC
Q A
k点的应力:
p
lim
A0
pC
lim
A0
Q A
dQ dA
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2.2、拉伸和压缩
2.2.1、直杆受轴向拉伸或压缩时截面上的应力变化
l
l
横向应变ε'： ' 1 1
'
μ为横向应变系数或称为泊松比,因ε与ε'的符号总是相反，
所以又可写为：ε’=-με
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2.2、拉伸和压缩
2.2.4、直杆受轴向拉伸或压缩时的变形（应变） 二、横向应变
μ为横向应变 系数或称为泊松 比,它与弹性模 量E一样,表示材 料的力学性质的 一个弹性常数, 其数值有实验求
X 0 Y 0
T1 T2 Psin 300 N cos150 0 N sin150 P cos300 0
钢索2的拉力T2=P， N 3.35P
(a)
带入方程组解得： T1 1.74P
(b)
而撑杆AB允许的最大轴力为：
Nmax A 94.2kN
带入（a）式得AB杆相应的吊重为：
ΔL被称为绝对伸长或压缩，伸长时为正值，压缩为负值。
相对伸长（纵向应变、线应变）：
l
l
ε伸长时为正值，压缩为负值
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2.2、拉伸和压缩
2.2.4、直杆受轴向拉伸或压缩时的变形（应变） 一、纵向应变
平均应变： m
u x
线应变或应变：
lim u du
例2-3：受力情况如图，截面积A=5cm2。求：1、画轴力图； 2、求最大正应力σmax。
解：1、画轴力图
AB段： FX 0 S1 60kN
BC段： FX 0 S2 80 60 0
S2 20kN
CD段： S3 30kN
2、求最大正应力 max
max Smax / A 60 1000 / 5104 120MPa
截面法
F
0,
N
F
0, N
F
轴力，拉为正，压为负
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2.1.3 内力与截面法
截面法步骤
m
1、在需要求内力处假想用一横截面将构件 F
F
截开，分成两部分；
2、以任一部分为研究对象；
m
3、在截面上加上内力，以代替另一部分对 F
N
研究对象的作用
4、写出研究对象的平衡方程式，解出截面
N
F
上的内力。
例2-1。P28
轴力图：在选取的一个坐标系里，用纵坐标表示相应截面上的 轴力，横坐标表示相应截面所在的位置，便可用图形 表示杆件轴线的变化情况。这种图形称为轴力图。
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例2-2 画图示杆件轴力图。设 P P 100N ,Q Q 200N
5
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§2、拉伸与压缩
2.1、材料力学的基本概念
2.1.2 构件变形的基本形式
4、扭转
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§2、拉伸与压缩
2.1、材料力学的基本概念
2.1.3 内力与截面法
外力—构件以外物体对构件的作用力。如载荷、约束反力等。 内力—构件本身的某一部分与相邻部分之间相互作用的力。
x0 x
dx
γ为剪应变或角应变，用弧度
线应变ε由正应力σ决定 剪应变γ由剪应力τ决定。
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2.2、拉伸和压缩
2.2.4、直杆受轴向拉伸或压缩时的变形（应变） 二、横向应变
纵向伸长ΔL=L1-L时， 横向收缩Δα=α1-α
α杆变形后的横向尺寸
纵向应变ε：
l l1 l
P D 2 p 8.84kN