图形的相似比例线段资料
苏科版九年级数学下册第六章《图形的相似》知识点总结+易错点汇总
第六章《图形的相似》知识点一：比例线段1.比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的基本性质：(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝m n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b+d …+n ≠0） 3.平行线分线段成比例定理：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例1：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 cm 。
知识点二 ：相似三角形的性质与判定5. 相似三角形的判定：(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. FE DC B A学 班级 姓名 考试号-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC∽△DEF.6.相似三角形的性质：(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例2：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为 .(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG= .【学习目标】1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质．2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律.【重点难点】重点：利用相似三角形知识解决实际的问题；位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形．难点：如何把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型.【知识回顾】1、相似三角形定义：_________________________．2、判定方法：__________________________3、相似三角形性质：（1）对应角相等，对应边成比例；（2）对应线段之比等于；（对应线段包括哪几种主要线段？）（3）周长之比等于；（4）面积之比等于．4、相似三角形中的基本图形．（1）平行型（X型，A型）; （2）交错型；（3）旋转型；（4）母子三角形.5、位似形的性质： .6、将一个图形按一定的比例放大或缩小的步骤为： . 【综合运用】1.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.（1）求证：△ADF∽△DEC（2）若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.2如图，在等腰三角形△ABC中，底边BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形，S,R分别在AB,AC上，SR与AD相交于点E.（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS的边长.【矫正补偿】如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB = 2AD．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．【完善整合】1.通过本节课的学习你有那些收获?2.你还有哪些疑惑？第六章《图形的相似》易错疑难易错点1 对黄金分割的概念理解不清而出现漏解AB ，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长为.1. 已知线段20易错点2 找不准三角形的对应关系2. 如图，ACD ∆和ABC ∆相似需具备的条件是() A.AC AB CD BC =； B. CD BCAD AC=C. 2AC AD AB =g ；D. 2CD AD BD =g易错点3 混淆相似三角形的性质，误认为相似三角形的面积比等于相似比 3. 如图，若ADE ABC ∆∆:，DE 与AB 相交于点D ，与AC 相交于点E ，2DE =，5BC =，20ABC S ∆=，求ADE S ∆的值.易错点4 不能区分“相似”写“:”的含义4. 如图，在矩形ABCD 中，10,4AB AD ==，点P 是边AB 上一点，连接,PD PC ，若APD ∆与BPC ∆相似，则满足条件的点P 有 个.第4题第5题5. 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，16BC =cm ，12AC =cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm/s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度向点A 移动，若点,P Q 分别从点,B C 同时出发，设运动时间为t s ，当t = 时，CPQ ∆与CBA ∆相似. 疑难点1 相似三角形的判定和性质的综合应用1. 如图是一块含30°角的直角三角板，它的斜边8AB =8cm ，里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边间的距离都是1 cm ，那么DEF ∆的周长是( )A. 5cm ；B. 6cm ；C. (63)-cm ；D. (33)+cm第1题第2题2. 如图，已知矩形ABCD ，2,6AB BC ==，点E 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，点F 从点B 出发，沿射线AB 以每秒3个单位长度的速度运动，当点E 运动到点A 时，,E F 两点停止运动.连接BD ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，连接EF ，交BD 于点G ，交BC 于点M ，连接,CF EC .给出下列结论:①CDE CBF ∆∆:;②DBC EFC ∠=∠;③DE HGAB EH=;④GH 10.上述结论正确的个数为( )A.1B. 2C. 3D. 4 疑难点2 相似图形中的规律探索3.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边,OA OC 分别在x 轴和y 轴上，且2,1OA OC ==.在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形111A OC B ，再将矩形111A OC B 以原点O 为位似中心放大32倍，得到矩形222A OC B ……依此类推，得到的矩形n n n A OC B 的对角线交点的坐标为 .第3题 第4题4.如图，已知正方形11ABC D 的边长为1，延长11C D 到1A ，以11A C 为边向右作正方形1122AC C D ，延长22C D 到2A ，以22A C 为边向右作正方形2233A C C D ……依此类推，若112A C =，且点12310,,,,,A D D D D …都在同一直线上，则正方形991010A C C D 的边长是 .疑难点3 相似三角形与函数等知识的综合5. 反比例函数y ＝的图象在第一象限的分支上有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的一个动点，（1）求反比例函数解析式．（2）当P 在什么位置时，△OP A 为直角三角形，求出此时P 点的坐标．疑难点4 动态问题中的相似三角形6.如图，在直角坐标系中，点(0,4),(3,4),(6,0)A B C --，动点P 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度在y 轴上向下运动，动点Q 同时从点C 出发以2个单位长度/秒的速度在x 轴上向右运动，过点P 作PD y ⊥轴，交OB 于点D ，连接DQ .当点P 与点O 重合时，两动点均停止运动.设运动的时间为t 秒.(1)当1t =时，求线段DP 的长;(2)连接CD ，设CDQ ∆的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并求出S 的最大值; (3)运动过程中是否存在某一时刻，使ODQ ∆与ABC ∆相似?若存在，请求出所有满足要求的t 的值;若不存在，请说明理由参考答案例1. 5(5－1)；例 2.（1）9：4；（2）1：2 综合运用：1.分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，即得∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°，再由∠AFE +∠AFD =180°，∠AFE =∠B ，可得∠AFD =∠C ，问题得证； （2）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，CD =AB =4，再根据勾股定理可求得DE 的长，再由△ADF ∽△DEC 根据相似三角形的性质求解即可. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AB ∥CD ∴∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°∵∠AFE +∠AFD =180，∠AFE =∠B ∴∠AFD =∠C ∴△ADF ∽△DEC ； 解：（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，CD =AB =4。
第四章 图形的相似(知识点)
第四章 图形的相似一．成比例线段1.线段的比※1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nm B A =. ※2.成比例线段及比例的性质： （1）成比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.※注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍； ②由于线段a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数； ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致.（2）比例的基本性质:若dc b a =, 则ad=bc ； 若ad=bc, 则d b c a d c b a ==或 ※合比性质:如果dc b a =，那么d d c b b a ±=±； ※等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝b a 注意：若没有“b+d+…+n ≠0”这个条件，需分类讨论.二.平行线分线段成比例※平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图1，1l //2l //3l ，则EFBC DE AB =.推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例.定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例.②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.三.黄金分割如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比， 一条线段有两个黄金分割点.≈-=215AB AC ：0.618:1；AB BC 253-=四．相似多边形一般地,形状相同的图形称为相似图形.1.概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例；周长等于相似比；面积比等于相似比的平方.（3）判定：对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似.（两个条件缺一不可）五．三角形的相似（“∽”不需分类讨论，“相似”需分类讨论）1.探索三角形相似的条件※相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等；②两边对应成比例,且夹角相等；③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等；②两条边对应成比例；a. 两直角边对应成比例；b.斜边和一直角边对应成比例.2.相似三角形的判定定理的证明3.利用相似三角形测高（3种方法）（1）利用太阳光线平行运用方法1:可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高.（2）利用标杆运用方法2：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度.（3）利用反射运用方法3：光线的入射角等于反射角.4.相似三角形的性质 （1）对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.（2）全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.（3）性质：①相似三角形对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方.※5.图形的位似：→位似图形的概念：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.→位似图形的性质：（1）位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；（2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）.→位似图形的画法：（1）画出基本图形； （2）选取位似中心；（3）根据条件确定对应点，并描出对应点；（4）顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形.例题：如图，已知△ABC 和点O.以O 为位似中心，求作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长扩大到原来的两倍.注意：给出基本图形和位似中心，可以做两个图形与原图形位似，分别在位似中心同侧和异侧各有一个，在具体的题中需根据实际情况作图.→位似变换与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.例如：点A(x,y)的对应点为A ´，则A ´点的坐标可以这样确定xA ´=xA ×k ，yA ´=yA ×k 即A ´（kx,ky ）或xA ´=xA ×(-k)，yA ´=yA ×(-k) 即A ´（-kx,-ky ） 例题：在平面直角坐标系中, 四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O 为位似中心,相似比为21的位似图形.题：△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，点A的对应点A′的坐标为____________总结：至此，我们学过的图形变换有：平移，轴对称，旋转，位似.（1）平移：上下移：横坐标不变，纵坐标随之平移左右移：纵坐标不变，横坐标随之平移（2）轴对称:关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（3）旋转:绕原点旋转180度（中心对称）：横坐标、纵坐标都互为相反数（4）位似:以原点为位似中心，相似比为k的位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.。
八年级数学相似图形知识点总结归纳
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八年级数学相似图形知识点总结归纳相似图形一、线段的比※1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成 . ※2、四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d 的比,即 ,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.※3、注意点:①a:b=k,说明a是b的k倍;②由于线段 a、b的长度都是正数,所以k是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b之外,a:bb:a, 与互为倒数;⑤比例的基本性质:若 , 则ad=bc; 若ad=bc, 则二、黄金分割※1、如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分①两角对应相等;②两边对应成比例,且夹角相等;③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等;②两条边对应成比例:a. 两直角边对应成比例;b. 斜边和一直角边对应成比例.※2、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.※3、平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.八、相似的多边形的性质※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.九、图形的放大与缩小※1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.※2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎3. 位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.。
相似形及比例线段(基础) 知识讲解
相似形及比例线段（基础）知识讲解【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质；3、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形.要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；要点二、相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．要点三、比例线段1．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc；（2）合比性质：如果++ ==.a c abc db d b d，那么如果--==.a c abc db d b d，那么（3）等比性质：如果+c c=====k.+da c a ab d b d bk，那么（4）比例中项：若a:b=b:c，则2b =ac，b称为a、c的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。
要点四、黄金分割如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点.12AP AB=≈).要点诠释：线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似图形1. 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C.【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们的相似性.类型二、相似多边形2. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长.【答案与解析】∵四边形相似于四边形∴，即∴∴四边形的周长.【总结升华】先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形的未知边的长，然后即可求出该四边形的周长举一反三：【变式】如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得，解得.3. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF 为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？【答案与解析】解：∵矩形MFGN与矩形ABCD相似，当时，S有最大值，为.【总结升华】借助相似，把最值问题转移到函数问题上，是解决这类题型最好方法之一. 类型三、比例线段4. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d是成比例线段．5.主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处，则下列结论一定正确的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；AC米；③1)④=10(31)BC-米或米．A.①②③④B.①②③C.①③D.④【答案】D.【解析】解：AB的黄金分割点为点C处，若AC＞BC，则AB：AC=AC：BC，所以①不一定正确；AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20﹣12.36=7.64，所以②错误；若AC为较长线段时，AC=AB=10（﹣1），BC=10（3﹣）；若BC为较长线段时，BC=AB=10（﹣1），AC=10（3﹣），所以③不一定正确，④正确．故选D．【总结升华】黄金分割知识的理解和运用要结合生活实践.。
图形的相似 知识归纳+真题解析
(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相 似． 3.相似三角形的性质 (1)相似三角形周长的比等于相似比. (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方. (3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比. 4.相似多边形的性质 (1)相似多边形周长的比等于相似比. (2)相似多边形面积的比等于相似比的平方. 5.位似图形 （1）定义 两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做位似中 心，对应边的比叫做位似比．位似是一种特殊的相似. （2）性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于 (3)位似图形对应边成比例； (4)位似图形对应角相等. 一 点；
a c b d
AC AB
4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 （二）1．相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形．相似图形的性质：对应角相等， 对应边的比成比例． 2．相似三角形的判定 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角夹角相等，那么 这两个三角形相似； (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相 似；
AC AB
4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 （ 二 ） 1． 相 似 图 形 定 义 ： 形 状 相 同 的 图 形 称 为 相 似 图 形 ． 相 似 图 形 的 性 质 ： 对 应 角 ，对应边的比 ．
2．相似三角形的判定 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应 似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应 个三角形相似； (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 似； (4)平行于三角形一边的直线和其他两边 (或延长线 )相交，所构成的三角形与原三角 形 ． ，那么这两个三角形相 ，且夹角 ，那么这两 ，那么这两个三角形相
第24讲 图形的相似
两个角 ②_______对应相等的两个三角形相似.
夹角 ③两边对应成比例且_____相等的两个三角形相似.
【即时应用】
相似 1.两个正五边形一定_____(填“相似”或“不相似”).
2.△ABC与△DEF的相似比为3∶4，则△ABC与△DEF的周长比为 3∶4 9∶16 _____，面积比为______.
2．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形， 每个小正方形的顶点称为格点.若△ABC与△A1B1C1是位似图
(9,0) 形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ______ ．
【核心点拨】 1.成比例线段具有顺序性，即四条线段a,b,c,d成比例，则记
作a∶b=c∶d，不能写成其他形式.
第二十四讲 图形的相似
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1.了解：线段的比及比例线段的概念，比例的基本性质，相似 三角形、相似多边形、位似图形的概念. 2掌握：相似三角形的性质和判别条件. 3.能：灵活运用相似三角形知识进行有关的计算和证明，利用 图形的相似解决一些实际问题. 4.会利用位似将一个图形放大或缩小.
一、比例线段及其性质 1.线段的比： 同一长度单位 一般地，如果选用_____________量得两条线段PQ，P′Q′的长
3.△ABC∽△A′B′C′，且∠A=60°，∠B=70°，则 50° ∠C′=____.
相似 4.两个大小不同但有一锐角是30°的两个三角尺一定_____(填
“相似”或“不相似”).
三、位似变换
1.定义：(1)取定一点O,把图形上任意一点P对应到射线OP(或
OP 它的反向延长线)上一点P′，使得线段OP′与___的比等于常数 自身 k(k>0)，点O对应到它_____，这种变换叫做位似变换,点O叫做 位似中心 位似比 _________，常数k叫做_______. 位似 位似 (2)一个图形经过_____变换得到的图形叫做与原图形_____的图 形.
相似图形专题
相似图形基础知识回顾1.成比例线段：1、线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m 、n ，那么就说这两条线段的比nm CD AB =，其中线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项。
2、四条线段a 、b 、c 、d ，如果dc b a =，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线。
3、比例的基本性质：dc b a = ，那么bc ad =；反过来，如果bc ad =（a,b,c,d 都不等于0），那么d c b a =。
4、如果dc b a =，那么d d c b b a ±=±。
5、如果)0(b a ≠+++===n d b n m d c ，那么ba n db mc =++++++ a 6、点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ）如果ACBC AB AC =，点C 叫做线段AB 的 黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即AC AB =21-5≈0.618 2.相似多边形：1、定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形2、性质：⑴相似多边形对应角相等，对应边成比例⑵相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方3.相似三角形：1、定义：如果两个三角形的三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形相似2、性质：⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应边的中线都等于相似比 ⑶相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似⑵两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似⑶两角相等的两个三角形相似⑷三组对应边成比例的两个三角形相似4.位似：1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时相似比又称为位似比。
相似形与比例线段
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 ．
【解析】比例的性质、设k法
（1）根据比例的合比性， ；
（2）设 ，原式=
（3）设 ，原式=
【例】（1）已知： ，求 的值；
（2）已知： ，求 的值；
（3）已知： ，求 的值．
【解析】设k法
（1）令 ，得 ，原式= ；
（2）令 ，得 ，原式= ；
二、比例线段
1、比例的概念
一般来说，两个数或两个同类的量 与 相除，叫做 与 的比，记作 （或表示为 ）；如果 （或 ），那么就说 成比例．
在比例式 中， 叫做 和 的比例中项，
2、比例的性质
（1）基本性质：
如果 ，那么 ；
如果 ，那么 ， ， ．
（2）合比性质：
如果 ，那么 ；
2与6对应时，另外两边为： 和 ；
（3）2与8对应时，另外两边为：1和 .
【例】如图，矩形 中， ，线段 ，在 上取一点 ，分别以 、 为一边作矩形 、矩形 ，使矩形 与矩形 相似，且点 与点 、点 与点 ，点 与点 ，点 与点 分别是对应顶点，令 ．求出矩形 的面积 与 的函数关系式．
【解析】相似形性质的应用
【解析】相似的是（3）（4）（7）（9），选B
【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同，对于三角形来说，三个角的大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应．
【例】已知四边形 和四边形 是相似的图形，并且点 与点 、点 与点 、点 与点 、点 与点 分别是对应顶点，已知 ， ， ， ， ， ， ，求 ， 的长和 的度数．
（1） 时，根据比例的等比性 ；
（2） 时，可得 ，则 ．
【例】已知 ，则一次函数 的图像一定经过第几象限？
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问题:任意两个相似的多边形有什么性质?
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
总结归纳
相似多边形性质: 相似多边形对应角相等，对应边的比相等．
相似多边形的判定方法: 如果两个多边形满足对应角相等，对应边
的比相等，那么这两个多边形相似.
作 者： 郭 春 港
F
G
—— 城 关 镇 中 学
问题探究
问题: 相似的正六边形，它们的对应角、 对应边有怎样的关系？
❖ 相似正多边形各对应角相等、各 对应边的比相等.
这个结论对于一般的相似多边形是否成立呢？
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
问题探究
1. 下图是两个相似的三角形，猜想它们的对 应角、对应边的比是否相等？
1.理解相似图形的定义； 2.明白线段的比； 3.掌握成比例线段；
学习目标
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学 作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学 作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学 作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学 作 者： 郭 春 港
—— 城 关例尺为1：10 000 000的地图上，量得甲、乙 两地的距离是30cm，求两地的实际距离
解：设两地的实际距离为xcm
1 30 10000000 x
x = 300000000
x = 3000千米
答： 甲，乙两地的实际距离为3000千米
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
定义2:
我们把形状相同的多边形，叫做 相似多边形。
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
观察思考
下图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同 镜像，它们相似吗？
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
问题探究
下列两个相似图形，它们的对应角、对 应边有怎样的关系？
（1）正三角形ABC与正三角形DEF； D
A
B
C
E
F
（1）
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
问题探究
∠A=∠Ｄ， ∠B=∠Ｅ，∠C=∠Ｆ
AB BC CA . DE EF FD
D
A
B
C
E
F
（1）
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
问题探究
（2）正方形ABCD与正方形EFGH.
E
H
A
D
B
C
F
G
（2）
作 者： 郭 春 港
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
问题探究
我们把相似多边形对应边的比称为相似比． 相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？
两图形全等
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
巩固训练
2. 如图所示的两个三角形一定相似吗？为什么？
5
5
10
10
不一定相似
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
请观察下面几组图片 你能发现它们有什么特点吗?
形状相同，大小不一定相同
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
定义1: 我们把这些形状相同的图形 叫做相似图形。
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
定义1: 我们把这些形状相同的图形 叫做相似图形。
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
巩固训练
3. 如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、
c、d的长度．
cd
6 9
35 2
答案
b
a
7.5
a = 3 b = 4.5 c = 4 d = 6
作 者： 郭 春 港
（2）正方形ABCD与正方形EFGH.
—— 城 关 镇 中 学
问题探究
解：∵四边形ABCD与四边形EFGH A
D
为正方形
∴∠A=∠E= 900， ∠B=∠F= 900
∠C=∠G= 900， ∠D=∠H= 900 B
C
∴AB=BC=CD=DA
E
H
EF=FG=GH=HE
∴ AB BC CD DA . EF FG GH HE