§5.2 平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●了解平面向量的基本定理及其意义； ● 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ● 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； ● 理解用坐标表示的平面向量共线的条件．重点难点：● 重点：平面向量基本定理与平面向量的坐标运算．● 难点：平面向量基本定理的理解与应用，向量的坐标表示的理解及运算的准确性．学习策略：● 学习本节要复习向量加法的运算法则和向量共线的性质和判定定理；要特别注意区分起点在原点的向量、起点不在原点的向量、相等的向量的坐标表示，只有起点在原点时，平面向量的坐标才与终点坐标相同．二、学习与应用（一）向量的加（减）法运算运算法则： 形法则、 形法则．运算律：（1）交换律：a b += ；（2）结合律：()a b c ++= ． （二）共线向量基本定理非零向量a 与向量b 共线的充要条件是当且仅当 ，使 ．知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
若有其它补充可填在右栏空白处。
详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5#254193“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
知识点一：平面向量基本定理如果12,e e是同一平面内两个的向量，那么对于这个平面内任一向量a，一对12,λλ，使a =，称为12,e e的线性组合．（1）其中12,e e叫做表示这一平面内所有向量的；（2）平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e的方向分解为两个向量的，并且这种分解是的．这说明如果1122a e eλλ=+且''1122a e eλλ=+，那么．（3）当基底12,e e是两个互相的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．要点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是对应的，在应用时，构成两个基底的向量是向量．知识点二：向量坐标与点坐标的关系当向量起点在原点时，定义向量坐标为坐标，即若A(x，y)，则OA--→=( ， )．要点诠释：当向量起点不在原点时，向量AB--→坐标为终点坐标起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB--→=( ， )．知识点三：平面向量的坐标运算OB OA-=(x，y)，则λ知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示设非零向量()()1122,,,a bx y x y==，则a→∥b→⇔(x1，y1)=λ(x2，y2)，即1..................1..................xy=⎧⎨=⎩，或 =0．要点诠释：若()()1122,,,a bx y x y==，则a→∥b→不能表示成1122x yx y=，因为分母有可能为．类型一：平面向量基本定理例1．P是△ABC内一点，且满足条件230APBPCP++=，设Q为CP延长线与AB的交点，令CP p=，用p表示CQ．思路点拨：这里选取BQ，QP两不共线向量为基底，运用化归思想，最终变成12xe ye+=形式求解．经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。
平面向量的基本定理及坐标表示课件
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)， (1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线． → → (2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb 且 A、B、C 三点共线，求 m 的值．
解析： (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)． a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵ka－b 与 a＋2b 共线， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0， 1 即 2k－4＋5＝0，得 k＝－ . 2
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
→ → (2)∵CA＝(－2，－4)，BC＝(1,1)， → → → → → ∴MN＝CN－CM＝－2BC－3CA ＝(－2，－2)－(－6，－12)＝(4,10)． 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， → → 则CM＝(x1－3，y1－2)，CN＝(x2－3，y2－2)， → → → → ∵CM＝3CA，CN＝－2BC， ∴(x1－3，y1－2)＝(－6，－12)．
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
→ → → → 1 解析： ∵2DC＝AB，∴2DC＝e2，∴DC＝ e2. 2 → → → → 又∵BC＝BA＋AD＋DC， → 1 1 ∴BC＝－e2＋e1＋2e2＝e1－2e2. → → → → 又由MN＝MA＋AB＋BN得 → 1→ → 1→ MN＝2DA＋AB＋2BC 1 3 1 1 ＝－ e1＋e2＋ e1－2e2＝ e2. 2 2 4
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
(x2－3，y2－2)＝(－2，－2)，
x1－3＝－6 x2－3＝－2 ∴ ， ， y1－2＝－12 y2－2＝－2 x1＝－3 x2＝1 ∴ ， ， y1＝－10 y2＝0
平面向量的基本定理及坐标表示 课件
d
a AB (4,5) (2,2) (2,3)
yj
a (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作
j
x a (x, y)
O
x叫做 a 在x轴上的坐标，
i xi
y叫做 a 在y轴上的坐标，
正交单位
基底
(1)向量
i ,
j
方向 与
(x,y)叫做向量的坐标表示.
x 轴y轴同向,且 i 1,0 j 0,1
i j 1, i 与j垂直
a （2）对于给定向量 ,必有一对实数（x,y）与它对应；
思考？ 在平面直角坐标系中：
点
(x, y)
？
向量
(x, y)
平面向量的正角分解及坐标表示.
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力
为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力
为F2，这三个力的方向分别如何？
三者有何相互关系？
物理背景:
F1
向量的
G
F2
正交分解
三.平面向量的正角分解及坐标表示.
y
a xi +y j
一、平面向量基本定理:
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
a 1e1 2e2
其中e1，e2 叫做表示这一平面内 所有向量的 一组基底 .
说明： 1、把不共线的非零向量 e1,e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底.
两个非零向量 a，b
B
b
AOB 叫做向量
O aA
a 和 b 的夹角．注意:同起点
夹角的范围：(0 180 ) B
a
ObB
0
a
平面向量基本定理及坐标表示
B.(2, 1) 2
D.(1,3)
解析 ∵A(0,2),B(-1,-2),C(3,1), ∴BC=(3,1)-(-1,-2)=(4,3). 设D（x，y),∵AD =(x,y-2)B,C =2AD , ∴(4,3)=(2x,2y-4).∴x=2,y=7 .
2
2.已知a=(4,2),b=(x,3),且a∥b，则x等于（B ）
2
8-2x= (16+x)
题型分类 深度剖析
题型一 平面对量基本定理 【例1】如图所示，在平行四边形ABCD中，
M，N分别为DC，BC旳中点，已知AM =c， AN =d，试用c，d表达AB ，AD .
思维启迪 直接用c、d表达AB、AD有难度，可换一 种角度，由 AB、AD表达 AM、AN ，进而解方程组可 求 AB、 A.D
(x-4)2+(y-1)2=1,
2分 4分 6分
8分
解得
x 4
5 5
或x 4
5 5
.
y
1
25 5
y
1
2
5
5
10分
d ( 20 5 , 5 2 5 )或d ( 20 5 , 5 2 5 ). 12分
5
5
5
5
探究提向升量平行旳坐标公式实质是把向量问题转 化为实数旳运算问题.经过坐标公式建立参数旳方 程，经过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程 思想在向量中旳应用.
知能迁移3 已知点O（0，0），A（1，2），B（4， 5）且 OP OA t AB, （1）求点P在第二象限时，实数t旳取值范围； （2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出 相应旳实数t;若不能，请阐明理由. 解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5）， ∴ OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则OP =（x，y），若点P在第 二象限， 则 x＜0 且(x,y)=(1,2)+t(3,3), y＞0
平面向量的基本定理及坐标运算
一、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2） 基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =．由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ，过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+，即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--，由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．E 2E 1e 2e 1O ANMae1e 2axyO O yxae 2e 1平面向量的基本定理及坐标运算（3）向量的直角坐标运算：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则 ①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==注：①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．（5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．题型一、平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 线段与互相平分，则可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【例3】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．AB CD BD AB CD -1122AB CD -+1()2AB CD -()AB CD --GFE DCBA【例5】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、OD【例6】 已知向量a ，b 不共线，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例7】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）A ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．()AB AD λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．()AB BC λ-，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 【例8】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += 【例9】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．【例10】证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．POE DCBAFEDCBAOCBA题型二、平面向量的坐标表示与运算【例11】设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为 ． 【例12】若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________． 【例13】设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ．()7,2【例14】已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ． 【例15】若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC = 【例16】若()3,2M -，()5,1N --且12MP =MN ，求P 点的坐标．【例17】已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果那么（ ）A ．且与同向B ．且与反向C ．且与同向D ．且与反向【例18】已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数的值是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【例19】在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥，已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C ，则D 点的坐标为___________．【例20】已知向量()3,1a =，()1,3b =，(),7c k =，若()a c -∥b ，则= ． 【例21】已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A ．14 B ．－14 C ．－13 D ．13【例22】已知(1,2),(3,2)a b ==-，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a -4b 平行？//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x k【例23】点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【练1】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +【练2】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【练3】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【练4】 若平面向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于轴，()21b =-，，则a = ．DCBAONMCBAx 随堂练习【题1】 若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = （ ）A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ．a +3b【题2】 已知a ＝（4，2），b ＝（x ，3），且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．9B ．6C ．5D ．3【题3】 已知平面向量a ＝（x ，1），b ＝（－x ，x 2），则向量a ＋b （ ）A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【题4】 已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足（3x －4y ）e 1＋（2x －3y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．2【题5】 已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为（ ）A ．－1B ．－12C ．12D ．1【题6】 设点A （2，0），B （4，2），若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，1)B ．（1，－1）C ．（3，1）或（1，－1)D ．无数多个【题7】 设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=．【题8】 已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），若（a ＋b ）∥c ，则m ＝________．【题9】 已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，－4）．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ．（1）求：3a ＋b －3c ；（2）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【题10】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13b C ．12a ＋14bD ．13a ＋23b课后作业。
平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2。
平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1），b＝（x2,y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1），｜a|＝错误!。
(2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标。
②设A（x1，y1）,B（x2,y2），则错误!＝(x2－x1,y2－y1）,|错误!｜＝错误!。
3。
平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1），b＝(x2,y2）,其中b≠0。
a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1。
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）(1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.（×）（2)在△ABC中，向量错误!，错误!的夹角为∠ABC.（×）(3）若a，b不共线,且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2，μ1＝μ2。
(√)(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.（√)（5)若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2),则a∥b的充要条件可表示成错误!＝错误!.（×) （6）已知向量a＝（1－sinθ，1），b＝(错误!，1＋sinθ），若a∥b，则θ等于45°。
(×) 2。
已知点A（6,2)，B（1，14），则与错误!共线的单位向量为________.答案(－错误!，错误!)或(错误!，－错误!）解析因为点A（6，2）,B（1，14）,所以错误!＝(－5,12），｜错误!｜＝13,与错误!共线的单位向量为±错误!＝±错误!（－5,12）＝±（－错误!，错误!）.3。
5.2 平面向量的基本定理及坐标表示
5．2 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使_______________________________．我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．2．向量的夹角(1)已知两个________向量a 和b ，作OA →＝a ， OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)．(2)向量夹角θ的范围是_______________．a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________．(3)如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________．3．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ．则实数对__________叫做向量a 的(直角)坐标，记作a ＝__________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a 相等的向量的坐标也为________．显然，i ＝__________， j ＝__________，0＝__________．4．平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝___________________________________________．(2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝___________________________________________．(3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝____________．(4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b的充要条件是____________________．自查自纠： 1．a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底2．(1)非零 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a ⊥b3．(1)互相垂直 (2)(x ，y ) (x ，y ) (x ，y ) (1，0) (0，1) (0，0)4．(1)(x 1±x 2，y 1±y 2) (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) (3)(λx ，λy ) (4)x 1y 2－x 2y 1＝0在△ABC 中，已知A (2，1)，B (0，2)，BC →＝(1，－2)，则向量AC →＝ ( )A ．(0，0)B ．(2，2)C ．(－1，－1)D ．(－3，－3) 解：因为A (2，1)，B (0，2)，所以AB →＝(－2，1)．又因为BC →＝(1，－2)，所以AC →＝AB →＋BC →＝(－2，1)＋(1，－2)＝(－1，－1)．故选C ．(2017·杭州模拟)已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是 ( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 1＋e 2解：因为4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，所以3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，又作为一组基底的两个向量一定不共线，所以它们不能作为一组基底．故选B ．(2018·北京朝阳高三一模)已知平面向量 a ＝(x ，1)，b ＝(2，x －1)且a ∥b ，则实数x 的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 解：由a ＝(x ，1)，b ＝(2，x －1)且a ∥b ，可以得到x (x －1)＝2，即(x －2)(x ＋1)＝0，所以x ＝－1或x ＝2．故选D ．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(－2，3)， b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________．解：由题意可得，－2×3＋3m ＝0，所以m ＝2．故填2．在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则实数λ＋μ＝________．解法一：因为AC →＝AB →＋BC →，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12BC →，BN →＝BC →＋CN →＝BC →－12AB →，所以由AC →＝λAM →＋μBN →有⎩⎨⎧1＝λ－12μ，1＝12λ＋μ，解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85． 解法二：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点，AB →方向为x 轴正方向，AD →方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则AC →＝(2，2)，AM →＝(2，1)，BN →＝(－1，2)．由AC →＝λAM →＋μBN →有⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，λ＋μ＝85．故填85．类型一 向量共线充要条件的坐标表示(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．解：由题可得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)，所以4λ－2＝0，即λ＝12．故填12．(2)已知平面向量a ＝(2m ＋1，3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |等于( )A ．1027B ．2 2C ．52D ．52或2 2解：根据题意a ∥b 知m (2m ＋1)－3×2＝0，解得m ＝－2或m ＝32．当m ＝32时，a ＝(4，3)，b ＝⎝⎛⎭⎫2，32，则a ＝2b ，此时两向量同向，与已知不符，故m ＝－2，此时b ＝(2，－2)，故|b |＝22．故选B ．点 拨：两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②a ∥b (a ≠0)，当且仅当唯一一个实数λ，使b ＝λa ．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．(1) (2017·郑州月考)已知向量a ＝ (1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角 θ＝________．解：由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，所以cos 2θ＝12，所以cos θ＝22或cos θ＝－22，又θ为锐角，所以θ＝45°．故填45°．(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)， OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 的取值范围是________．解：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，所以1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1． 故填{k |k ∈R ，且k ≠1}．类型二 平面向量基本定理及其应用(1)如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若 OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．解法一：以λOA →和μOB →为邻边作平行四边形OB 1CA 1，如图，则OC →＝OB 1→＋OA 1→．因为OA →与OB →的夹角为120°， OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°，在Rt △OB 1C 中，|OC →|＝23，所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，即λ＋μ＝6． 解法二：以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1，0)，C (23cos30°，23sin30°)，B (cos120°，sin120°)．即A (1，0)，C (3，3)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32．由OC →＝λOA →＋μOB →＝λ(1，0)＋μ⎝⎛⎭⎫－12，32＝⎝⎛⎭⎫λ－12μ，32μ，即⎝⎛⎭⎫λ－12μ，32μ＝(3，3)，得⎩⎨⎧λ－12μ＝3，32μ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧μ＝2，λ＝4， 即λ＋μ＝6．故填6．(2)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________．解：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则 AC →＝(2，－2)，AB →＝(1，2)，AD →＝(1，0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3．故填 －3．点 拨：应用平面向量基本定理应注意：①平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量；②选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来；③强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等；④在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．(1)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．解：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，且a ＋2b ≠0，所以存在唯一的实数μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0．因为a ，b 不平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝0，1－2μ＝0， 解得λ＝μ＝12．故填12．(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________．解：设i ，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，即－i －3j ＝(－λ＋6μ)i ＋(λ＋2μ)j ，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12．所以λμ＝4．故填4．类型三 求向量的坐标已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．解：因为在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，所以DC →＝2AB →．设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4，2)－(x ，y )＝(4－x ，2－y )， AB →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y )＝(2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2，4)．故填(2，4)．点 拨：平面向量坐标运算的技巧：①向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算；②解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解．已知三点A (a ，0)，B (0，b )，C (2，2)，其中a >0，b >0．(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值；(2)若A ，B ，C 三点共线，试求1a ＋1b 的值．解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA →＝BC →，即(a ，0)＝(2，2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2－b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2． 故a ＝2，b ＝2．(2)因为AB →＝(－a ，b )，BC →＝(2，2－b )， 由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →， 所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ， 因为a >0，b >0， 所以1a ＋1b ＝12．类型四 向量坐标的应用(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为 ( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3解法一：以点A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图(1)所示的平面直角坐标系，依题意得，A (0，0)，B (1，0)．因为AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以D ⎝⎛⎭⎫－12，32，且直线CD 的倾斜角为30°，所以直线CD 的方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎫x ＋12，即y ＝33(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x ＋2），x ＝1，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，所以点C 的坐标为(1，3)．因为点E 为边CD 上的动点，故可设E ⎝⎛⎭⎫t ，33（t ＋2），－12≤t ≤1，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫t ，33（t ＋2），BE →＝⎝⎛⎭⎫t －1，33（t ＋2），所以AE →·BE →＝t (t －1)＋⎣⎡⎦⎤33（t ＋2）2＝43⎝⎛⎭⎫t ＋182＋2116，所以当t ＝－18时，AE →·BE →取最小值，为2116．图(1) 图(2)解法二：易知DC ＝3，∠CAD ＝60°，设DE ＝x (0≤x ≤3)，则AE →·BE →＝(AD →＋DE →)·(BA →＋AD →＋DE →)＝1×1×cos60°＋12＋0＋x ×1×cos150°＋0＋x 2＝⎝⎛⎭⎫x －342＋2116≥2116．解法三：如图(2)，取AB 的中点F ，连接EF ，则AE →·BE →＝EA →·EB →＝(EF →＋F A →)·(EF →－F A →)＝EF →2－ F A →2＝EF →2－14．可知当且仅当|EF →|最小时AE →·BE →取最小值，分别过F ，B 作CD 的垂线，垂足分别为H ，G ，当点E 与H 重合时，EF 取到最小值，易知EF 为梯形DABG 的中位线，由已知得|BG |＝32，|AD |＝1，则|HF |＝|EF |＝12(|BG |＋|AD |)＝54．故AE →·BE →的最小值为2116．故选A ．点 拨：向量的坐标运算，往往能降低推理的难度，与向量相关的最值、范围问题，可优先考虑坐标运算．用向量法解决平面几何相关问题的步骤是：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如长度、距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系，从而解决问题．(2017·安徽联考)在边长为1的正△ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于 ( )A ．16B ．29C ．1318D ．13解法一：建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫0，32，D ⎝⎛⎭⎫－16，0，E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD →＝⎝⎛⎭⎫－16，－32，AE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32，AD →·AE →＝－16×16＋⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＝1318．解法二：取BC 中点O ，则AD →·AE →＝(AO →＋OD →)·(AO →＋OE →)＝AO →2－OE →2＝34－136＝1318．解法三：如图，|AB →|＝|AC →|＝1，〈AB →，AC →〉＝60°．因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →＝AB →·AC →－13AB →·BC →＋13BC →·AC →－19BC →2＝1×1×cos60°－13×1×1×cos120°＋13×1×1×cos60°－19＝12＋16＋16－19＝1318．故选C ．1．对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础．(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R ，e 1，e 2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸．(4)如果e 1，e 2是同一平面内的一组基底，且λ1e 1＋λ2e 2＝0(λ1，λ2∈R )，那么λ1＝λ2＝0．2．对两向量夹角的理解两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角．若起点不同，则应通过平移，使其起点相同．3．向量的坐标表示向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标．两个向量相等，当且仅当其坐标相同．4．向量坐标的应用向量具有代数和几何的双重特征，如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是 ( )A ．a ＝(1，2)，b ＝(0，0)B ．a ＝(1，－2)，b ＝(3，5)C ．a ＝(3，2)，b ＝(9，6)D ．a ＝⎝⎛⎭⎫－34，12， b ＝(3，－2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B ．2．设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝ ( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解：因为a ∥b ，所以2×6－4x ＝0，解得x ＝3．故选B ．3．(2017·抚州模拟)若向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，1)，c ＝(4，2)，则c ＝ ( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b解法一：设c ＝m a ＋n b ，则(4，2)＝(m －n ，m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝4，m ＋n ＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1， 所以c ＝3a －b ．解法二：代入验证法．对于A ，3a ＋b ＝3(1，1)＋(－1，1)＝(2，4)≠c ，故A 不正确；同理选项C 、D 也不正确；对于B ，3a －b ＝(4，2)＝c ，故B 正确．故选B ．4．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为 ( )A ．(－8，1)B ．⎝⎛⎭⎫－1，－32 C ．⎝⎛⎭⎫1，32 D ．(8，－1) 解：设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)， 而12MN →＝12(－8，1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32．所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－32．故选B ． 5．如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a ，b 如图，则向量a －b 可表示为 ( )A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解：由图易知a －b ＝－3e 2＋e 1＝e 1－3e 2．故选C ．6．(2018·浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3解：不妨设e ＝(1，0)，b ＝(x ，y )，则由b 2－4e ·b ＋3＝0⇒(x －2)2＋y 2＝1，再由a 与e 的夹角为π3可知，所求为如图两条射线上的点到圆上的点距离的最小值，即为2sin60°－1＝3－1．故选A ． 7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________． 解：若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则 2e 1－e 2＝k (e 1＋λe 2)＝k e 1＋λk e 2，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，λk ＝－1， 解得λ＝－12．故填－12．8．(2018·山东菏泽高三一模)已知在△ABC 中，D 为边BC 上的点，且BD ＝3DC ，点E 为AD 的中点，BE →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝________．解：BE →＝BD →＋DE →＝BD →－12AD →＝BD →－12(AB →＋BD →)＝12BD →－12AB →＝12×34BC →－12AB →＝38BC →－12AB →＝38(AC →－AB →)－12AB →＝－78AB →＋38AC →．又BE →＝mAB →＋nAC →，所以mAB →＋nAC →＝－78AB→＋38AC →．又因为AB →与AC →不共线，所以m ＝－78，n ＝38，所以m ＋n ＝－12．故填－12． 9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．求：(1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a ＝(1，0)，b ＝(2，1)， 所以a ＋3b ＝(7，3)，故|a ＋3b |＝72＋32＝58．(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7，3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13．此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝⎛⎭⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7，3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．10．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P在第三象限内？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由． 解：(1)依题意，得AB →＝(3，3)，所以OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )，即P (1＋3t ，2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13；若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＜0， 所以t ＜－23． (2)因为OA →＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )，若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2． 此方程无解．故四边形OABP 不可能成为平行四边形． 11．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．解：如图所示，令A (－1，0)，B (3，0)，C (1，－5)，D (x ，y )．(1)若四边形ABCD 1为平行四边形， 则AD 1→＝BC →，且AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →＝(－2，－5)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2，y ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5． 所以D 1(－3，－5)．(2)若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD 2→，且AB →＝(4，0)，CD 2→＝(x －1，y ＋5)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋5＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－5． 所以D 2(5，－5)．(3)若四边形ACBD 3为平行四边形，则AD 3→＝CB →，且AD 3→＝(x ＋1，y )，CB →＝(2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2，y ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5． 所以D 3(1，5)．综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1，5)．如图所示，在△ABC 中，点M 是AB的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用基底a ，b 表示向量AE →＝________．解：易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知，存在实数m ，满足AE →＝mAN →＋ (1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a ．由C ，E ，M 三点共线知存在实数n ，满足AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b ．所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b ．由于a ，b为基底，所以⎩⎨⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45． 所以AE →＝25a ＋15b ．故填25a ＋15b ．5．2 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使_______________________________．我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．2．向量的夹角(1)已知两个________向量a 和b ，作OA →＝a ， OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)．(2)向量夹角θ的范围是_______________．a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________．(3)如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________．3．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ．则实数对__________叫做向量a 的(直角)坐标，记作a ＝__________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a 相等的向量的坐标也为________．显然，i ＝__________， j ＝__________，0＝__________．4．平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝___________________________________________．(2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝___________________________________________．(3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝____________．(4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是____________________．自查自纠： 1．a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底2．(1)非零 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a ⊥b3．(1)互相垂直 (2)(x ，y ) (x ，y ) (x ，y ) (1，0) (0，1) (0，0)4．(1)(x 1±x 2，y 1±y 2) (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) (3)(λx ，λy ) (4)x 1y 2－x 2y 1＝0在△ABC 中，已知A (2，1)，B (0，2)，BC →＝(1，－2)，则向量AC →＝ ( )A ．(0，0)B ．(2，2)C ．(－1，－1)D ．(－3，－3) 解：因为A (2，1)，B (0，2)，所以AB →＝(－2，1)．又因为BC →＝(1，－2)，所以AC →＝AB →＋BC →＝(－2，1)＋(1，－2)＝(－1，－1)．故选C ．(2017·杭州模拟)已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是 ( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 1＋e 2解：因为4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，所以3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，又作为一组基底的两个向量一定不共线，所以它们不能作为一组基底．故选B ．(2018·北京朝阳高三一模)已知平面向量 a ＝(x ，1)，b ＝(2，x －1)且a ∥b ，则实数x 的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 解：由a ＝(x ，1)，b ＝(2，x －1)且a ∥b ，可以得到x (x －1)＝2，即(x －2)(x ＋1)＝0，所以x ＝－1或x ＝2．故选D ．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________．解：由题意可得，－2×3＋3m ＝0，所以m ＝2．故填2．在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则实数λ＋μ＝________．解法一：因为AC →＝AB →＋BC →，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12BC →，BN →＝BC →＋CN →＝BC →－12AB →，所以由AC →＝λAM →＋μBN →有⎩⎨⎧1＝λ－12μ，1＝12λ＋μ，解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85． 解法二：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点，AB →方向为x 轴正方向，AD →方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则AC →＝(2，2)，AM →＝(2，1)，BN →＝(－1，2)．由AC →＝λAM →＋μBN →有⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，λ＋μ＝85．故填85．类型一 向量共线充要条件的坐标表示(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．解：由题可得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)，所以4λ－2＝0，即λ＝12．故填12．(2)已知平面向量a ＝(2m ＋1，3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |等于( )A ．1027B ．2 2C ．52D ．52或2 2解：根据题意a ∥b 知m (2m ＋1)－3×2＝0，解得m ＝－2或m ＝32．当m ＝32时，a ＝(4，3)，b ＝⎝⎛⎭⎫2，32，则a ＝2b ，此时两向量同向，与已知不符，故m ＝－2，此时b ＝(2，－2)，故|b |＝22．故选B ．点 拨：两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②a ∥b (a ≠0)，当且仅当唯一一个实数λ，使b ＝λa ．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．(1) (2017·郑州月考)已知向量a ＝ (1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角 θ＝________．解：由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，所以cos 2θ＝12，所以cos θ＝22或cos θ＝－22，又θ为锐角，所以θ＝45°．故填45°．(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)， OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 的取值范围是________．解：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，所以1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1． 故填{k |k ∈R ，且k ≠1}．类型二 平面向量基本定理及其应用(1)如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若 OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．解法一：以λOA →和μOB →为邻边作平行四边形OB 1CA 1，如图，则OC →＝OB 1→＋OA 1→．因为OA →与OB →的夹角为120°， OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°，在Rt △OB 1C 中，|OC →|＝23，所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，即λ＋μ＝6． 解法二：以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1，0)，C (23cos30°，23sin30°)，B (cos120°，sin120°)．即A (1，0)，C (3，3)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32．由OC →＝λOA →＋μOB →＝λ(1，0)＋μ⎝⎛⎭⎫－12，32＝⎝⎛⎭⎫λ－12μ，32μ，即⎝⎛⎭⎫λ－12μ，32μ＝(3，3)，得⎩⎨⎧λ－12μ＝3，32μ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧μ＝2，λ＝4， 即λ＋μ＝6．故填6．(2)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________．解：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则 AC →＝(2，－2)，AB →＝(1，2)，AD →＝(1，0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3．故填 －3．点 拨：应用平面向量基本定理应注意：①平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量；②选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来；③强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等；④在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．(1)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．解：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，且a ＋2b ≠0，所以存在唯一的实数μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0．因为a ，b 不平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝0，1－2μ＝0， 解得λ＝μ＝12．故填12．(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________．解：设i ，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，即－i －3j ＝(－λ＋6μ)i ＋(λ＋2μ)j ，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12．所以λμ＝4．故填4．类型三 求向量的坐标已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．解：因为在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，所以DC →＝2AB →．设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4，2)－(x ，y )＝(4－x ，2－y )， AB →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y )＝(2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2，4)．故填(2，4)．点 拨：平面向量坐标运算的技巧：①向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算；②解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解．已知三点A (a ，0)，B (0，b )，C (2，2)，其中a >0，b >0．(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值；(2)若A ，B ，C 三点共线，试求1a ＋1b 的值．解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA →＝BC →，即(a ，0)＝(2，2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2－b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2． 故a ＝2，b ＝2．(2)因为AB →＝(－a ，b )，BC →＝(2，2－b )， 由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →， 所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ， 因为a >0，b >0， 所以1a ＋1b ＝12．类型四 向量坐标的应用(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为 ( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3解法一：以点A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图(1)所示的平面直角坐标系，依题意得，A (0，0)，B (1，0)．因为AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以D ⎝⎛⎭⎫－12，32，且直线CD 的倾斜角为30°，所以直线CD 的方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎫x ＋12，即y ＝33(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x ＋2），x ＝1，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，所以点C 的坐标为(1，3)．因为点E 为边CD 上的动点，故可设E ⎝⎛⎭⎫t ，33（t ＋2），－12≤t ≤1，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫t ，33（t ＋2），BE →＝⎝⎛⎭⎫t －1，33（t ＋2），所以AE →·BE →＝t (t －1)＋⎣⎡⎦⎤33（t ＋2）2＝43⎝⎛⎭⎫t ＋182＋2116，所以当t ＝－18时，AE →·BE →取最小值，为2116．图(1) 图(2)解法二：易知DC ＝3，∠CAD ＝60°，设DE ＝x (0≤x ≤3)，则AE →·BE →＝(AD →＋DE →)·(BA →＋AD →＋DE →)＝1×1×cos60°＋12＋0＋x ×1×cos150°＋0＋x 2＝⎝⎛⎭⎫x －342＋2116≥2116．解法三：如图(2)，取AB 的中点F ，连接EF ，则AE →·BE →＝EA →·EB →＝(EF →＋F A →)·(EF →－F A →)＝EF →2－ F A →2＝EF →2－14．可知当且仅当|EF →|最小时AE →·BE →取最小值，分别过F ，B 作CD 的垂线，垂足分别为H ，G ，当点E 与H 重合时，EF 取到最小值，易知EF 为梯形DABG 的中位线，由已知得|BG |＝32，|AD |＝1，则|HF |＝|EF |＝12(|BG |＋|AD |)＝54．故AE →·BE →的最小值为2116．故选A ．点 拨：向量的坐标运算，往往能降低推理的难度，与向量相关的最值、范围问题，可优先考虑坐标运算．用向量法解决平面几何相关问题的步骤是：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如长度、距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系，从而解决问题．(2017·安徽联考)在边长为1的正△ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于 ( )A ．16B ．29C ．1318D ．13解法一：建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫0，32，D ⎝⎛⎭⎫－16，0，E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD →＝⎝⎛⎭⎫－16，－32，AE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32，AD →·AE →＝－16×16＋⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＝1318．解法二：取BC 中点O ，则AD →·AE →＝(AO →＋OD →)·(AO →＋OE →)＝AO →2－OE →2＝34－136＝1318．解法三：如图，|AB →|＝|AC →|＝1，〈AB →，AC →〉＝60°．因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →＝AB →·AC →－13AB →·BC →＋13BC →·AC →－19BC →2＝1×1×cos60°－13×1×1×cos120°＋13×1×1×cos60°－19＝12＋16＋16－19＝1318．故选C ．1．对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础．(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R ，e 1，e 2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸．(4)如果e 1，e 2是同一平面内的一组基底，且λ1e 1＋λ2e 2＝0(λ1，λ2∈R )，那么λ1＝λ2＝0．2．对两向量夹角的理解两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角．若起点不同，则应通过平移，使其起点相同．3．向量的坐标表示向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标．两个向量相等，当且仅当其坐标相同．4．向量坐标的应用向量具有代数和几何的双重特征，如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是 ( )A ．a ＝(1，2)，b ＝(0，0)B ．a ＝(1，－2)，b ＝(3，5)C ．a ＝(3，2)，b ＝(9，6)D ．a ＝⎝⎛⎭⎫－34，12， b ＝(3，－2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B ．2．设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝ ( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解：因为a ∥b ，所以2×6－4x ＝0，解得x ＝3．故选B ．3．(2017·抚州模拟)若向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，1)，c ＝(4，2)，则c ＝ ( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b解法一：设c ＝m a ＋n b ，则(4，2)＝(m －n ，m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝4，m ＋n ＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1， 所以c ＝3a －b ．解法二：代入验证法．对于A ，3a ＋b ＝3(1，1)＋(－1，1)＝(2，4)≠c ，故A 不正确；同理选项C 、D 也不正确；对于B ，3a －b ＝(4，2)＝c ，故B 正确．故选B ．4．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为 ( )A ．(－8，1)B ．⎝⎛⎭⎫－1，－32 C ．⎝⎛⎭⎫1，32 D ．(8，－1) 解：设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)， 而12MN →＝12(－8，1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32．所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－32．故选B ． 5．如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a ，b 如图，则向量a －b 可表示为 ( )A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解：由图易知a －b ＝－3e 2＋e 1＝e 1－3e 2．故选C ．6．(2018·浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3解：不妨设e ＝(1，0)，b ＝(x ，y )，则由b 2－4e ·b ＋3＝0⇒(x －2)2＋y 2＝1，再由a 与e 的夹角为π3可知，所求为如图两条射线上的点到圆上的点距离的最小值，即为2sin60°－1＝3－1．故选A ． 7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________． 解：若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则 2e 1－e 2＝k (e 1＋λe 2)＝k e 1＋λk e 2，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，λk ＝－1， 解得λ＝－12．故填－12．8．(2018·山东菏泽高三一模)已知在△ABC 中，D 为边BC 上的点，且BD ＝3DC ，点E 为AD 的中点，BE →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝________．解：BE →＝BD →＋DE →＝BD →－12AD →＝BD →－12(AB →＋BD →)＝12BD →－12AB →＝12×34BC →－12AB →＝38BC →－12AB →＝38(AC →－AB →)－12AB →＝－78AB →＋38AC →．又BE →＝mAB →＋nAC →，所以mAB →＋nAC →＝－78AB→＋38AC →．又因为AB →与AC →不共线，所以m ＝－78，n ＝38，所以m ＋n ＝－12．故填－12． 9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．求：(1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a ＝(1，0)，b ＝(2，1)， 所以a ＋3b ＝(7，3)，故|a ＋3b |＝72＋32＝58．(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7，3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13．此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝⎛⎭⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7，3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．10．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P在第三象限内？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由． 解：(1)依题意，得AB →＝(3，3)，所以OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )，即P (1＋3t ，2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13；若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＜0， 所以t ＜－23． (2)因为OA →＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )，若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2． 此方程无解．故四边形OABP 不可能成为平行四边形． 11．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．解：如图所示，令A (－1，0)，B (3，0)，C (1，－5)，D (x ，y )．(1)若四边形ABCD 1为平行四边形， 则AD 1→＝BC →，且AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →＝(－2，－5)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2，y ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5． 所以D 1(－3，－5)．(2)若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD 2→，且AB →＝(4，0)，CD 2→＝(x －1，y ＋5)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋5＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－5． 所以D 2(5，－5)．(3)若四边形ACBD 3为平行四边形，则AD 3→＝CB →，且AD 3→＝(x ＋1，y )，CB →＝(2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2，y ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5． 所以D 3(1，5)．综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1，5)．如图所示，在△ABC 中，点M 是AB的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用基底a ，b 表示向量AE →＝________．解：易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知，存在实数m ，满足AE →＝mAN →＋ (1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a ．由C ，E ，M 三点共线知存在实数n ，满足AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b ．所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b ．由于a ，b为基底，所以⎩⎨⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45． 所以AE →＝25a ＋15b ．故填25a ＋15b ．。
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量是我们在高中数学学习中接触到的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有着重要的作用。
平面向量本质上是有大小和方向的量，它可以用箭头表示出来，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
而平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，下面我就来详细介绍一下。
一、平面向量的基本定理1. 平行向量的概念两个向量如果它们的方向相同或者相反，那么我们称这两个向量为平行向量。
平行向量的特点是它们的模相等，方向相同或者相反。
2. 向量的加法如果有两个向量a和b，它们的起点相同，那么我们可以通过平行四边形法则将这两个向量相加，即将向量b平移至向量a的终点，然后连接向量a的起点和向量b的终点，这条连接线就是向量a+b的结果。
3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的特殊乘积。
设有两个向量a和b，它们之间夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示一个向量。
设有一个向量a，它在平面直角坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x,y)，那么我们可以用坐标(x,y)表示向量a。
在平面直角坐标系中，向量a与坐标轴之间的夹角为θ，那么向量a的方向角为θ。
根据三角函数的定义，我们有cosθ=x/|a|，sinθ=y/|a|，tanθ=y/x，这三个公式可以帮助我们求解向量的方向角。
对于向量的数量积和叉积，我们也可以通过向量的坐标表示来进行计算。
设向量a在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x1,y1)，向量b在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为B(x2,y2)，那么向量a和向量b 的数量积为x1x2+y1y2，向量a和向量b的叉积为x1y2-x2y1。
平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，通过深入理解这些知识点，我们可以更好地解决平面向量的相关问题，为我们的数学学习打下坚实的基础。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
主页
→ → 【例 2】已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b， → → → CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b， (1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； → (3)求 M、N 的坐标及向量MN的坐标．
题 型二
向量坐标的基本运算
(2)平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直 把一个向量分解为两个________的向量，叫做
把向量正交分解．
主页
要点梳理
忆一忆知识要点
(3) 平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中，分别取与 x轴、 y轴方向相 同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y， 使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一 ( x, y) 确定，把有序数对 _______ 叫做向量 a 的坐标，记作 a ＝ x y ( x, y) ________ 其中 ____ 叫做 a 在 x 轴上的坐标， ____ 叫做 a 在 y 轴上的坐标． 终点A ②设 O A＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x,y)就是_______
4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1, y1), b=(x2, y2),其中b≠0, x1 y2 x2 y1 0 则a//b⇔a=_____⇔_______________. b
主页
基础自测
题号 答案
1 2 3
(7, 3) (－3，－5) 0 C B
主页
4
5
题 型一
平面向量基本定理的应用
主页
→ → → → → → → → → (3)设 O 为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， (3)设 O 为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， O 为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， (3)设 → → → → → ＝3c＋OC＝(3, 24)＋(－3，－4)＝(0, 20)． → ＝(3, 24)＋(－3，－4)＝(0, 20)． ∴OM＝3c＋OC＝(3, 24)＋(－3，－4)＝(0, 20)． ∴OM ∴OM ＝3c＋OC → → → → → → → → → ＝ON－OC＝－2b， ∴M(0, 20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b， ∴M(0, 20)．又∵CN ∴M(0, 20)．又∵CN ＝ON－OC＝－2b， → → → → → → ∴ON＝－2b＋OC＝(12, 6)＋(－3，－4)＝(9, 2)， ∴ON＝－2b＋OC＝(12, 6)＋(－3，－4)＝(9, 2)， ∴ON＝－2b＋OC＝(12, 6)＋(－3，－4)＝(9, 2)， → → → ＝(9，－18)． ∴N(9, 2)．∴MN＝(9，－18)． ∴N(9, 2)．∴MN ∴N(9, 2)．∴MN ＝(9，－18)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， －6m＋n＝5， m＝－1， －6m＋n＝5， －6m＋n＝5， m＝－1， m＝－1， ∴ 解得 ∴ －3m＋8n＝－5， 解得 n＝－1. ∴ 解得 －3m＋8n＝－5， n＝－1. －3m＋8n＝－5， n＝－1.
→ → t＝t1满足什么条件时, O, A,＋3t2,能组成一个平行四边形. (1)解:OP , t (1, 2)＋t → ＝t (3)试求当 (1, 2)＋t (3, 3)＝(t1＋3t 2tP 2t )， (1)解:OP→ 11(1,2 2)＋t2(3, 2(3, 3)＝(t12,B, 1＋3t12＋3t2)， (1)解:OP→＝t (1, 2)＋t (3, 3)＝(t＋3t2, 2t1＋3t2)， ＝t1 3)＝(t1 2 → (1)解:OP ＝t1 (1, 2)＋t2 (3, 3)＝(t1＋3t2, 2tt ＋3t2)， 11 (1)解:OP 1 (1)解:OP＝t1(1, 2)＋t2(3, 3)＝(t＋3t＋3t＋3t2)， 2 1 1＋3t2, 2t＋3t22)， 2, 2t1 <0 t1＋3t21＋3t <0 1 2<0 t P 在第二象限的充要条件是 2<0 有解． tt1＋3t 2<0 有解． P 在第二象限的充要条件是 1 2<0 ＋3t P 在第二象限的充要条件是 t＋3t1＋3t2>0 有解． 2t P 在第二象限的充要条件是 2t1 ＋3t2>0 有解． 1＋3t2>0 有解． 2t P 在第二象限的充要条件是2t1＋3t2>0 P 在第二象限的充要条件是 1 有解． 2t1＋3t2>0 3 33 3t <tt2<t1<－3t2 且 t2<0. 2t1＋3t2>0 ∴－ <－3t ∴－ 2<t1<－3t2 且 t2<0. ∴－2t23t2<t1<－3t且 t2t<0. 2 ∴－ 3t21 <－3t2 且 t2<0. 2 ∴－2 t22<t11<－3t2且 2<0. 2 且 t2<0. ∴－2 <t 2 → →→ → → → → －OA＝t → 2 → → (2)证明:当1＝1 时，有OP－OA＝t2＝t， t1 时，有OP→ →→ 2AB， (2)证明:当 t1＝1＝1 时，有OP－OA→→AB， → → → (2)证明:当 t1＝1 时，有OP－OA＝t2AB， (2)证明:当 tt ＝1 时，有OP－OA＝t AB ， (2)证明:当 11＝1 时，有OP－OA＝t2AB， 2AB (2)证明:当 t→ → → →→ → → → ＝t2＝t ， ∴AP→＝t2AB，， ∴AP2AB2AB ∴AP ＝t AB， ∴AP＝t AB→ ， → 2→ ∴AP ＝t AB， ∴AP 2 ∴不论 t2 tt2 为何实数，A，B，P 三点共线． ∴不论 为何实数，A，B，P 三点共线． ∴不论 为何实数，A，B，P 三点共线． ∴不论 t2 为何实数，A，B，P 三点共线． ∴不论 t2 为何实数，A，B，P 三点共线．
(3) 当 90时， b垂直, a与 记作a b.
B
b
a
O
主页
A
要点梳理
忆一忆知识要点
2.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量,那
么该平面内任一向量a，存在唯一一对实数λ1, λ2 使a
＝ 1e1 2e，把不共线向量e1，e2叫作表示这一平 2 基底 {e1 , e2 } 面内所有向量的一组_____，记为________．
(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标
②设A(x1, y1), B(x2, y2), 则
2 2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) . | AB | __________________ ( x2 x1 , y2 y1 ) AB ______________,
② ② ②
a )]
1 ) 2 (2d c ) b c ( 2 3 2 ( 2 d c ), A D AB 3
2 ( 2 c d ). 3 2 ( 2 c d ). 3
主页
方法二 方法二 → → 方法二 题 型 一 方法二 ＝a，AD＝b. 平面向量基本定理的应用 解:设AB 方法二 → → 方法二 ＝a，AD＝b. → 解:设AB ＝a，AD＝b. → →→ → 解:设AB＝a，AD＝b. → M，N 分别为 CD，BC 的中点， 解:设AB 因→ → 设AB＝a，AD＝b. 解:设AB＝a，AD＝b. 1 因 M，N 分别为 CD，BC 的中点， 1 → 分别为 → 因 M，N 分别为 CD，BC 的中点， 因 M，N 分别为 CD，BC 的中点， 所以BN＝ 1b，DM＝ 1a， 的中点， 因 M，N 2 → 分别为 CD，BC 的中点， →CD，BC 1b，DM＝2 a， 因 M，N 1 → → 1 所以BN＝ 1b，DM＝1a， → ＝2 → 1 所以BN＝ b，DM＝2 a， → → 所以BN 2 1 → 2 → 2 所以BN＝1 b，DM＝1 a， 2 2 所以BN＝ 2b，DM＝ 2a， 22d－c c＝b＋ 1a 2 2 2 a＝3 1 1a 22d－c c＝b＋ 1a a＝ 22d－c 2 因而 c＝b＋2 a ⇒ a＝3 2d－c ， c＝b＋1 a a＝2 2d－c 2 3 c＝b＋2 a＝3 因而 d＝a＋1b ⇒ b＝232d－c ， 2 因而 因而 c＝b＋2 a ⇒ a＝32c－d ， ⇒ ， 1 2 2 2 因而 d＝a＋ 1b ⇒ b＝ 32c－d ， ⇒ 1b 22c－d ， 因而 d＝a＋2 b b＝ 2 1 d＝a＋1 2b → b＝3 2c－d 3 d＝a＋2 b＝22c－d 2 2 32c－d → d＝a＋ 2b b＝ 3 即AB＝ 2(2d－c)，AD＝ 2(2c－d)． 2 → 3 → 3 3 → 2 → 2 2 即AB＝ 2(2d－c)，AD＝ 2(2c－d)． → ＝3 (2d－c)，AD＝3 (2c－d)． → 即AB＝ (2d－c)，AD＝2(2c－d)． → 2 → 2 即AB＝3(2d－c)，AD＝3(2c－d)． 探究提高 → → 3 即AB 3 即AB＝ 3(2d－c)，AD＝ 3(2c－d)． 利用基底表示未知向量，实质就是利用向量 3 3 的加、减法及数乘进行线性运算．
解: 由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1, 8)． 解: 由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1, 8)． 解: 由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1, 8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1, 8) (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1, 8) (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1, 8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．