常微分方程数值解法欧拉法

说明
§1 Euler’s Method
截断误差: 实际上，y(xn) yn， yn 也有误差，它对yn+1的误 差也有影响，见下图。但这里不考虑此误差的影响，仅考虑 方法或公式本身带来的误差，因此称为方法误差或截断误差。
局部截断误差的分析：由于假设yn = y(xn) ，即yn准确，因此 分析局部截断误差时将y(xn+1) 和 yn+1都用点xn上的信息来表 示，工具：Taylor展开。
y(xn1) y(xn ) hy(xn ) y(xn ) yn
y(xn1) yn1 yn h f (xn , yn )
§1 Euler’s Method
Taylor展开法
yn1 yn h f (xn , yn ) n 0, 1,...
--------Euler’s Method
几何意义
几何直观是帮助我们寻 找解决一个问题的思路
的好办法哦 亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
显然，这种近似有一定误差， 而且步长越大，误差越大， 如何估计这种误差y(xn+1) yn+1 ？
§1 Euler’s Method
定义 在假设 yn = y(xn)，即第 n 步计算是精确的前提下，考 虑公式或方法本身带来的误差: Rn = y(xn+1) yn+1 , 称为局部 截断误差 /* local truncation error */。
节点间距 hi xi1 xi (i 0, ... , n 1) 为步长，通常采用等距节点， 即取 hi = h (常数)。 步进式：根据已知的或已求出的节点上的函数值计算 当前节点上的函数值，一步一步向前推进。因此只需 建立由已知的或已求出的节点上的函数值求当前节点 函数值的递推公式即可。
§1 欧拉方法 /* Euler’s Method */
欧拉法具有 1 阶精度。
在第2章讨论牛顿插值公式时 介绍了差商的概念和性质， 各阶差商可以近似各阶导数，具有不同的精度， 且可以用函数值来表示。 上一章中数值微分的方法之一
就是Βιβλιοθήκη Baidu差商近似导数
在xn点用一阶向前差 商近似一阶导数
y(xn )
y(xn1) h
y(xn )
y(xn1) y(xn ) hy(xn )
)
f ( xn1, yn1)
hL
y(k ) n 1
yn1
L
hL
k 1
y(0) n 1
yn1
Q
hL 1,
y (k 1) n 1
yn1 (k
)
在迭代公式中取极限，有
yn1 yn h f ( xn1, yn1 ) 因此yn(k1)的极限就是隐式方程的解
几何意义
y
设已知曲线上一点 Pn (xn , yn ),过该 点作弦线，斜率为(xn+1 , yn +1 ) 点的 方向场f(x,y)方向,若步长h充分小， 可用弦线和垂线x=xn+1的交点近似 曲线与垂线的交点。
解的存在唯一性（“常微分方程”理论）：只要 f (x, y) 在[a, b] R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使| f (x, y1) f (x, y2 ) | L | y1 y2 |
对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存 在唯一解。
y' (xn+1)代替f(xn+1 , yn +1 )
第五章 常微分方程数值解
/* Numerical Methods for Ordinary Differential Equations */
待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value
Problem */:
dy f ( x, y) x [a, b] dx y(a) y0
欧拉法的局部截断误差：
Rn1
y ( xn 1 )
yn1
[ y(xn )
hy(xn )
h2 2
y(xn )
O(h3 )]
Rn+1 的主项
/* leading term */
[ yn hf (xn , yn )]
h2 2
y(xn ) O(h3 )
§1 Euler’s Method
定义 若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。
y( xn1 )
y(xn1) h
y(xn )
y(xn1) y(xn ) hy(xn1)
y(xn ) yn y(xn1) yn1 yn h f (xn1, yn1)
隐式或后退欧拉公式
§1 Euler’s Method
由于未知数 yn+1 同时出现在等式的两边，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公
式。隐式公式不能直接求解，一般需要用Euler显式公式
得到初值，然后用Euler隐式公式迭代求解。因此隐式公
式较显式公式计算复杂，但稳定性好
y0 n1
yn
h
y(k 1) n1
yn
h
f (xn , yn )
f
( xn1 ,
y(k) n1
)
收敛性
y (k 1) n 1
yn1
h
f
( xn1,
y(k ) n 1
Euler’s method
y(xn ) yn
y(xn1) yn1 yn h f (xn , yn )
➢ 欧拉公式的改进：
隐式欧拉法或后退欧拉法 /* implicit Euler
method or backward Euler method*/
§1 Euler’s Method
xn+1点向后差商近似导数
如何求解
解析解法：（常微分方程理论）
只能求解极少一类常微分方程；实际中给定的问题不一 定是解析表达式，而是函数表，无法用解析解法。
数值解法: 求解所有的常微分方程
计算解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b
处的近似值 yi y( xi ) (i 1, ... , n)
§1 Euler’s Method
Pn+1
Pn
y(x)
xn
xn+1
x
见上图， 显然，这种近似也有一定误差， 如何估计这种误差y(xn+1) yn+1 ？ 方法同上，基于Taylor展开估计局部截断误差。 但是注意，隐式公式中右边含有f(xn+1 , yn +1 ) , 由于yn +1不准确，所以不能直接用