辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2016年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试数学（理科）试卷 2016.4.22参考学校：东北育才 大连八中等第I 卷(选择题 60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题的选项中只有一项是正确的． 1.已知集合{|33},{|(4)0}A x x B x x x =-<<=-<，则A B = A ．(0,3) B ．(3,4)- C ．(0,4) D ．()3,42.设i 是虚数单位，若复数()11ia a R i++∈-是纯虚数，则a = A.2- B.1- C. 0 D.1 3.在等差数列}{n a 中，已知,13,2321=+=a a a 则=++654a a aA.40B.42C.43D.45 4.在△ABC 中，∠C=90°，)1,(k BA =,)3,2(=BC ,则k 的值是 A.5 B.－5 C.32 D.32- 5.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据),(),,(),,(),,(),,(5544332211y x y x y x y x y x . 根据收集到的数据可知20=x ，由最小二乘法求得回归直线方程为486.0ˆ+=x y，则=++++54321y y y y y A.60 B.120 C.150 D.3006.已知点)31,(a 在幂函数bx a a x f )106()(2+-=的图象上,则函数)(x f 是A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数7.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为A B C D 8.已知ABC ∆为锐角三角形，命题p ：不等式0sin cos log cos >B AC 恒成立， 命题q ：不等式0cos cos log cos >BAC 恒成立. 则复合命题p q p q p ⌝∧∨、、中，真命题的个数为A.1B.2C.3D.49.设实数,x y 满足不等式组00152x y y x y x≥⎧⎪≥⎪⎨≥-⎪⎪≤-⎩，(2,1)是目标函数z ax y =-+取最大值的唯一最优解，则实数a 的取值范围是A.(0,1)B.(]0,1C.(,2)-∞-D.(,2]-∞-10.已知点A 为抛物线y x 4:C 2=上的动点（不含原点），过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则ABF ∠为A.锐角B.直角C.钝角D.不确定11.2016年某高校艺术类考试中，共有6位选手参加，其中3位女生，3位男生，现这六名考生依次出场进行才艺展出，如果3位男生中任何两人都不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么这六名考生出场顺序的排法种数为A.108B.120C.132D.144 12.已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=0,20,)(2x x x x x x f ，若方程041)()(2=++x bf x f 有六个相异实根，则实数b 的取值范围A.），02(-B.），（1-2-C. ），（045- D.）1-,45-(第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题 ~ 第21题为必考题，每 个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.在()n a b +的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128， 则二项式系数的最大值为 .14.在右图的算法中，如果输入2016=A ，98=B ，则输出的结 果是 .15.已知0)3(>-a a ，那么aa -+391的最小值是 . 16.三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积等于 .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）yxP NM O在公比为2的等比数列{}n a 中，2a 与5a 的等差中项是93. （Ⅰ）求1a 的值； （Ⅱ）若函数)4sin(1ϕπ+=x a y ，πϕ<<0，的一部分图象如图所示，),1(1a M -，),3(1a N -为图象上的两点，设θ=∠MON ，其中O 为坐标原点，0θπ<<，求)cos(ϕθ-的值.18．（本小题满分12分）甲、乙两所学校高三年级分别有600人，500人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区五校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校： 分组 [70,80） [80,90） [90,100） [100,110） 频数 34714 分组 [110,120） [120,130） [130,140） [140,150] 频数 17x42乙校： 分组 [70,80） [80,90） [90,100） [100,110） 频数 1289 分组 [110,120） [120,130） [130,140） [140,150] 频数1010y4 （Ⅰ）计算x ，y 的值；（Ⅱ）若规定考试成绩在[120, 150]内为优秀，由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异; （III ）若规定考试成绩在[120, 150]内为优秀，现从已抽取的110人中抽取两人，要求每校抽1人，所抽的两人中有人优秀的条件下，求乙校被抽到的同学不是优秀的概率.参考公式：))()()(()(22b d dc c a b a bc ad n K ++++-=．其中d c b a n +++=．临界值表19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AC AB ⊥，AD DC ⊥，60DAC ∠=，2PA AC ==，1AB =. (Ⅰ)求二面角A PB C --的余弦值.(Ⅱ)在线段P C 上是否存在一点E ，使得PB DE ⊥，若存在， 求线段CE 的长度，不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）椭圆221:12x C y +=，椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>的甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计P （K 2≥k 0） 0．10 0．05 0．010k 02．706 3．841 6．635一个焦点坐标为(50),，斜率为1的直线l 与椭圆2C 相交 于A B ，两点，线段AB 的中点H 的坐标为(21)-,． （Ⅰ）求椭圆2C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆2C 上一点，点M N ,在椭圆1C 上，且ON OM OP 2+=，则直线OM 与直线ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 21.（本小题满分12分） 已知函数()()ln 1x f x x+=. (Ⅰ) 判断)(x f 在），（∞+0的单调性； (Ⅱ) 若0x >,证明:2)1ln()1(x x e x >+-.请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22.（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲如图，PB PA 、切⊙O 于C A 、,PBD 为⊙O 的割线. (Ⅰ)求证：DC AB BC AD ⋅=⋅；(Ⅱ)已知3,2==PA PB ，求ABC S ∆与ACD S ∆的比值. 23.（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知⊙O 的方程422=+y x ，直线4:=x l ,在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点作射线交⊙O 于A ，交直线l 于B . (Ⅰ)写出⊙O 及直线l 的极坐标方程；(Ⅱ)设AB 中点为M ，求动点M 的轨迹方程. 24．（本小题满分10分）选修4 - 5：不等式选讲不等式121|41|≤-x 的解集为}|{m x n x ≤≤ (Ⅰ)求实数;,n m(Ⅱ)若实数b a ,满足:n b a m b a <-<+|2|,||求证: 185||<b .数学（理）答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题的选项中只有一项是正确的． 1.B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.A 7.C 8.A 9.C 10.B 11.C 12.D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 13.70 14.14 15.316 16.π332三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（Ⅰ） 解：由题可知25183a a +=，又528a a = ---------2分故223a = ∴13a = ----------4分（Ⅱ）∵点),1(1a M -在函数)4sin(1ϕπ+=x a y 的图象上，∴1)4sin(=+-ϕπ，又∵πϕ<<0，∴34φπ= -------------6分如图，连接MN ，在MPN ∆中，由余弦定理得222412283cos 2283PM PN MNPM PNθ+-+-===-又∵πθ<<0 ∴ 56θπ= -------------9分∴ 42643sin 65sin 43cos 65cos )4365cos()cos(+=+=-=-ππππππϕθ-------12分 18解：（Ⅰ） 从甲校抽取110×600600+500＝60（人），从乙校抽取110×600600+500＝50（人），故x＝9，y ＝6． ---------2分（Ⅱ）表格填写如下，K 2＝211015302045)60503575⨯⨯-⨯⨯⨯⨯（≈2．829>2．706，故有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异． ---------8分（III ）设两班各取一人，有人及格为事件A ，乙班学及格为事件B ，根据条件概率，则所求事件的概率113))()|(==A PB A P A B P （ ---------12分19.解：(Ⅰ) 如图，以,,AB AC AP 分别为,,x y z 轴的正半轴方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),P A (1,0,0),B 31(0,2,0),(,,0)22C D -． - --------2分易知(0,2,0)AC =是平面PAB 的法向量， ---------3分(0,2,2),(1,0,2)PC PB =-=-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则 0,0n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．220,20y z x z -=⎧∴⎨-=⎩，取1z =，得(2,1,1)n =． - --------5分甲校 乙校 总计 优秀 15 20 35非优秀 45 30 75总计 60 50 110 Fz yxEDCBPA6cos ,6n AC n AC n AC⋅∴==⋅， 则二面角A PB C --的余弦值为66． ---------7分 (Ⅱ)过E 作EF AC ⊥于F ，由已知，得EF ∥PA ，设EF h =，则(0,2,)E h h -． ---------9分33(,,),(1,0,2)22DE h h PB ∴=-=-． DE PB ⊥，3202DE PB h ∴⋅=-=，34h =， ---------11分624CE h ∴==． - --------12分 20.解:（Ⅰ）设()()()A A B B H H A x y B x y H x y ,,,,,，则2222222211A AB B x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，∴2222A B A B H A B A B H y y x x x b b x x a y y a y -+=-⋅=-⋅-+， ---------2分 又l 的斜率为1，H 的坐标为(21)-,，∴22211b a =-⋅-，即222a b =，又225a b -=，∴22510b a ==,， ---------4分∴222:1105x y C +=． ---------5分（Ⅱ）设001122()()()P x y M x y N x y ,,,,,，则 ∵ON OM OP 2+=，∴01201222.x x x y y y =+⎧⎨=+⎩,---------7分又2200210x y +=,∴221212(2)2(2)10x x y y +++=， 即22221122121224(2)4810x y x y x x y y +++++=， ---------9分 又222211222222x y x y +=+=，， ∴1212104810x x y y ++=，即121220x x y y +=，∴121212OM ON y y k k x x ==-． ---------12分 21.解：(Ⅰ)函数()f x 的定义域是()()1,00,-+∞, ---------1分对()f x 求导得()()2ln 11xx x f x x-++'=, ---------2分 令()()ln 11xg x x x =-++,只需证:0x >时,()0g x ≤. 又()()()22110111xg x x x x '=-=-<+++---------3分 故()g x 是()0,+∞上的减函数,所以()()0ln10g x g <=-=---------4分所以()0f x '<,函数()f x 是()0,+∞上的减函数. ---------5分(Ⅲ)将不等式2)1ln()1(x x e x >+-等价为1)1ln(->+x e xx x ---------6分因为()ln e 11ln e e 1e 1e 1xx x x x x -+==---, 故原不等式等价于()()ln e 11ln 1e 1xxx x -++>-, ---------8分 由(Ⅰ)知,当1a =-时,()()ln 1x f x x+=是()0,+∞上的减函数，故要证原不等式成立,只需证明:当0x >时,e 1xx <-,令()e 1x h x x =--,则()e 10xh x '=->,()h x 是()0,+∞上的增函数,所以()()00h x h >=,即e 1xx <-,故()()1e xf x f >-,即()()ln e 11ln 1e 1e 1xx x x x x -++>=-----------12分22.解:(Ⅰ)PA 分别为⊙O 的切线,由弦切角定理,得ADBPAB ∠=∠ 又APB ∠为PAB ∆与PAD ∆的公共角PAB ∆∴∽PDA ∆ADAB PA PB =∴,同理CD BC PC PB = 又AC PA =,ADBCAD AB =∴ 即DC AB BC AD ⋅=⋅ -------5分(Ⅱ)由圆的内接四边形的性质,得π=∠+∠ADC ABC ,A O ∙BCD PDC AD BC AB ADC DC AD ABCBC AB S S ADCABC ⋅⋅=∠⋅∠⋅=∆∆sin 21sin 21由(Ⅰ)得, 942222===∆∆PBPA AD AB S S ADC ABC . -------10分 23.解: (Ⅰ)⊙O 的极坐标为2=ρ,直线l 的极坐标方程为4cos =θρ. -------5分(Ⅱ)设),(θρM ,),(),,(21θρθρB A ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=4cos 222121θρρρρρ -------10分(22)cos 42sec 1ρθρθ∴-=⇒=+24.解：(Ⅰ)不等式121|41|<-x 的解集为}3161|{<<x x ，所以31,61==m n .------5分(Ⅱ)证明:∵|2|||2|)2()(2||3|||3b a b a b a b a b b -++≤-++==，又n b a m b a <-<+|2|,||，即61|2|,31||<-<+b a b a65||3<∴b ，∴185||<b . -------10分。