最新2.4等比数列(优质课一等奖幻灯片

2
4
8
16
......
观察上述情境中得到的这几个数列，看有
何共同特点?
2, 4, 8, 16, …;
①
1, 1, 1, 1;
②
248
1, 20, 202, 203, … ；
③
-2, 2, -2, 2, ….
④
共同特点：从第二项起，每一项与前一项 的比都等于同一个常数．
讲授新课
1. 等比数列的定义: 一般地，若一个数列从第二项起，每一
些不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如 果不是，说明理由。
(1) 1，3，9，27，… 是 a1=1, q=3
(2)
1, 1, 1, 1 , 2 4 8 16
是
a1
1 2
，q 1 2
(3) 5， 5， 5， 5，…
是 a1=5, q=1
(4) 1，-1，1，-1，… 是 a1=1, q= -1
an(qa1q0n， 1 nN*) an(q am0q， nn m,mN*)
G是a、b的等比中项
G2 ab (ab 0)
从第2项起,每一项与它前
一项的差等于同一个常数
公差(d ) d 可正、可负、可零
ana1((nn 1N)d* ) anam(n(n, mm)Nd*)
A是a、b的等差中项
2Aab
分析： 由a, G, b成等比数列得：
Gb G2a bGab aG
反之，若 G2 ab, (ab>0)
则
G b, aG
即a,G,b成等比数列. 2
∴a, G, b成等比数列 G ab (ab>0)
3.等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a, G， b成等比数列，那么称这个数G为a与 b的等比中项.
解得，
q3 2
16
，
a 1
3
因此 a aq1638
2
1
32
16
答：这个数列的第1项与第2项分别是
3
与 8.
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练习： 求下列各等比数列的通项公式： (1) a1＝5, 且2an＋1＝－3an .
(2)a31, a59
课堂小结
从第2项起,每一项与它前
一项的比等于同一个常数
公比(q ) q可正、可负、不可零
6.等比数列的公比公式：
qa n 1 ， q n 1a n ， q n m a n
a n
a 1
a m
7.等比数列通项公式的应用：知三求一
例、一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18,求它的第1项与第2项.
a 解：设这个等比数列的第1项是 ,公比是q ，那么 1 aq2 12 1
aq3 18 1
2.4等比数列(优质课一等奖
问题情境:
情境一:折纸
如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折，
再对折，再对折‥‥‥依次对折50次，你相
信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间 建一座桥？
第
第
第
第
第
一
二
三
四
n
天 取
天 取
天 取
天 取
......
天 取
设
半
半
半
半
半
木
棰
长
度
为
1
......
木棰
1
1
1
1
长度
练习．在等比数列{an}中，
a 1 a n 6 6 ,a 2a n 1 1 2 8 ,且q=2，求a1和n.
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判断等比数列的方法:
1、定义法 2、等差中项法
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2、等比数列的通项公式：
• 法二：累加法 累乘法
等 差 数
a2 a1 d
a3a2 d
类比
列 a4 a3 d
等 比 数 列
……
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
…a 3 …
+）anan1d
×） a n q
a n1
共n – 1 项
ana1(n1)d
a n q n1 a1
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注意：
(1) 等比数列｛an｝中, an≠0； (2)公比q一定是由后项比前项所得，而不
能用前项比后项来求，且q≠0； (3)若q＝1，则该数列为常数列．
(4)常数列 a, a , a , a , …
a 0 时,既是等差数列，又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列，而不是等比数列.
思考：
如果在a与b的中间插入一个数G，使a, G, b 成等比数列，那么G应该满足什么条件？
(5) 1，0，1，0，…
不是
(6) 0，0，0，0，… (7) 1, a, a2, a3 , … (8) x0, x, x2, x3 , … (9) 1，2，6，18，…
不是 不是 是 a1=x0, q=x 不是
小结：判断一个数列是不是等比数列， 主要是由定义进行判断：
看 a n 1 是不是同一个常数？ an
即： G是a、b的等比中项
G2 ab (ab 0)
G ab (ab 0)
注意：若a，b异号则无等比中项, 若a，b同号则有两个等比中项.
练习：
（ 1 ） 求 4 5 与 8 0 的 等 比 中 项
60
（ 2）已 b是 知 a与 c的等比中 ab项 c2,7 ， 求 b且
b3
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拓展：
等差数列
ana1(n1)d
ama1(m1)d 类比
anam(nm )d
可得
anam(nm)d
等比数列
an a1qn1
am a1qm1
an am
a1qn1 a1qm1
qnm
可得
an amqnm
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等比数列 注意： （1）等比数列的首项不为0；
（2）等比数列的每一项都不为0，即 an
2、等比数列的通项公式：
• 法一：归纳法
等 a2 a1d
等
差 数
a3 a12d 类比
比 数
列 a4a13d
列
……
a2 a1
qa2
a1q
a3 a2
qa3a2q1q3
……
由此归纳等差数列
的通项公式可得：
由此归纳等比数列的通项公式可得：
ana1(n1)d
an a1qn1
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an 0
（3） q=1时，{ a n }为常数列；
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4.等比数列的通项公式：
以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通
项公式为：a n a 1q n 1 (a 1 ,q 0 ； n N * )
5.等比数列通项公式的推广：
a n a m q n m (a m ,q 0 ； m ,n N * )
项与它的前一项的比等于同一个常数，这个 数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的 公比，用字母q (q≠0) 表示.
2.等比数列定义的符号语言:
a n1 q an
(q为常数，且q≠0 ；n∈N*)
[或 a n a n1
q
(q为常数，且q≠0 ；n≥2且n∈N*)
]
练习
判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪