备战中考数学二次函数的综合复习
2024中考二次函数代几综合题变式训练大全
2024中考二次函数代几综合题变式训练大全一、概述在中学数学教学中，二次函数是一个重要的数学知识点。
在中考中，二次函数常常作为考查的重点内容。
而对于学生来说，掌握二次函数的各种变式训练是非常重要的。
本文就收集整理了2024中考二次函数代几综合题变式训练大全，希望能够帮助学生更好地备战中考。
二、二次函数基础知识复习我们先来复习一下二次函数的基础知识。
二次函数一般的标准形式为：f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。
这是一个抛物线的标准方程，其中a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线在x轴上的位置，c决定了抛物线在y轴上的位置。
除了标准形式以外，二次函数还有其他几种重要的变式形式，比如顶点形式、交点形式等。
在解题时，需要根据具体的题目情况选择合适的形式进行运算。
三、二次函数代几综合题变式训练接下来，我们将列举一些2024中考二次函数代几综合题的变式训练。
这些题目包括了二次函数的各种形式，涵盖了中考可能会考查的各种情况。
希望同学们可以认真对待这些训练题，加强对二次函数知识的理解和应用。
1.简单题目已知二次函数f(x)=2x^2+3x-5，求f(1)的值。
2.顶点形式已知二次函数f(x)=a(x-h)^2+k的顶点为V(2,3)，且经过点P(1,4)，求a的值。
3.交点形式已知二次函数f(x)=ax^2+bx的图象与x轴交于A(-2,0)、B(3,0)，且经过点P(1,6)，求a、b的值。
4.与直线交点已知二次函数f(x)=x^2-3x+2与直线y=2x-5有交点C，求C的坐标。
5.二次函数图象已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点A(1,4)、B(2,3)、C(3,0)，求a、b、c的值。
6.利用二次函数解实际问题某商品售价为x元，销量为f(x)=200-2x，求最高售价及对应的销量，求销售收入的最大值。
以上就是一些简单的二次函数综合题的变式训练，希望同学们通过这些题目的练习，能够更熟练地掌握二次函数的相关知识。
中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析
中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析一、二次函数1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113+113+3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BE、OE．∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，∴BE＝12CD＝CE．令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，﹣3），∴OB ＝OC ，又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ，∴△OBE ≌△OCE （SSS ），∴∠BOE ＝∠COE ，∴点E 在第四象限的角平分线上，设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3，得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝1132±， ∵点E 在第四象限，∴E 点坐标为（113+，﹣113+）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．∵S △ACQ ＝2S △AOC ，∴S △ACF ＝2S △AOC ，∴AF ＝2OA ＝2，∴F （1，0）．∵A （﹣1，0），C （0，﹣3），∴直线AC 的解析式为y ＝﹣3x ﹣3．∵AC ∥FQ ，∴设直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +b ，将F （1，0）代入，得0＝﹣3+b ，解得b ＝3，∴直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +3．联立22333y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩， 解得11312x y =-⎧⎨=⎩，2223x y =⎧⎨=-⎩， ∴点Q 的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．3．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y xy x=+⎧⎨=-+⎩，得45215xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E，(0,1)F∵点M在AOB∆内，∴45b<<当点,C D关于抛物线对称轴（直线x b=）对称时，1344b b-=-，∴12b=且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线41y x=+上综上：①当12b<<时，12y y>；②当12b=时，12y y=；③当1425b<<时，12y y<.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.6．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a （x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：（1）①直接写出a的值；②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：①求PDDD'的值；②直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y ＝212x ﹣2x ； （2）①1；②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨-++<<⎪⎩…； （3）h ＝±3 【解析】 【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值． 【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中， 得：0＝a （0﹣2）2﹣2， 解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4 如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭，2222322m 22,PG m 22m 2422FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EGEG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG2212242222m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩…；（3）如图3，∵OADD ′为菱形 ∴AD ＝AO ＝DD ′＝4， ∴PD ＝2，23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1(a ≠0)交x 轴于A ，B (1，0)两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F (1)求抛物线的解析式；(2)若点F 位于直线AD 的下方，请问线段EF 是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E 的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)4912，(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m，1 3m2+23m﹣1），由此得到EF＝﹣13m2+13m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．【详解】解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为(﹣3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵点C的坐标为(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝13，∴抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，则点F的坐标为(m，13m2+23m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( 13m2+23m﹣1)＝﹣13m2+13m+4即y＝-13(m﹣12) 2+4912，此时点E的坐标为(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．∴EG 垂直平分CD ∴点E 的纵坐标y ＝132-+＝1， 将y ＝1带入y ＝x +3，得x ＝﹣2． ∵EG 关于y 轴对称， ∴点G 的坐标为(2，1)；②如图2，当四边形CDEG 为菱形时，以点D 为圆心，DC 的长为半径作圆，交AD 于点E ，可得DC ＝DE ，构造菱形CDEG 设点E 的坐标为(n ，n +3)， 点D 的坐标为(0，3)∴DE ＝22(33)n n ++-＝22n ∵DE ＝DC ＝4， ∴22n ＝4，解得n 1＝﹣22，n 2＝22．∴点E 的坐标为(﹣22，﹣22+3)或(22，22+3) 将点E 向下平移4个单位长度可得点G ，点G 的坐标为(﹣22，﹣22﹣1)(如图2)或(22，22﹣1)(如图3)③如图4，“四边形CDGE 为菱形时，以点C 为圆心，以CD 的长为半径作圆，交直线AD 于点E ，设点E 的坐标为(k ，k +3)，点C 的坐标为(0，﹣1)． ∴EC ＝22(0)(31)k k -+++＝22816k k ++． ∵EC ＝CD ＝4， ∴2k 2+8k +16＝16， 解得k 1＝0(舍去)，k 2＝﹣4． ∴点E 的坐标为(﹣4，﹣1) 将点E 上移1个单位长度得点G ． ∴点G 的坐标为(﹣4，3)．综上所述，点G 的坐标为(2，1)，(﹣22，﹣22﹣1)，(22，22﹣1)，(﹣4，3)．【点睛】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或 【解析】 【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论． 【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：257m m x （）-±-=即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+ ∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0）， 它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -）， 由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=- 56m m ∴==或 【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．9．如图，菱形ABCD 的边长为20cm ，∠ABC ＝120°，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 从点A 出发，以4cm /s 的速度，沿A →B 的路线向点B 运动；过点P 作PQ ∥BD ，与AC 相交于点Q ，设运动时间为t 秒，0＜t ＜5．（1）设四边形PQCB 的面积为S ，求S 与t 的关系式；（2）若点Q 关于O 的对称点为M ，过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD （或CD ）于点N ，当t 为何值时，点P 、M 、N 在一直线上？（3）直线PN 与AC 相交于H 点，连接PM ，NM ，是否存在某一时刻t ，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) S=﹣231003t +0＜t ＜5）； (2) 307;(3)见解析. 【解析】 【分析】（1）如图1，根据S=S △ABC -S △APQ ，代入可得S 与t 的关系式；（2）设PM=x ，则AM=2x ，可得3，计算x 的值，根据直角三角形30度角的性质可得3AM=AO+OM ，列方程可得t 的值；（3）存在，通过画图可知：N 在CD 上时，直线PN 平分四边形APMN 的面积，根据面积相等可得MG=AP ，由AM=AO+OM ，列式可得t 的值． 【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=60°，AC ⊥BD ， ∴∠OAB=30°， ∵AB=20，∴OB=10，3 由题意得：AP=4t ，∴PQ=2t ，AQ=23t ， ∴S=S △ABC ﹣S △APQ ， =11··22AC OB PQ AQ -， =111020322322t t ⨯⨯-⨯⨯ ， =﹣23t 2+1003（0＜t ＜5）； （2）如图2，在Rt △APM 中，AP=4t ， ∵点Q 关于O 的对称点为M ， ∴OM=OQ ， 设PM=x ，则AM=2x ， ∴AP=3x=4t ， ∴x=3， ∴AM=2PM=3， ∵AM=AO+OM ，∴3=103+103﹣23t ，t=307； 答：当t 为307秒时，点P 、M 、N 在一直线上； （3）存在，如图3，∵直线PN 平分四边形APMN 的面积， ∴S △APN =S △PMN ，过M 作MG ⊥PN 于G ，∴11··22PN AP PN MG = ， ∴MG=AP ，易得△APH ≌△MGH ，∴3，∵AM=AO+OM ，同理可知：3﹣3，3333t ，t=3011． 答：当t 为3011秒时，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.10．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，()22AC [01](30)10=--+-=，()22AM [11](m 0)=--+-，分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中， 得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+， ∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+． Q 当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-分三种情况考虑：①当90AMC ∠=o 时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=o 时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=o 时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC V 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，列出关于m 的方程．11．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当12MQ NQ =时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值． 【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）t 的值为12；（3）当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或t ﹣1． 【解析】 【分析】（1）求直线y=-x+4与x 轴交点B ，与y 轴交点C ，用待定系数法即求得抛物线解析式． （2）根据点B 、C 坐标求得∠OBC=45°，又PE ⊥x 轴于点E ，得到△PEB 是等腰直角三角形，由PB =求得BE=PE=t ，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据MP ∥CN 可证MPQ NCQ V V ∽，故有12MP MQ NC NQ ＝＝，把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值． （3）因为不确定等腰△PDM 的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP ，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP ，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME ，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP=DP ，则∠PMD=∠PDM ，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF 进而得CF=CD ．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG ，得等腰直角△CDG ，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF=CD ，解方程即得到t 的值． 【详解】（1）直线y ＝﹣x +4中，当x ＝0时，y ＝4 ∴C （0，4）当y ＝﹣x +4＝0时，解得：x ＝4 ∴B （4，0）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点 ∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得：34b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+3x +4（2）∵B （4，0），C （0，4），∠BOC ＝90° ∴OB ＝OC∴∠OBC ＝∠OCB ＝45° ∵ME ⊥x 轴于点E ，PBt ∴∠BEP ＝90°∴Rt △BEP 中，2PE sin PBE PB ∠=＝∴BE PE t ＝＝， ∴4M P P x x OE OBBE t y PE t ＝＝＝﹣＝﹣，＝＝ ∵点M 在抛物线上∴2243445M y t t t t +++＝﹣（﹣）（﹣）＝﹣， ∴24MP MP y y t t +＝﹣＝﹣ ， ∵PN ⊥y 轴于点N∴∠PNO ＝∠NOE ＝∠PEO ＝90° ∴四边形ONPE 是矩形 ∴ON ＝PE ＝t ∴NC ＝OC ﹣ON ＝4﹣t ∵MP ∥CN ∴△MPQ ∽△NCQ ∴12MP MQ NC NQ == ∴24142t t t -+=-解得：12142t t ＝，＝（点P 不与点C 重合，故舍去） ∴t 的值为12（3）∵∠PEB ＝90°，BE ＝PE ∴∠BPE ＝∠PBE ＝45° ∴∠MPD ＝∠BPE ＝45°①若MD ＝MP ，则∠MDP ＝∠MPD ＝45° ∴∠DMP ＝90°，即DM ∥x 轴，与题意矛盾 ②若DM ＝DP ，则∠DMP ＝∠MPD ＝45° ∵∠AEM ＝90° ∴AE ＝ME∵y ＝﹣x 2+3x +4＝0时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4 ∴A （﹣1，0）∵由（2）得，x M ＝4﹣t ，ME ＝y M ＝﹣t 2+5t ∴AE ＝4﹣t ﹣（﹣1）＝5﹣t ∴5﹣t ＝﹣t 2+5t解得：t 1＝1，t 2＝5（0＜t ＜4，舍去）③若MP ＝DP ，则∠PMD ＝∠PDM如图，记AM 与y 轴交点为F ，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ∴∠CFD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠CDF ∴CF ＝CD∵A （﹣1，0），M （4﹣t ，﹣t 2+5t ），设直线AM 解析式为y ＝ax +m ∴()2045a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩ 解得：a tm t =⎧⎨=⎩ ， ∴直线AM ：y tx t +＝ ∴F （0，t ） ∴CF ＝OC ﹣OF ＝4﹣t ∵tx +t ＝﹣x +4，解得：41tx t -=+， ∴41D x tt DG -=+＝＝， ∵∠CGD ＝90°，∠DCG ＝45° ∴)2421t CD DG t -+＝＝，∴)2441t t t -+﹣ 解得：21t ＝﹣综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或21t ＝﹣． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．12．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为：228y x x =-++，直线AB 的表达式为：21y x =-；（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2)．【解析】 【分析】（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解； （2）S △DAC =2S △DCM ，则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ，，即可求解；（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）二次函数表达式为：()219y a x =-+， 将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-， 故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①， 则点()3,5B ，将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB 的表达式为：21y x =-； （2）存在，理由：二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ， 过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点()2,28D x x x -++，点(),21H x x -，∵2DAC DCM S S ∆∆=， 则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ， 解得：1x =-或5（舍去5）， 故点()1,5D -；（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++， 解得：6s =或﹣4， 故点()6,16P -或()4,16--； ②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++， 解得：17s =±故点()17,2P 或()17,2；综上，点()6,16P -或()4,16--或()17,2或()17,2． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．13．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示： (1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【解析】 【分析】（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM ==得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ⋅关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值 【详解】(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm (2)①解：在C 点相遇得到方程57.5v= 在B 点相遇得到方程152.5v= ∴5=7.515=2.5vv⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得 23=5v v ⎧=⎪⎨⎪⎩。
备战中考数学复习《二次函数》专项综合练习附答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．2．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．【答案】(1) y=﹣234x +94x+3；(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）． 【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，表示PD=﹣2334m m +，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析:（1）由OC=3OA ，有C （0，3），将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， 故抛物线的解析式为：y=﹣234x +94x+3； （2）如图2，设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ， ∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3），设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则403k b b +=⎧⎨=⎩解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3， 则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2334m m +， ∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ，∴∠BDE=∠BCO ，∵∠BDE=∠PDF ，∴∠PDF=∠BCO ，∵∠PFD=∠BOC=90°，∴△PFD ∽△BOC ， ∴=PED PD BOC BC的周长的周长， 由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，故△BOC 的周长=12，∴2334125m m L -+=， 即L=﹣95（m ﹣2）2+365， ∴当m=2时，L 最大=365； （3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ，∴∠PCQ=∠CPD ，∴∠PCD=∠CPD ，∴CD=PD ，∴CD=DP=PQ=QC ，∴四边形CDPQ 是菱形，过D 作DG ⊥y 轴于点G ，设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣334n +）， 在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣34n+3）﹣3]2+n 2=22516n ，而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n +3n|， ∵PD=CD ，∴﹣235344n n n +=①， ﹣235344n n n +=-②， 解方程①得：n=73或0（不符合条件，舍去）， 解方程②得：n=173或0（不符合条件，舍去）， 当n=73时，P （73，256），如图3，当n=173时，P （173，﹣253），如图4，综上所述，存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）． 点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．3．已知如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB ，∴MA =MB ，由三角形的三边关系，|MA ﹣MC |＜BC ，∴当M 、B 、C 三点共线时，|MA ﹣MC |最大，为BC 的长度，设直线BC 的解析式为y =kx +b （k ≠0），则03k b b +=⎧⎨=⎩，解得：33k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y =﹣3x +3．∵抛物线y =x 2﹣4x +3的对称轴为直线x =2，∴当x =2时，y =﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M （2，﹣3），使|MA ﹣MC |最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD 的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M 的位置是解题的关键．4．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式；()2求ABC 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【解析】【分析】(1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC 的面积计算拆分为APF CPF SS +即可.【详解】 ()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-，又∵函数图象经过点()6,0A -，∴20(62)4a =-+- 解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-； ()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是()0,3-，又当0y =时，有21304y x x =+-=， 解得16x =-，22x =，∴点B 的坐标是()2,0，则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -，∴603k b b -+=⎧⎨-=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅ 2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S 有最大值274， 此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【点睛】 本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.5．对于二次函数 y=ax 2+（b+1）x+（b ﹣1），若存在实数 x 0，使得当 x=x 0，函数 y=x 0，则称x 0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b ，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－98【解析】【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a =-A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b b a a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上. ∴b a -=b a-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】 本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.6．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-.（1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或【解析】【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论．【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知， 方程的两根为：2572m m x （）-±-=- 即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -），由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=-56m m ∴==或【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．7．如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P1（3+5，152-），P2（352，1+52），P3（5+52，1+52），P4（55-，152-）.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E （3，3），易得OE 的解析式为：y=x ，过P 作PG ∥y 轴，交OE 于点G ，∴G （m ，m ），∴PG=m-（m 2-4m+3）=-m 2+5m-3，∴S 四边形AOPE =S △AOE +S △POE ， =12×3×3+12PG•AE ， =92+12×3×（-m 2+5m-3）， =-32m 2+152m ， =32（m-52）2+758， ∵-32＜0， ∴当m=52时，S 有最大值是758； （3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：5+555- ∴P 5+51+555-152）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，解得：3+535；P3+5152-35，1+5综上所述，点P的坐标是：（52，1+52）或（552-，1523+515-35，1+5）．点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．8．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.9．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+23分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=228233x x +-，BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）t 的值为4915129±、233．（3）N 点坐标为（﹣2，﹣2），M 点坐标为（﹣32，﹣54），213 【解析】分析：（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C 、P 2D ⊥DC 、P 3C ⊥DC 三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．详解：（1）把A （﹣4，0），B （1，0）代入y=ax 2+2x+c ，得168020a c a c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：2383a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线解析式为：y=228233x x +-， ∵过点B 的直线y=kx+23， ∴代入（1，0），得：k=﹣23， ∴BD 解析式为y=﹣2233x +； （2）由2282332233y x x y x ﹣⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得交点坐标为D （﹣5，4）， 如图1，过D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，则△DEP1∽△P1OC，∴DEPO =PEOC，即4t=523t-，解得15129±，当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形由△P2DB∽△DEB得DBEB=2P BDB，52=526，解得：t=233；当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，∴DFOC =3CFP O，即523=103t，解得：t=49，∴t的值为4915129±、233．（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣23x﹣103，在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M过点N 作NH ⊥DD′于点H ，此时，DM+MN=D′N 最小．则△EOF ∽△NHD′设点N 坐标为（a ，﹣21033a -）， ∴OE NH =OF HD '，即52104()33a ---=1032a -， 解得：a=﹣2，则N 点坐标为（﹣2，﹣2），求得直线ND′的解析式为y=32x+1， 当x=﹣32时，y=﹣54， ∴M 点坐标为（﹣32，﹣54）， 此时，DM+MN 的值最小为22D H NH '+=2246+=213．点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b a -=1，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b a -=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-； 当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．。
中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编〔难题易错题〕1 .童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售, 经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,该款童装每件本钱30元,设降价后该款童装每件售价工元,每星期的销售量为〕'件.⑴降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时,求这一星期中每件童装降价多少元？⑵当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少？【答案】〔1〕这一星期中每件童装降价20元；〔2〕每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【解析】【分析】〔1〕根据售量与售价x 〔元/件〕之间的关系列方程即可得到结论.〔2〕设每星期利润为W元,构建二次函数利用二次函数性质解决问题.【详解】解：〔1〕根据题意得,〔60-x〕 xl0+100=3xl00,解得：x=40,60 - 40 = 20 元,答：这一星期中每件童装降价20元：〔2〕设利润为w,根据题意得,w= 〔x- 30〕 [ 〔60-X〕xl0+100]= - 10x2+1000x - 21000=-10 〔x- 50〕 2+4000,答：每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【点睛】此题考查二次函数的应用,一元二次不等式,解题的关键是构建二次函数解决最值问题, 利用图象法解一元二次不等式,属于中考常考题型.2 .阅读：我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线〞.例如,点M 〔1, 3〕的特征线有：x=l, y=3,备用图问题与探究：如图,在平面直角坐标系中有正方形0A8C,点8在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线＞ =；*一〃?〕2+〃经过8、C两点,顶点.在正方形内部.〔1〕直接写出点.〔m, n〕所有的特征线：〔2〕假设点.有一条特征线是y=x+l,求此抛物线的解析式：〔3〕点P是48边上除点八外的任意一点,连接0P,将AOAP沿着0P折登,点4落在点々的位置,当点4在平行于坐标轴的.点的特征线上时,满足〔2〕中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在0P上？【答案】〔1〕 x=m, y=n, y=x+n - m, y= - x+m+n；〔2〕 y = - 〔x-2〕2 + 3 ；〔3〕抛物4线向下平移上二正或W距离,其顶点落在OP上. 3 12【解析】试题分析：〔1〕根据特征线直接求出点.的特征线：〔2〕由点.的一条特征线和正方形的性质求出点.的坐标,从而求出抛物线解析式；〔2〕分平行于x轴和y轴两种情况,由折卷的性质计算即可.试题解析：解：〔1〕・二点D 〔m,.〕,,••点.〔m, n〕的特征线是x=m, y=n, y=x+n - m,y= - x+m+n；〔2〕点.有一条特征线是y=x+l, .•.〃=m+l. •.•抛物线解析式为了 = !〔工一"?了+〃,.•.y = =〔x—〃?〕2+〃? + 1, ,四边形OA8C是正方形,且.点为正方4 4形的对称轴,.〔m, /?〕,「. 8 〔2m, 2m〕 ,y = —〔2m — m〕2 + n = 2m 9将c=m+l 带4入得到m=2, n=3；・・・.〔2, 3〕,・•・抛物线解析式为y = !〔x-2〕2+3.〔3〕①如图,当点A在平行于y轴的.点的特征线时：根据题意可得,D (2, 3),・ .0A=0A=4, 0M=2,N AOM=60°,「・N AOP=N AOP=30°,:MN笺空,抛物线需要向下平移的距离=3—李亨•②如图,当点4在平行于X轴的.点的特征线时,设A〔P,3 〕,那么OA=OA=4, OE=3,EA 二“2.32 =a,,AF=4-a,设P(4, c) (c>0),,在RS AFP 中,(4-V7)2+ (3-c) 2=c2, .•“」6T立,「.p (4, .16 —4" ) ,直线OP解析式为3 3y=匕Lx, ：.N (2, l") •.抛物线需要向下平移的距离=3-3 38-2>/7 _1 + 2>/7-3-- -3综上所述：抛物线向下平移) - 2琳或1 + 2"距离,其顶点落在0P上. 3 3点睛：此题是二次函数综合题,主要考查了折叠的性质,正方形的性质,解答此题的关键是用正方形的性质求出点.的坐标.3.在直角坐标系中,我们不妨将横坐标,纵坐标均为整数的点称之为〃中国结〃.〔1〕求函数y=/x+2的图像上所有“中国结〞的坐标：〔2〕求函数y=±〔HO, k为常数〕的图像上有且只有两个“中国结〃,试求出常数k的值X与相应“中国结〞的坐标；〔3〕假设二次函数丫=〔公一3攵+2〕/+〔2攵2-4%+ 1〕%+公一% 〔k为常数〕的图像与x轴相交得到两个不同的"中国结",试问该函数的图像与x轴所围成的平而图形中〔含边界〕,一共包含有多少个“中国结〞？【答案】〔1〕〔0,2〕 : 〔2〕当k=l时,对应"中国结〞为〔1,1〕〔一1, -D ;当k=-l 时,对应"中国结"为〔1, 一1〕, 〔一1,1〕 ; 〔3〕 6个.【解析】试题分析：〔1〕由于X是整数,XHO时,JJx是一个无理数,所以XHO时,JJx+2不是整数,所以x=o, y=2,据此求出函数y=J^x+2的图象上所有“中国结〃的坐标即可.k〔2〕首先判断出当k=l时,函数/一〔k/0, k为常数〕的图象上有且只有两个〃中国xk结〃：〔1, 1〕、〔-1、-1〕：然后判断出当代1时,函数度一〔kHO, k为常数〕的图X象上最少有4个〃中国结〃,据此求出常数k的值与相应〃中国结〃的坐标即可.(3)首先令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k-1)]=0,求出X】、X2的值是多少；然后根据X】、X2的值是整数,求出k的值是多少：最后根据横坐标,纵坐标均为整数的点称之为"中国结",判断出该函数的图象与x轴所用成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结〞即可.试题解析：(l);x是整数,XHO时,、^x是一个无理数,xHO时,JJx+2不是整数,x=0> y=2,即函数y=Cx+2的图象上"中国结〞的坐标是(0, 2).(2)①当k=l时,函数度勺(k#0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃：x (1, 1)、(-1、-1)：②当匕-1时,函数丫=&(HO, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃：X(1, -1)、( -1, 1).③当修±1时,函数尸& (HO, k为常数)的图象上最少有4个〃中国结JX(I, k)、( - 1, - k)、(k, 1)、( - k, - 1),这与函数度土(kxo, k 为常数)的x图象上有且只有两个“中国结"矛盾,k综上可得,k=l时,函数y=— (k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, x 1)、( - 1、- 1)；k=-l时,函数y=七(k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, -1)、x (-1、1).(3)令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k- 1) ]=0, kx.= ---------.•・{ ik-\f x 2x) +1• k =——=-=——. x1 +1 x2 +1 整理,可得XlX2+2X2+l=0t/. xz (xi+2) = T,•••X】、X2都是整数,X)= 1 x, =—1｛- 或｛-玉+2 = _「^+2 = 1匹=T ②当｛X、= —1k ,,/ ------- = -1 ,l — kk=k-l,无解；练上,可得.3K=—, XF-3, x2=l t2y= (k2- 3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k3 3 3 3 3 3=[(-)2-3X-+21X2+[2X ( - ) 2-4x-+l]x+ (- ) 2--2 2 2 2 2 2①当x=-2时,1 13 1 1 3y= - - x2- — x+ — = " - x ( - 2) 2 - -x ( - 2) + —4 2 4 4 2 4_3~4②当X=-1时,=13③当x=0时,y=-,另外,该函数的图象与X轴所闱成的平面图形中x轴上的“中国结〞有3个: 〔-2, 0〕、〔 -1、0〕、〔0, 0〕.综上,可得假设二次函数y= 〔k2-3k+2〕 x2+ 〔2k2-4k+l〕 x+l?-k 〔k为常数〕的图象与x轴相交得到两个不同的"中国结〞,该函数的图象与x轴所围成的平面图形中〔含边界〕,一共包含有6个“中国结〞：〔-3, 0〕、〔-2, 0〕、〔 - 1, 0〕〔-1, 1〕、〔0, 0〕、〔1, 0〕.考点：反比例函数综合题4.如图,抛物线〕,= 公+ C的顶点为A〔4,3〕,与轴相交于点3〔0,—5〕,对称轴为直线/,点"是线段A8的中点.〔1〕求抛物线的表达式：〔2〕写出点M的坐标并求直线A3的表达式；〔3〕设动点尸,.分别在抛物线和对称轴I上,当以A,P,Q,例为顶点的四边形是平行四边形时,求.,.两点的坐标.【答案】〔1〕y = --x2+4x-5t〔2〕 A/〔2,-1〕, y = 2x-5：〔3〕点夕、.的坐 2标分别为〔6,1〕或〔2,1〕、〔4,—3〕或〔4』〕.【解析】【分析】〔1〕函数表达式为：〕,= a〔x = 4『+3,将点3坐标代入上式,即可求解：〔2〕 A〔4,3〕、B〔0-5〕,那么点加〔2,-1〕,设直线A8的表达式为：y = ^-5,将点4坐标代入上式,即可求解；〔3〕分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可. 【详解】解：〔1〕函数表达式为：y = a〔x = 4〕2+3,将点4坐标代入上式并解得：.=2故抛物线的表达式为：y = -l x2+4x-5:乙(2) 4(4,3)、B(0,-5),那么点M(2,-1),设直线A8的表达式为：y = /oc-5,将点A坐标代入上式得：3 =必一5,解得：k = 2,故直线A8的表达式为：y = 2x-5：( i \(3)设点.(4,s)、点P m,——nr +4/H —5 ,①当AM是平行四边形的一条边时,点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M,同样点P；"?,-：〃,+4机一5)向左平移2个单位、向下平移4个单位得到0(4,s),即：团一2 = 4, —nr +4m-5-4 = s , 2解得：m = 6 ♦ s = —3,故点P、.的坐标分别为(6,1)、(4,-3)：②当AM是平行四边形的对角线时,由中点定理得：4+2 = 〃z+4, 3-1 = --//r +4w-5 + 5,2解得：〞1 = 2, 5 = 1 >故点尸、.的坐标分别为(2/)、(4,1)；故点尸、.的坐标分别为(6,1), (4,一3)或(2,1)、(分-3), (2,1)或(4,1).【点睛】此题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等,其中(3),要主要分类求解,防止遗漏.5.如图,某足球运发动站在点0处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出 (点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y= at2 + 5t+c,足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.⑴足球飞行的时间是多少时,足球离地而最高？最大高度是多少？⑵假设足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x = 10t,己知球门的高度为2.44m,如果该运发动正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门？8【答案】(1)足球飞行的时间是一s时,足球离地而最高,最大高度是4.5m： (2)能.5【解析】(2)把 x=28 代入 x=10t 得 t=2.8,251・•・当 t=2.8 时,y=-a2・8?+5乂2・8令2・25 V2/4, •L . 乙^ 他能将球直接射入球门. 考点：二次函数的应用.6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax?+2x+c 与x 轴交于A ( - 1, 0) B (3, 0)两 点,与y 轴交于点C,点D 是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；(2)请在y 轴上找一点M,使△BDM 的周长最小,求出点M 的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A, P, C 为顶点,AC 为直角边的三角形 是直角三角形？假设存在,请求出符合条件的点P 的坐标：假设不存在,请说明理由.试题分析：(1)由题意得：函数y=atz+5t+c 的图象经过(0, 0.5) (0.8, 35),于是得0. 5二.到 n,求得抛物线的解析式为:3. 5=0.8 4+5X0. 8+c 、 y=-衰2+514,当t=|时,y 破大=4.5；1(2)把x=28代入x=10t 得t=2.8,当t=2.8时,y=- 竿2.82+5、2.8哈2・25V2.44,于是得 16 2到他能将球直接射入球门.解：(1)由题意得：函数y=a&5t+c 的图象经过(0, 0.5) (0.8, 3.5),"0. 5二c• «, 、3. 5=0. 8 &2+5 X 0. g+c '3=解得：_ 251612・•・抛物线的解析式为：y=・•,y【答案】(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+3；直线AC 的解析式为丫=3x+3； (2)点M 的 坐标为(0, 3)：7 20 1013〔3〕符合条件的点P 的坐标为〔或,2〕或〔“,-"〕, 3 93 9【解析】分析：〔1〕设交点式y=a 〔x+1〕 〔x-3〕,展开得到-2a=2,然后求出a 即可得到抛物线解 析式：再确定C 〔0, 3 〕,然后利用待定系数法求直线AC 的解析式：〔2〕利用二次函数的性质确定D 的坐标为〔1, 4〕,作B 点关于y 轴的对称点W,连接DB 咬y 轴于M,如图1,那么B ,〔-3, 0〕,利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD 的值最小,那么此时△ BDM 的周长最小,然后求出直线DB ,的解析式即可得到点M 的坐标：〔3〕过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式为y=-lx +b,把C 点坐标代入求出b 得到直线PC 的解析式为再解方程组, 1得此时P 点坐标；当过点A 作AC 的垂线交抛物y=--x + 3 I 3线于另一点P 时,利用同样的方法可求出此时P 点坐标. 详解：〔1〕设抛物线解析式为y=a 〔x+1〕〔x-3〕, KP y=ax 2 - 2ax - 3a,,2a=2,解得 a=- 1,・•・抛物线解析式为y= - X 2+2X +3： 当 x=0 时,y= - x 2+2x+3=3,那么 C (0, 3), 设直线AC 的解析式为y=px+q.q = 0把 A ( - 1, 0) , C (0, 3)代入得〈q = 3直线AC 的解析式为y=3x+3；〔2〕 •/ y= - X 2+2X +3= - 〔x- 1〕 2+4, •1•顶点D 的坐标为〔1, 4〕,作B 点关于y 轴的对称点B",连接DB ,交y 轴于M,如图1,那么夕〔-3, 0〕,MB=MB',/. MB+MD=MB /+MD=DB /,此时 MB+MD 的值最小, 而BD 的值不变,・•,此时△ BDM 的周长最小,y=-x 2 +2x + 31 y=- -x+3, 3易得直线DB ,的解析式为y=x+3, 当 x=0 时,y=x+3=3> ・ ・•点M 的坐标为〔0, 3〕；〔3〕存在.过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,如图2,把C 〔0, 3 〕代入得b=3,・ ,・直线PC 的解析式为y=- -x+3,过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,直线PC 的解析式可设为y=-点+b, 把A ( -1, 0)代入得1+b=0,解得b=- L 3 3・ •・直线PC 的解析式为y=- ：x- 1点睛：此题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数 的性质；会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解 方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短 路径问题：会运用分类讨论的思想解决数学问题.直线PC 的解析式可设为y=- —x+b,3解方程组?y=-x 2+2x + 31 ,解得?y=——x + 33x = 0)=3或,7x =一3 7 20 ,那么此时P 点坐标为〔一,—〕：2.39y =解方程组?y=-x 2+2x + 31 1 y=——x ——33x = -ly = 010x =—3 13那么此时P 点坐标为〔—, 3综上所述,符合条件的点p 的坐标为〔N, 310 T-?>•直线AC 的解析式为y=3x+3.7.如图,直线A8与抛物线C ：),=⑪2+21+.相交于人(—1,0)和点8(2,3)两点.⑴求抛物线.的函数表达式；⑵假设点M 是位于直线A3上方抛物线上的一动点,以M4、/W8为相邻两边作平行四边形 M4N8,当平行四边形M4N8的而积最大时,求此时四边形M4N8的而积S 及点M 的 坐标： ⑶在抛物线C 的对称轴上是否存在定点尸,使抛物线.上任意一点夕到点尸的距离等于到 直线y ="的距离,假设存在,求出定点厂的坐标：假设不存在,请说明理由.41 27 【答案】〔1〕 y =—厂 + 2x + 3 ：〔2〕当 〃 =—,S ZMANB = 2S △ ABM =—,此时2 415 \ :⑶存在.当/A — 时,无论％取任何实数,均有= 理由见解析. \ 4 )【解析】【分析】 (1)利用待定系数法,将A, B 的坐标代入y=ax2+2x+c 即可求得二次函数的解析式； (2)过点M 作MH_Lx 轴于H,交直线AB 于K,求出直线AB 的解析式,设点M (a,- a?+2a+3),那么K (a, a+1),利用函数思想求出MK 的最大值,再求出△ AMB 面积的最大 值,可推出此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标：17(3)如图2,分别过点B, C 作直线y=—的垂线,垂足为N. H,设抛物线对称轴上存在 4点F,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线y=—的距离,其中F (1, a), 4 连接BF, CF,那么可根据BF=BN, CF=CN 两组等量关系列出关于a 的方程组,解方程组即 可.【详解】(1)由题意把点(-1, 0)、(2, 3)代入 y=ax2+2x+c, .- 2 + c = 0得, ,4a + 4 + c = 3 解得 a=-l, c=3,,此抛物线c 函数表达式为：y=*2+2x+3：〔2〕如图1,过点M 作MHLx 轴于H,交直线AB 于K,MH4 〕>>将点〔・1, 0〕、〔2, 3〕代入y=kx+b中, 一k+b=0得,2y 解得,k=l, b=l,/.Y AB=X+1,设点M (a, -a2+2a+3),那么K (a, a+1), 贝lj MK=-a2+2a+3- (a+1)=-(a- - ) 2+—, 2 41 9根据二次函数的性质可知,当合二彳时,MK有最大长度丁, 2 4S A AMB以大=S A AMK+S A BMK=—MK*AH+ —MK> (x B-x H)2 2=—MK e (XB-XA)21 9=x — x32 4_27-—,8以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,27 27 1 15s 餐大=2S A AMB 4U=2X —=—,M (-, —).(3)存在点F,•/ y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+4,「・对称轴为直线x=l.当y=0 时,xi=-l, X2=3,,抛物线与点x轴正半轴交于点C (3, 0),17如图2,分别过点B, C作直线y:一的垂线,垂足为N, H, 4抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=—的距4离,设 F (1, a ),连接BF, CF,IT1 17 5 17那么BF=BN二一-3二一,CF=CH=—, 4 4 4(5、(2-1)2+3—3)2 =由题意可列:(3 — 1)2+/=阴【点睛】此题考查了待定系数法求解析式,还考查了用函数思想求极值等,解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时,aABM的面积最大,且此时线段MK的长度也最大.8.如图,己知二次函数%=a' + "过(-2, 4) , ( - 4. 4)两点.〔1〕求二次函数力的解析式：〔2〕将为沿x轴翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线及,直线y=m 〔m>0〕交及于M、N 两点,求线段MN的长度〔用含m的代数式表示〕：〔3〕在〔2〕的条件下,力、及交于A、B两点,如果直线y=m与力、刃的图象形成的封闭曲线交于C、D两点〔C在左侧〕,直线y=-m与力、刃的图象形成的封闭曲线交于E、F两点〔E在左侧〕,求证：四边形CEFD是平行四边形.1yi =_/2_3%【答案】〔1〕2【解析】〔2〕 5 +范〔3〕证实见解析.试题分析：〔1〕根据待定系数法即可解决问题.〔2〕先求出抛物线yz的顶点坐标,再求出其解析式,利用方程组以及根与系数关系即可求出MN.〔3〕用类似〔2〕的方法,分别求出CD、EF即可解决问题.试题解析：⑴・•・二次函数月=°/ + "过〔-2, 4〕 , 〔-4, 4〕两点,4a - 2b = 416a -4b = 4解得:1a=~2=_1 2_ -「.二次函数力的解析式为一寸3X2-3% -# + 3)2 +9,二顶点坐标〔-3, >〕 , ,「将力沿x釉翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线〞,9.・・抛物线y2的顶点坐标〔-1, -、〕,•,・抛物线均为1 9y=#+i)2_] 消去y整理得到/ + 2x_8_2m = 0,设打,也是它的两个根,那么"21A〔q+ x2〕-似/2=、阳而千J5：〔3〕由y = my =一/2-3欠,消去y整理得到x +6%+2m = 0,设两个根为打,0那么y =-m1 9______ y =—〔x --CD」"I一亚15〔修+ OF - 4町2«36 -所,由2 2,消去丫得到x2 + 2x-8 + 2m = 0,设两个根为勺,％2,那么EF」X1 - "zlK,dl + 工2〕2 - 4XI%2=«36 - 8m, ... EF=CD, EFII CD,四边形CEFD 是平行四考点：二次函数综合题.9 .抛物避= a/ + M + c,假设a, b, c满足b=a+c,那么称抛物线,=.壮+必+ c为“恒定〞抛物线. 〔1〕求证："恒定"抛物线'=°/ +丘+,必过*轴上的一个定点人；〔2〕"恒定〃抛物线y = -于的顶点为P,与X轴另一个交点为B,是否存在以Q为顶点,与X轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线,使得以PA, CQ为边的四边形是平行四边形？假设存在,求出抛物线解析式：假设不存在,请说明理由.【答案】〔1〕证实见试题解析：〔2〕 y = \/^2 + 4v-^x + 3-V3 那么=- v取2 + y3.【解析】试题分析：〔1〕由"恒定〞抛物线的定义,即可得出抛物线恒过定点〔-1, 0〕:〔2〕求出抛物线F = W"一小的顶点坐标和B的坐标,由题意得出PAII CQ, PA=CQ：存在两种情况：①作QMXAC于M,那么QM=0P=\3,证实RtA QM〔^ RtA POA. MC=OA=1,得出点Q的坐标,设抛物线的解析式为,=矶" + 2〕2-\/3,把点A坐标代入求出a的值即可：②顶点Q在y轴上,此时点C与点B重合：证实△0QS4 0PA,得出OQ=OP=\B,得出点Q坐标,设抛物线的解析式为' =以2+«3,把点C坐标代入求出a的值即可.试题解析：〔1〕由“恒定〃抛物线,二仙2 +%+ 4得：b=a+c,即a-b+c=0,二•抛物线y = ax2 + bx + c t当x=-l时,y=0, 恒定〞抛物线,=必+八+〔；必过乂轴上的一个定点 A 〔 - 1, 0〕：〔2〕存在：理由如下：：“恒定"抛物线卜"*丫一道,当尸0时,\8/-、6=0,解得：x=±l, V A ( - 1, 0) , /. B (1, 0):.・x=O 时,y=一\'3,顶点P 的坐标为(0, 一\3),以PA, CQ为边的平行四边形,PA、CQ是对边,「.PAII CQ, PA=CQ, .,.存在两种情况：①如图1所示：作QM_LAC 于M,那么QM=0P=y3, Z QMC=90°=Z POA,在RtA QMC 和RtA POA 中,: CQ=PA, QM=OP,J RtA QMC合RtA POA (HL) , /. MC=OA=1, OM=2, 丁点 A 和点C 是抛物线上的对称点,AM=MC=1, .,.点Q的坐标为(-2, 一\3),设以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线的解析式为y = a(% + 2)2-«3,把点A(-l, 0)代入得：aS% .•.抛物线的解析式为：丫 = \乃(% + 2)273,即,=\访2 + 4、%+3日②如图2所示：顶点Q在y轴上,此时点C与点B重合,.•.点C坐标为(1, 0),CQII PA, /. Z OQC=Z OPA,在^ OQC 和4 OPA 中,: Z OQC=Z OPA, Z COQ=Z AOP,CQ=PA,OQC2△ OPA (AAS) ,「・0Q=0P=、3,「•点Q 坐标为(0, \§),设以Q为顶点,与X轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线的解析式为y = a%2 + g3,把点C(l, 0)代入得：a=-W, .•.抛物线的解析式为：?=一臼2 + 口；综上所述：存在以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线,使得以PA, CQ为边的四边形是平行四边形,抛物线的解析式为：«3/ + 4\,做+3\3,或y =-%即 + 0考点：1.二次函数综合题：2.压轴题：3.新定义：4.存在型：5.分类讨论.3 910 .二次函数y=—-x2+bx+c的图象经过A (0, 3) , B ( - 4,--)两点.(1)求b, c的值.3(2)二次函数y= -「xZ+bx+c的图象与x轴是否有公共点,求公共点的坐标：假设没有,请16说明情况.【答案】⑴j 8 : 〔2〕公共点的坐标是〔-2, 0〕或〔8, 0〕. c = 3【解析】【分析】〔1〕把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；〔2〕利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点,由题意得到方程-3 o—X2+-X+3=0,通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标.16 89 3【详解】(1)把 A (0, 3) , B ( - 4,--)分别代入y=- - x2+bx+c,2 16c = 3得4 39------ x l6-4〃 + c =——16 26 = ?解得彳8 ；[c = 33 9〔2〕由〔1〕可得,该抛物线解析式为：y=- -x2+-x+3, 1 o 83 225-4x ( - -- ) x3= >0»16 6483所以二次函数y=- - x2+bx+c的图象与x轴有公共点, 163 9.「- -x2+-x+3=0 的解为：x产・2, X2=8,16 8公共点的坐标是〔-2, 0〕或〔8, 0〕.【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征.注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系.。
二次函数中考复习专题教案
二次函数中考复习专题教案第一章：二次函数的基本概念1.1 二次函数的定义解释二次函数的一般形式：y = ax^2 + bx + c强调a、b、c系数的含义和作用1.2 二次函数的图像介绍二次函数图像的特点：开口方向、顶点、对称轴、与y轴的交点等利用图形软件绘制几个典型二次函数的图像，让学生观察和分析1.3 二次函数的性质讨论二次函数的增减性、对称性、周期性等性质引导学生通过图像理解二次函数的性质第二章：二次函数的顶点式2.1 顶点式的定义解释顶点式：y = a(x h)^2 + k强调顶点(h, k)对二次函数图像的影响2.2 利用顶点式求解二次函数的图像和性质引导学生通过顶点式确定二次函数的图像和性质举例说明如何利用顶点式求解最值问题2.3 顶点式的应用讨论顶点式在实际问题中的应用，如抛物线运动、几何问题等给出几个实际问题，让学生运用顶点式解决第三章：二次函数的解析式3.1 解析式的定义解释二次函数的解析式：y = ax^2 + bx + c强调解析式与顶点式的关系3.2 利用解析式求解二次函数的图像和性质引导学生通过解析式确定二次函数的图像和性质举例说明如何利用解析式求解最值问题3.3 解析式的应用讨论解析式在实际问题中的应用，如物理、化学等领域的方程求解给出几个实际问题，让学生运用解析式解决第四章：二次函数的图像与性质4.1 图像与性质的关系讨论二次函数图像与性质之间的关系引导学生通过图像判断二次函数的性质4.2 开口方向与a的关系解释开口方向与a的关系：a > 0时开口向上，a < 0时开口向下举例说明如何通过开口方向判断二次函数的性质4.3 对称轴与顶点的关系解释对称轴与顶点的关系：对称轴为x = h举例说明如何通过对称轴判断二次函数的性质第五章：二次函数的实际应用5.1 实际应用的基本形式讨论二次函数在实际应用中的基本形式举例说明如何将实际问题转化为二次函数问题5.2 利用二次函数解决实际问题引导学生运用二次函数解决实际问题，如最值问题、优化问题等给出几个实际问题，让学生运用二次函数解决5.3 实际应用的拓展讨论二次函数在其他领域的应用，如经济学、生物学等引导学生思考如何将二次函数应用于解决其他实际问题第六章：二次函数的综合应用6.1 二次函数与线性函数的组合解释二次函数与线性函数组合的形式，如y = ax^2 + bx + c 与y = dx + e 的组合强调组合函数的图像和性质6.2 利用综合应用解决实际问题引导学生运用综合应用解决实际问题，如函数交点问题、不等式问题等给出几个实际问题，让学生运用综合应用解决6.3 综合应用的拓展讨论综合应用在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将综合应用应用于解决其他实际问题第七章：二次函数与不等式7.1 二次不等式的定义解释二次不等式的形式，如ax^2 + bx + c > 0强调解二次不等式的方法和步骤7.2 利用图像解决二次不等式问题引导学生通过图像解决二次不等式问题，如找出不等式的解集举例说明如何利用图像解决实际问题7.3 二次不等式的拓展讨论二次不等式在其他领域的应用，如经济学、工程学等引导学生思考如何将二次不等式应用于解决其他实际问题第八章：二次函数的最值问题8.1 二次函数最值的概念解释二次函数最值的概念，如最大值、最小值强调最值与对称轴、顶点的关系8.2 利用顶点式求解最值问题引导学生通过顶点式求解二次函数的最值问题举例说明如何利用顶点式求解实际问题中的最值8.3 最值问题的拓展讨论最值问题在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将最值问题应用于解决其他实际问题第九章：二次函数与几何问题9.1 二次函数与几何图形的关系解释二次函数与几何图形的关系，如圆、椭圆、抛物线等强调二次函数在几何问题中的应用9.2 利用二次函数解决几何问题引导学生运用二次函数解决几何问题，如求解三角形面积、距离问题等举例说明如何利用二次函数解决实际问题中的几何问题9.3 几何问题的拓展讨论几何问题在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将几何问题应用于解决其他实际问题第十章：二次函数的综合训练10.1 综合训练的目的强调综合训练的重要性，提高学生对二次函数知识的综合运用能力引导学生通过综合训练巩固所学知识10.2 综合训练的内容设计几个综合训练题目，包括不同类型的二次函数问题，如图像分析、性质判断、实际应用等让学生在规定时间内完成综合训练题目给予学生综合训练的反馈，指出错误和不足之处重点和难点解析1. 第一章中二次函数的基本概念：理解二次函数的一般形式和系数含义是学习二次函数的基础，对于图像的特点和性质的理解也是解决复杂问题的关键。
二次函数中考复习专题教案
二次函数中考复习专题教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图像；2. 掌握二次函数的求解方法，包括顶点式、标准式和一般式；3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
二、教学内容1. 二次函数的定义与性质二次函数的定义：函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）；二次函数的图像：开口方向、顶点、对称轴、单调区间。
2. 二次函数的图像与性质图像特点：开口方向、顶点、对称轴；性质：单调性、最值。
3. 二次函数的求解方法顶点式：f(x) = a(x h)^2 + k；标准式：f(x) = ax^2 + bx + c；一般式：ax^2 + bx + c = 0。
4. 实际问题求解应用二次函数解决几何问题；应用二次函数解决物理问题；应用二次函数解决生活中的问题。
5. 二次函数的综合应用二次函数与其他函数的结合；二次函数与方程组的结合；二次函数与不等式的结合。
三、教学过程1. 复习导入：回顾一次函数和指数函数的相关知识，为二次函数的学习打下基础；2. 知识讲解：分别讲解二次函数的定义、性质、图像与求解方法；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决实际问题；4. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识；四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况；2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，巩固所学知识；3. 课后作业：布置课后作业，检查学生对知识的掌握程度；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，培养团队合作精神。
五、教学资源1. PPT课件：展示二次函数的相关概念、性质、图像等；2. 练习题：提供不同难度的练习题，巩固所学知识；3. 实际问题案例：提供与生活相关的实际问题，引导学生运用二次函数解决；4. 教学视频：讲解二次函数的求解方法和解题技巧。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体案例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用；2. 数形结合：利用图形展示二次函数的性质，加深学生对二次函数的理解；3. 小组讨论：鼓励学生进行小组讨论，培养团队合作精神和沟通能力；4. 分层教学：针对不同学生的学习水平，给予相应的指导和辅导；5. 激励评价：及时给予学生鼓励和评价，提高学生的学习积极性。
九年级数学《二次函数》总复习教案
教材：初中数学九年级上册复习目标：1.理解二次函数的概念和特征。
2.掌握二次函数的基本性质和图像的特点。
3.熟练运用二次函数解决实际问题。
4.理解抛物线的性质及其与二次函数的关系。
一、概念复习1.二次函数：通过变量的平方项表达的函数。
2.顶点：二次函数图像的最高点或最低点，表示为（a，b）。
3.对称轴：二次函数图像的对称轴，表示为x=a。
4.开口方向：二次函数图像的开口方向，由二次项的系数决定。
二、性质复习1.零点：二次函数与x轴交点的横坐标。
2.判别式：用来判断二次函数的零点个数的式子。
当Δ=b^2-4ac＞0时，二次函数有两个不相等的零点。
当Δ=b^2-4ac=0时，二次函数有两个相等的零点。
当Δ=b^2-4ac＜0时，二次函数没有实数零点。
3.最大值与最小值：当二次函数开口向上时，最小值是顶点的纵坐标。
当二次函数开口向下时，最大值是顶点的纵坐标。
三、图像特点复习1.开口方向：当a＞0时，二次函数开口向上。
当a＜0时，二次函数开口向下。
2.对称轴：对称轴与顶点的横坐标相等。
3.零点：零点是二次函数与x轴交点的横坐标。
零点的个数由判别式Δ决定。
四、实际问题复习1.利用二次函数解决实际问题的步骤：（1）明确问题中有关条件。
（2）设出二次函数的表达式。
（3）求出二次函数的最值或零点。
（4）用解出的最值或零点回答问题。
2.举例：问题：商场的营业额可以用二次函数y=2x^2+3x+4来表示，其中x表示时间（以小时计），y表示营业额（以万元计）。
求该商场的最大营业额，并在什么时间实现。
解答：（1）根据题目，得到二次函数的表达式为y=2x^2+3x+4（2）通过求导数或将二次函数表示为顶点形式，得到该二次函数的顶点为（-3/4，23/8）。
（3）所以，该商场的最大营业额为23/8万元，实现时间为-3/4小时。
五、抛物线的性质复习1. 加入二次函数的f(x)=ax^2+bx+c。
若a＞0，抛物线开口向上；若a＜0，抛物线开口向下。
中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)
中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。
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一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。
（2）点B的坐标为：（4，4）。
（3）存在；理由见解析；【解析】【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。
【详解】解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。
∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。
（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。
∴AO=3。
∵△AOB 的面积等于6，∴12AO•BD=6。
∴BD=4。
∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上，∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。
又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，∴x 轴下方不存在B 点。
∴点B 的坐标为：（4，4）。
（3）存在。
∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=+=。
若∠POB=90°，则∠POD=45°。
设P 点坐标为（x ，x 2﹣3x ）。
∴2x x 3x =-。
若2x x 3x =-，解得x="4" 或x=0（舍去）。
此时不存在点P （与点B 重合）。
若()2x x 3x =--，解得x="2" 或x=0（舍去）。
当x=2时，x 2﹣3x=﹣2。
∴点P 的坐标为（2，﹣2）。
∴22OP 222=+=∵∠POB=90°，∴△POB 的面积为：12PO•BO=12×2×2=8。
2．已知，抛物线y ＝ax 2+ax+b （a≠0）与直线y ＝2x+m 有一个公共点M （1，0），且a ＜b ．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣12，﹣94a）；（2）2732748aa--；（3）2≤t＜94．【解析】【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），∴a+a+b=0，即b=-2a，∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+12）2-94a，∴抛物线顶点D的坐标为（-12，-94a）；（2）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），∴0=2×1+m，解得m=-2，∴y=2x-2，则2222y x y ax ax a -⎧⎨+-⎩＝＝， 得ax 2+（a-2）x-2a+2=0，∴（x-1）（ax+2a-2）=0，解得x=1或x=2a -2， ∴N 点坐标为（2a-2，4a -6）， ∵a ＜b ，即a ＜-2a ，∴a ＜0， 如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，∵抛物线对称轴为122a x a =-=-， ∴E （-12，-3）， ∵M （1，0），N （2a-2，4a -6）， 设△DMN 的面积为S ， ∴S=S △DEN +S △DEM =12|（ 2a -2）-1|•|-94a -（-3）|=274−3a −278a ， （3）当a=-1时，抛物线的解析式为：y=-x 2-x+2=-（x+12）2+94， 由222y x x y x⎧=--+⎨=-⎩， -x 2-x+2=-2x ，解得：x 1=2，x 2=-1，∴G （-1，2），∵点G 、H 关于原点对称，∴H （1，-2），设直线GH 平移后的解析式为：y=-2x+t ，-x 2-x+2=-2x+t ，x 2-x-2+t=0，△=1-4（t-2）=0， t=94， 当点H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y=-2x+t ，t=2，∴当线段GH 与抛物线有两个不同的公共点，t 的取值范围是2≤t ＜94．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M 的坐标得到b 与a 的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH 与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．3．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式；()2求ABC 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【解析】【分析】 (1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC 的面积计算拆分为APF CPF SS +即可.【详解】 ()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-，又∵函数图象经过点()6,0A -，∴20(62)4a =-+- 解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-； ()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是()0,3-，又当0y =时，有21304y x x =+-=， 解得16x =-，22x =，∴点B 的坐标是()2,0， 则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=；()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -， ∴603k b b-+=⎧⎨-=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅ 2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S 有最大值274， 此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值． （3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--），∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，解得：12m 2=-,22m 2=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．综上所述，2m =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．5．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y=﹣x+n 与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y=ax 2+bx+3(a≠0)过C 、B 两点，交x 轴于另一点A ，连接AC ，且tan ∠CAO=3．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是射线CB 上一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交抛物线于Q ，设P 点横坐标为t ，线段PQ 的长为d ，求出d 与t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围；(3)在(2)的条件下，当点P 在线段BC 上时，设PH=e ，已知d ，e 是以y 为未知数的一元二次方程：y 2－(m+3)y+14(5m 2－2m+13)="0" (m 为常数)的两个实数根，点M 在抛物线上，连接MQ 、MH 、PM ，且．MP 平分∠QMH ，求出t 值及点M 的坐标．【答案】(1) y=-x 2+2x+3；(2)223(03){3(3)d t t t d t t t =-+<<=->；（3）t=1，2，2)和(12，2).【解析】【分析】（1）当x=0时代入抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C 的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B 的坐标，在直角三角形AOC 中，由三角形函数值就可以求出OA 的值，得出A 的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；（2）分两种情况讨论，当点P 在线段CB 上时，和如图3点P 在射线BN 上时，就有P 点的坐标为（t ，-t+3），Q 点的坐标为（t ，-t 2+2t+3），就可以得出d 与t 之间的函数关系式而得出结论；（3）根据根的判别式就可以求出m 的值，就可以求出方程的解而求得PQ 和PH 的值，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，就可以得出四边形LQMH 是平行四边形，进而得出四边形LQMH 是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．【详解】（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n ，y=ax 2+bx+3=3，∴OC=3=n ．当y=0，∴-x+3=0，x=3=OB ，∴B （3，0）．在△AOC 中，∠AOC ＝90°，tan ∠CAO=33OC OA OA==， ∴OA=1，∴A （-1，0）．将A （-1，0），B （3，0）代入y=ax2+bx+3，得 9330{30a b a b ++=-+=， 解得：1{2a b =-= ∴抛物线的解析式：y=-x 2+2x+3；(2) 如图1，∵P 点的横坐标为t 且PQ 垂直于x 轴 ∴P 点的坐标为(t ，－t+3)，Q 点的坐标为(t ，－t 2+2t+3).∴PQ=|(－t+3)－(－t 2+2t+3)|="|" t 2－3t |∴223(03){3(3)d t t t d t t t =-+<<=->； ∵d ，e 是y 2－(m+3)y+14(5m 2－2m+13)=0（m 为常数）的两个实数根， ∴△≥0，即△=(m+3)2－4×14(5m 2－2m+13)≥0 整理得：△= －4(m －1)2≥0，∵－4(m －1)2≤0，∴△=0，m=1，∴ PQ 与PH 是y 2－4y+4=0的两个实数根，解得y 1=y 2=2∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"∴此时Q 是抛物线的顶点， 延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，∵LP=MP ，PQ=PH ，∴四边形LQMH 是平行四边形，∴LH ∥QM ，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴LH=MH ，∴平行四边形LQMH 是菱形，∴PM ⊥QH ，∴点M 的纵坐标与P 点纵坐标相同，都是2，∴在y=－x 2+2x+3令y=2，得x 2－2x －1=0，∴x 12，x 2=12综上：t 值为1，M 点坐标为2，2)和(12，2).6．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ).(1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式；(2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34m ≤-， 求a 的取值范围. 【答案】（1）11b c =⎧⎨=⎩；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161393a -≤≤- 【解析】（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2y ax bx c =++，可得22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩，化简即可得出；（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得214a m m=+，把b am =-，c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.【详解】解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b )由题意，得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩，解，得11b c =⎧⎨=⎩ (2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①②①－②得，2am b b +=-，∴b am =-把b am =-代入②，得c am =- (3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=0a <，22141,4am am a m m∴+=∴=+ 把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥- 34m ≤-，314m ∴-≤≤- 224(2)4m m m +=+-，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大2393416m m ∴-≤+≤- 216113943m m ∴-≤≤-+ 即161393a -≤≤- 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.7．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC ，它的边BC=120mm ，高AD=80mm ．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．【答案】（1）2407mm，4807mm；（2）PN=60mm，40PQ mm．【解析】【分析】(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根据平行得出△APN和△ABC 相似，根据线段的比值得出y的值，然后得出边长；(2)、根据第一题同样的方法得出y与x的函数关系式，然后求出S与x的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值.【详解】(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm）∵PN∥BC,∴=，△APN∽△ABC∴=∴=∴=解得 y=∴2y=∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm(2)、设PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面积为S ，则AE=80-x（mm）．.由（1）知=∴=∴ y=则S=xy===∵∴ S有最大值∴当x=40时，S最大=2400（mm2）此时，y==60 ．∴面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ、PN长分别是40 mm ，60 mm．考点：三角形相似的应用8．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x （元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】（1）y10000x80000=-+（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元【解析】解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：5k b300006k b20000+=⎧⎨+=⎩，解得：k10000b80000=-⎧⎨=⎩。