2018年人教A版必修四 平面向量的正交分解及坐标表示导学案 28
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 教案+习题
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示(重点).2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点).3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来(易错点)．预习教材P94－97完成下面问题：知识点1平面向量的坐标表示1．平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．2．基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．3．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标．4．坐标表示：a＝(x，y)．5．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．【预习评价】思考根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1．答案a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3)知识点2平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应a－b＝(x1－x2，y1－y2)坐标的差数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa ＝(λx ，λy )重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去起点 的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)【预习评价】已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a －b ＝________． 解析 2a －b ＝2(2,4)－(－1,1)＝(5,7)． 答案 (5,7)题型一 平面向量的坐标表示【例1】 如图，在直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形．(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标．解 (1)作AM ⊥x 轴于点M ， 则OM ＝OA ·cos 45°＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝22， ∴A (22，22)，故a ＝(22，22)． ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°.又OC ＝AB ＝3．∴C ⎝⎛⎭⎫－32，323，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，323，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，323． (2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－323． (3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋(－32，323)＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332．∴点B 的坐标为(22－32，22＋332)．规律方法 求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．【训练1】 已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)D ．(－2,0)解析 MN →＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则MN →＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.选A ．答案 A题型二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，即x ＝－4，y ＝－2，故C (－4， －2)，则BC →＝(－7，－4)，故选A ． 答案 A(2)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标．解 因为AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →＝(－10,14)， 所以AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)，BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．规律方法 平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．【训练2】 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求下列向量的坐标： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b ．解 (1)2a ＋3b ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝(－12，1)－(23，13)＝(－76，23).方向1 由相等的向量求参数的值【例3-1】 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析 m a ＋n b ＝(2m ，m )＋(n ，－2n )＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，所以m －n ＝－3． 答案 －3方向2 向量运算与平面几何的综合应用【例3-2】 已知平面上三点的坐标分别为A (－2,1)，B (－1,3)，C (3,4)，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．解 当平行四边形为ABCD 时，设D (x ，y )，由AB →＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )，且AB →＝DC →，得D (2,2)．当平行四边形为ACDB 时，设D (x ，y )，由AB →＝(1,2)，CD →＝(x －3，y －4)，且AB →＝CD →，得D (4,6)．当平行四边形为ACBD 时，设D (x ，y )，由AC →＝(5,3)，DB →＝(－1－x,3－y )，且AC →＝DB →，得D (－6,0)，故D 点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．规律方法 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等．(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．【训练3】 已知A (2,4)，B (－4,6)，若AC →＝32AB →，BD →＝43BA →，则CD →的坐标为________．解析 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则(x 1－2，y 1－4)＝32(－6,2)＝(－9,3)，则x 1＝－7，y 1＝7，(x 2＋4，y 2－6)＝43(6，－2)＝(8，－83)，∴x 2＝4，y 2＝103，则CD →＝(11，－113)．答案 (11，－113)课堂达标1．已知点A (－2,1)，B (3，－2)，则BA →的坐标是( ) A ．(－5,3) B ．(5，－3) C ．(－5，－3)D ．(5,3)解析 BA →＝(－2,1)－(3，－2)＝(－5,3)． 答案 A2．若AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,2)，则CB →等于( )A ．(4,3)B ．(－4，－3)C ．(－4,3)D ．(4，－3)解析 CB →＝AB →－AC →＝(3,5)－(－1,2)＝(4,3)． 答案 A3．已知平面向量a ＝(－2,0)，b ＝(－1，－1)，则12a －2b 等于( )A ．(1,2)B ．(－1，－2)C ．(－1,2)D ．(1，－2)解析 12a －2b ＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1,2)．答案 A4．已知点A (2,1)，B (－2,3)，且AC →＝12AB →，则点C 的坐标为________.解析 设C (x ，y )，则(x －2，y －1)＝12(－4,2)＝(－2,1)，∴x ＝0，y ＝2． 答案 (0,2)5．已知A (2,0)，a ＝(x ＋3，x －3y －5)，若a ＝OA →，其中O 为原点，求x ，y 的值．解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.课堂小结1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示．2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．3．向量坐标形式的计算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．基础过关1．给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误． 答案 C2．已知AB →＝(5，－3)，C (－1,3)，CD →＝2AB →，则点D 坐标是( ) A ．(11,9) B ．(4,0) C ．(9,3)D ．(9，－3)解析 设D (x ，y )，则(x ＋1，y －3)＝(10，－6)，∴x ＝9，y ＝－3，即点D 的坐标是(9，－3)．答案 D3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1D ．－1,2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.答案 D4．在平行四边形ABCD 中，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →＝________(用坐标表示)． 解析 AD →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 答案 (－1，－1)5．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________． 解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为A B →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45． 答案 ⎝⎛⎭⎫35，－45 6．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，求λμ的值．解 以向量a 和b 的交点为原点建立平面直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4．7．已知点A (3，－4)与B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标． 解 设P 点坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|． 当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →． ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0.∴P 点坐标为(13，0)．当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →． ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8. 综上所述，点P 的坐标为(13，0)或(－5,8)．能力提升8．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，则A ′B ′→的坐标形式为( )A ．(10,1)B ．(4，－11)C ．(7，－5)D ．(3,6)解析 A ′B ′→与AB →方向相同且长度相等， 故A ′B ′→＝AB →＝(7，－5)． 答案 C9．已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )A ．(0,4)B ．(23，－2)C ．(－23，2)D ．(2，－23)解析 ∵a ＝(3，1)，∴－2a ＝(－23，－2)， 易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，∴b ＝(23，－2)，故选B ．答案 B10．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________(用a ，b 表示)．解析 设c ＝x a ＋y b ，即(－1,2)＝(x ，x )＋(y ，－y )＝(x ＋y ，x －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－32，所以c ＝12a －32b ．答案 12a －32b11．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________． 解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)， 又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112．答案11212．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 和CD →的坐标．解 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． ∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)， ∴CD →＝(－2，－4)．13．(选做题)已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →． (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？ (2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t 值；若不能，说明理由． 解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23． 若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13． 若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0， ∴－23<t <－13． (2)OA →＝(1,2)，PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解． 故四边形OABP 不能成为平行四边形．。
人教A版高中数学必修四新课标优秀教案备课资料平面向量的正交分解及坐标表示
备课资料一、三角形三条中线共点的证明图10如图10所示,已知在△ABC 中,D 、E 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点,设中线AD 、BE 相交于点P.求证:AD 、BE 、CL 三线共点.分析:欲证三条中线共点,只需证明C 、P 、L 三点共线.解:设=a ,AB =b ,则AL =21b ,-==-a +21b . 设=m ,则+=m(+),=(-1+m)+m =(-1+m)a +m[21(b -a )]=(-1+21m)a +21m b . ① 又设EP =n EB ,则CP -CE =n(EC +CB ), ∴CP =(1-n)CE +n CB =21-(1-n)a +n(b -a )=(21--21n)a +n b . ② 由①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-.21.2121211n m m m 解之,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,52n m ∴=-32a +31b =32(-a +21b )=32. ∴C 、P 、L 三点共线.∴AD 、BE 、CL 三线共点.二、备用习题图111.如图11所示,已知=34,=31,用、表示,则等于( ) A.31+34 B.31-+34 C.31-OA -34OB D.31OA -34OB 2.已知e 1,e 2是两非零向量,且|e 1|=m,|e 2|=n,若c =λ1e 1+λ2e 2(λ1,λ2∈R ),则|c |的最大值为( )A .λ1m+λ2n B.λ1n+λ2m C.|λ1|m+|λ2|n D.|λ1|n+|λ2|m3.已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心,且11A A =e 1,21B B =e 2,21C C =e 3,则21C C 等于( ) A.21(e 1+e 2+e 3) B.31(e 1+e 2+e 3) C.32(e 1+e 2+e 3) D.31-(e 1+e 2+e 3) 4.O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP =OA +λ||||(AC AB +,λ∈［0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心5.(2005山东高考) 已知向量a 、b 且=a +2b ,=-5a +6b ,=7a-2b ,则一定共线的三点是( )A.A 、B 、DB.A 、B 、CC.C 、B 、DD.A 、C 、D图126.2007浙江高考,15 如图12,平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB 的夹角为120°, OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |=|OB |=1,|OC |=23,若OC =λOA +μOB (λ,μ∈R ),则λ+μ的值为________.参考答案:1.B2.C3.B4.B5.A6.6(设计者：房增凤)。
人教A版高中数学必修4第二章2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标表示导学案
ABCDO2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 【学习目标】1.理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义；2.了解向量与坐标的关系，会求给定向量的坐标；3.理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，能熟练进行向量的坐标运算.4.会根据表示向量的有向线段的起点坐标和终点坐标求这个向量的坐标. 【知识梳理】 1.平面向量的正交分解把一向量分解成两个 的向量，叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 （1）向量的直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与轴轴，y x 方向相同的两个 j i ,作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数y x ,使得a = ，则把有序数对 叫做向量a 的坐标. (2)向量的坐标表示在向量a 的直角坐标系中， 叫做a 在x 轴上的坐标， 叫做向量a 在y 轴上的表示， 叫做向量的坐标表示.(3)在平面直角坐标系中，=i ，=j ，）（0,00= 3.平面向量的坐标运算（1）已知向量）（2211,),,(y x b y x a ==和实数λ，那么 =+b a ；=-b a ；a λ= ；（2）已知),(),,(2211y x B y x A ，O 为坐标原点，则)(,1122y x y x OA OB AB --=-=）（，即一个向量的坐标表示等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去的 坐标. 即学即练1.如图所示，在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，下列是正交分解的是 （ ） A.OA OB AB -= B.AB AD D B -=C.BD AB AD +=D.CB AC AB +=2.已知基向量j i m j i -===4),1,0(),0,1(，则m 的坐标是 （ ） A.（4,1） B.（-4,1） C.（4，-1） D.（-4，-1）3.已知)1,2(),3,1(-==b a ，则a b -等于 （ ） A.（-3,2） B.（3，-2） C.（-3，-2） D.（-2，-3）4.已知)21(，-=MN ,则=-MN 3 （ ） A.(-3,-3) B.(-6,3) C.（3，-6） D.（-4，-1） 【合作探究】探究一、向量的坐标表示例1.如图，取与x 轴、y 轴同向的两个单位向量j i ,作为基底，分别用j i ,表示OC OB OA ，,，并求出它们的坐标.例2、设向量b a ,的坐标分别是（-1,2），（3，-5），求b a a b a b a 32,3,,+-+；第3页 第4页探究二、向量的直角直角坐标运算例3 、若向量1||||==，且.0,1），求（=+变式：已知)4,3(),1,3(,4,2----C B A ）（，且CB CN CA CM 23==，，求M,N 的坐标和MN 的坐标；【课堂检测】1. 若向量()2,3a x =-r 与向量()1,2b y =+r相等，则 （ ） A.1,3x y == B.3,1x y == C.1,5x y ==- D.5,1x y ==-2. 已知(),AB x y =u u u r ，点B 的坐标为()2,1-，则OA u u u r的坐标为 （ ）A.()2,1x y -+B.()2,1x y +-C.()2 1x y ---，D.()2,1x y ++ 3. 已知()3,1a =-r ，()1,2b =-r ，则32a b --r r等于 （ ）A.()7,1B.()7,1--C.()7 1-，D.()7,1- 4. 设点()1,2A -，()2,3B ，()3,1C -且AD =u u u r 2AB u u u r 3BC -u u ur ，求D 点的坐标.5.已知点A (－1，－5)和向量＝(2,3)，若AB →＝3，则点B 的坐标为 ( ) A ．(6,9)B ．(5,4)C ．(7,14)D ．(9,24)6已知(,),(,)M N ---3251，且=u u u vu u uv MP MN 12，求P 点的坐标.7已知向量()3,2a =-r ，()2,1b =-r ，()7,4c =-r ，试用,a b r r 来表示c r.。
高一数学人教A版必修四教案：平面向量的正交分解及坐标表示
2.3《平面向量的基本定理及座標表示》教學設計【教學目標】1．瞭解平面向量基本定理；2．理解平面裏的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；3．能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達. 【導入新課】 復習引入：1． 實數與向量的積實數λ與向量a 的積是一個向量，記作：λa .（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0時，λa與a 方向相同；λ<0時，λa 與a 方向相反；λ=0時，λa=0.2．運算定律結合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa+λb .3. 向量共線定理向量b 與非零向量a 共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ，使b =λa .新授課階段一、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量a ，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ11e +λ22e . 探究：(1) 我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底； (2) 基底不惟一，關鍵是不共線；(3) 由定理可將任一向量a 在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解； (4)基底給定時，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一確定的數量. 二、平面向量的座標表示如圖，在直角坐標系內，我們分別取與x 軸、y 軸方向相同的兩個單位向量、j 作為基底.任作一個向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x 、y ，使得yj xi a += (1)1 我們把),(y x 叫做向量a 的（直角）座標，記作 ),(y x a = (2)2 其中x 叫做a 在x 軸上的座標，y 叫做a 在y 軸上的座標，○2○2式叫做向量的座標表示.與．a 相等的向量的座標也為．．．．．．．．．．),(y x . 特別地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如圖，在直角坐標平面內，以原點O 為起點作a OA =，則點A 的位置由a 唯一確定. 設yj xi OA +=，則向量OA 的座標),(y x 就是點A 的座標；反過來，點A 的座標),(y x 也就是向量OA 的座標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數唯一表示.三、平面向量的座標運算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，則b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=.兩個向量和與差的座標分別等於這兩個向量相應座標的和與差.設基底為、j ，則b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=，即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=.（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，則()1212,y y x x AB --=.一個向量的座標等於表示此向量的有向線段的終點座標減去始點的座標.AB =OB -OA =( x 2，y 2) -(x 1，y 1)= (x 2- x 1，y 2- y 1).（3）若),(y x a =和實數λ，則),(y x a λλλ=.實數與向量的積的座標等於用這個實數乘原來向量的相應座標. 設基底為、j ，則a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=. 例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的座標.例2 已知a =(2，1)，b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的座標.例3 已知平面上三點的座標分別為A(-2，1)，B(-1，3)， C(3，4)，求點D 的座標使這四點構成平行四邊形四個頂點.解：當平行四邊形為ABCD 時，由DC AB =，得D 1=(2，2).當平行四邊形為ACDB 時，得D 2=(4，6)，當平行四邊形為DACB 時，得D 3=(-6，0). 例4 已知三個力1F (3，4)，2F (2，-5)，3F (x ，y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的座標. 解：由題設1F +2F +3F =0，得：(3，4)+ (2，-5)+(x ，y)=(0，0)， 即：320,450,x y ++=⎧⎨-+=⎩∴5,1.x y =-⎧⎨=⎩∴3F (-5，1).例5 已知a =(2,1),b =(－3,4),求a ＋b ，a －b ，3a＋4b 的座標.解：a ＋b＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)， a －b＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，3a＋4b ＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).點評：利用平面向量的座標運算法則直接求解.例6 已知平行四邊形ABCD 的三個頂點A 、B 、C 的座標分別為（-2，1）、（-1，3）（3，4），求頂點D 的座標.解：設點D 的座標為（x,y ）,即 3- x=1,4-y=2. 解得x=2,y=2.所以頂點D 的座標為（2，2）. 另解：由平行四邊形法則可得(1,3)(2,1)(1,2),(3,4)(,)(3,4),,AB DC x y x y AB DC =---==-=--=且(1,2)(3,4).x y ∴=--(2(1),13)(3(1),43)(3,1),BD BA BC=+=----+---=-例7 經過點(2,3)M -的直線分別交x 軸、y 軸於點,A B ，且||3||AB AM =，求點,A B 的座標.解：由題設知，,,A B M 三點共線，且||3||AB AM =，設(,0),(0,)A x B y ， ①點M 在,A B 之間，則有3AB AM =， ∴(,)3(2,3)x y x -=--. 解之得：3,3x y =-=， 點,A B 的座標分別為(3,0),(0,3)-.②點M 不在,A B 之間，則有3AB AM =-，同理，可求得點,A B 的座標分別為3(,0)2-，(0,9)-.綜上，點,A B 的座標分別為(3,0),(0,3)-或3(,0)2-，(0,9)-.例8. 已知三點(2,3),(5,4),(7,10)A B C ，若AM AB AC λ=-，試求實數λ的取值範圍，使M 落在第四象限.解：設點(,)M x y ，由題設得(2,3)(3,)(5,7)(35,7)x y λλλλ--=-=--， ∴33,4x y λλ=-=-， 要使M 落在第四象限，則330,40x y λλ=->=-<， 解之得14λ<<.例8 已知向量(8,2),(3,3),(6,12),(6,4)a b c p ====，問是否存在實數,,x y z 同時滿足兩個條件：(1);(2)1p xa yb zc x y z =++++=？如果存在，求出,,x y z 的值；如果不存在，請說明理由.解：假設滿足條件的實數,,x y z 存在，則有8366,23124,1.x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得：1,21,31.6x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(1,3)(3,1)(2,2).OD OB BD =+=-+-=∴滿足條件的實數111,,236x y z ===. 課堂小結（1）理解平面向量的座標的概念； （2）掌握平面向量的座標運算；（3）會根據向量的座標，判斷向量是否共線. 作業 見同步練習 拓展提升1.設,1e 2e是同一平面內兩個不共線的向量，不能以下各組向量中作為基底的是（ ） A. 1e ，2e B. 1e +2e ，2e C. 1e ，22e D.1e ，1e +2e2. 設,1e 2e是同一平面內所有向量的一組基底，則以下各組向量中，不能作為基底的是（ ）A. 1e +2e 和1e -2eB. 31e -22e 和41e -62eC. 1e +22e和21e +2e D. 1e +2e 和2e3.已知,1e 2e 不共線，a =1λ1e +2e ，b =4 1e +22e ，並且a ，b共線，則下列各式正確的是（ ）A. 1λ=1，B. 1λ=2，C. 1λ=3，D. 1λ=44.設AB =a +5b ，BC =-2a +8b ，CD =3a -3b，那麼下列各組的點中三點一定共線的是（ ）A. A ，B ，CB. A ，C ，DC. A ，B ，DD. Ｂ，Ｃ，Ｄ ５．下列說法中，正確的是（ ）①一個平面內只有一對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底； ②一個平面內有無數多對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底； ③零向量不可作為基底中的向量.Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ①②③６．已知,1e 2e是同一平面內兩個不共線的向量，那麼下列兩個結論中正確的是（ ）①1λ1e +2λ2e（1λ，2λ為實數）可以表示該平面內所有向量；②若有實數1λ，2λ使1λ1e +2λ2e＝0 ，則1λ＝2λ＝０.Ａ．① Ｂ．② Ｃ．①② Ｄ．以上都不對７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ邊上的中線，若AB ＝a，AC ＝b ，則AM ＝（ ）Ａ．21（a －b ） Ｂ． －21（a －b ）Ｃ．－21（a ＋b ） Ｄ．21（a ＋b ）８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六邊形，AB ＝a，AE ＝b ，則BC ＝（ ）Ａ．21（a －b ） Ｂ． －21（a －b ）Ｃ．a ＋21b Ｄ．21（a ＋b ）９．如果３1e +４2e ＝a ，２1e +３2e ＝b ，其中a ，b為已知向量，則1e ＝ ，2e ＝ .１０．已知,1e 2e 是同一平面內兩個不共線的向量，且AB ＝２1e +ｋ2e ，CB ＝1e +３2e，CD ＝２1e －2e，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三點共線，則ｋ的值為 .１１．當ｋ為何值時，向量a＝４1e +２2e ，b ＝ｋ1e ＋2e 共線，其中1e 、2e 是同一平面內兩個不共線的向量.１２．已知：1e 、2e 是不共線的向量，當ｋ為何值時，向量a＝ｋ1e +2e 與b ＝1e ＋ｋ2e 共線？。
人教版高中数学全套教案导学案高中数学 (2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示)教案 新人教A版必修4
2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j.于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.三维目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2,请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如图1,设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .过点C 作平行于直线OB 的直线,与直线OA;过点C 作平行于直线OA 的直线,与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由于ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明:(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:图2已知两个非零向量a和b(如图2),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.显然,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xｉ+y j ①这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y) ②其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,11B A 是表示a 的有向线段,A 1、B 1的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则向量a 的坐标为x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了,即点A 的坐标就是向量a 的坐标,流程表示如下:讨论结果:①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y).②是一一对应的.应用示例思路1例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.图4活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 21=b +21a . AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-= =a 61-b . 点评:以a 、b 为基底分解向量AM 与HF ,实为用a 与b 表示向量AM 与HF . 变式训练图5已知向量e 1、e 2(如图5),求作向量-2.5e 1+3e 2作法:(1)如图,任取一点O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2.(2)作OACB. 故OC OC 就是求作的向量.图6例2 如图6,分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解,看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来,进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点,则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法,可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a 与b 关于y 轴对称,a 与c 关于坐标原点中心对称,a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j ,∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ,又∵A、B 、D 三点共线, ∴向量AB 与BD 共线.因此存在实数υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量,故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.例3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③ 活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2图7例1 如图7,M 是△A BC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN .活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0.推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+= ∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0. ∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ== ∴=+++NM BN NM BN μλ3230.∴(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0. 由于BN 和NM 不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .点评:这里选取NM BN ,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ 解之,得λ=1,μ=-1.图8例2 如图8,△A BC 中,AD 为△A BC 边上的中线且AE=2EC,求GEBG GD AG 及的值. 活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值. 解:设μλ==GEBG GD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∴AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ), ∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC . ① 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ),∴(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∴AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC . ② 比较①②,∵AB 、AC 不共线, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过△O AB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设OP =h OA ,OB k OQ =,试证:311=+kh 解:设OA =a ,OB =b ,OG 交AB 于D,则OD =21(OB OA +)=21(a +b )(图略). ∴OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k -b , OQ OP QP -==h a -k b .∵P、G 、Q 三点共线,∴QP QG λ=. ∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k k h k =+⇒-=-, ∴kh 11+=3. 知能训练1.已知G 为△A BC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.图9解答:1.如图9,AG =32AD , 而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b . 点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义. 2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB =(2,0). ∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0). ∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或 ∴x=-1.点评:先将向量AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决. 课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.作业课本习题2.3 A 组1.设计感想1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理.教科书首先通过“思考”:让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示.2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.。
《平面向量的正交分解及坐标表示》教案
《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》教案一、教学目标1、使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程；掌握平面向量的坐标表示及其运算；2、通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；3、在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。
二、教学重难点重点：平面向量的坐标表示及坐标运算；难点：对平面向量的坐标表示生成过程的理解。
三、教具多媒体课件四、教学过程设计一、复习回顾 问题情境 【回顾】平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e【情境】光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F 1和木块产生的垂直于斜面的压力F 2（如图）．一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．【问题】 在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？二、理解概念 加深认识如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 a xi yj =+ …………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y = …………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示。
结合定义，指导学生求出向量i 、j 、0 的坐标。
（多媒体演示）如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a = ，则点A 的位置由a 唯一确定。
设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标。
高中数学2.3.2《平面向量正交分解及坐标表示》导学案新人教A版必修4
v
v
蒇 2、已知向量 | a | 4 , 的方向与 x 轴的正方向的夹角是 30°，则 a 的坐标为 _____________ 。
袄 3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（
）
v
v
蚃 A． a (0,0), b (1, 2)
v
v
肈 B． a ( 1,2), b (5,7)
v
v
袆 C． a (3,5) b (6,10)
v
v
薄 D． a (2, 3)b (4, 6)
v
v
rr
蚄 4、已知向量 a ( 2,4) b (1, 2) 则 a 与 b 的关系是（
,
0= .
芁如图，在直角坐标平面内，以原点 O为起点作 OA a ，则点 A 的位置由 a 唯一确定 .
螈设 OA xi yj ，则向量 OA 的坐标 ( x, y) 就是点 A 的坐标；反过来 ，点 A 的坐标 ( x, y) 也就是向 量 OA 的坐标 . 因此，在平面直角坐标系内，每一 个平面向量都是可以用一对实数唯一表示 .
i 、 j 作为基底 . 任
袁 a xi yj …………○1
衿我们把 (x, y) 叫做
，记作
莈 a ( x, y) …………○2
莄其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，○2 式叫做 的．坐．标．也．为． ( x, y) .
与．a 相．等．的．向．量．
袃特别地， i= , j=
人教版高中数学必修4学案 2.3.2平面向量的正交分解、 坐标表示
第二章平面向量2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.2 平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算1．理解向量的坐标表示．2．掌握向量的有关坐标运算：两坐标的和、两坐标的差、数乘向量坐标和向量的坐标运算．基础梳理一、平面向量的坐标表示1．平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量叫做向量的正交分解．2．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对实数x、y使得a＝xi＋yj．这样平面内的任一向量a都可由x、y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示．3．几个特殊向量的坐标表示． i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，0＝(0，0)．4．以原点O 为起点作向量OA→，设OA →＝x i ＋yj ，则向量OA →的坐标(x ，y )，就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(x ，y )也就是向量OA →的坐标．思考应用1．点的坐标和向量的坐标有什么区别和联系？解析：(1)点的坐标是反映点的位置，它由点的位置决定，向量的坐标反映的是向量的大小和方向，其仅仅由大小和方向决定，与位置无关；(2)向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标，当向量起点在原点时，向量的终点坐标就等于向量的坐标．二、向量的坐标运算1．两个向量和差的坐标运算．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)；a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．2．数乘向量的坐标运算． 若a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )． 3．向量AB→的坐标表示． 若已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．思考应用2．向量平移前后始点、终点的坐标发生了变化，而向量本身的坐标却不变，这怎么解释呢？解析：解决这个问题的关键是探讨始点、终点坐标的变化是否会引起向量坐标的变化，向量AB→经过平移以后得到向量CD →，这两个向量的坐标分别等于其相应的终点的坐标减去始点坐标，尽管对应的始点、终点坐标不同，但由坐标表示过程中构造的平行四边形全等可知，其差值是不变的，所以一个向量的坐标只和表示它的有向线段的始点、终点的相对位置有关，而与具体位置无关．自测自评1．若O (0，0)，A (－1，3)且OB→＝3 OA →，则点B 的坐标为(B ) A ．(3，9) B ．(－3，9) C ．(－3，3) D ．(3，－3)解析：OB →＝3 OA →＝3(－1，3)＝(－3，9)，所以点B 的坐标为(－3，9)．故选B.2．已知MA →＝⎝⎛⎭⎫－2，4，MB →＝⎝⎛⎭⎫2，6，则12AB →＝(D ) A ．(0，5) B ．(0，1) C ．(2，5) D ．(2，1)3．已知A (0，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫12，－13，C ⎝⎛⎭⎪⎫－12，23，则(D )A.AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，13B.BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，13C.CA →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，23D.AC →＋AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，13解析：AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－13，BC →＝(－1，1)，CA →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－23，AC →＋AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，13.故选D4．若点A ⎝⎛⎭⎫－2，1，B (1，3)，则BA →＝⎝⎛⎭⎫－3，－2．基础提升1．若AB→＝()2，3，且点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为(C ) A ．(1，1) B.()－1，1 C.()3，5 D.()4，42．已知平行四边形OABC (O 为原点)，OA →＝(2，0)，OB →＝(3，1)，则OC 等于(A )A ．(1，1)B ．(1，－1)C ．(－1，－1)D ．(－1，1)解析：OC→＝AB →＝OB →－OA →＝(3，1)－(2，0)＝(1，1)，故选A.3．若向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c 等于(B ) A ．－12a ＋32b B.12a －32bC.32a －12b D ．－32a ＋12b 4.设a ＝(4，－3)，b ＝(x ，5)，c ＝(－1，y )，若a ＋b ＝c ，则(x ，y )＝________．解析：∵a ＋b ＝c ，∴(4＋x ，2)＝(－1，y )，∴⎩⎨⎧4＋x ＝－1，2＝y ，即⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝2，∴(x ，y )＝ (－5，2)． 答案：(－5，2)5．若将向量a ＝(3，1)按逆时针方向旋转π2得到向量b ，则b 的坐标为________．答案：(－1，3)6．已知平行四边形OABC (O 为原点)，OA →＝(2，0)，OB →＝(3，1)，则OC →等于(A)A ．(1，1)B ．(1，－1)C ．(－1，－1)D ．(－1，1)解析：OC →＝AB →＝OB →－OA →＝(3，1)－(2，0)＝(1，1)，故选A. 巩固提高7．作用于原点的两个力F 1＝()2，2，F 2＝()1，3，为使它们平衡，需加力F 3＝________．答案：()－3，－58．已知A ()2，3，B ()4，－3，点P 在线段AB 的延长线上，且⎪⎪⎪⎪AP →＝32⎪⎪⎪⎪PB →，求点P 的坐标． 解析：设P ⎝⎛⎭⎫x ，y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且⎪⎪⎪⎪AP →＝32⎪⎪⎪⎪PB →，得⎝⎛⎭⎫x －2，y －3＝32⎝⎛⎭⎫x －4，y ＋3， 即⎩⎨⎧2x －4＝3x －12，2y －6＝3y ＋9，解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫8，－15.9．已知A (－2，1)，B (1，7)，求线段AB 的三等分点P ，Q 的坐标(其中P 距点A 近)．解析：设P (x ，y )，∵P 为AB 的三等分点， ∴AP→＝13AB →，即(x ＋2，y －1)＝13(3，6)． ∴⎩⎨⎧x ＋2＝1，y －1＝2，⇒⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3.∴P (－1，3)同理可求Q (0，5)．10．在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量方法证明PA ＝EF [已知若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2)]．证明：建立如下图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a ，则A (0， a )．设|DP →|＝λ(0＜λ＜2a )，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，22λ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，22λ，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－a ，－22λ，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫－22λ，a －22λ，因为|EF→|2＝λ2－2a λ＋a 2， |PA→|2＝λ2－2a λ＋a 2， 所以|EF→|＝|PA →|，即EF ＝PA . 11．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →，试求t 为何值时：(1)点P 在x 轴？ (2)点P 在y 轴？ (3)点P 在第一象限？解析：∵OP→＝(1＋3t ，3t ＋2)，∴P (1＋3t ，3t ＋2)． (1)若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；(2)若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13；(3)若点P 在第一象限上，则⎩⎨⎧1＋3t >0，2＋3t >0，t >－13.1．要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．2．向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数和形紧密结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟悉的数量运算．3．求一个向量时，首先求一个向量的始点和终点坐标．4．求一个点的坐标，可以转化为求一个始点在原点，终点在该点的向量坐标．。
学高中数学平面向量平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算教师用书教案新人教A版必修
２.３．２平面向量的正交分解及坐标表示２.３．３平面向量的坐标运算学习目标核心素养１．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．（难点）２．理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．（重点）３．向量的坐标与平面内的点的坐标的区别与联系．（易混点）１．通过力的分解引进向量的正交分解，从而得出向量的坐标表示，提升学生的数学建模和数学抽象素养.２．通过向量坐标运算，培养学生的数学运算素养.１．平面向量的正交分解及坐标表示（１）平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．（２）平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝（x，y）叫做向量的坐标表示．显然，i＝（１,0），j＝（0,１），0＝（0,0）．２．平面向量的坐标运算设向量a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝（x１＋x２，y１＋y２）减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a—b＝（x１—x２，y１—y２）数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝（λx１，λy１）重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!＝（x２—x１，y２—y１）[提示] 向量的坐标只与起点和终点的相对位置有关，是终点坐标减去起点坐标，而与它们的具体位置没有关系．１．已知M（２,３），N（３,１），则错误!的坐标是（）Ａ．（２，—１）Ｂ．（—１,２）Ｃ．（—２,１）Ｄ．（１，—２）B[错误!＝（２,３）—（３,１）＝（２—３,３—１）＝（—１,２）．]２．已知向量a＝（—１,２），b＝（１,0），那么向量３b—a的坐标是（）Ａ．（—４,２）Ｂ．（—４，—２）Ｃ．（４,２）Ｄ．（４，—２）D[３b—a＝３（１,0）—（—１,２）＝（４，—２）．]３．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝２，θ＝４５°，则向量a的坐标为________．（错误!，错误!）[由题意知a＝（２cos ４５°i,２sin ４５°j）＝（错误!i，错误!j）＝（错误!，错误!）．]４．已知A（３，—５），B（—１,３），点C在线段AB上，且错误!＝３错误!，则点C的坐标是________．（0,１）[由错误!＝３错误!得错误!—错误!＝３错误!—３错误!，∴４错误!＝错误!＋３错误!，即错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，∴C的坐标为错误!（３，—５）＋错误!（—１,３）＝（0,１）．]平面向量的坐标表示【例１】OAB＝１0５°，错误!＝a，错误!＝b.四边形OABC为平行四边形．（１）求向量a，b的坐标；（２）求向量错误!的坐标；（３）求点B的坐标．[解] （１）作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos ４５°＝４×错误!＝２错误!，AM＝OA·sin ４５°＝４×错误!＝２错误!，∴A（２错误!，２错误!），故a＝（２错误!，２错误!）．∵∠AOC＝１80°—１0５°＝7５°，∠AOy＝４５°，∴∠COy＝３0°.又OC＝AB＝３，∴C错误!，∴错误!＝错误!＝错误!，即b＝错误!.（２）错误!＝—错误!＝错误!.（３）错误!＝错误!＋错误!＝（２错误!，２错误!）＋错误!＝错误!.∴点B的坐标为错误!.求点、向量坐标的常用方法：（１）求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．（２）求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．错误!１．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示错误!，错误!，错误!，并求出它们的坐标．[解] 由图形可知，错误!＝6i＋２j，错误!＝２i＋４j，错误!＝—４i＋２j，它们的坐标表示为错误!＝（6,２），错误!＝（２,４），错误!＝（—４,２）.平面向量的坐标运算【例２】１２a＋３b；２a—３b；３错误!a—错误!b.（２）已知A（—２,４），B（３，—１），C（—３，—４），且错误!＝３错误!，错误!＝２错误!，求M，N及错误!的坐标．思路点拨：（１）运用向量坐标运算的公式进行求解．（２）法一：设点M，N的坐标，用向量相等的坐标表示列方程求值．法二：用向量线性运算的几何意义直接计算错误!，错误!的坐标．[解] （１）∵a＝（—１,２），b＝（２,１），∴２a＋３b＝２（—１,２）＋３（２,１）＝（—２＋6,４＋３）＝（４,7）．a—３b＝（—１,２）—３（２,１）＝（—１—6,２—３）＝（—7，—１）错误!a—错误!b＝错误!（—１,２）—错误!（２,１）＝错误!＝错误!（２）法一：（待定系数法）由A（—２,４），B（３，—１），C（—３，—４），可得错误!＝（—２,４）—（—３，—４）＝（１,8），错误!＝（３，—１）—（—３，—４）＝（6,３），所以错误!＝３错误!＝３（１,8）＝（３,２４），错误!＝２错误!＝２（6,３）＝（１２,6）．设M（x１，y１），N（x２，y２），则错误!＝（x１＋３，y１＋４）＝（３,２４），所以x１＝0，y１＝２0；错误!＝（x２＋３，y２＋４）＝（１２,6），所以x２＝9，y２＝２，所以M（0,２0），N（9,２），错误!＝（9,２）—（0,２0）＝（9，—１8）．法二：（几何意义法）设点O为坐标原点，则由错误!＝３错误!，错误!＝２错误!，可得错误!—错误!＝３（错误!—错误!），错误!—错误!＝２（错误!—错误!），从而错误!＝３错误!—２错误!，错误!＝２错误!—错误!，所以错误!＝３（—２,４）—２（—３，—４）＝（0,２0），错误!＝２（３，—１）—（—３，—４）＝（9,２），即点M（0,２0），N（9,２），故错误!＝（9,２）—（0,２0）＝（9，—１8）．平面向量坐标的线性运算的方法：１若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.２若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.３向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.错误!２．若A，B，C三点的坐标分别为（２，—４），（0,6），（—8,１0），求错误!＋２错误!，错误!—错误!错误!的坐标．[解] ∵错误!＝（—２,１0），错误!＝（—8,４），错误!＝（—１0,１４），∴错误!＋２错误!＝（—２,１0）＋２（—8,４）＝（—２,１0）＋（—１6,8）＝（—１8,１8），错误!—错误!错误!＝（—8,４）—错误!（—１0,１４）＝（—8,４）—（—５,7）＝（—３，—３）.向量坐标运算的综合应用[探究问题]１．已知A，B点坐标，O为坐标原点，若错误!＝错误!＋t错误!，如何求点P在坐标轴上，在某象限内时的t值或范围．提示：错误!＝错误!＋t错误!＝错误!＋t（错误!—错误!）＝（１—t）错误!＋t错误!，把A，B点坐标代入上式，从而求出P点坐标（x，y）．若P在x轴上，则y＝0，若P在y轴上，则x＝0，若P在第一、三象限角平分线内，则x＝y，若P在第一象限，则x＞0且y＞0，求其他范围时，只要x，y满足关系式或不等式即可．２．对于探究１条件不变，O，A，B，P能否为四边形？请说明理由．提示：由条件可知，错误!＝（１—t）错误!＋t错误!，而（１—t）＋t＝１，所以点P，A，B三点共线，故O，A，B，P不能构成四边形．【例３】（１）已知向量a＝（２，—３），b＝（１,２），p＝（9,４），若p＝m a＋n b，则m＋n＝________.（２）已知点A（２,３），B（５,４），C（7,１0）．若A错误!＝A错误!＋λA错误!（λ∈R），试求λ为何值时，１点P在一、三象限角平分线上；２点P在第三象限内．思路点拨：（１）（１）7 [由已知得m a＋n b＝m（２，—３）＋n（１,２）＝（２m＋n，—３m＋２n）．又p＝（9,４）且p＝m a＋n b，所以错误!解得错误!所以m＋n＝7．]（２）[解] 设点P的坐标为（x，y），则A错误!＝（x，y）—（２,３）＝（x—２，y—３），A错误!＋λA错误!＝[（５,４）—（２,３）]＋λ[（7,１0）—（２,３）]＝（３,１）＋λ（５,7）＝（３＋５λ，１＋7λ）．∵A错误!＝A错误!＋λA错误!，∴错误!则错误!１若点P在一、三象限角平分线上，则５＋５λ＝４＋7λ，∴λ＝错误!，∴当λ＝错误!时，点P在一、三象限角平分线上．２若点P在第三象限内，则错误!∴λ<—１，∴当λ<—１时，点P在第三象限内．１．若本例（２）条件不变，试求λ为何值时，点P在第四象限．[解] 若P在第四象限，由本例（２）的解析得错误!解得—１＜λ＜—错误!.２．若本例（２）条件“错误!＝错误!＋λ错误!”改为“错误!＝错误!＋λ错误!”，其他条件不变，应如何解答？[解] 设点P的坐标为（x，y），则错误!＝（x—５，y—４），错误!＋λ错误!＝（—３，—１）＋λ（２,6）＝（—３＋２λ，—１＋6λ）．因为错误!＝错误!＋λ错误!，所以错误!则错误!１若点P在一、三象限角平分线上，则２＋２λ＝３＋6λ，解得λ＝—错误!.２若点P在第三象限内，则错误!解得λ＜—１．１．解答本题可用待定系数法．此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程（组）求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．２．坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．１．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．２．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A（x A，y A），B（x B，y B），则错误!＝（x B—x A，y B—y A）．３．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积．１．给出下面几种说法：１相等向量的坐标相同；２平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；３一个坐标对应于唯一的一个向量；４平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４C[由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故３错误．]２．已知向量a＝（１,２），２a＋b＝（３,２），则b＝（）Ａ．（１，—２）Ｂ．（１,２）Ｃ．（５,6）Ｄ．（２,0）A[令b＝（x，y），则２＋x＝３且４＋y＝２，解得x＝１，y＝—２，故选Ａ．]３．已知A（２，—３），错误!＝（３，—２），则点B和线段AB的中点M坐标分别为（）Ａ．B（５，—５），M（0,0）Ｂ．B（５，—５），M错误!Ｃ．B（１,１），M（0,0）Ｄ．B（１,１），M错误!B[错误!＝错误!＋错误!＝（２，—３）＋（３，—２）＝（５，—５），错误!＝错误!＋错误!错误!＝（２，—３）＋错误!（３，—２）＝错误!.]４．已知点A（１,３），B（４，—１），则与向量错误!同方向的单位向量为________．错误![错误!＝（３，—４），则与错误!同方向的单位向量为错误!＝错误!（３，—４）＝错误!.]５．在平行四边形ABCD中，若错误!＝（２,４），错误!＝（１,３），则错误!用坐标表示________．（—１，—１）[根据平行四边形法则，错误!＝错误!—错误!＝（１,３）—（２,４）＝（—１，—１）．]。
人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》教案_001
2.3.2 平面向量的正交分解、坐标表示及运算教学目的：掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减 及数乘运算。
教学重点：向量的坐标表示及坐标运算。
教学难点：坐标表示及运算意义的理解。
教学过程一、复习提问 1．复习向量相等的概念相等向量OA =BC ，方向相同，大小相等。
2．平面向量的基本定理（基底）a =λ11e +λ22e 其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
二、新课1、正交分解的物理背景及其概念图2.3－6（P105），光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一 是木块受平行于斜面的F 1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力 F 2，G ＝F 1＋F 2，叫做把重力G 分解。
由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量 a =λ11e +λ22e把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2、平面向量的坐标表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i , 作基底，则平面内作一向量a =x i +y ，O B C A xy a记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示。
＝（1,0），＝（0,1），＝（0,0） 例2、如图，分别用基底, 表示向量、、、，并求出它们的坐标。
解：由图可知：21AA +=＝2＋3 所以，＝（2,3）同理，有：＝－2＋3＝（－2,3）＝－2－3＝（－2,－3） ＝2－3＝（2,－3）3、平面向量的坐标运算（1）已知a (x 1, y 1) b (x 2, y 2) 求a +b ，a -b 的坐标（2）已知a (x, y)和实数λ, 求λa 的坐标 解：a +b =(x 1i +y 1j )+( x 2i +y 2j )=(x 1+ x 2) i + (y 1+y 2) j 即：a +b =(x 1+ x 2, y 1+y 2)同理：a -b =(x 1- x 2, y 1-y 2)，。
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课时28 平面向量的正交分解及坐标表示
【使用说明及学法指导】
1、先学习课本P 94—P 98，然后开始做导学案。
2、根据自学提纲，理解平面向量的正交分解及坐标比表示方法。
3、根据自学提纲，掌握平面向量坐标的加法、减法、数乘运算及其应用。
4、带*的C 层可以不做（附加）的B 、C 层可以不做。
【学习目标】
1、掌握平面向量的坐标表示方法。
2、通过自主学习、探究合作，理解平面向量与其坐标表示之间的对应关系。
3、理解、记忆平面向量坐标表示的加法、减法及数乘公式。
4、积极主动参与学习，体验成功的愉悦。
一、自学提纲
1、什么叫向量的正交分解？
2、向量的坐标表示：（1）在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴同方向的单位向量
i →、j →
，则对于平面内任意向量
a →，有且只有一对实数x 、y 使得a →= ，这样，平面
内的任一向量a →都可以由实数x 、y 唯一确定。
我们把有序实数对()y x ,叫做
记作a →= ,其中x 叫做a →在 的坐标，y 叫做a →在 的坐标。
（2）在平面直角坐标系中，若设
OA →=j i y x →→+，则向量OA →的坐标()y x ,就是终点A
的坐标，反过来，终点A 的坐标()y x ,就是向量
OA →的坐标。
因此，在平面直角坐标系中，每一个向量都可以用一有序实数对唯一表示，即每一个向量与其坐标之间具有 的关系。
二、探究、合作、展示
例1、分别用坐标表示出下列平面向量：
i →= ，j → = ，0→
=
例2、写出如图所示的向量→OA ,→OB ,→OC ,→OD 的坐标.
例3、已知A 、B 两点的坐标，求向量→AB 及→BA 的坐标：
（1）()();6,9,3,2B A (2) ()();0,9,3,0B A (3) ()();3,6,4,3B A - (4) ()();1,0,2,0-B A
例4、已知
()()4,3,1,3-==→→b a ，求b a →→+，b a →→-及b a →→+34的坐标.
例5、已知表示向量
a →
的有向线段始点A 的坐标，求它的终点B 的坐标. （1）
()()0,0,2,1A a -=→；
（2）()()1,5,1,3-=→A a ；（3）()()7,3,5,1A a --=→
（4）、(附加)已知A ()3,2,()y B ,1-,()2,-x C ，()6,3-D ，若→→=CD AB ,求y x ,的值.
例6、已知平行四边形ABCD 中, ()()()2,3,4,2,1,3D B A --,求点C 的坐标.
例7（1）、已知点A(0,1), B(1,0), C(1,2), D(2,1),试判断AB 与CD 的位置关系
（2）、已知一物体只受三个力
()()()1,33,5,22,4,31=-==→→→F F F 的作用，求作用在该物体上的合力.
（3）、（附加）已知一物体在三个力()()()1,13,,32,1,1==-=→
→→F F F y x 的作用下能保持匀
x,的值. 速直线运动，求y
四、课堂小结
1、知识方面：
2、方法与数学思想：。