九年级数学《辅助圆》
人教版九年级数学上册《构造辅助圆解决几何问题》PPT
E
D F
解：∵∠ABC =90°，
BE平分∠ABC，
B
C
∴∠ABE =45°.
∴∠ACE=∠ABE =45°.
三、利用“四点共圆”构造辅助圆
例3 如图，四边形ABCD为矩形,BE平分∠ABC, 交AD于点F,∠AEC =90°.
(1)A、B、C、E四点共圆吗？
(2)求∠ACE的度数；
(3)求证：BE⊥ED .
A
E
D F
证明：连接BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴A、B、C、D四点共圆，
B
C
并且BD是直径.
又∵A、B、C、E四点共圆，
∴A、B、C、D、E五点共圆.
∴∠BED为直角，即BE⊥ED.
三例、3 利如用图“，四四点边共形圆A”BC构D造为辅矩助形圆,BE平分∠ABC, 交AD于点F,∠AEC =90°.
纵观例题及其变式，其共同之处都存在着同一个结 构，如图所示，即共端点的三条等线段，它让我们联想到 “所有到定点的距离等于定长的点都在以定点为圆心、定 长为半径的同一个圆上”
建立模型：遇等线（共端点），作辅圆
拓展训练
1. 在平面直角坐标系xoy中，已知点A（-2,0），B(0,3)， 在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则这样的点共 有 ８ 个．
一、利用圆的定义来构造辅助圆
变式：（2019江西九江模拟） 如图，已知AB＝AC＝AD， ∠CBD＝2∠BDC68° B.88° C.90° D.112°
解题策略： 利用圆的定义构造圆 （圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合）
一、利用圆的定义来构造辅助圆
通过构造辅助圆，巧妙地将线段的最值问
题转化为圆外一点与圆上的点的最大距离与最
初中辅助圆模型教案
初中辅助圆模型教案教学目标：1. 理解辅助圆的概念和作用；2. 学会运用辅助圆模型解决初中数学问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 辅助圆的概念和作用；2. 辅助圆模型的运用方法和技巧。
教学难点：1. 辅助圆模型的运用方法和技巧；2. 解决实际问题时，如何正确选择辅助圆模型。
教学准备：1. 教师准备相关例题和练习题；2. 学生准备笔记本和文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的相关知识，如圆的性质、圆的周长和面积等；2. 提问：同学们，你们知道什么是辅助圆吗？辅助圆在解题中有何作用？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解辅助圆的概念：辅助圆是指在解题过程中，为了方便分析和解决问题而构造的圆；2. 讲解辅助圆的作用：辅助圆可以帮助我们发现题目中的隐含条件，从而解决问题；3. 讲解辅助圆模型的运用方法和技巧：a. 当题目中出现四点共圆的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；b. 当题目中出现动点到定点等于定长的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；c. 当题目中出现直角所对的是直径的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；d. 当题目中出现定弦对定角的情况时，可以考虑使用辅助圆模型。
三、例题讲解（15分钟）1. 讲解例题1：四点共圆的问题；2. 讲解例题2：动点到定点等于定长的问题；3. 讲解例题3：直角所对的是直径的问题；4. 讲解例题4：定弦对定角的问题。
四、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题1：四点共圆的问题；2. 布置练习题2：动点到定点等于定长的问题；3. 布置练习题3：直角所对的是直径的问题；4. 布置练习题4：定弦对定角的问题。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结辅助圆的概念和作用；2. 让学生分享自己在解题中运用辅助圆模型的经验和感受；3. 教师进行课堂小结，强调辅助圆模型在解题中的应用价值和技巧。
教学延伸：1. 引导学生进一步学习辅助圆模型的拓展应用；2. 鼓励学生参加数学竞赛和相关活动，提高解题能力。
初中数学竞赛精品标准教程及练习66辅助圆
初中数学竞赛精品标准教程及练习66辅助圆辅助圆是数学竞赛中一个重要的几何概念，在初中数学竞赛中也有相应的考察。
辅助圆是指在解决一个几何问题时，引入一个与原图形相关的圆，通过利用圆的性质来简化问题或推导出解决问题的关键步骤。
在这篇文章中，我们将介绍一些常见的辅助圆构造和应用，并通过练习题来帮助读者更好地理解和应用辅助圆的方法。
一、辅助圆的定义和性质辅助圆有以下几个关键性质：1.辅助圆的圆心和半径与原图形的一些关键元素有关；2.通过辅助圆，我们可以推导出一些关键的几何关系；3.辅助圆一般是在原图形的内部或外部构造的。
二、辅助圆的常见构造和应用1.内切圆和外接圆辅助圆中最常见的是内切圆和外接圆的构造。
当我们在几何问题中遇到一个三角形时，我们可以构造三角形的内切圆和外接圆来帮助我们解决问题。
内切圆是指与三角形的三边都相切的圆，其圆心与三角形内心重合，半径为内切圆半径。
我们可以利用内切圆的性质来简化问题，比如求三角形的面积、周长和角度等。
外接圆是指与三角形的三个顶点都在同一圆上的圆，其圆心为三角形的外心，半径为外接圆半径。
通过外接圆的性质，我们可以简化问题，比如求三角形的面积、周长和角度等。
2.相切圆和割圆除了内切圆和外接圆，我们还可以构造其他的辅助圆来解决问题。
相切圆是指与图形的其中一边或一些点相切的圆，通过相切圆的性质，我们可以求出一些关键的几何关系。
割圆是指与图形相交于一点，并且与图形的一些边相切的圆，通过割圆的构造和性质，我们可以推导出一些几何关系。
3.切线圆和中位线圆除了上述常见的辅助圆外，还有一些其他类型的辅助圆。
切线圆是指与图形的一些边相切的圆，并且与图形的其他边都有公共点。
中位线圆是指与图形的一条中位线相切的圆，通过中位线圆的构造，我们可以得到一些关键的几何关系。
三、辅助圆的练习题1.【例题】在三角形ABC中，角BAC=60°，O为三角形的内心。
设OC与AB的交点为D，求证：BD=AB-BD。
专题15：《辅助圆》
中考核心知识点专题练习（辅助圆）德化第五中学：罗文平添加辅助圆解平面几何题，虽远不如辅助（直）线那么为人们所熟知，但许多直线形问题，若辅助圆添加得合理，则能收到化难为易，事半功倍的效果．一、根据圆的定义作辅助圆例1 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝p，BC＝q，求BD的长．解析：以点A为圆心、AB为半径作⊙A．因为AB＝AC＝AD，所以B、C、D三点在⊙A上．延长BA交⊙A于点E，连结DE．因为DC∥EB，所以弧ED＝弧BC，所以ED＝BC＝q．在Rt△BDE中，根据勾股定理，得BD ＝．例2 如图， PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝5，PD＝3，求AD·DC的值．解析：以点P为圆心、PＢ为半径的作⊙P．因为PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，所以点Ａ、B、C在⊙P上．此时⊙P的直径BE＝10，DE＝8，DB＝2，由相交弦定理，得AD·DC＝DE·DB＝８×２＝16二、作三角形的外接圆例3 如图，D、E为△ABC边BC上的两点，且BD=CE，∠BAD=∠CAE，求证：AB=AC．解析：作△ADE的外接圆，分别交AB、AC于点M、N，连结MD、NE．因为∠BAD＝∠CAE，所以∠BAD＋∠DAE＝∠CAE+∠DAE，即∠NAD＝∠MAE．因为∠BDM＝∠MAE，∠CEN＝∠NAD，所以∠BDM＝∠CEN．又BD＝CE，DM＝EN，所以△BDM≌△CEN，所以∠B＝∠C，即AB＝AC．例4 如图，△ABC中，BF、CE交于点D，BD＝CD，∠BDE＝∠A，求证：BE＝CF．解析：作△ABC的外接⊙O，延长CE交⊙O于G，连接BG．因为∠G＝∠A，∠BDE＝∠A，所以∠G＝∠BDE，所以BG=BD．又BD＝CD，所以BG＝CD.又因为∠G＝∠CDF，∠GBE＝∠DCF，所以△GBE≌△DCF．所以BE＝CF．例5 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：BC＝BD＋AD．教学设计解析：作△ABD的外接圆交BC于E，连结DE．因为BD是∠ABC的平分线，所以弧AD＝弧DE，所以AD＝DE．在△BDE中，∠DBE＝20°，∠BED＝180°―100°＝80°，所以∠BDE＝80°，所以BE＝BD．在△DEC中，∠EDC＝80°―40°＝40°，所以EC＝DE．所以BC＝BE＋EC＝BD＋AD．三、结论类似于圆幂定理的形式时作辅助圆例6 如图，在△ABC中，AB＝AC＝，D是边BC上的一点，且AＤ＝１，求BD·DC的值．解析：以点A为圆心、AB为半径作⊙A，交直线AD于点E、F，则点C在⊙A上，DE＝，DF＝．由相交弦定理，得BD·DC＝DE·DF＝＝2．例7 如图，在△ABC中，∠DAB＝∠C，∠B的平分线BN交AD于M．求证：（1）AM＝AN；（2）AB 2－AN 2＝BM·BN．解析：（1）略；（2）由（1），得AM＝AN．以点A为圆心、AM为半径作⊙A，交AB于E，交BA的延长线于F，则N在⊙A 上，且AE＝AF＝AN．由割线定理，得BM·BN＝BE·BF＝(AB－AE)(AB＋AF)＝(AB―AN)(AB＋AN)＝AB 2－AN 2，即AB 2－AN 2＝BM·BN．四、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆例8 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，设AB＝a，DC＝b，AD＝c，当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD？解析：以AD为直径作⊙O，根据直径所对的圆周角是直角，当⊙O与直线BC有公共点（相切或相交）时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．因为⊙O的半径r＝，圆心O到直线BC的距离d＝．所以，当d≤r，即a＋b≤c时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．例9 如图，在平面直角坐标系xOy中，给定y轴正半轴上的两点A (0，2)、B(0，8)，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值。
中考数学备考课件：辅助圆问题 (共19张PPT)
BM C
∴△ABM≌△BCN(SAS)
∴ BAM CBN
∵ ABP CBN 90o ∴ ABP BAM 90o ∴ APB 90o ∴点 P 在以 AB 为直径的圆上
运动,设圆心为 O,连接 OC 交⊙O 于 P,此时 PC 最小 ∵ AB 4 ∴ OP OB 2
A
D
O
N
P B MC
解:∵ AB AC AD 2
E
∴点 B,C,D 在以点 A 为圆心, 半径为 2 的圆上延长 BA 交 D ⊙A 于 E,连接 DE
∵AB∥CD ∴ EBD BDC
A
B
C
∵ DE DE , BC BC ∴ EAD 2EBD ,
BAC 2BDC
∴ EAD BAC
E
A
B
∴ ED BC 1
小值为 BC sin B 3 3
∴DE 长的最小值为
3 2
PC
3 2
3
3
9 2
.
类型二 定点 定长模型 方法与技巧 常见图形中共顶点的多条线段相等,可考虑利用到 定点的距离等于定长推导共圆,再利用圆有关性质 解决问题.
3.如图,在四边形 ABCD 中, AB AC AD 2 , BC 1,AB∥CD.求 BD 的长.
由勾股定理,得 OC OB2 BC2 2 5
∴ PC OC OP 2 5 2
∴PC 长的最小值为 2 5 2 .
2.如图,在 Rt△ ABC 中, ACB 90o , AB 5,
cos
B
4 5
,⊙A
与边
BC
交于点
C,过
A
作
DE∥BC,
交⊙A 于点 D,E,点 F 在 DC 上,连接 EF,过 A 作
中考数学几何最值模型 专题03 辅助圆模型(学生版+解析版)
辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
二、定弦定角2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。
方法点拨一、题型特征：①动点的运动轨迹为圆②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角。
二、模型本质：两点之间，线段最短。
例题演练1．如图，已知AB＝AC＝BD＝6，AB⊥BD，E为BC的中点，则DE的最小值为（）A．3﹣3B．3C．3﹣3D．2【解答】解：取AB的中点O，连接AE，OE，OD．∵AB＝AC，BE＝EC，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵OA＝OB，∴OE＝AB＝3，∵AB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵OB＝3，BD＝6，∴OD＝＝＝3，∵DE≥OD﹣OE，∴DE≥3﹣3，∴DE的最小值为3﹣3，故选：C．强化训练1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC ＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5B．1C．2D．3 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE，则线段CE的最小值为．3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB ＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为．5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P 到⊙O上的点的最短距离．（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
中考必会几何模型：辅助圆
第十二章 辅助圆模型1 共端点，等线段模型图①O AC B图②BOC A图③OABC如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．如图②，若OA ＝OB ＝OC ，则A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上． 如图③，常见结论有：∠ACB ＝12∠AOB ，∠BAC ＝12∠BOC .模型分析∵OA ＝OB ＝OC .∴A 、B 、C 三点到点O 的距离相等．∴A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．∵∠ACB 是AB 的圆周角，∠AOB 是AB 的圆心角， ∴∠ACB ＝12∠AOB .同理可证∠BAC ＝12∠BOC .（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆．（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题． 模型实例如图，△ABC 和△ACD 都是等腰三角形，AB ＝AC ，AC ＝AD ，连接BD ．求证：∠1＋∠2＝90°.21BCDA证明证法一：如图①，∵AB ＝AC ＝AD ．∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙A 上． ∴∠ABC ＝∠2. 在△BAC 中，∵∠BAC ＋∠ABC ＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°. 证法二：如图②，∵AB ＝AC ＝AD ．∴∠BAC ＝2∠1．∵AB ＝AC ， ∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙O 上． 延长BA 与圆A 相交于E ，连接CE ．∴∠E ＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．） ∵AE ＝AC ，∴∠E ＝∠ACE .∵BE 为⊙A 的直径，∴∠BCE ＝90°． ∴∠2＋∠ACE ＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.图①21CDAB小猿热搜1．如图，△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，在△ABC 的外侧作直线AP ，点B 与点 D 关于AP 轴对称，连接BD 、CD ，CD 与AP 交于点E ．求证：∠1＝∠2．12PBACE DA D21PE CB证明∵A 、D 关于AP 轴对称，∴AP 是BD 的垂直平分线． ∴AD ＝AB ，ED ＝EB ．又∵AB ＝AC .∴C 、B 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．∵ED ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD . ∴∠2＝2∠EDB .又∵∠1＝2∠CDB . ∴∠1＝∠2.2．己知四边形ABCD ，AB ∥CD ，且AB ＝AC ＝AD ＝a ，BC ＝b ，且2a ＞b ，求BD 的长．A CBDBCEDA解答以A 为圆心，以a 为半径作圆，延长BA 交⊙A 于E 点，连接ED ． ∵AB ∥CD ，∴∠CAB ＝∠DCA ，∠DAE ＝∠CDA . ∵AC ＝AD ， ∴∠DCA ＝∠CDA . ∴∠DAE ＝∠CAB .在△CAB 和△DAE 中．AD ACDAE CABAE AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAB≌△DAE.∴ED＝BC＝b∵BE是直径，∴∠EDB＝90°.在Rt△EDB中，ED＝b，BE＝2a，∴BD＝22BE ED-＝()222a b-＝224a b-．模型2 直角三角形共斜边模型模型分析如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC=OD=OA=OB，∴A、B、C、D四点共圆．（１）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；（２）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．模型实例例1 如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂线，问：（１）图中有多少组四点共圆？（２）求证：∠ADF＝∠ADE．解答（１）６组①C、D、H、E四点共圆，圆心在CH的中点处；②D、B、F、H四点共圆，圆心在BH的中点处；③A、E、H、F四点共圆，圆心在AH的中点处；④C、B、F、E四点共圆，圆心在BC的中点处；⑤B、A、E、D四点共圆，圆心在AB的中点处；⑥C、D、F、A四点共圆，圆心在AC的中点处．（２）如图，由B、D、H、F四点共圆，得∠ADF=∠1.同理：由A、B、D、E四点共圆，得∠ADE=∠１.∴∠ADF＝∠ADE．例2 如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.解答如图，连接DB 、DF .∵四边形ABCD 是正方形，且BF 是∠CBA 的外角平分线， ∴∠CBF =45°，∠DBC =45°， ∴∠DBF =90°． 又∵∠DEF =90°，∴D 、E 、B 、F 四点共圆． ∴∠DFE =∠DBE =45°（同弧所对的圆周角相等）． ∴△DEF 是等腰直角三角形． ∴FE =DE ．1.如图，锐角△ABC 中，BC.CE 是高线，DG ⊥CE 于G ，EF ⊥BD 于F ，求证：FG BCFGEDB证明：由于Rt △BCE 与Rt △BCD 共斜边BC ， ∴B 、C 、D 、E 四点共圆． ∴∠DBC=∠DEG ，同理，Rt ∠EDF 与Rt △DGE 共斜边DE ， ∴D 、E 、F 、G 四点共圆． 于是∠DEG=∠DFG ， 因此，∠DBC=∠DFG ． 于是FG ∥BC2. 如图， BE.CF 为△ABC 的高，且交于点H,连接AH 并延长交于BC 于点D,求证：AD ⊥BC.HEFB3.如图，等边△PQR内接于正方形ABCD,其中点P,Q,R分别在边AD,AB,DC上，M是QR的中点.求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点.B CRQA D4.如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB,TE⊥AC.求证：∠AHD=∠AHE.AEHDBC补充：为大家整理的资料供大家学习参考，希望对大家能有帮助，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。
中考总复习专题六辅助圆
例题解析
300 1.如图，已知：AB=AC=AD，∠BAC=60o,则∠BDC=_______.
思路点拨：
A
600
本题用一般的方法较难解决， 注意到已知条件AB=AC=AD ，可以点A为圆心，AB长为半 D 径作圆，则点C、D都在此圆 上，从而运用圆周角定理求解 .
练习
B
Q
20 ②当 CQ 12时，圆O与直线AB 3 有两个交点，当点 P运动到这两个交
M(P)
20 3
12
O
点时，CP Q为直角三角形 .
C
5
A
20 ③当0 CQ 时，圆O与直线AB 3 相离，点P在圆O外，CPQ小于90， CPQ不可能为直角三角形 .
20 综上所述，当 CQ 12时, CPQ 可能为直角三角形 . 3
可以点E为圆心，AO长为直径 作圆，如果圆E与直线x=b有交
O
C x=b
x
点，则存在四边形DEFB为矩
形.反之，则不存在.
例题解析
(3)设直线x=b与x轴交于点C，问四边形DEFB能不能是矩形？ 若能，求出t的值；若不能，说明理由.
解：能。以点E为圆心，AO长为直
y
径作圆，则半径为EO=4.
F B (b,t) D
(2)S=2b
O
C x=b
x
例题解析
(3)设直线x=b与x轴交于点C，问四边形DEFB能不能是矩形？ 若能，求出t的值；若不能，说明理由. 思路点拨：
y
因为四边形DEFB是平行四边 形，所以四边形DEFB要成为
F B (b,t) D
(0,8) A
人教版九年级下册 第二十九章 利用辅助圆解决动点问题 课件(共15张PPT)
模型一 定点定长作圆
平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为 圆心，AB长为半径的圆上(如图①). 依据的是圆的定义：圆是所有到定点的距离等 于定长的点的集合.
图①
图②
推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠
得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的一段圆弧.
2. 如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心
O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小
距离是
(如图③)，点P到直线l的最大距离是
(如图④).
例4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC ＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC 上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在 点P处，则点P到边AB距离的最小值是( ）
例1、如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB 上一点，将正方形沿CE折叠，点B落在正方形内一 点B′处，若△AB′D是等腰三角形，则BE的长为 .
3
到底在哪里 究竟有几个 该怎样求解
模型二 直角对直径 1. 半圆(直径)所对的圆周角是90°. 如图①，△ABC中，∠C＝90°， AB为⊙O的直径；
例3、已知点O及其外一点C，OC＝5，点A、B分别是平面内的动点，
且OA＝4，BC＝3，在平面内画出点A、B的运动轨迹如图所示，则OB
长的最大值为
，OB长的最小值为
，AC长的最大值
为
，AC长的最小值为
，AB长的最大值为
，AB长
的最小值为
.
针对练习
如图，在△ABC中，AB⊥BC，
AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动
辅助圆 (解题精讲
第二十五讲 辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决．而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法 1．利用圆的定义添补辅助圆； 2．作三角形的外接圆；3．运用四点共圆的判定方法：(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆． (2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆．(3)若四边形ABCD 的对角线相交于P ，且PA ·PC=PB ·PD ，则它的四个顶点共圆． (4)若四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线相交于P ，且PA ·PB ＝PC ·PD ，则它的四个顶点共圆． 【例题求解】一·利用圆的定义添加辅助圆【例1】 如图，若PA=PB ，∠APB=2∠ACB ，AC 与PB 交于点P ，且PB=4，PD=3，则AD ·DC 等于( )A ．6B ．7C ．12D ．16思路点拨 作出以P 点为圆心、PA 长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法． 变式练习：如图，已知OA=OB=OC ，且∠AOB=k ∠BOC ，则∠ACB 是∠BAC 的( ) A ．k21倍 B ．是k 倍 C ．k 2 D ．k1二·作三角形的外接圆【例2】 如图，在△ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A ，P ，Q 四点共圆．思路点拨 先作出△ABC 的外心O ，连PO 、OQ ，将问题转化为证明角相等．变式练习：5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P 在线段AD 上，满足条件的∠BPC=90°的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2 1D ．不小于3的整数(全国初中数学联赛题)三·四点共圆1·若有一个四边形对角互补，则四边形的四个顶点四点共圆。
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张湾中学
快乐课堂116导学案
课题：九年级数学学科《辅助圆》
课型：新授 主讲人： 审核人： 数学组 时间： 【学习目标】
1、进一步巩固圆的定义和性质，能够正确利用圆解决有关问题；
2、通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决问题，进而掌握利用作圆解决问题的方法；
【学习过程】：
一、 目标导学：
如图，四边形ＡＢＣＤ是正方形，点Ｅ是边ＢＣ的中点，∠ＡＥＦ=90，EF 交正方形外角的平分线ＣＦ于 Ｆ。
求证：ＡＥ=E Ｆ。
（人教版八年级下册第69页14题）A B C D
E F
G
你能否不用构造全等三角形来解决这个问题吗？
二、 自主探究：
1、圆的“集合”定义是什么？圆是所有到________等于______的点的集合
2、圆周角定理：___________________________________________
3、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角___________
直径所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是_______
三、 合作交流：
探究1:如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，∠BAC=20°∠CAD=80°，则 ∠BDC=______度，∠DBC=______度
什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？
条件1:_________________________________________________
依据：_________________________________________________
小结1:当遇有_______________________ 时，通常以____________为圆心，_______________ 为半径，构造辅助圆。
探究2:已知等腰直角三角形ABC 中,∠A=90°,D 为BC 中点,E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且满足∠EDF=90°。
求证：DE=DF
可构造圆的条件2
什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？
条件2：_______________________________________________
依据：________________________________________________
小结2：当遇有_________ 时，通常以_______________ ，构造辅助圆.
四、 当堂检测：
1、（2011湖北鄂州中考）如下图OA=OB=OC 且∠ACB=30°，则∠AOB 的大小是（ ）
A.40°
B.50° C .60° D.70° 2、（2012青海中考） 如图，四边形ＡＢＣＤ是正方形，点Ｅ是边ＢＣ的中点，∠ＡＥＦ=90
，EF 交正方形外角的平分线ＣＦ于 Ｆ。
求证：ＡＥ=E Ｆ。
（人教版八年级下册第69页第14题） A B C D
E F
G
五、 总结反思：
（1）____________________________
（2）____________________________
2、辅助线的构造可以是直线形，也可以是曲线形.
六、 课外练习：
1、如图，将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD ，连接CD ，BD ，则∠BDC 的度数为 ；
2、已知：在△ABC 中，∠ABC =90 , 点E 在直线AB 上, ED 与直线AC 垂直, 垂足为D ，且点M 为EC 中点, 连接BM , DM .
（1）如图1，若点E 在线段AB 上，探究线段BM 与DM 及∠BMD 与∠BCD 所满足的数量关系, 并直接写出你得到的结论；
（2）如图2，若点E 在BA 延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想并加以证明;
（3）若点E 在AB 延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM 与DM 及∠BMD 与∠BCD 所满足的数量关系.
B
E D A M C
B E D A M
C E
B A
C M。