确定性信号的相关函数
通信网络-确定信号
图2-12 低通信号的带宽
图2-13 信号的频谱
1．3dB带宽
图2-14 基带信号3dB带宽
图2-15 带通信号3dB带宽
3dB带宽是能量谱密度或者功率谱密度下 降到最大值的一半时的信号宽度，因而也称 做半功率带宽。
能量或者功率线性下降一半，也就是对 数坐标下降3dB。
2．90%能量带宽以及90%功率带宽
在通信系统中可以看到各种各样的信号， 其中有一些信号可以用确定的时间函数来描 述，我们称之为确定信号。
比如正弦振荡器的输出，就可以表示为 一个以时间为自变量的正弦函数。
确定信号在给定的时刻，确定信号的值 是确定的。
2.1 确定信号
– 2.1.1 确定信号的时域表达 – 2.1.2 确定信号的功率和能量 – 2.1.3 能量信号和功率信号
2.2.1 相关函数的定义
2.2.2 相关函数的性质
2.3 确定信号的能量谱密度和功率谱密 度
– 2.3.1 帕色瓦尔定理 – 2.3.2 能量谱密度 – 2.3.3 功率谱密度 – 2.3.4 相关函数与能量（功率）谱密度的关系 – 2.3.5 信号带宽
2.3.1 帕色瓦尔定理
需要注意的是，这种信号的表示，并没有给出 电压或者电流的单位。
信号究竟是电流还是电压，单位是什么，在多 数情况下并不影响对通信系统的分析，实际上，我 们更关心信号的变化规律。
2.1.3 能量信号和功率信号
2.2 确定信号的相关函数
– 2.2.1 相关函数的定义 – 2.2.2 相关函数的性质
第2章 确定信号
2.1 确定信号 2.2 确定信号的相关函数 2.3 确定信号的能量谱密度和 功率谱密度 2.4 窄带信号
通信系统的电路中，消息是用各种形式 的电压、电流的波形来表达的，这些波形我 们称之为信号。
两个信号的相关函数
两个信号的相关函数1 相关函数的定义信号处理中一个基本的概念是相关函数。
相关函数是两个信号之间的相互关系度量，可以用来描述信号在时间域或频域上的相似性或相关性。
相关函数被广泛应用于各种领域，如通信、信号处理、声学和图像处理等。
在本文中，我们将讨论相关函数的概念、性质以及应用。
2 相关函数的计算计算两个信号的相关函数需要用到积分的概念。
具体地，设两个信号为f(x)和g(x)，它们的相关函数定义为：Rfg(τ)=∫f(x)g(x+τ)dx其中τ为时间滞后量，Rfg为对应的相关函数。
这个积分表明信号f(x)和g(x)在x上的乘积在相移τ之后的积分。
在离散时间领域中，计算相关函数可以用离散积分的概念，定义为：Rfg(n)=∑f(m)g(m+n)其中n为时间滞后量，Rfg为对应的相关函数。
这个离散积分表明信号f(m)和g(m)在m上的乘积在相移n之后的总和。
3 相关函数的性质相关函数具有许多重要的性质，其中最基本的是线性性。
这意味着如果f(x)和g(x)是两个信号，a和b是任意的实数，则：R(a*f+b*g)=a*R(f)+b*R(g)此外，相关函数还满足对称性和移位不变性。
对称性表示Rfg(τ)=Rgf(-τ)，即相关性不会受到信号次序的影响；移位不变性表示Rf(g(x+τ))= Rfg(τ)，即相关函数不会受到时间偏移的影响。
4 相关函数的应用相关函数在信号处理中有着广泛的应用。
例如，在通信系统中，相关函数被用于测量信道的频域响应和决定信道均衡器的参数。
在图像处理中，相关函数被用于目标跟踪和匹配。
在音乐信号处理中，相关函数被用于音频信号的匹配和识别。
此外，相关函数还被应用于信号压缩和降噪。
例如，在压缩信号时，可以通过计算信号的相关函数来确定信号中的冗余信息，从而实现压缩。
在降噪方面，可以通过计算相关函数来确定信号中的噪声分量，并且从信号中滤除噪声。
5 结论相关函数是信号处理中一个基本的概念，它用于描述信号之间的相互关系，包括时间域和频域。
数字信号处理-原理实现及应用(高西全-第3版)第5章 信号的相关函数及应用
rxy (m) ryx (m)
性质2 rxy (m) rx (0)ry (0) ExEy
性质3
lim
m
rxy (m)
0
因为一般能量信号都是有限非零时宽的，所以，当 m 时，二者的非零区不重叠， 所以，该性质成立。
信息与通信工程系—数字信号处理
2.自相关函数性质
性质1
若 x(n) 是实信号，则 rx (m)是实偶函数，即
[h(m) h(m)][x(m) x(m)]
rh (m) rx (m)
ry (0) rh (m) rx (m) m0
= rh (n)rx (n m) = rh (n)rx (n)
n
m0 n
系统稳定，则h(n)为能量信号
rh (m) 存在；
如果 rx (m) 存在，则 ry (m) 存在。
观测信号 y(n) x(n) w(n)；y(n) 的自相关函 ry (m)
(a) 2
w(n)
0
-2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 n
(b) 2
y(n)
0
-2
10
20
30
40
50 n
60
70
80
90 100
噪声自相关
(c)
函数导致
1
ry(m)
0
-1
-50 -40 -30 -20 -10
h(m) [x(m) x(m)]
h(m) rx (m)
所以，ryx (m)可以看成线性时不变系统对输入序列的响应输出。
rx (m)
LTI系统 h(n)
ryx (m)
信息与通信工程系—数字信号处理
系统输出信号的自相关函数:
现代通信原理 第2章 确定信号分析
设x1(t)和x2(t)都为功率信号，则它们的互相关函数定义为
(2.38)
式中， T的含义与式(2.14)中相同，为功率信号的截断区间。
44
第2章
确定信号分析
当x1(t)=x2(t)=x(t)时，定义
(2.39)
为功率信号x(t)的自相关函数。
45
第2章
确定信号分析
由式(2.39)可得到周期信号x(t)的自相关函数为
41
第2章
确定信号分析
2.3.2 能量信号的相关定理 若能量信号x1(t)和x2(t)的频谱分别是X1(ω)和X2(ω)，则信号 x1(t)和x2(t)的互相关函数R12(τ)与X1(ω)的共轭乘以X2(ω)是傅立 叶变换对，即
(2.36)
式(2.36)称为能量信号的相关定理。它表明两个能量信号在时 域内相关，对应频域内为一个信号频谱的共轭与另一信号的频 谱相乘。
30
第2章
确定信号分析
2.3 相关函数与功率谱密度函数
2.3.1 能量信号的相关函数
设信号x1(t)和x2(t)都为能量信号，则定义它们的互相关函 数R12(τ)为 (2.32) 若x1(t)=x2(t)=x(t)，则定义 (2.33) 为x(t)的自相关函数。
31
第2章
确定信号分析
【例2.2】
5
第2章
确定信号分析
设xT(t)为x(t)在一个周期内的截断信号，即
(2. 6)
而
6
第2章
确定信号分析
则有：
(2. 7)
比较式(2. 5)与式(2. 7)可得:
(2. 8) 由此可见，由于引入了δ(· )函数，对周期信号和非周期信
号都可统一用信号的傅立叶变换(即频谱密度函数)来表示。
确定信号(精)
T /2
T / 2
f 2 (t ) dt
能量信号
0 E , 其中E lim
T T /2 T / 2
f 2 (t )dt
功率信号
T /2 1 0 P , 其中P lim f 2 (t ) dt T T T / 2
－第二章 确定信号－
2P( ) B( ) 0
1 Pf 2
0 0
0
0
B( )d B( f )df
19
－第二章 确定信号－
5 确定信号的相关函数
能量信号的自相关函数
R( )
f ( t ) f ( t )d t
T 2 T 2
功率信号的自相关函数
N=1 N=3 N=5
N=2
f
0
fh
－第二章 确定信号－
31
滤波器输出信号带宽
输出带宽受输入信号带宽限制
X()
H ( )
Y()
X ( )
H ( )
0
－第二章 确定信号－
0
32
输出带宽受滤波器带宽限制
X()
H ( )
Y()
X ( )
H ( )
0
－第二章 确定信号－
0
33
1 F ( ) F ( )d 2
*
| F ( ) |2 d
16
－第二章 确定信号－
能量信号的能量谱密度
双边能量谱密度：E() ，单位为J/Hz
1 E 2
E ( )d = E ( f )df
DFT-FFT的应用之确定性信号谱分析
实验报告课程名称：数字信号处理指导老师：成绩：__________________实验名称：DFT/FFT的应用之一确定性信号谱分析实验类型：__验证_ 同组学生姓名：—一、实验目的和要求谱分析即求信号的频谱。
本实验采用DFT/FFT技术对周期性信号进行谱分析。
通过实验，了解用X(k)近似地表示频谱X(ejω)带来的栅栏效应、混叠现象和频谱泄漏，了解如何正确地选择参数（抽样间隔T、抽样点数N）。
二、实验内容和步骤2-1 选用最简单的周期信号：单频正弦信号、频率f=50赫兹，进行谱分析。
2-2 谱分析参数可以从下表中任选一组（也可自定）。
对各组参数时的序列，计算：一个正弦周期是否对应整数个抽样间隔？观察区间是否对应整数个正弦周期？信号频率f（赫兹）谱分析参数抽样间隔T（秒）截断长度N （抽样个数）50 第一组参数0.000625 3250 第二组参数0.005 3250 第三组参数0.0046875 3250 第四组参数0.004 3250 第五组参数0.0025 162-3 对以上几个正弦序列，依次进行以下过程。
2-3-1 观察并记录一个正弦序列的图形（时域）、频谱（幅度谱、频谱实部、频谱虚部）形状、幅度谱的第一个峰的坐标（U，V）。
2-3-2 分析抽样间隔T、截断长度N（抽样个数）对谱分析结果的影响；2-3-3 思考X(k)与X(e jω)的关系；2-3-4 讨论用X(k)近似表示X(ejω)时的栅栏效应、混叠现象、频谱泄漏。
三、主要仪器设备MATLAB编程。
四、操作方法和实验步骤（参见“二、实验内容和步骤”）五、实验数据记录和处理%program 2-2-1clear;clf;clc;%清楚缓存length=32;T=0.000625;t=0:0.001:31;%设置区间以及步长n=0:length-1;xt=sin(2*pi*50*t);xn=sin(2*pi*50*T*n);figure(1);subplot(2,1,1);plot(t,xt);xlabel('t');ylabel('x(t)');axis([0 0.1 -1 1]);title('原序列');subplot(2,1,2);stem(n,xn);xlabel('n');ylabel('xn)');title('抽样后序列');axis([0 length -1 1]);figure(2); %画出序列的实部、虚部、模、相角subplot(2,2,1);stem(n,real(xn));xlabel('n');ylabel('real(xn)');title('序列的实部');axis([0 length -1 1]); subplot(2,2,2);stem(n,imag(xn));xlabel('n');ylabel('imag(xn)');title('序列的虚部');axis([0 length -1 1]); subplot(2,2,3);stem(n,abs(xn));xlabel('n');ylabel('abs(xn)');title('序列的模');axis([0 length -1 1]); subplot(2,2,4);stem(n,angle(xn));xlabel('n');ylabel('angle(xn)');title('序列的相角');axis([0 length -1 1]); F=fft(xn,length); %计算DFTfigure(3); %画出DFT的的幅度，实部和虚部subplot(3,1,1);stem(n,abs(F));xlabel('k');ylabel('abs(F)');title('DFT幅度谱');subplot(3,1,2);stem(n,real(F));xlabel('k');ylabel('real(F)');title('dft 实部'); subplot(3,1,3);stem(n,imag(F));xlabel('k');ylabel('imag(F)');title('ＤＦＴ的虚部'); 六、实验结果与分析 实验结果： 第一组参数：tx (t )原序列nx n )nr e a l (x n )ni m a g (x n )na b s(x n )na n g l e (x n )k a b s (F )-15kr e a l (F )dft 实部ki m a g (F )第二组参数：tx (t )nx n )nr e a l (x n )ni m a g (x n )na b s (x n )na n g l e (x n )k a b s (F )DFT 幅度谱-14kr e a l (F )dft 实部ki m a g (F )第三组参数：tx (t )原序列nx n )nr e a l (x n )ni m a g (x n )序列的虚部na b s(x n )na n g l e (x n )序列的相角k a b s (F )DFT 幅度谱kr e a l (F )dft 实部-14ki m a g (F )ＤＦＴ的虚部第四组参数;tx (t )原序列nx n )抽样后序列nr e a l (x n )ni m a g (x n )na b s (x n )na n g l e (x n )k a b s (F )DFT 幅度谱kr e a l (F )dft 实部ki m a g (F )第五组数据：tx (t )原序列nx n )nr e a l (x n )ni m a g (x n )序列的虚部na b s (x n )na n g l e (x n )k a b s (F )DFT 幅度谱-15kr e a l (F )dft 实部ki m a g (F )实验数据分析6-1 实验前预习有关概念，并根据上列参数来推测相应频谱的形状、谱峰所在频率（U ）和谱峰的数值（V ）、混叠现象和频谱泄漏的有无：奈奎斯特定律的时候不会出现频率的混叠现象。
通信原理第2章 确知信号
它的意义在于： （1）把一个时域信号转换为频域表达，从而引出频谱的概 念； （2）揭示了周期信号的实质，即一个周期信号是由不同频 率的谐波分量构成。当信号被分解为各次谐波之后，就可 以从频域来分析问题。因此，傅里叶分析实质上是一种频 域分析方法。信号的频域特性即信号的内在本质，而信号 的时域波形只是信号的外在形式。
j 2nt / T0
j 2nt / T0 Cn e n 1
C 0 C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) n 1 n 1 C 0 [(C n C n ) cos 2ntf 0 j(C n C n ) sin2ntf 0 ] n 1
T0 / 2
T0 / 2
S ( t )e
j 2nf 0 t
* dt C n
即频谱函数的负频率和正频率部分存在“复数共轭”关系
双边谱
11
根据频谱函数的负频率和正频率之间的“复数共轭”关系
S (t )
n
C
n
e
j 2nt / T0
C0 C ne
3
（2）周期信号和非周期信号
周期信号：定义在（- ∞, +∞）区间上，且每隔一定的时间间
隔按相同规律重复变化的信号。
s(t ) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
满足上述条件的最小T0称为信号的基波周期， f0 =1/T0称为信 号的基频。 非周期信号是不具有重复性的信号，如：符号函数、单位冲 激信号、单位阶跃信号等。
第3章 信号及其描述
An-，n-分别称 为幅值谱和相位谱， 统称为频谱。
若是奇函数即 f ( t ) f (t ); 若是偶函数即 f ( t ) f ( t );
a0 0, an 0 bn 0
二．周期信号的频谱
不同频率信号的时域图和频域图
复杂周期信号波形
傅立叶级数的复指数展开形式：
• 对于任何一个周期为T、且定义在区间（- T/2, T/2）内的周 期信号f(t)，都可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示：
f ( t ) a0 (a n cos n1 t bn sin n1 t )
n 1
• a0是频率为零的直流分量（如图），式中系数值为
1 T /2 T / 2 f ( t )dt T 2 T /2 a n T / 2 f ( t ) cos n 1 tdt T 2 T /2 bn T / 2 f ( t ) sin n 1 tdt T a0
第三章 信号及其描述
主
要
内
容
–信号的分类与定义 确定性信号与随机信号 连续信号与离散信号 周期信号与非周期信号 –确定性信号的特性 时间特性 频率特性 时间与频率的联系
–确定性信号分析 时域分析 频域分析 –随机信号特性及分析
第一节 概述
信号是信息的载体和具体表现形式，或者说，信 号是随着时间变化的某种物理量。只有变化的量中， 才可能含有信息。
连续信号
f(t) f0 f1 0 t 0 f2 t f(t)
离散信号
f(tk) (4.5) (6)
(3)
(2) -1 0 (-1) 1 2 3 4 (1.5)
t
第二节 周期信号及其描述
一．周期信号的傅立叶级数
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确定性信号的相关函数
相关是研究两个信号之间，或一个信号和其移位后的相关性，是信号分析、检测与处理的重要工具；在随机信号的理论中起到了中心的作用。
确定性信号的相关函数
相关函数用来研究两个序列的相似性.设x(n),y(n)是去除均值后的两个序列,他们之间的相似程度可以用误差的能量来表示
如果x(n),y(n)完全相同,或者y(n)乘以一个缩放因子a后与x(n)完全相同,那么.一般情况下,误差能量越小说明越相似.为了选取最小的a值,令
,得
我们也可以用相对误差来衡量相似性.有
相对误差是绝对误差除以序列x(n)的能量.
经计算,相对误差为
上式中, 叫相关矩,叫相关系数, 是序列能量的积.对于确定性序列而言, 是常数.有
根据Schwartz不等式
因此,当时,,说明x(n),y(n)之间相关性最大,互相可用线性关系表示.
当时说明x(n),y(n)完全不相关.
由式(4.17)可看出,相关系数是相关矩对能量的归一化. 反映了以同一位置为基准点的x(n),y(n)之间相似度,然而在实际工作中,还需要研究两个波动在经历了一段时移后的相似度,为此,我们更改式(4.16)的定义为
叫能量信号的互相关函数,敾 表示是不同序列,敽 龜表示相似性,随两序列时差m而变,是m的函数.
当x(n),y(n)是同一序列时,式(4.19)变为
称为能量信号的自相关函数,表示同一序列前后值之间的相似性.对于序列的相关函数,m必须是整数.m是顺序的整数时,相关函数可以看成是一个相关序列的通项表示式.
如果x(n),y(n)是复序列，则互相关函数定义改为
由于工程中所遇到的序列均是实序列,为了简化起见,我们以下的讨论和公式指的都是实序列,读者只要有这么一个概念就行了:如果序列是复的,以下公式有不同形式.
相关函数具有以下性质:
1)自相关函数是偶函数
2)对于能量信号,序列本身(m=0)的自相关函数就是序列能量.
自相关函数一定在m=0处取得其最大值.即
3)对于能量信号x(n),y(n),当间隔时,序列项之间便失去了相关性.即
和
4)互相关函数的相对性
这是因为y(n)相对于x(n)的时延m等效于x(n)相对y(n)时延-m.
5)相关卷积定理
及
证
相关卷积定理使我们能用快速卷积来求相关函数,叫快速相关.
6)相关定理
能量信号x(n)的自相关函数与能量谱是一个傅式变换对:两个能
量信号x(n),y(n)的互相关函数与他们的互能量谱是一个傅式变换对:
证将式(4.28)看成是式(4.29)当y(n)=x(n)时的特例,只要证式(4.29)就可以了.
相关定理指出了求序列能量谱的方法.
7)周期序列的自相关函数也是周期的,且周期相同.
若为整数
则
以上的周期信号是功率信号.功率信号的自相关和互相关函数定义与能量信号不同,应按以下定义:。