7常微分方程数值解法

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h3 y ( xn 1 ) y ( xn 1 ) 2hy( xn ) y( ) 3 h3 y ( xn 1 ) y ( xn 1 ) 2hy( xn ) y( ) 3 设 yn y ( xn ) ， yn 1 y ( xn 1 ) 前两步准确。则上式成为
x1 x2 xn xn1
上的近似值 y1,y2,,yn,yn+1,. 相邻两个节点的间距
hn=xn+1-xn称为步长. 今后如不特别说明，总是假定
hi=h(i=1,2,)为定数, 这时节点为xn=x0+nh(i=0,1,2,) (等距节点).
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yn-k+1，称为k步法. 其次，要研究公式的局部截断误差
和阶，数值解yn与精确解y(xn)的误差估计及收敛性， 还有递推公式的计算稳定性等问题.
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欧拉法
一阶常微分方程
y f ( x, y ) y ( x0 ) y0 的解 y y ( x ) 是通过点 ( x0 , y0 ) 的一条曲线 y y ( x ) ，称之为微分 方程的积分曲线。积分曲线上每一点 ( x, y ) 的切线斜率 y( x) 等于
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欧拉法数学推导: 数值积分
将方程 y( x) f ( x, y ) 两端从 xn 到 xn 1 积分，有

xn1
xn
y( x)dx
xn1
xn
f ( x, y ( x))dx
y ( xn 1 ) y ( xn )
xn1
xn
f ( x, y ( x))dx
算出积分项，可得 y ( xn 1 ) 。利用左矩形公式
y y1 f ( x1 , y1 )( x x1 )
当 x x2 时，得 y2 y1 f ( x1 , y1 )( x2 x1 ) ，取 y ( x2 ) y2 。 一般地，过 ( xn , yn ) 做以 y( xn ) f ( xn , yn ) 为切线斜率的方程
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2 欧拉法数学推导 ：数值微分（用差商代替导数 ） 设 x0 , x1 , x2 , , xn 等距，步长 h xn1 xn ,
y( x ) y( x h) y( x ) , h
n 0,1,
y x h y x h y x y x h f x , y
依次计算下去，部分计算结果见下表.
xn 欧拉公式数值解yn 准确解y(xn) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.191818 1.358213 1.508966 1.649783 1.784770 1.183216 1.341641 1.483240 1.612452 1.732051 误差 0.008602 0.016572 0.025726 0.037331 0.052719
与准确解 y 1 2 x 相比，可看出欧拉公式的计算结 果度很差.16:30:06
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局部截断误差和阶： 数值公式的精度 定义 局部截断误差：假设第n步是准确的，即 y(xn )=yn，将y(xn+1 ) - yn+1定义为数值方法的局部截断 误差。
由于实际上yn不是准确值，因此它的误差会传播下去。 实际计算时，每一步都可能产生舍入误差。
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梯形法
对微分方程y′=f(x,y) 两边求xn到xn+1 的定积分，有
y( xn1 ) y( xn )
xn1 xn
f ( x, y( x))dx
利用梯形公式计算积分，有
点，用 y2 作为曲线 y ( x ) 上的点 ( x2 , y ( x2 )) 的纵坐标 y ( x2 ) 的近似 值。这样下去便可作出一条折线 P0 P 。设已作出折线的顶点 1P 2 为 Pn ，再从 Pn 做切线 y( xn ) ，推进到 Pn 1 ( xn 1 , yn 1 ) 。
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简单的数值方法与基本概念
科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问 题. 这类问题最简单的形式，是本章将着重考察的一 阶方程的初值问题
y f ( x, y ), y ( x0 ) y0 .
我们知道，只有f(x, y)适当光滑—譬如关于y满足 利普希茨(Lipschitz)条件
数值分析
第七章 常微分方程初值问题数值解法
本章内容
欧拉法

线性多步法
亚当斯法 亚当斯预报-校正公式 误差修正法

欧拉公式 两步欧拉公式 梯形法 改进欧拉法
收敛性与稳定性 微分方程组和高阶微分方程
龙格-库塔法

基本思路 二阶、三阶龙格-库塔法 经典龙格-库塔法 隐式龙格-库塔法
f ( x, y ) f ( x, y ) L y y .
理论上就可以保证初值问题的解y＝f(x)存在并且唯一.
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虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但
解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问 题中归结出来的微分方程主要靠数值解法. 所谓数值解法, 就是寻求解y(x)在一系列离散节点
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过 ( x0 , y0 ) 做以 y( x0 ) f ( x0 , y0 ) 为切线斜率的方程
y y0 f ( x0 , y0 )( x x0 )
当 x x1 时，得 y1 y0 f ( x0 , y0 )( x1 x0 ) ，取 y ( x1 ) y1 。 过 ( x1 , y1 ) 做以 y( x1 ) f ( x1 , y1 ) 为切线斜率的方程
定义 若局部截断误差为O(hp+1), p为正整数，则称数 值公式是p阶公式。
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欧拉公式的局部截断误差和阶
yn1 yn h f ( xn , yn ) y( xn ) h y( xn )
1 y ( ) h 2 2
二阶泰勒公式
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隐式（后退）欧拉公式
隐式（后退）欧拉公式：取 y ( xn 1 ) 的向后差商
1 y( xn 1 ) [ y ( xn 1 ) y ( xn )] h
替代 y( xn 1 ) f ( xn 1 , yn 1 ) 中的导数项，并离散化，有隐式欧拉公 式 yn 1 yn hf ( xn 1 , yn 1 ) 隐式（后退）欧拉公式的局部截断误差：假设 yn y ( xn ) ， 则
函数 f ( x, y ) 在这点的值。 1 几何推导 从初始点 P0 ( x0 , y0 ) 出发，做切线 y( x0 ) ，与
x x1 交于 P 1 ( x1 , y1 ) 点，用 y1 作为曲线 y ( x ) 上的点 ( x1 , y ( x1 )) 的纵 坐标 y ( x1 ) 的近似值。 再从 P 与 x x2 交于 P2 ( x2 , y2 ) 1 做切线 y ( x1 ) ，
h2 h3 y ( xn 1 ) y ( xn h) y ( xn ) hy( xn ) y( xn ) y( ) 2! 3! h2 h3 y ( xn 1 ) y ( xn h) y ( xn ) hy( xn ) y( xn ) y( ) 2! 3! 上二式相减，可得.
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2 欧拉法的数学推导:泰勒展开法
将 y ( xn 1 ) 在 xn 处做泰勒展开 h2 y ( xn 1 ) y ( xn h) y ( xn ) hy( xn ) y( n ) 2! 当 h 充分小时，忽略高次项得 h2 y( n ) O(h 2 ) 2! 因此，有欧拉公式 yn 1 yn hf ( xn , yn )
h2 y ( xn 1 ) yn 1 y ''( xn ) 2
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两步欧拉公式
为了提高精度，改用中心差商
1 [ y ( xn 1 ) y ( xn 1 )] 替代 2h
y( xn ) f ( xn , yn ) 中的导数项，并离散化，有两步欧拉公式 yn 1 yn 1 2hf ( xn , yn ) 两步欧拉公式是两步法，要用前两步的值。 两步欧拉公式的局部截断误差

xn1
xn
f ( x, y ( x))dx hf ( x, y ( x))
代入，并离散化，有欧拉公式 yn 1 yn hf ( xn , yn )
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例7-1 用欧拉公式求解初值问题
2x (0 x 1), y y y y (0) 1.
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初值问题的数值解法有个基本特点，他们都采 取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步 一步地向前推进. 描述这类算法，只要给出用已知信
息yn,yn-1,yn-2,计算yn+1的递推公式.
首先，要对微分方程离散化，建立求解数值解的