12高考数学数列经典荟萃

高考数学数列经典荟萃1、在数1和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作n T ，再令n n T a lg =，n ≥1.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan +⋅=n n na ab ，求数列{}n b 的前n 项和n S .答：本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力。

解：（Ⅰ）设221,,,+n t t t 构成等比数列，其中100,121==+n t t ，则2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ① 1212t t t t T n n n ⋅⋅⋅=+⋅+②①×②并利用)21(,102213+≤≤=⋅=⋅+-+n i t t t t n i n i，得)2(2210+=n n T.1,2lg ≥+==∴n n T a n n（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n另一方面，利用kk kk k k tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan ⋅+--+=-+=得11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+kk k k所以nn kk kk b S n i n i n i i n --+=--+=⋅+==∑∑∑+=+==1tan 3tan )3tan()11tan tan )1tan((tan )1tan(232312、 若数列12,,...,(2)n n A a a a n =≥满足111(1,2,...,1)n a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++．（Ⅰ）写出一个满足10s a a ==，且()s S A 〉0的E 数列n A ；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列A 5。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 的数列A 5） （Ⅱ）必要性：因为E 数列A 5是递增数列， 所以)1999,,2,1(11==-+k a a k k .所以A 5是首项为12，公差为1的等差数列. 所以a 2000=12+（2000—1）×1=2011. 充分性，由于a 2000—a 1000≤1，a 2000—a 1000≤1 …… a 2—a 1≤1所以a 2000—a≤19999，即a 2000≤a 1+1999. 又因为a 1=12，a 2000=2011,所以a 2000=a 1+1999.故n n n A k a a 即),1999,,2,1(011 =>=-+是递增数列.综上，结论得证。

（Ⅲ）令.1),1,,2,1(011±=-=>=-=+A k k k c n k a a c 则因为2111112c c a a c a a ++=++=……,1211+++++=n n c c c a a所以13211)3()2()1()(-++-+-+-+=n n c c n c n c n na A S)].1()2)(1()1)(1[(2)1(121--++--+----=n c n c n c n n 因为).1,,1(1,1-=-±=n k c c k k为偶数所以所以)1()2)(1()1)(1*21n c n c n c -++--+-- 为偶数, 所以要使2)1(,0)(-=n n A S n 必须使为偶数, 即4整除*)(144),1(N m m n m n n n ∈+==-或亦即.当,1,0,*)(14241414-===∈+=--+k k k n a a a A E N m m n的项满足数列时14=k a),,2,1(m k =时，有;0)(,01==n A S a;0)(,0,0),,,2,1(11144=====+n k k A S a a m k a 有时当n A E N m m n 数列时,*)(14∈+=的项满足，,1,0243314-===---k k k a a a当)1(,)(3424-∈+=+=m n N m m n m n时或不能被4整除，此时不存在E 数列A n，使得.0)(,01==n A S a3、已知等比数列{a n }的公比q=3，前3项和S 3=133。

（I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6x π=处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f （x ）的解析式。

4、设b>0,数列{}n a 满足a 1=b ，11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，11 1.2n n n b a ++≤+解（１）法一：112(1)n n n a ba n a n --=+-，得1112(1)121n n n n a n n n a ba b b a ---+--==+⋅， 设n n n b a =，则121n n b b b b-=⋅+(2)n ≥， （ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，12为公差的等差数列， 即111(1)222nb n n =+-⨯=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，设12()n n b b b λλ-+=⋅+，则122(1)n n b b b bλ-=⋅+-，令21(1)b b λ-=，得12b λ=-，1121()22n n b b b b b-∴+=⋅+--(2)n ≥， 知12n b b +-是等比数列，11112()()22n n b b b b b-∴+=+⋅--，又11b b =，12112()222n n n n n b b b b b b b -∴=⋅-=⋅---，(2)2n n n nnb b a b-∴=-． 法二：（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，12为公差的等差数列，即111(1)222n b n n =+-⨯=，∴2n a =（ⅱ）当2b ≠时，1a b =，2222222(2)22b b b a b b -==+-，33223333(2)242b b b a b b b -==++-，猜想(2)2n n n nnb b a b -=-，下面用数学归纳法证明：①当1n =时，猜想显然成立；②假设当n k =时，(2)2k k k kkb b a b -=-，则1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2k k k k k k k k k k k b a k b kb b k b b a a n kb b k b b +++++⋅+⋅-+-===+--+⋅--， 所以当1n k =+时，猜想成立，由①②知，*n N ∀∈，(2)2n n n nnb b a b -=-．（２）（ⅰ）当2b =时， 112212n n n a ++==+，故2b =时，命题成立；（ⅱ）当2b ≠时，22122n n n n b b ++≥=，21211222n n n n b b b --+⋅+⋅≥=，11111,222n n n n n n b b b +--++⋅+⋅≥=，以上n 个式子相加得2212n n b b -+⋅+111122n n n n b b +--++⋅+⋅+2121222n n n n b n b -++⋅+≥⋅，1221212112(2)[(222)2](2)2(2)2(2)n n n n n n n n n n n nn n nn b b b b b b b a b b +--++⋅-+⋅++⋅+-⋅-=≤-- 2212121(222)(2)2(2)2(2)n n n n n n n n nb b b b b b b --++⋅++⋅+--⋅-=- 2121111(2)222(2)n n n n n n n n n b b b b +++++--⋅+⋅=-2111211(2)(22)2(2)n n n n n n n n n b b b b +++++-⋅+⋅-=-1112n n b ++=+．故当2b ≠时，命题成立； 综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立． 5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，1n n a rS += (n ∈N *，,1)r R r ∈≠-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k ∈ N *，使得1k S +，k S ，2k S +成等差数列，是判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1m a +，m a ，2m a +是否成等差数列，并证明你的结论．解：（I ）由已知1,n n a rS +=可得21n n a rS ++=，两式相减可得2111(),n n n n n a a r S S ra ++++-=-= 即21(1),n n a r a ++=+又21,a ra ra ==所以r=0时，数列{}n a 为：a ，0，…，0，…； 当0,1rr ≠≠-时，由已知0,0n a a ≠≠所以（*n N ∈）， 于是由21(1),n n a r a ++=+可得211()n n a r n N a *++=+∈， 23,,,n a a a ∴+成等比数列，∴≥当n 2时，2(1).n na r r a -=+综上，数列{}n a 的通项公式为21,(1),2nn n a n a r r a n -=⎧=⎨+≥⎩（II ）对于任意的*m N ∈，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列，证明如下：当r=0时，由（I ）知，,1,0,2ma n a n =⎧=⎨≥⎩∴对于任意的*m N ∈，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列，当0r ≠，1r ≠-时，21211,.k k k k k k S S a a S a +++++=+++若存在*k N ∈，使得112,,k k S S S ++成等差数列， 则122k k k S S S +++=，1221222,2,kk k k k k S a a S a a ++++∴++==-即由（I ）知，23,,,,m a a a 的公比12r +=-，于是对于任意的*m N ∈，且122,2,4,m m m m m a a a a ++≥=-=从而12122,,,m m m m m m a a a a a a ++++∴+=即成等差数列，综上，对于任意的*m N ∈，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列。