人教版九年级数学上册全期各章复习习题全册

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人教版九年级数学上册第23--24章复习题含答案

人教版九年级数学上册第二十三章旋转单元测试卷(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分)每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填写在答题框中，填写正确记4分，不填、填错或多填记0分.1.在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于原点的对称点P′的坐标是(C)A．(－2，－3) B．(－3，－2) C．(－2，3) D．(－3，2)2．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是(B)A．96 B．69 C．66 D．993．下列图形属于中心对称图形的是(C)4．下列说法正确的是(B)A．全等的两个图形成中心对称B．成中心对称的两个图形全等C．成中心对称的两个图形一定关于某条直线对称D．关于某条直线成轴对称的两个图形一定关于某一点成中心对称5．如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是由△ABC 经过怎样的图形变化得到的？有下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中正确的结论是(D)A．①④ B．②③ C．②④ D．③④6．如图，将△ABC按顺时针方向转动一个角后成为△AB′C′，下列等式正确的有(C)①BC＝B′C′；②∠BAB′＝∠CAC′；③∠ABC＝∠AB′C′；④AB＝B′C′.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为(B)A．10° B．15° C．20° D．25°8．如图，将线段AB先向右平移5个单位长度，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是(D)A．(－4，1) B．(－1，2) C．(4，－1) D．(1，－2)9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′交于点O，则∠COA′的度数是(B)A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°10．如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是△ABC 的中心，∠FOG ＝120°.绕点O 旋转∠FOG，分别交线段AB ，BC 于D ，E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD＝OE ；②S△ODE＝S △BDE ；③四边形ODBE 的面积始终等于433；④△BDE 周长的最小值为6.上述结论正确的个数是(C)A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 请将答案填在对应题号的横线上．11．如图所示，图(1)经过平移变化成图(2)，图(2)经过旋转变化成图(3)．12．若点A(2x －1，5)和点B(4，y ＋3)关于点(－3，2)对称，那么点A 在第二象限． 13．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过点O 的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为12．14．将一副三角尺按如图的方式放置，将三角尺ADE 绕点A 逆时针旋转α(0°<α<90°)，使得三角尺ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为15°或60°．15．如图，已知抛物线C 1与抛物线C 2关于原点中心对称，如果抛物线C 1的解析式为y＝34(x ＋2)2－1，那么抛物线C 2的解析式为y ＝－34(x －2)2＋1．16．如图，在△AOB 中，∠AOB ＝90°，AO ＝3 cm ，BO ＝4 cm ，将△AOB 绕顶点O 按顺时针方向旋转到△A 1OB 1处，此时线段OB 1与AB 的交点D 恰好为AB 的中点，则线段B 1D ＝1.5 cm.三、解答题(本大题共9小题，共86分) 解答题应写出必要的文字说明或推演步骤．17．(8分)如图，在△ABC 中，∠B ＝10°，∠ACB ＝20°，AB ＝4 cm ，△ABC 按逆时针方向旋转一定角度后与△ADE 重合，且点C 恰好成为AD 的中点．(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求出∠BAE 的度数和AE 的长．解：(1)∵△ABC 逆时针旋转一定角度后与△ADE 重合，A 为公共顶点， ∴旋转中心是点A.根据旋转的性质可知：∠CAE＝∠BAD＝180°－∠B－∠ACB＝150°， ∴旋转角度是150°.(2)由(1)可知：∠BAE＝360°－150°×2＝60°，由旋转可知△ABC≌△ADE，∴AB ＝AD ，AC ＝AE.又∵C 为AD 中点，AB ＝4 cm ， ∴AE ＝AC ＝12AB ＝2 cm.18．(8分)某居民小区搞绿化，小区的居民们把一块矩形垃圾场地清理干净后，准备建几个花坛，老张说：花坛应该有圆有方；老李说：花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案，这样比较漂亮．你能设计一个让大家都满意的方案吗？试试看(将你设计的方案画在下面的矩形方框中)．解：如图所示．19．(8分)如图，在△ABC 中，∠CAB ＝70°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，求∠BAB′的度数．解：∵CC′∥AB，∴∠ACC ′＝∠CAB＝70°. ∵△ABC 绕点A 旋转到△AB′C′的位置， ∴AC ＝AC′，∠BAB ′＝∠CAC′，在△ACC′中，∵AC ＝AC′， ∴∠ACC ′＝∠AC′C＝70°.∴∠CAC ′＝180°－70°－70°＝40°.∴∠BAB ′＝40°.20．(10分)如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上．(1)画出△ABC 关于原点成中心对称的△A′B′C′，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标；(2)连接BC′，B′C，求四边形BCB′C′的面积．解：(1)如图，△A′B′C′即为所求，A′(4，0)，B′(3，3)，C′(1，3)．(2)∵B′(3，3)，C′(1，3)，∴B′C′∥x轴，B′C′＝2.∵B(－3，－3)，C(－1，－3)，∴BC∥x轴，BC＝2.∴BC∥B′C′，BC＝B′C′.∴四边形BCB′C′是平行四边形．∴S▱BCB′C′＝2×6＝12.21．(10分)下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：(1)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；(2)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；(3)选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．(请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形)解：(1)画出下列一种即可：(2)画出下列一种即可：(3)画出下列一种即可：22．(10分)如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，将△APB 绕点B逆时针旋转一定角度后，可得到△CQB.(1)求点P与点Q之间的距离；(2)求∠APB的度数．解：(1)连接PQ，由旋转性质有：BQ＝BP＝8，QC＝PA＝6，∠QBC＝∠ABP，∠BQC＝∠BPA，∴∠QBC＋∠PBC＝∠ABP＋∠PBC，即∠QBP＝∠ABC.∵△ABC是正三角形，∴∠ABC＝60°.∴∠QBP＝60°.∴△BPQ是等边三角形．∴PQ＝BP＝BQ＝8，即点P与点Q之间的距离为8.(2)在△PQC中，PQ＝8，QC＝6，PC＝10，∴PQ2＋QC2＝PC2.∴∠PQC＝90°.∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP＋∠PQC＝60°＋90°＝150°.23．(10分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(4，2)，C(3，5)(每个方格的边长均为1个单位长度)．(1)请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B2，C2的坐标；(3)若点P(a，b)是△ABC内任意一点，试写出将△ABC绕点O逆时针旋转90°后点P 的对应点P2的坐标．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．(2)如图，△A2B2C2即为所求，B2的坐标是(－2，4)，C2的坐标是(－5，3)．(3)点P2的坐标是(－b，a)．24．(10分)如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF.(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到；(3)若BC＝8，DE＝2，求△AEF的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝AB ，∠D ＝∠ABC＝90°. 而F 是CB 的延长线上的点， ∴∠ABF ＝∠D＝90°. 又∵AB＝AD ，DE ＝BF ， ∴△ADE≌△ABF(SAS)． (3)∵BC＝8，∴AD ＝8. 在Rt △ADE 中，DE ＝2，AD ＝8， ∴AE ＝AD 2＋DE 2＝217.∵△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心A 点，按顺时针方向旋转90°得到， ∴AE ＝AF ，∠EAF ＝90°. ∴S △AEF ＝12AE 2＝12×4×17＝34.25．(12分)在同一平面内，△ABC 和△ABD 如图1放置，其中AB ＝BD.小明做了如下操作：将△ABC 绕着边AC 的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD 绕着边AD 的中点旋转180°得到△DFA，如图2，请完成下列问题：(1)试猜想四边形ABDF 是什么特殊四边形，并说明理由； (2)连接EF ，CD ，如图3，求证：四边形CDFE 是平行四边形．解：(1)四边形ABDF是菱形．理由如下：∵△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，∴AB＝DF，BD＝FA.∵AB＝BD，∴AB＝BD＝DF＝FA，∴四边形ABDF是菱形．(2)证明：∵四边形ABDF是菱形，∴AB∥DF，且AB＝DF.∵△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，∴AB＝CE，BC＝EA.∴四边形ABCE为平行四边形．∴AB∥CE，且AB＝CE.∴CE∥FD，CE＝FD.∴四边形CDFE是平行四边形．人教版九年级数学上册第二十四章圆单元测试卷(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分)每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填写在答题框中，填写正确记4分，不填、填错或多填记0分.1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则AE＝(A)A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm2．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A，B两点，P是优弧AB上任意一点(与A，B不重合)，则∠APB的度数为(C)A ．60°B ．45°C ．30°D ．25°3．如图所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD ＝120°，则∠BOD 的大小是(B)A ．80°B ．120°C ．100°D ．90° 4．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是(C)A ．40°B ．30°C ．20°D ．15°5．如图，A ，B 是⊙O 上两点，若四边形ACBO 是菱形，⊙O 的半径为r ，则点A 与点B 之间的距离为(B)A.2rB.3r C ．r D ．2r6．在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2.那么下列说法中不正确的是(C)A ．当a<1时，点B 在⊙A 外 B ．当1<a<5时，点B 在⊙A 内C ．当a<5时，点B 在⊙A 内D ．当a>5时，点B 在⊙A 外7．圆锥的底面半径为1，侧面积为3π，则其侧面展开图的圆心角为(B)A．90° B．120° C．150° D．180°8．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D.若∠A＝23°，则∠D的度数是(B)A．23° B．44° C．46° D．57°9．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y＝3x＋23上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为(D)A．3 B．2 C. 3 D. 210．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为(D)A．3 B．1＋ 6 C．1＋3 2 D．1＋7二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)请将答案填在对应题号的横线上．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD的延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE 的大小为110°．12．用一个半径为30 cm，面积为300π cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为10_cm．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝130°，则∠BOD的度数是100°．14．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点．若∠P＝40°，则∠ACB＝70°.15．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上两点，连接AC，CD，BD.若CA＝CD，∠ACD＝80°，则∠CAB＝40°.16．已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是2或14cm.三、解答题(本大题共9小题，共86分)解答题应写出必要的文字说明或推演步骤．17．(8分)已知：如图，OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，求证：AD ＝BC.证明：∵OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，∴OA＝OB，OC＝OD.在△AOD和△BOC中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，∠O ＝∠O，OD ＝OC ，∴△AOD ≌△BOC(SAS)． ∴AD ＝BC.18．(8分)如图所示，一座圆弧形的拱桥，它所在圆的半径为10米，某天通过拱桥的水面宽度AB 为16米，现有一小船高出水面的高度是3.5米，问小船能否从拱桥下通过？解：找出圆心O 的位置，连接OA ，过点O 作OD⊥AB，交⊙O 于点D ，交AB 于点C ， ∴AC ＝BC ＝12AB ＝8米．在Rt △AOC 中，AC ＝8米，OA ＝10米，根据勾股定理，得OC ＝OA 2－AC 2＝6米． ∴CD ＝OD －OC ＝4米． ∵4＞3.5，∴小船能从拱桥下通过．19．(8分)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 均在⊙O 上，∠ACD ＝30°，弦AD ＝4 cm. (1)求⊙O 的直径； (2)求AD ︵的长．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠ABD ＝∠ACD＝30°.在Rt △ABD 中，∠ABD ＝30°，AD ＝4 cm ， ∴AB ＝2AD ＝8 cm. ∴⊙O 的直径为8 cm.(2)连接OD ，则∠AOD＝2∠ACD＝60°. ∴AD ︵的长为60π×4180＝4π3cm.20．(10分)如图，在⊙O 中，弦AB ＝8，点C 在⊙O 上(C 与A ，B 不重合)，连接CA ，CB ，过点O 分别作OD⊥AC，OE ⊥BC ，垂足分别是D ，E.(1)求线段DE 的长；(2)点O 到AB 的距离为3，求⊙O 的半径．解：(1)∵OD 经过圆心O ，OD ⊥AC ，∴AD ＝DC. 同理：CE ＝EB ，∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE ＝12AB ＝4.(2)过点O 作OH⊥AB，垂足为H ，则OH ＝3，连接OA ， ∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝4.在Rt △AHO 中，OA ＝AH 2＋OH 2＝5， ∴⊙O 的半径为5.21．(10分)如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，∠ABD ＝45°.(1)求BD 的长；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)连接OD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∵BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10 cm.∴OB ＝5 cm. ∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABD＝45°.∴∠BOD ＝90°. ∴BD ＝OB 2＋BD 2＝5 2 cm.(2)S 阴影＝S 扇形OBD －S △OBD ＝90360π•52－12×5×5＝25π－504(cm 2)．22．(10分)如图，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E.(1)求证：DE ＝DB ；(2)若∠BAC＝90°，BD ＝4，求△ABC 外接圆的半径．解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD. ∵BE 平分∠ABC，∴∠CBE ＝∠ABE.∵∠DBE ＝∠CBE＋∠CBD，∠DEB ＝∠ABE＋∠BAD，∴∠DBE ＝∠DEB.∴DE＝BD. (2)连接DC ，∵∠BAC ＝90°， ∴BC 是圆的直径．∴∠BDC＝90°. ∵∠BAD ＝∠CAD， ∴BD ＝CD ＝4.∴BC＝4 2. ∴△ABC 外接圆的半径为2 2.23．(10分)如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为E ，F 为DC 延长线上一点，且∠CBF ＝∠CDB.(1)求证：FB 为⊙O 的切线； (2)若AB ＝8，CE ＝2，求⊙O 的半径．解：(1)证明：连接OB.∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CBD ＝90°，又∵OB＝OD ，∴∠OBD ＝∠D，又∠CBF＝∠D，∴∠CBF ＝∠OBD， ∴∠CBF ＋∠OBC＝∠OBD＋∠OBC. ∴∠OBF ＝∠CBD＝90°，即OB⊥BF. 又∵OB 是⊙O 的半径，∴FB 是⊙O 的切线． (2)∵CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴BE ＝12AB ＝4.设⊙O 的半径是R ，则OE ＝R －2. 在Rt △OEB 中，根据勾股定理，得R 2＝(R －2)2＋42，解得R ＝5. ∴⊙O 的半径为5.24．(10分)如图，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于点D ，点O 是∠BAC 的平分线上一点，⊙O 与AB 相切于点M ，与CD 相切于点N.(1)求证：∠AOC＝135°；(2)若NC ＝3，BC ＝25，求DM 的长．解：(1)证明：作OE⊥AC 于点E ，连接OM ，ON ，∵⊙O 与AB 相切于点M ，与CD 相切于点N ，∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD. 又∵AO 平分∠BAC，OE ⊥AC ，∴OM ＝OE ，即OE 是⊙O 的半径． ∴AC 是⊙O 的切线．∵ON ＝OE ，ON ⊥CD ，OE ⊥AC ，∴OC 平分∠ACD. ∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC＝90°.∴∠AOC ＝180°－12(∠DAC＋∠ACD)＝180°－45°＝135°.(2)∵AD，CD ，AC 是⊙O 的切线，M ，N ，E 是切点， ∴AM ＝AE ，DM ＝DN ，CN ＝CE ＝3.设DM ＝DN ＝x ，AM ＝AE ＝y ，则AC ＝AE ＋EC ＝y ＋3，AD ＝AM ＋MD ＝y ＋x. ∵AB ＝AC ，∴BD ＝AC －AD ＝3－x. 在Rt △BDC 中，∵BC 2＝BD 2＋CD 2，∴20＝(3－x)2＋(3＋x)2，解得x ＝1(负值舍去) ∴DM ＝1.25．(12分)如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC 交AC 于点E ，交PC 于点F ，连接AF.(1)判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由； (2)若⊙O 的半径为4，AF ＝3，求AC 的长．解：(1)AF 与⊙O 相切．理由：连接OC ，∵PC 为⊙O 切线，∴CP ⊥OC.∴∠OCP＝90°. ∵OF ∥BC ，∴∠AOF ＝∠B，∠COF ＝∠OCB. ∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠B.∴∠AOF＝∠COF. 又∵OA＝OC ，OF ＝OF ，∴△AOF ≌△COF(SAS)． ∴∠OAF ＝∠OCF＝90°，即OA⊥AF. 又∵OA 是⊙O 的半径，∴AF 与⊙O 相切．(2)∵OA＝OC ，∠AOF ＝∠COF，∴AE ＝CE ＝12AC ，OE ⊥AC.在Rt △AOF 中，OA ＝4，AF ＝3，根据勾股定理，得OF ＝OA 2＋AF 2＝5. ∵S △AOF ＝12OA•AF＝12OF•AE，∴AE ＝125.∴AC ＝2AE ＝245.。

人教版九年级上册数学各单元测试卷及答案(全套)

第二十一章综合测试一、选择题（30分）1.一元二次方程22(32)10x x x --++=的一般形式是（） A .2550x x -+= B .2550x x +-= C .2550x x ++=D .250x +=2.一元二次方程260x +-=的根是（） A.12x x ==B .10x =，2x =-C.1x =2x =-D.1x =2x =3.用配方法解一元二次方程245x x -=时，此方程可变形为（） A .2(2)1x +=B .2(2)1x -=C .229x +=（）D .229x -=（）4.一元二次方程220x x -=的两根分别为1x 和2x 则12x x 为（） A .2-B .1C .2D .05.关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=的根的情况是（） A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .无实数根D .不能确定6.若2x =-是关于x 的一元二次方程22502x ax a -+=的一个根，则a 的值为（）A .1或4B .1-或4-C .1-或4D .1或4-7.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2680x x -+=的根，则该三角形的周长为（） A .8B .10C .8或10D .128.若α，β是一元二次方程定2260x x +-=的两根，则22αβ+=（） A .8-B .32C .16D .409.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的方程为（）A .1(1)282x x += B .1(1)282x x -= C .(1)28x x +=D .(1)28x x -=10.已知关于的一元二次方程2(1)2(1)0a x bx a ++++=有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A .1一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根B .0一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根C .1和1-都是关于x 的方程20x bx a ++=的根D .1和1-不都是关于x 的方程20x bx a ++=的根二、填空题（24分）11.如果关于x 的方程220x x k -+=（k 为常数）有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是__________.12.若将方程定267x x +=化为2()16x m +=，则m =__________.13.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程210210x x -+=的根，则三角形的周长为__________.14.已知一元二次方程21)10x x -=的两根为1x ，2x ，则1211x x +=__________. 15.已知关于x 的方程224220x x p p --++=的一个根为p ，则p =__________. 16.关于x 的一元二次方程2(5)220m x x -++=有实根，则m 的最大整数解是__________. 17.若关于x 的一元二次方程号2124102x mx m --+=有两个相等的实数根，则2 2 2)1)((m m m ---的值为__________.18.关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =-，21x =（a ，m ，b 均为常数，0a ≠），则方程2260a x m +++=（）的解是__________.三、解答题（8+6+6+6+6+7+7=46分） 19.解方程.（1）3(2)2(2)x x x -=-（2）2220x x --=（用配方法）（3）()()11238x x x +-++=（）（4）22630x x --=20.已知关于x 的一元二次方程()22(22)20x m x m m --+-=. （1）求证：方程有两个不相等的实数根，（2）如果方程的两实数根为1x ，2x ，且221210x x +=求m 的值.21.已知关于x 的一元二次方程2640x x m -++=有两个实数根1x ，2x .（1）求m 的取值范围.（2）若1x ，2x 满足1232x x =+，求m 的值.22.在水果销售旺季，某水果店购进一种优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y （千克）与该天的售价x （元/千克）满足如下表所示的一次函数关系。

人教版九年级上册数学 24章复习题含答案。

24.1垂直于弦的直径1. 在⊙O 中,AB 为弦,AB OC ⊥于点C ,交⊙O 于点D ，若5=AO ,2=CD ,则弦AB 的长为（）A.4B.6C.8D.102.如图,⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ,则四边形OACB （） A.是正方形 B.是长方形 C.是菱形 D.以上答案都不对3.设P 为半径6cm 的圆内的一点,它到圆心的距离为3．6cm,则经过点P 的最短弦的长度是 ( )．A ．4.8cmB ．7.2cmC ．6.4cmD ．9.6cm4.在直径是20cm 的⊙O 中，∠AOB 是60°，那么弦AB 的弦心距是（）5.若圆的半径3,圆中一条弦为52,则此弦中点到弦所对劣弧的中点的距离为 .6.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如右图所示，已知AB =16m ，半径OA =10m ，高度CD 为_____m.7.圆中一弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦长为________． 8.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的直径是 mm.9.已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ，OD 分别交AB 于点E ，F ，且BF AE =.求证：OF OE =.10.已知：如图, ⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于P , 且PA =4cm, PD =2cm ．AB 第2题图第6题图DBAO CBA 8mm第8题图求：⊙O的半径长．11.如图，已知：⊙O中，弦AB与弦CD互相垂直，垂足为E，又AE=3，EB=7，求O点到CD的距离．12.已知：如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD于H，A H=4，B H=6，C H=3，D H=8．求：⊙O 的半径．13. 如图弓形的弦AB=6cm，弓形的高是1cm，求其所在圆的半径.14.某机械传动装置在静止时如图所示，连杆PB与B的运动所形成的⊙O交于点A，测量得PA=4cm，AB=8cm，⊙O的半径是5cm，求点P到圆心O 的距离.人教版九年级数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题1. 如图，AB为☉O的切线.切点为A，连接AO，BO，BO与☉O交于点C，延长BO与☉O交于点D，连接AD.若∠ABO=36°，则∠ADC的度数为()A.54°B.36°C.32°D.27°2. 2018·眉山如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B等于( )A．27° B．32° C．36° D．54°3. 在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，要使点B 在⊙A内，则实数a的取值范围是( )A．a＞2 B．a＞8C．2＜a＜8 D．a＜2或a＞84. (2019•益阳)如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是A．PA=PB B．∠BPD=∠APDC．AB⊥PD D．AB平分PD5. 选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°.”时，应先假设( )A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45°6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何．”其意思是：“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)的直径是多少．”答案是 ( )A．3步B．5步C．6步D．8步7. 已知⊙O的半径为2，点P在⊙O内，则OP的长可能是( )A．1 B．2C．3 D．48. 2020·武汉模拟在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为10，则P(－10，1)与⊙O的位置关系为( )A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．无法确定二、填空题9. 如图，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A，B在x轴上，且OA＝OB.P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长的最大值为________．10. 已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作⊙A，则直线BC与⊙A 的位置关系是________.11. 如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与☉O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE= .12. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，以点A为圆心，以1为半径画圆，则点O，B，C，D中，点________在⊙A内，点________在⊙A上，点________在⊙A外．13. (2019•河池)如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，∠OAB=38°，则∠P=_______ ___．14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E.则⊙O 的半径为________．15. 如图，在扇形ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为________．O16. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则R的取值范围是______________．三、解答题17. 2020·凉山州模拟如图，⊙O的直径AB＝10 cm，弦BC＝6 cm，∠ACB的平分线交⊙O 于点D，交AB于点E，P是AB延长线上一点，且PC＝PE.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求AC，AD的长．18. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠BAF＝∠DAE.19. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10.点P在AC上，AP＝2.若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB，AC分别切于点D，E.求：(1)△BAP的面积S；(2)⊙O的半径．人教版九年级数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系课时训练-答案一、选择题1. 【答案】D[解析]∵AB为☉O的切线，∴∠OAB=90°.∵∠ABO=36°，∴∠AOB=90°-∠ABO=54°.∵OA=OD，∴∠ADC=∠OAD，∵∠AOB=∠ADC+∠OAD，∴∠ADC=∠AOB=27°，故选D.2. 【答案】A3. 【答案】C4. 【答案】D【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，所以A成立；∠BPD=∠APD，所以B成立；∴AB⊥PD，所以C成立；∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC=BC，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，故选D．5. 【答案】A6. 【答案】C7. 【答案】A8. 【答案】B二、填空题9. 【答案】1610. 【答案】相切11. 【答案】60°[解析]连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA=BO，∵AB与☉O相切于点D，∴OD⊥AB.∵D是AB的中点，∴OD是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOD=∠AOB=30°，同理∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，故答案为60°.112. 【答案】O B，D C [解析] ∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO. 设AO＝BO＝x.由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，即x2＋x2＝12，解得x＝22(负值已舍去)，∴AO ＝22＜1，AC ＝2＞1，∴点O 在⊙A 内，点B ，D 在⊙A 上，点C 在⊙A 外．13. 【答案】76【解析】∵是的切线，∴， ∴，∴，∴，故答案为：76．14. 【答案】254【解析】如解图，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接OD 、OA ，则OD ＝OA.∵BC与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥BC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴EF ⊥AD ，∴DF ＝AF ＝12AD ＝6，在Rt △ODF 中，设OD ＝r ，则OF ＝EF －OE ＝AB －OE ＝8－r ，在Rt △ODF 中，由勾股定理得DF 2＋OF 2＝OD 2，即62＋(8－r)2＝r 2，解得r ＝254.∴⊙O 的半径为254.解图15. 【答案】135° [解析] 连接CE.∵∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°.∵⊙E 内切于△ADC ，∴∠EAC ＋∠ECA ＝45°，∴∠AEC ＝135°.由“边角边”可知△AEC ≌△AEB ，∴∠AEB ＝∠AEC ＝135°.16. 【答案】R ＝4.8或6<R ≤8 [解析] 当⊙C 与AB 相切时，如图①，过点C 作CD ⊥AB 于点D .根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10.根据三角形的面积公式，得12AB ·CD＝12AC ·BC ，解得CD ＝4.8，所以R ＝4.8；当⊙C 与AB 相交时，如图②，此时R 大于AC 的长，而小于或等于BC 的长，即6<R ≤8.PA PB 、O PA PB PA OA =⊥，90PAB PBA OAP ∠=∠∠=︒，90903852PBA PAB OAB ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒180525276P ∠=︒-︒-︒=︒三、解答题17. 【答案】解：(1)证明：连接OC，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.∵∠PEC＝∠EAC＋∠ACE＝∠EAC＋45°，而∠EAC＝90°－∠ABC，∠ABC＝∠OCB，∴∠PCE＝90°－∠OCB＋45°＝90°－(∠OCE＋45°)＋45°，∴∠OCE＋∠PCE＝90°，即∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，∴PC为⊙O的切线．(2)连接BD，如图所示．在Rt△ACB中，AB＝10 cm，BC＝6 cm，∴AC＝AB2－BC2＝102－62＝8(cm)．∵∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∴△ADB为等腰直角三角形，∴AD＝22AB＝5 2(cm)．18. 【答案】证明：(1)如图①，连接OC.∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l.又∵AD ⊥l ，∴AD ∥OC ，∴∠DAC ＝∠ACO.∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠CAO ，∴∠DAC ＝∠CAO ，即AC 平分∠DAB.(2)如图②，连接BF.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB ＝90°，∴∠BAF ＝90°－∠B.∵∠AEF ＝∠ADE ＋∠DAE ＝90°＋∠DAE ，又由圆内接四边形的性质，得∠AEF ＋∠B ＝180°，∴90°＋∠DAE ＋∠B ＝180°， ∴∠DAE ＝90°－∠B ，∴∠BAF ＝∠DAE.19. 【答案】解：(1)∵∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC ＝6，∴△BAP 的面积S ＝12AP ·BC ＝12×2×6＝6. (2)连接OD ，OE ，OA.设⊙O 的半径为r ，则S △BAP ＝12AB ·r ＋12AP ·r ＝6r ， ∴6r ＝6，解得r ＝1.故⊙O 的半径是1.24.3 正多边形和圆（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分，）1. 如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A.6√2cmB.12cmC.6√3cmD.4√3cm2. 已知△ABC是⊙O的内接正三角形，△ABC的面积等于a，DEFG是半圆O的内接正方形，面积等于b，ab的值为（）A.2B.√62C.3√35D.15√3163. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70∘，则∠ADC的度数是( )A.70∘B.110∘C.130∘D.140∘4. 已知正多边形的边心距与边长的比是√3:2，则此正多边形是（）A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形5. 四边形ABCD内接于⊙O．如果∠D=80∘，那么∠B等于（）A.80∘B.100∘C.120∘D.160∘6. 若一个正九边形的边长为a，则这个正九边形的半径是（）A.acos20B.asin20C.a2cos20D.a2sin207. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110∘，则∠BAD为（）A.140∘B.110∘C.90∘D.70∘8. 如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧的中点M重合，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE的长为（）A.5√33B.10√33C.103D.529. 如图，某学校欲建一个喷泉水池，底面是半径为4m的正六边形，池底是水磨石地面，所要用的磨光机是半径为2dm的圆形砂轮，磨池底时，磨头磨不到的正六边形的部分为（单位：dm2）（）A.2400√3−1200πB.8√3−400πC.8√3−23π D.24√3−23π二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）10. 圆内接正六边形的半径为2cm，则其边长等于________．11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=62∘，则∠C=________∘．12. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，若∠D=120∘，则∠CBE的度数是________．13. 如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，若△BCF的面积为18√3cm2，则六边形ABCDEF的面积为________cm2．14 半径为1的圆的内接正三角形的边长为________．15 如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB=16，CD=10，则四边形的周长是________．16. 已知四边形ABCD内接于圆，且弧AB、BC的度数分别为140∘和100∘，若弧AD=2•弧DC，则∠BCD=________．17. 已知AB，AC分别是同一圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠ACB度数为________ ．18. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DCE=60∘，则∠BAD=________度．19. 小刚要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O的正多边形，使其边长最大且能在正方形内自由旋转．如图1，若这个正多边形为正六边形，此时EF=________；若这个正多边形为正三角形，如图2，当正△EFG可以绕着点O在正方形内自由旋转时，EF的取值范围为_________．三、解答题（本题共计 6 小题，共计63分，）20. (1)请你用直尺和圆规作出△ABC的外接圆（保留作图痕迹）；(2)当AB=AC=4√5，BC=16，求△ABC的外接圆半径．21. 延长圆内接四边形ABCD的边AD和边BC，相交于点E，求证：△ABE∽△CDE．22. 如图，圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40∘，∠F= 60∘，求∠A的度数．23. 如图，在等腰△PAD中，PA=PD，B是边AD上的一点，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一动点，连接AC,PC,PC交AB于点E，且∠ACP=60∘．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）连结OP,PB,BC,OC，若⊙O的直径是4，则：①当四边形APBC是矩形时，求DE的长；②当DE=________时，四边形OPBC是菱形．24 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角.求证：∠D=∠CBE.25. 问题提出(1)如图①，在⊙O中，点M、N分别是⊙O上的点，若OM=4，则MN的最大值为________.问题探究(2)如图②，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=120∘,AC=6，求△ABC外接圆的半径及AB+BC 的长；问题解决(3)如图③．某旅游区有一个形状为四边形ABCD的人工湖，已知AD//BC，AD⊥AB，AB= 180m，BC=300m，AD>BC，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在四边形ABCD内建一个湖心小岛P，并分别修建观光长廊PB和PC，且PB和PC相互垂直．为了容纳更多的游客，要使线段PB、PC之和尽可能的大．试问PB+PC是否存在最大值？若存在，请求出PB+PC的最大值，若不存在，请说明理由.（观光长廊的宽度忽略不计）24.3 正多边形和圆（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分，）1. 如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A.6√2cmB.12cmC.6√3cmD.4√3cm2. 已知△ABC是⊙O的内接正三角形，△ABC的面积等于a，DEFG是半圆O的内接正方形，的值为（）面积等于b，abA.2B.√62C.3√35D.15√3163. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70∘，则∠ADC的度数是( )A.70∘B.110∘C.130∘D.140∘4. 已知正多边形的边心距与边长的比是√3:2，则此正多边形是（）A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形5. 四边形ABCD内接于⊙O．如果∠D=80∘，那么∠B等于（）A.80∘B.100∘C.120∘D.160∘6. 若一个正九边形的边长为a，则这个正九边形的半径是（）A.acos20B.asin20C.a2cos20D.a2sin207. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110∘，则∠BAD为（）A.140∘B.110∘C.90∘D.70∘8. 如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧的中点M重合，若BC=5，则折痕在△ABC内的部分DE的长为（）A.5√33B.10√33C.103D.529. 如图，某学校欲建一个喷泉水池，底面是半径为4m的正六边形，池底是水磨石地面，所要用的磨光机是半径为2dm的圆形砂轮，磨池底时，磨头磨不到的正六边形的部分为（单位：dm2）（）A.2400√3−1200πB.8√3−400πC.8√3−23π D.24√3−23π二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）10. 圆内接正六边形的半径为2cm，则其边长等于________．11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=62∘，则∠C=________∘．12. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，若∠D=120∘，则∠CBE的度数是________．13. 如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，若△BCF的面积为18√3cm2，则六边形ABCDEF的面积为________cm2．14 半径为1的圆的内接正三角形的边长为________．15 如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB=16，CD=10，则四边形的周长是________．16. 已知四边形ABCD内接于圆，且弧AB、BC的度数分别为140∘和100∘，若弧AD=2•弧DC，则∠BCD=________．17. 已知AB，AC分别是同一圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠ACB度数为________ ．18. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DCE=60∘，则∠BAD=________度．19. 小刚要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O的正多边形，使其边长最大且能在正方形内自由旋转．如图1，若这个正多边形为正六边形，此时EF=________；若这个正多边形为正三角形，如图2，当正△EFG可以绕着点O在正方形内自由旋转时，EF的取值范围为_________．三、解答题（本题共计 6 小题，共计63分，）20. (1)请你用直尺和圆规作出△ABC的外接圆（保留作图痕迹）；(2)当AB=AC=4√5，BC=16，求△ABC的外接圆半径．21. 延长圆内接四边形ABCD的边AD和边BC，相交于点E，求证：△ABE∽△CDE．22. 如图，圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40∘，∠F= 60∘，求∠A的度数．23. 如图，在等腰△PAD中，PA=PD，B是边AD上的一点，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一动点，连接AC,PC,PC交AB于点E，且∠ACP=60∘．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）连结OP,PB,BC,OC，若⊙O的直径是4，则：①当四边形APBC是矩形时，求DE的长；②当DE=________时，四边形OPBC是菱形．24 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角.求证：∠D=∠CBE.25. 问题提出(1)如图①，在⊙O中，点M、N分别是⊙O上的点，若OM=4，则MN的最大值为________.问题探究 (2)如图②，在△ABC 中，AB =BC,∠ABC =120∘,AC =6，求△ABC 外接圆的半径及AB +BC 的长；问题解决(3)如图③．某旅游区有一个形状为四边形ABCD 的人工湖，已知AD//BC ，AD ⊥AB ，AB =180m ，BC =300m ，AD >BC ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在四边形ABCD 内建一个湖心小岛P ，并分别修建观光长廊PB 和PC ，且PB 和PC 相互垂直．为了容纳更多的游客，要使线段PB 、PC 之和尽可能的大．试问PB +PC 是否存在最大值？若存在，请求出PB +PC 的最大值，若不存在，请说明理由.（观光长廊的宽度忽略不计）人教版九年级数学 24.4 弧长和扇形面积一、选择题1. 如图在等边三角形ABC 中，将边AC 逐渐变成以BA 为半径的AC ︵，其他两边的长度不变，则∠ABC 的度数由60°变为( )图A ．(180π)°B ．(120π)°C ．(90π)°D ．(60π)°2. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π3. （2020·聊城）如图，有一块半径为1m ，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）A ．41m B ．43m C ．415m D ．23m 4. （2020·聊城）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点M ，连接OC ，DB ，如果OC∥DB ，OC ＝23，那么图中阴影部分的面积是（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π5. 2019·天水模拟一个圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆锥侧面展开图形的圆心角是( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．180°6. 用圆心角为120°，半径为6 cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是( )A. 2 cm B ．3 2 cm C ．4 2 cm D ．4 cm7. （2020·苏州）如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，2OA =，过AB 的中点C作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为（）AM CBDA.1π-B.12π- C.12π-D.122π-8. 2018·黑龙江如图在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转40°得到△ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图阴影部分的面积为( )图A.143π－6B.259π C.338π－3D.33＋π二、填空题9. (2020·湘潭)如图，在半径为6的⊙O 中，圆心角60AOB ︒∠=，则阴影部分面积为________．10. (2020·绥化)已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是______度．11. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，则图中阴影部分的面积是________．12. 如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，AB ＝123，OP ＝6，则劣弧AB ︵的长为________．(结果保留π)13. 如图所示，有一直径是 2 米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC ，则：(1)AB 的长为________米；(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为________米．14. 已知一个圆心角为270°，半径为3 m 的扇形工件未搬动前如图示，A ，B 两点触地放置，搬动时，先将扇形以点B 为圆心，做如图示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A ，B 两点再次触地时停止，则圆心O 所经过的路线长为________m ．(结果用含π的式子表示)15. （2020·新疆）如图，⊙O 的半径是2，扇形BAC 的圆心角为60°，若将扇形BAC 剪下转成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为____________．16. 如图中的小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”(阴影部分)图案的面积为________．三、解答题17. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上的一点，AC 平分∠DAB ，AD ⊥CD ，垂足为D ，AD 交半圆O 于点E ，连接CE.(1)判断CD 与半圆O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若E 是AC ︵的中点，半圆O 的半径为1，求图中阴影部分的面积．18. （2020·内江）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，ODBC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ．（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）设OE 交⊙O 于点F ，若2DF BC ==，EF 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．19. 如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上的点F 处，点C 落在点A 处，再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG. (1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．人教版九年级数学 24.4 弧长和扇形面积课时训练-答案一、选择题1. 【答案】A [解析] 设变形后的∠B ＝n °，AB ＝AC ︵的长＝a .由题意可得n180π·a ＝a ，解得n ＝180π.2. 【答案】C [解析] 根据扇形的面积公式，S ＝120×π×62360＝12π.故选C.3. 【答案】C 【解析】先利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再利用勾股定理求圆锥的高．设圆锥形容器底面圆的半径为r ，则有2πr＝180190⋅π，解得r ＝41，则圆锥的高为22)41(1-＝415(m)．4. 【答案】B【解析】借助圆的性质，利用等积转化求解阴影部分的面积．由垂径定理，得CM ＝DM ，∵OC ∥DB ，∴∠C ＝∠D ，又∵∠OMC ＝∠BMD ，∴△OMC ≌△BMD(ASA)，∴OM ＝BM ＝21OB ＝21OC ，∴cos ∠COM ＝OC OM ＝21，∴∠COM ＝60°．∴S 阴影＝S 扇形BOC ＝360)32(602⋅π＝2π．5. 【答案】D6. 【答案】C [解析] 设纸帽底面圆的半径为r cm ，则2πr ＝120×π×6180，解得r ＝2.设圆锥的高为h cm ，由勾股定理得h2＋r2＝62，所以h2＋22＝62，解得h ＝4 2.7. 【答案】B【解析】本题考查了不规则图形面积的计算，连接OC ，由题意得∠DOC=∠BOC=45°，四边形OECD 为正方形,OC=2,由特殊角的三角函数得OE=OD=1,S 阴影=S 扇形OAB -S 正方形CEOD =290(2)360π⨯-12=2π-1，因此本题选B ．8. 【答案】B [解析] ∵AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，∴AC 2＋BC 2＝25＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形．由旋转的性质得，△ADE 的面积＝△ABC 的面积，由图可知，阴影部分的面积＝△ADE 的面积＋扇形ADB 的面积－△ABC 的面积， ∴阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积＝40π×52360＝259π.二、填空题9. 【答案】6π【解析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式．阴影部分面积为26066360ππ⨯=，故答案为：6π．10. 【答案】100【解析】设圆心角的度数是n ，则2π×2.5＝9180n π．解得n ＝100．11. 【答案】π－2 [解析] ∵在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴S 阴影＝S 半圆AB ＋S 半圆BC －S △ABC＝12π×(22)2＋12π×(22)2－12×2×2 ＝π－2.12. 【答案】 8π 【解析】∵AB 是小圆的切线，∴OP ⊥AB ，∴AP ＝12AB ＝6 3.如解图，连接OA ，OB ，∵OA ＝OB ，∴∠AOB ＝2∠AOP.在Rt △AOP 中，OA ＝OP 2＋AP 2＝12，tan ∠AOP ＝AP OP ＝636＝3，∴∠AOP ＝60°.∴∠AOB ＝120°，∴劣弧AB 的长为120π·12180＝8π.13. 【答案】(1)1 (2)14[解析] (1)如图，连接BC.∵∠BAC ＝90°，∴BC 为⊙O 的直径，即BC ＝ 2. ∵AB ＝AC ，AB2＋AC2＝BC2＝2， ∴AB ＝1(米)．(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r 米．根据题意，得2πr ＝90·π·1180，解得r ＝14.14. 【答案】6π [解析] 由题意易知∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，∴∠ABO ＝45°，圆心O 旋转的长度为2×45π×3180＝3π2(m)，圆心O 平移的距离为270π×3180＝9π2(m)，则圆心O 经过的路线长为3π2＋9π2＝6π(m)．15.【解析】本题考查了垂径定理，弧长公式，圆锥的侧面展开图．连接OA ，OB ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ．∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，OA ＝OA ，所以△OAB ≌△OAC ，所以∠OAB ＝∠OAC ＝12∠BAC ＝12×60°＝30°．在Rt △OAD 中，因为∠OAC ＝30°，OA ＝2，所以OD ＝1，AD 因为OD ⊥AC ，所以AC ＝2AD ＝BC l ＝60180×π×π．设此圆锥的底面圆的半径为r ，则r ．16. 【答案】2π－4 [解析] 如图所示，由题意，得阴影部分的面积＝2(S 扇形OAB －S △OAB)＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4. 故答案为2π－4.三、解答题17. 【答案】解：(1)CD 与半圆O 相切．证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC.∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠OCA ，∴∠DAC ＝∠OCA ，∴OC ∥AD.∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD.又∵OC 为半圆O 的半径，∴CD 与半圆O 相切．(2)连接OE.∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ，∴EC ︵＝BC ︵.又∵E 是AC ︵的中点，∴AE ︵＝EC ︵＝BC ︵，S 弓形AE ＝S 弓形CE ，∴∠BOC ＝∠EOC ＝60°.又∵OE ＝OC ，∴△OEC 是等边三角形，∴∠ECO ＝60°，CE ＝OC ＝1.由(1)得OC ⊥CD ，∴∠OCD ＝90°，∴∠DCE ＝30°，∴DE ＝12，DC ＝32， ∴S 阴影＝S △DEC ＝12×12×32＝38.18. 【答案】（1）证明：连接OC ，如图，∵OD ⊥BC ，∴CD=BD ，∴OE 为BC 的垂直平分线，∴EB=EC ，∴∠EBC=∠ECB ，∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB ，∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB ，即∠OBE=∠OCE ，∵CE 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CE ，∴∠OCE=90°， ∴∠OBE=90°，∴OB ⊥BE ，∴BE 与⊙O 相切．（2）设⊙O 的半径为R ，则OD=R-DF=R-2，OB=R ，在Rt △OBD 中，BD=12BC=∵OD2+BD2=OB2，∴222(2)R R -+=，解得R=4，∴OD=2，OB=4，∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°，∴在Rt △OBE 中，∠BEO=30º，OE=2OB=8，∴EF=OE-OF=8-4=4，即EF=4；（3）由∠OCD=∠OBD=30º和OD ⊥BC 知：∠COD=∠BOD=60º，∴∠BOC=120º，又BC=OE=8，∴=S OBEC S S -阴影四边形扇形OBC =21120482360π⨯⨯ 163π=,【解析】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含30º角的直角三角形边角关系、勾股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键．（1）连接OC ，如图，根据垂径定理由OD ⊥BC 得到CD=BD ，则OE 为BC 的垂直平分线，所以EB=EC ，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB ，加上∠OBC=∠OCB ，则∠OBE=∠OCE ；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE 与⊙O 相切；（2）设⊙O 的半径为R ，则OD=R-DF=R-2，OB=R ，在Rt △OBD ，利用勾股定理解得R=4，再利用含30º角的直角三角形边角关系可求得OE ，利用EF=OE-OF 即可解答；（3）利用（2）中可求得∠BOC=120º,然后利用=S OBEC S S 阴影四边形扇形OBC 代入数值即可求解．19. 【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°.∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BFA ，∴△BFA ≌△BEC ，∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°，AF ＝CE ，∴∠AFB ＋∠FAB ＝90°.∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，∴∠AFB ＋∠CFG ＝∠AFG ＝90°，AF ＝FG ，∴∠CFG ＝∠FAB ＝∠ECB ，CE ＝FG ，∴CE 綊FG ，∴四边形EFGC 是平行四边形，∴EF ∥CG.(2)∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝12AB. ∵△BFA ≌△BEC ，∴BF ＝BE ＝12AB ＝1， ∴AF ＝AB2＋BF2＝ 5.由(1)知四边形EFGC 是平行四边形，FC 为其对角线，∴点G 到FC 的距离等于点E 到FC 的距离，即BE 的长，∴S 阴影＝S 扇形BAC ＋S △ABF ＋S △FGC －S 扇形FAG ＝90π·22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π·（5）2360＝52－π4.。

人教版九年级上册数学第22章复习练习题(含答案)

人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质一、选择题1. 二次函数y＝－x2＋1的图象与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C.下列说法中，错误．．的是()A．△ABC是等腰三角形B．点C的坐标是(0，1)C．AB的长为2 D．y随x的增大而减小2. （2020·宿迁）将二次函数y＝(x－1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是（）A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x－1)2＋2 C．y＝(x－1)2－1 D．y＝(x－1)2＋53. 如图所示，根据图象提供的信息，下列结论正确的是()A．a1>a2>a3>a4B．a1<a2<a3<a4C．a4>a1>a2>a3D．a2>a3>a1>a44. 若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系．．．．．．．．xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为() A. y＝(x－2)2＋3 B. y＝(x－2)2＋5C. y＝x2－1D. y＝x2＋45. (2020·荆门)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )A．有两个大于1的不相等实数根B．有两个小于1的不相等实数根C．有一个大于1另一个小于1的实数根D．没有实数根6. 二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是( )A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2，3)C. 抛物线的对称轴是直线x ＝1D. 抛物线与x 轴有两个交点7. 已知二次函数y ＝(x －h )2＋1(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( ) A ．1或－5 B ．－1或5 C ．1或－3 D ．1或38. 二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象可能是( )二、填空题9. 抛物线y ＝－8x 2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x ＞0时，y 随x 的增大而________，当x ＜0时，y 随x 的增大而________．10. 若二次函数y ＝2x 2＋bx ＋3的图象的对称轴是直线x ＝1，则常数b 的值为________．11. 二次函数y ＝－2x 2－4x ＋5的最大值是________．12. 顶点坐标是(2，0)，且与抛物线y ＝－3x 2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为________．13. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42Ma b =+，N a b =-．则M 、N 的大小关系为M __________N ．(填“>”、“=”或“<”)14. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数)的顶点为P ，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m ，0)，C(－2，n)(1＜m ＜3，n ＜0)，有下列结论： ①abc ＞0； ②3a ＋c ＜0； ③a(m －1)＋2b ＞0；④a ＝－1时，存在点P 使△PAB 为直角三角形．其中正确结论的序号为________．15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ＞0)的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，它的对称轴与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于点B .若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是________．16. 如图，平行于x 轴的直线AC 与函数y 1＝x 2(x ≥0)，y 2＝13x 2(x ≥0)的图象分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC 交y 2的图象于点E ，则DEAB ＝________．三、解答题17. 已知抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点．(1)求c 的取值范围；(2)若抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m 与n 的大小，并说明理由．18. 设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质课时训练-答案一、选择题1. 【答案】D[解析] 由解析式y＝－x2＋1可知，图象是以y轴为对称轴的抛物线，它与横轴的交点坐标为(－1，0)，(1，0)，顶点坐标为C(0，1)(选项A，B 正确)；AB＝2(选项C正确)．在对称轴的两侧，函数y随x的增减性不同(选项D错误)．故选D.2. 【答案】D【解析】将二次函数y＝(x－1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是y＝(x－1)2＋2＋3，即y＝(x－1)2＋5，故选D．3. 【答案】A[解析] 开口越大，|a|越小，故a1>a2>a3>a4.故选A.4. 【答案】C【解析】由抛物线y＝x2－2x＋3得y＝(x－1)2＋2.保持抛物线不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位，其实质相当于抛物线向左平移1个单位，再将平面直角坐标系向上平移3个单位，则相当于抛物线向下平移3个单位，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，可得新的抛物线解析式为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1.5. 【答案】C【解析】依题意得a＋b＋c＝－1．∴c＝－(1＋a＋b)．∵原方程的判别式△＝b2－4ac＝b2＋4a(1＋a＋b)＝b2＋4a＋4a2＋4ab＝(2a＋b)2＋4a＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝c a，∴(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝c a＋b a＋1＝1a(a ＋b ＋c )＝－1a＜0．∴x 1－1与x 2－1异号，这说明x 1，x 2中一个大于1，另一个小于1．故选C ．6. 【答案】D 【解析】本题考查了二次函数的性质，由于2>0，所以抛物线的开口向上，所以A 选项错误；由于当x ＝2时，y ＝8－3＝5，所以B 选项错误；由于y ＝2x 2－3的对称轴是y 轴，所以C 选项错误；由2x 2－3＝0得b 2－4ac ＝24>0，则该抛物线与x 轴有两个交点，所以D 选项正确．7. 【答案】B 【解析】∵二次函数y ＝(x －h )2＋ 1，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝h ，∴二次函数值在x <h 时，y 随x 的增大而减小，在x >h 时，y 随x 的增大而增大，∴①当h ＜1时，在1≤x ≤3中，x ＝1时二次函数有最小值，此时(1－h )2＋ 1＝5，解得h ＝－1或h ＝3(舍去)；②当1≤h ≤3时，x ＝h 时，二次函数的最小值为1；③当h ＞3时，在1≤x ≤3中，x ＝3时二次函数有最小值，此时，(3－h )2＋ 1＝5，解得h ＝5或h ＝1(舍去)，综上所述，h 的值为－1或5.8. 【答案】D [解析] 由一次函数y ＝ax ＋a 可知，其图象与x 轴交于点(－1，0)，排除A ，B ；当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向上，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第一、二、三象限；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向下，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第二、三、四象限．排除C.二、填空题9. 【答案】下 y 轴 (0，0) 减小增大10. 【答案】－4[解析] ∵二次函数y ＝2x 2＋bx ＋3的图象的对称轴是直线x ＝1，∴x ＝－b2×2＝1，∴b ＝－4. 则b 的值为－4.11. 【答案】712. 【答案】y ＝－3(x －2)213. 【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>，当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<，即M N <，故答案为：<．14. 【答案】②③ [解析] 由抛物线经过A(－1，0)，B(m ，0)，可知对称轴为x ＝m －12＝－b 2a， ∴－ba ＝m －1.∵1＜m ＜3，∴ab ＜0.画出二次函数y ＝ax 2＋bc ＋c 的大致图象可知a ＜0， ∴b ＞0.把(－1，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，可得a －b ＋c ＝0， ∴c ＝b －a ＞0.∴abc ＜0，故①错误．当x ＝3时，y ＜0，∴9a ＋3b ＋c ＝9a ＋3(a ＋c)＋c ＝12a ＋4c ＝4(3a ＋c)＜0，∴3a ＋c<0，故②正确． ∴－ba ＝m －1，∴a(m －1)＋2b ＝－b ＋2b ＝b ＞0，故③正确．当a ＝－1时，y ＝－x 2＋bx ＋c ， ∴P(b 2，b ＋1＋b 24)．若△PAB 为直角三角形，则△PAB 为等腰直角三角形， ∴b ＋1＋b 24＝b2＋1，∴b ＝－2或b ＝0.∵b ＞0，∴不存在点P 使△PAB 为直角三角形，故④错误．故答案为②③.15. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b 24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．16. 【答案】3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，b)，则B(b ，b)，C(3b ，b)，D(3b ，3b)，E(3 b ，3b)．所以AB ＝b ，DE ＝3 b －3b ＝(3－3) b.所以DE AB ＝（3－3）bb＝3－ 3.三、解答题17. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b 2－4ac ＝16－8c ＞0，∴c ＜2.(2)m<n.理由：∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 的对称轴为直线x ＝1， ∴点A(2，m)和点B(3，n)都在对称轴的右侧．又∵当x≥1时，y 随x 的增大而增大， ∴m ＜n.18. 【答案】解：(1)当k ＝0时，y ＝－(x －1)(x ＋3)，所画图象如解图所示．(2分)(2)①k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称，②函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(k －3)](k 是常数)的图象都经过(1，0)和(－1，4)．(5分)(3)由题意可得y 2＝(x －1)[(2－1)x ＋(2－3)]＝(x －1)2，平移后的函数y 3的表达式为y 3＝(x －1＋4)2－2＝(x ＋3)2－2，所以当x ＝－3时，函数y 3的最小值是－2.(8分)22.2 二次函数与一元二次方程一．选择题1．关于x 的二次函数y ＝﹣2x 2+4x +m 2+2m ，下列说法正确的是（） A ．该二次函数的图象与x 轴始终有两个交点 B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 C ．当该二次函数的图象经过原点时，m ＝﹣2D．该二次函数的顶点的纵坐标无最小值2．已知直线l经过点（0，6）且平行于x轴，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与直线l 相交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣2），且∠ACB为直角，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A．﹣4＜x＜4 B．x＞4 C．x＜﹣4 D．﹣2＜x＜4 3．若二次函数y＝ax2+bx﹣1的最小值为﹣2，则方程|ax2+bx﹣1|＝2的不相同实数根的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．54．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是（1，3）C．当x＜1时，y随x的增大而增大D．图象与x轴有唯一交点5．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．（，0）B．（3，0）C．（，0）D．（2，0）6．对于函数y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法正确的有（）个①图象关于y轴对称；②有最小值﹣4；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；④直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点时，﹣＜b≤﹣3．A．1 B．2 C．3 D．47．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3…如此变换进行下去，若点P（21，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．38．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B （0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）A．ab＜0B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间C．a＝D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y29．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（）①abc＞0；②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．A．①③B．①②③C．①④D．②③④10．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a＝﹣．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（）A．x1+x2＜0 B．4＜x2＜5 C．b2﹣4ac＜0 D．ab＞0 12．关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（）A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a ＝﹣5B．当x＝12时，y有最小值a﹣9C．x＝2对应的函数值比最小值大7D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点二．解答题13．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）与点B（3，0），与y轴交于点C （0，3），P为抛物线上的点．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）若△P AB的面积为，求P点的坐标．14．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．（I）求二次函数的表达式．（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．15．如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．参考答案一．选择题1．解：A．由题意得：△＝42﹣4×（﹣2）×（m2+2m）＝8（m+1）2+8＞0，故该二次函数的图象与x轴始终有两个交点，故A正确，符合题意；B．函数的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，故当x＞1时，y随x的增大而增大，故B错误，不符合题意；C．当该二次函数的图象经过原点时，即x＝0时，y＝﹣2x2+4x+m2+2m＝m2+2m ＝0，解得：m＝0或﹣2，故C错误，不符合题意；D．函数的对称轴为x＝1，此时y＝m2+2m+2＝（m+1）2+1≥1，故顶点的纵坐标最小值为1，故D错误，不符合题意．故选：A．2．解：∠ACB为直角，则△ABC为等腰直角三角形，∵C（0，﹣2），则抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2；则CD＝6﹣（﹣2）＝8，则点B（8，6），将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2，令y＝0，则x＝±4，故y＜0时，﹣4＜x＜4，故选：A．3．解：由题意可知，二次函数y＝ax2+bx﹣1的图象开口向上，经过定点（0，﹣1），最小值为﹣2，则二次函数y＝ax2+bx﹣1 的大致图象如图1所示，函数y＝|ax2+bx﹣1|的图象则是由二次函数y＝ax2+bx﹣1位于x轴上方的图象不变，位于x轴下方的图象向上翻转得到的，如图2所示，由图2可知，方程|ax2+bx﹣1|＝2 的不相同实数根的个数是3个，故选：B．4．解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，解方程解得x1＝1+，x2＝1﹣，∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，∴抛物线与x轴有两个交点．故选：C．5．解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，即x2﹣1＝2，得x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），6．解：①∵a2﹣2|a|﹣3＝（﹣a）2﹣2|﹣a|﹣3，∴y＝x2﹣2|x|﹣3的图象关于y轴对称，故①正确；②∵y＝x2﹣2|x|﹣3＝（|x|﹣1）2﹣4，∴当|x|＝1即x＝±1时，y有最小值为﹣4，故②正确；③当m＝﹣4时，方程x2﹣2|x|﹣3＝m为x2﹣2|x|﹣3＝﹣4，可化为（|x|﹣1）2＝0，解得x＝±1，有两个不相等的实数根，此时m＝﹣4＜﹣3，故③错误；④∵直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，∴方程x2﹣2|x|﹣3＝x+b，即x2﹣2|x|﹣x﹣3﹣b＝0有3个解，∴方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）与方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）一共有3个解，∴当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有两个相等的负数根；或当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有一个负数根；或方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有一个非负数根或两个相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有两个不相等的负数根．即或或，解得，b＝﹣，或b＝﹣3，∴当b＝﹣或b＝﹣3时，直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，故④错误；故选：B．7．解：∵y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，∴点A1（4，0），∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝4，∵点P（21，m）在这种连续变换的图象上，∴x＝21和x＝1时的函数值互为相反数，∴﹣m＝﹣1×（1﹣4）＝3，∴m＝﹣3，故选：C．8．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴ab＜0，所以A选项的结论正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，而b＝﹣2a，∴a+2a﹣2＝m，∴a＝，所以C选项的结论正确；∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t ＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1，∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误．故选：D．9．解：依照题意，画出图形如下：∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．∴a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①正确，∵对称轴为x＝﹣1，∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；∵顶点为（﹣1，n），∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，联立方程组可得：，可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，∵无法判断△是否大于0，∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；当﹣3≤x≤3时，当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，故选：C．10．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①正确，当x＝﹣1时，0＝a﹣b+c，∴a+2a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴2c＝3b，故②错误；∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）∴点C（0，﹣3a），当BC＝AB时，4＝，∴a＝﹣，当AC＝BA时，4＝，∴a＝﹣，∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点D（1，4a），∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，∴a＝﹣，若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，∴a＝﹣1，∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或﹣，故④错误．故选：B．11．解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，∴x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标，∵抛物线的对称轴为x＝2，∴＝2，即x1+x2＝4＞0，故选项A错误；∵x1＜x2，﹣1＜x1＜0，∴﹣1＜4﹣x2＜0，解得：4＜x2＜5，故选项B正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故选项C错误；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a＞0，∴ab＜0，故选项D错误；故选：B．12．解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，表达式为：，若过点（4，5），则，解得：a＝﹣5，故选项正确；B、∵，开口向上，∴当x＝12 时，y有最小值a﹣9，故选项正确；C、当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；D、△＝，当a＜0时，9﹣a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，故选：C．二．解答题13．解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点A、B的坐标知，AB＝4，∵△P AB的面积为＝AB×|y P|＝，即×4×|y P|＝，解得y P＝，∴﹣x2+2x+3＝，解得x＝或或或，故点P的坐标为（，）或（，）或（，﹣）或（，﹣）．14．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）函数的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，当x＝2时，y＝x2﹣4x+3＝4﹣8+3＝﹣1，故顶点坐标为（2，﹣1）．15．解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣3上，∴b＝﹣2，∴抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标（1，﹣4）；（2）对于y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝3或﹣1，∴B（3，0），由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM＝BC为最小值，而BC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小，设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线BC的表达式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣2，故点M（1，﹣2）．22.3【实际问题与二次函数】一．选择题1．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数表达式为：y＝﹣（x﹣25）2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（）m．A．12B．25C．13D．142．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y 关于x的函数表达式是（）A．y＝7.9（1+2x）B．y＝7.9（1﹣x）2C．y＝7.9（1+x）2D．y＝7.9+7.9（1+x）+7.9（1+x）23．长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（）A．y＝32﹣4x（0＜x＜6）B．y＝32﹣4x（0≤x≤6）C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6）D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）4．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y＝x2+6x（0≤x≤4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（）A．1米B．2米C．5米D．6米5．某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝a（1﹣x）2B．y＝a（1+x）2C．y＝ax2D．y＝x2+a6．若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2＝0，则x2+y2+2x的最大值是（）A．14B．15C．16D．不能确定7．当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．2B．2或C．2或或D．2或或8．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值2，有最小值﹣2.5B．有最大值2，有最小值1.5C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5D．有最大值2，无最小值9．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．3或5B．﹣1或1C．﹣1或5D．3或110．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝﹣x2+24xC．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣x2+26x二．填空题11．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是s．12．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为．13．已知抛物线y＝x2+5的最小值是y＝．14．一抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面的宽为m．15．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．三．解答题16．拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y＝﹣x2，当水面离桥顶的高度为m时，水面的宽度为多少米？17．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）若设该种品牌玩具上涨x元（0＜x＜60）元，销售利润为w元，请求出w关于x 的函数关系式；（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．18．阿静家在新建的楼房旁围成一个矩形花圃，花圃的一边利用20米长的院墙，另三边用总长为32米的离笆恰好围成．如图，设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．19．某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？20．已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点Q从点B出发，沿B→C方向匀速运动，速度为每秒1个单位；同时点P以相同的速度从点C出发，沿C→A方向匀速运动；当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动的时间为t，连接PQ（1）求△QPC的面积S与t的函数关系式，并求出s的最大值．（2）连接BP，问是否存在某一时刻，使△BQP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵y＝﹣（x﹣25）2+12，顶点坐标为（25，12），∵﹣＜0，∴当x＝25时，y有最大值，最大值为12．故选：A．2．解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：y＝7.9（1+x）2．故选：C．3．解：∵长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，∴y与x之间的关系式是：y＝2[（10﹣x）+（6﹣x）]＝32﹣4x（0＜x＜6）．故选：A．4．解：方法一：根据题意，得y＝x2+6x（0≤x≤4），＝﹣（x﹣2）2+6所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．方法二：因为对称轴x＝＝2，所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．故选：B．5．解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，则y＝a（1+x）2．故选：B．6．解：由已知得：y2＝﹣2x2+6x，∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x，＝﹣x2+8x，＝﹣（x﹣4）2+16，又y2＝﹣2x2+6x≥0，解得：0≤x≤3，∴当x＝3时，y＝0，所以x2+y2+2x的最大值为15．故选：B．7．解：当m＜﹣2，x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣（舍），最大当﹣2≤m≤1，x＝m时，y＝m2+1＝4，解得m＝﹣；最大＝﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，当m＞1，x＝1时，y最大解得m＝2，综上所述：m的值为﹣或2，故选：B．8．解：∵二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，∴x＝1时，有最大值2，x＝4时，有最小值﹣2.5．故选：A．9．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5，解得：h＝5或h＝1（舍）．综上，h的值为﹣1或5，故选：C．10．解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是：y＝x•（50+2﹣x）＝﹣x2+26x．故选：D．二．填空题11．解：∵h＝30t﹣5t2，∴当h＝0时，t＝0或t＝6，∴水流从喷出至回落到水池所需要的时间是：6﹣0＝6，故答案为：6．12．解：由正方形边长3，边长增加x，增加后的边长为（x+3），则面积增加y＝（x+3）2﹣32＝x2+6x+9﹣9＝x2+6x．故应填：y＝x2+6x．13．解：∵a＝1＞0，∴当x＝0时，y有最小值，最小值为5．故答案为5．14．解：如图：以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意设二次函数解析式为：y＝ax2+2把A（2，0）代入，得a＝﹣，所以二次函数解析式为：y＝﹣x2+2，当y＝﹣1时，﹣x2+2＝﹣1解得x＝±．所以水面的宽度为2．故答案为2．15．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．三．解答题16．解：在y＝﹣x2中，当y＝﹣时，x＝±，故水面的宽度为＝（米）．答：水面的宽度为米．17．解：（1）根据题意得：w＝（600﹣10x）（10+x）＝﹣10x2+500x+6000；（2）w＝（600﹣10x）（10+x）＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10（x﹣25）2+12250，∵a＝﹣10＜0，∴对称轴为x＝25，＝12250（元）∴当销售价格定为40+25＝65时，W最大值答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元，此时玩具的销售单价应定为65元．18．解：（1）由题意可得，S＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x，∵，解得，6≤x＜16，即S与x之间的函数关系式是S＝﹣2x2+32x（6≤x＜16）；（2）∵S＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，∴当x＝8时，S有最大值，最大值是128平方米．19．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+170；（2）W＝（x﹣90）（﹣x+170）＝﹣x2+260x﹣15300，∵W＝﹣x2+260x﹣15300＝﹣（x﹣130）2+1600，而a＝﹣1＜0，∴当x＝130时，W有最大值1600．答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．20．解：（1）过P作PG⊥BC于G，由题意得：BQ＝CP＝t，∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，sin∠C＝，∴，∴PG＝，S＝＝•（5﹣t）＝﹣（0≤x≤4）；（2）由勾股定理得：PB2＝32+（4﹣t）2，PQ2＝+（5﹣t﹣t）2，△BQP为等腰三角形时，分三种情况：①当BQ＝PQ时，t2＝+（5﹣t﹣t）2，13t2﹣90t+125＝0，（t﹣5）（13t﹣25）＝0，t1＝5（舍），t2＝，②当PB＝PQ时，32+（4﹣t）2＝+（5﹣t﹣t）2，13t2﹣50t＝0，t（13t﹣50）＝0，t1＝0，t2＝；③当PB＝BQ时，32+（4﹣t）2＝t2，8t＝25，t＝，综上所述，当t＝s或s或s时，△BQP为等腰三角形．。

人教版数学九年级上学期课时练习-《旋转》全章复习与巩固(知识讲解)(人教版)

专题23.7《旋转》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.特别说明：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C特别说明：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比【典型例题】类型一、旋转三要素1．如图，E是正方形ABCD的边AB上任意一点（不与点A，B重合），DAE△按逆时针方向旋转后恰好能够与DCF重合．(1)旋转中心是________，旋转角为________；(2)请你判断DFE△的形状，并说明理由．【答案】(1) 点D ；90° (2) 等腰直角三角形，理由见分析【分析】（1）由已知可知，旋转中心为点D ，旋转角∠ADC = 90°，即可求解；（2）由旋转的性质可得DE = DF ，∠EDF = ∠ADC = 90，可得结论． (1)解：由题意得：旋转中心是点D ；旋转角为∠ADC ，在正方形ABCD 中，∠ADC =90°， ∠旋转角为90°；故答案为：点D ；90°(2)解：根据题意得：DE DF =，90EDF ADC ∠=∠=︒，∠DEF 是等腰直角三角形．【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．举一反三：【变式1】在ABC 中，30B ACB ∠+∠=︒，4AB =，ABC 逆时针旋转一定角度后与ADE 重合，且点C 恰好成为AD 中点，如图． (1) 旋转中心是点______，AE =______； (2) 求直线BC 与直线DE 的夹角．【答案】(1) A ,AC (2)30 【分析】（1）根据旋转后A 点与自身对应，则旋转中心为点A ，进而根据12AC AD =，可知AE 与AC 对应，即可求解；（2）延长BC 交ED 于点F ，取AB 中点G ，连接EG ，证明AEG △是等边三角形，进而求得1,120,902EG AB BG EGB BEA ==∠=︒∠=︒在EBF △中，根据三角形内角和定理求得EFB ∠，即直线BC 与直线DE 的夹角．(1)解：∠旋转后A 点与自身对应，∠旋转中心为点A ， 12AC AD =，则AC 旋转后与AD 不对应，则AC 与AE 对应故答案为：A ,AC(2)延长BC 交ED 于点F ，取AB 中点G ，连接EG ，30ABC ACB ∠+∠=︒，4AB =，180150BAC B ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒∴ABC 逆时针旋转150︒后与ADE 重合， ∴150CAE BAC ∠=∠=︒,BCA DEA ∠=∠36060EAG EAC DAB ∴∠=︒-∠-∠=︒ G 是AB 的中点，122AG AB ∴== 1,22AD AB AC AD === ∴2AE AC ==∴AEG 是等边三角形60AGE ∴∠=︒ 120EGB ∴∠=︒又2EG AG AE BG ====30∴∠=∠=︒GBE GEB∴∠=∠+∠=︒90BEA BEG GEABEF中∠+∠FBE BEF=∠+∠+∠+∠CBA ABE BEA AED=∠+∠+∠+∠ABE BEA CBA AED()==︒+︒︒12030150∴∠=︒EFB30即直线BC与直线DE的夹角为30【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．【变式2】如图，点P是正方形ABCD内一点，连接P A，PB，PC，将∠ABP绕点B 顺时针旋转到∠CBP′的位置．（1）旋转中心是点__________，旋转角度是__________．（2）连接PP′，∠BPP′的形状是__________ 三角形．（3）若P A＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长．【答案】（1）B，90°；（2）等腰直角；（3）6【分析】（1）根据旋转的定义解答；（2）根据旋转的性质可得BP=BP′，又旋转角为90°，然后根据等腰直角三角形的定义判定；（3）∠根据勾股定理列式求出PP′，先根据旋转的性质求出∠BP′C=135°，再求出∠PP′C=90°，然后根据勾股定理列式进行计算即可得解．解：（1）∠P是正方形ABCD内一点，∠ABP绕点B顺时针旋转到∠CBP′的位置，∠旋转中心是点B，点P旋转的度数是90度，故答案为：B ，90°；（2）根据旋转的性质BP=BP′，旋转角为90°，∠∠BPP′是等腰直角三角形；故答案为：等腰直角；（3）在等腰Rt ∠BPP '中，∠PB ＝BP '＝4，∠PP ′= ∠∠BP ′C ＝∠BP A ＝135°，∠∠PP ′C ＝∠BP ′C －∠BP ′P ＝135°－45°＝90°， ∠P 'C ＝P A ＝2 在Rt ∠PP ′C 中，PC 6==【点拨】本题考查旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和正方形的性质．类型二、利用旋转性质求值或证明2．如图，点E 是正方形ABCD 内一点，将BEC △绕点C 顺时针旋转90°至DFC △． (1) 若30EBC ∠=︒，80BCE ∠=︒，求DFC ∠； (2) 若3CE =，求CEF △的面积．【答案】(1) 70DFC ∠=︒ (2) CEF △的面积为92【分析】（1）根据三角形内角和定理，先算出70BEC ∠=︒，根据旋转性质，得出70DFC BEC ∠=∠=︒；（2）根据旋转性质得出90ECF ∠=︒，3CF CE ==，即可算出∠CEF 的面积． (1)解：∠30EBC ∠=︒，80BCE ∠=︒，∠18070BEC EBC BCE ∠=︒-∠-∠=︒，∠将BEC △绕点C 顺时针旋转90°至DFC △， ∠70DFC BEC ∠=∠=︒．(2)∠将BEC △绕点C 顺时针旋转90°至DFC △， ∠90ECF ∠=︒，3CF CE ==， ∠11933222CEF S CE CF ∆=⨯⨯=⨯⨯=．【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，旋转的性质，根据旋转得出90ECF ∠=︒，3CF CE ==，是解题的关键．举一反三：【变式1】已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD AB ⊥于点D ．在边BC 上取一点E ，连接DE ，将线段DE 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EF ，连接AF ，交线段CD 于点G ．(1) 如图，若点E 与点C 重合，求证：FCG ADG △△≌； (2) 探究线段AG 与GF 之间满足的数量关系，并说明理由；(3) 若10AB =，请直接写出点C 与点F 之间的最小距离，不必写解答过程．【答案】(1)见分析(2)AG =GF ，理由见分析(3)5 【分析】（1）根据题意，∠ABC 是等腰直角三角形，CD ∠AB ，所以CD =AD ，根据旋转的性质，CD =CF ，所以CF =AD ，又因为∠GCF =∠GDA =90°，∠CGF =∠DGA ，所以FCG ADG △△≌（ASA ）；（2）作EH ∠BC ，交CD 于点H ，连接FH ，则可证明∠FEH ≌∠CED (SAS )，得到FH =DC =AD ，∠EHF =∠ECD =45°，从而证明∠FHG =90°，又因为对顶角相等，可证明∠FGH≌∠AGD (AAS )，所以AG =GF ；（3）根据（2）中的结论，CF ，所以当CE 取最小值0时CF有最小值5．解：(1)根据题意，∠ABC 是等腰直角三角形，∠CD AB ⊥∠CD 是斜边AB 的中线 ∠CD =AD∠线段DE 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EF ∠∠FCG =∠ADG =90°，CD =CF ∠AD =CF在△FCG 和ADG 中FCG ADG CF ADFGC AGD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠FCG ADG △△≌（ASA ） (2)AG =GF ，理由如下：作EH ∠BC ，交CD 于点H ，连接FH ，如图，∠∠ABC 是等腰直角三角形，CD ∠AB∠∠BCD =12ACB ∠=45°，CD =AD =12AB∠EH ∠BC∠∠EHC =∠BCD =45° ∠CE =HE∠∠FED +∠DEH =∠DEH +∠HEC ∠∠FEH =∠DEC 又∠EF =ED∠∠FEH ≌∠CED (SAS )∠FH =DC =AD ，∠EHF =∠ECD =45° ∠∠CHF =∠CHE +∠EHF =45°+45°=90° ∠∠FHG =90°=∠ADG 又∠∠FGH =∠AGD ∠∠FGH ≌∠AGD (AAS ) ∠AG =GF (3)连接CF ，∠FH =AD =12AB =11052⨯=，CH∠CF当CE 最小时CF 最小，CE 最小值为0，∠CF 5=点C 与点F 之间的最小距离为5．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式2】如图，P 是等边ABC 内的一点，且5,4,3PA PB PC ===，将APB △绕点B 逆时针旋转，得到CQB △．(1) 旋转角为_____度； (2) 求点P 与点Q 之间的距离；(3)求BPC∠的度数；S．(4)求ABC的面积ABC【答案】+9．【分析】（1）根据∠QCB是∠P AB绕点B逆时针旋转得到，可知∠ABC为旋转角即可得出答案，（2）连接PQ，根据等边三角形得性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP ＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判断∠PBQ 是等边三角形，所以PQ＝PB＝4；（3）先利用勾股定理的逆定理证明∠PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上∠BPQ ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．（4）由直角三角形的性质可求CH，PH的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求解．解：(1)∠∠ABC是等边三角形，∠∠ABC＝60°，∠∠QCB是∠P AB绕点B逆时针旋转得到的，∠旋转角为60°故答案为：60；(2)连接PQ，如图1，∠∠ABC是等边三角形，∠∠ABC＝60°，BA＝BC，∠∠QCB是∠P AB绕点B逆时针旋转得到的，∠∠QCB∠∠P AB，∠BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，∠BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，∠∠PBQ是等边三角形，∠PQ＝PB＝4；(3)∠QC ＝5，PC ＝3，PQ ＝4，而32+42＝52， ∠PC 2+PQ 2＝CQ 2，∠∠PCQ 是直角三角形，且∠QPC ＝90°， ∠∠PBQ 是等边三角形， ∠∠BPQ ＝60°，∠∠BPC ＝∠BPQ +∠QPC ＝60°+90°＝150°； (4)如图2，过点C 作CH ∠BP ，交BP 的延长线于H ， ∠∠BPC ＝150°， ∠∠CPH ＝30°， ∠CH 12=PC 32=，PH=， ∠BH ＝4 ∠BC 2＝BH 2+CH 2232⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2425⎛+ ⎝⎭＝ ∠S △ABC =2， ∠S △ABC 25=+=9．【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键．类型三、中心对称图形与轴对称图形3、如图，在平面直角坐标系中，ABC 为格点三角形（顶点为网格线的交点），∠ABC ＝90°，点A 的坐标为（1，4）．已知ABC 与DEF 关于点(),0a 成中心对称（点D ，E ，F 分别为A ，B ，C 的对应点，0a ≥且4a ≠）．连接AF ，CD ．(1) 若0a =，画出此时DEF 的位置；(2) 线段AF 与CD 的位置和大小关系是______；(3) 若四边形AFDC 是一个轴对称图形，则a 的值为______．【答案】(1)见分析(2)AF CD ∥，且AF CD =(3)1 【分析】（1）当0a =时，点（a ，0）即为原点，作出ABC 关于原点成中心对称的图形即可；（2）设对称中心为点P （a ，0），根据中心对称的性质，即可得出结论；（3）当四边形AFDC 是菱形或矩形时，可得出a 的值． (1)如图，DEF 即为所画；(2)如图所示，AF CD ∥，且AF CD =故答案为：AF CD ∥，且AF CD =(3)∠ABC 是直角三角形，且B （1，0），∠ABC 与DEF 关于点()1,0成中心对称时，四边形AFDC 是菱形，如图，∠1,a = 故答案为：1【点拨】本题考查作图-中心对称、轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．举一反三：【变式1】已知：BD 是ABC 的角平分线，点E ，F 分别在BC AB ，上，且DE AB ，BE AF =．(1) 如图1，求证：四边形ADEF 是平行四边形；(2) 如图2，若ABC 为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．【答案】(1)证明见分析(2)等边ABC ，等边BEF ，等边CDE ，等腰BDE ，等腰梯形ABED ，等腰梯形ACEF【分析】（1）由角平分线可知ABD CBD ∠=∠，由平行可知BDE ABD ∠=∠，可得CBD BDE ∠=∠，DE BE AF ==，进而结论得证；（2）由题意可得四边形ADEF 是菱形，,,D E F 是等边三角形的中点，然后根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；对图中的三角形与四边形的对称性进行判断即可．(1)证明：∠BD 是ABC 的角平分线∠ABD CBD ∠=∠ ∠DE AB ∥ ∠BDE ABD ∠=∠ ∠CBD BDE ∠=∠ ∠DE BE AF == ∠DE AF ∥，DE AF = ∠四边形ADEF 是平行四边形．(2)解：由（1）知四边形ADEF 是平行四边形∠EF AC∠ABC 是等边三角形 ∠60EFB C B ∠=∠=∠=︒ ∠BE EF DE == ∠四边形ADEF 是菱形 ∠,,AF BF BE CE CD AD === ∠,,D E F 是等边三角形的中点 ∠,BG EF BD EF ⊥⊥∠由轴对称图形与中心对称图形的定义可知，是轴对称图形但不是中心对称图形的有：等边ABC ，等边 BEF ，等边CDE △，等腰BDE ，等腰梯形ABED ，等腰梯形ACEF ．【点拨】本题考查了角平分线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称图形，中心对称图形等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式2】在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC 的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出ABC 向左平移4个单位长度后得到的111A B C △，并写出点1C 的坐标；（2）作出ABC 关于原点O 对称的222A B C △，并写出点2C 的坐标；222A B C △可看作111A B C △以点（________，________）为旋转中心，旋转________°得到的．（3）已知ABC 关于直线l 对称的333A B C △的顶点3A 的坐标为()4,2--，请直接写出直线l 的函数解析式________．【答案】（1）图见详解，C 1（-1，2）；（2）图见详解，C 2（-3，-2），（-2，0），180；（3）y =-x【分析】（1）根据平移的性质即可画出ABC 向左平移4个单位后的111A B C △；（2）根据中心对称的性质即可作出ABC 关于原点O 对称的222A B C △，再根据旋转的性质即可得出结论；（3）根据轴对称的性质，可以知道直线必过点（-1，1），即可求出解析式．解：（1）如图所示，点C 1的坐标（-1，2）；（2）如图所示，点C 2的坐标（-3，-2），222A B C △可看作111A B C △以点（-2，0）为旋转中心，旋转180°得到的；（3）因为A 的坐标为（2，4），A 3的坐标为（-4，-2），所以直线必过点（-1，1），所以直线的解析式为y =-x ．【点拨】本题主要考查了平移，轴对称，中心对称的作图，熟练其概念准确的画出图形是解决本题的关键．类型四、直角坐标系中的中心对称图形4、已知∠ABC的三个顶点的坐标分别为A（－5，0）、B（－2，3）、C（－1，0）．(1)画出∠ABC关于坐标原点O成中心对称的∠A′B′C′；(2)将∠ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的∠A′′B′′C′′；(3)若以A′、B′、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D′坐标为．【答案】(1)见分析(2)见分析(3)（6，－2）【分析】（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°的点A″、B″、C″的坐标，然后顺次连接即可；（3）根据平行四边形的对边平行且相等解答．(1)如图所示，∠A′B′C′就是求作的图形；(2)如图所示，∠A′′B′′C′′就是求作的三角形；(3)如图所示，点D′坐标为（6，－2）；【点拨】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A （1，1），B （4，2），C （3，4）．(1) 若ABC 经过平移后得到111A B C △，已知点C 的对应点1C 的坐标为()2,4-，画出111A B C △；(2) 请画出△ABC 关于原点对称的△A 2B 2C 2．【答案】(1)见分析(2)见分析【分析】（1）根据C 点的平移方式依次得到A 点和B 点的对应点的位置，顺次相连即可；（2）根据中心对称的定义确定对应点的位置后顺次连接即可． (1)如图，△A 1B 1C 1即为所求． (2)如图，△A 2B 2C 2即为所求．【点拨】本题考查了平面直角坐标系内的图形的平移和中心对称，解题关键是牢记平移作图与中心对称图形的作图方法．【变式2】已知抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7．(1) 二次函数的图象与已知抛物线关于y 轴对称，求它的解析式；(2) 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与已知抛物线关于原点对称，求a ，b ，c 的值．【答案】(1)y ＝﹣2x 2﹣8x ﹣7(2)a ＝2，b ＝8，c ＝7 【分析】（1）抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7的图象关于y 轴对称的抛物线x 互为相反数，y 不变进行求解即可；（2）抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7的图象关于原点对称的抛物线x 、y 均互为相反数进行求解即可；(1)解：抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7的图象关于y 轴对称的抛物线x 互为相反数，y 不变，∠y ＝﹣2（﹣x ）2+8（﹣x ）﹣7＝﹣2x 2﹣8x ﹣7；(2)抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7的图象关于原点对称的抛物线x 、y 均互为相反数，∠﹣y ＝﹣2（﹣x ）2+8（﹣x ）﹣7＝﹣2x 2﹣8x ﹣7，即y ＝2x 2+8x +7∠二次函数y ＝ax 2+bx +c 中的a ＝2，b ＝8，c ＝7．【点拨】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．类型五、旋转几何综合拓展5、∠ABC 和∠DEC 是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =．(1)【观察猜想】当∠ABC 和∠DEC 按如图1所示的位置摆放，连接BD 、AE ，延长BD 交AE 于点F ，猜想线段BD 和AE 有怎样的数量关系和位置关系．(2)【探究证明】如图2，将∠DCE 绕着点C 顺时针旋转一定角度()090αα︒<<︒，线段BD 和线段AE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(3)【拓展应用】如图3，在∠ACD 中，45ADC ∠=︒，CD =4=AD ，将AC 绕着点C 逆时针旋转90°至BC ，连接BD ，求BD 的长．【答案】(1)BD AE = ，BD AE ⊥(2)成立，理由见分析(3)【分析】（1）通过证明BCD ACE ≅，即可求证；（2）通过证明BCD ACE ≅，即可求证；（3）过点C 作CH CD ⊥，垂足为C ，交AD 于点H ，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可求解．解：(1)BD AE = ，BD AE ⊥，证明如下：在BCD △和ACE 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =，BCD ACE ∴≅，,BD AE CBD CAE ∴=∠=∠，90ACB ∠=︒，90CBD BDC ∴∠+∠=︒，BDC ADF ∠=∠，90CAE ADF ∴∠+∠=︒，BD AE ∴⊥；(2)成立，理由如下：∠ACB DEC ∠=∠，∠ACB ACD DCE ACD ∠+∠=∠+∠，即BCD ACE ∠=∠，在BCD △和ACE 中，∠AC BC =，BCD ACE ∠=∠，CD CE =，∠BCD ACE ≌，∠BD AE =，CBD CAE ∠=∠，∠BGC AGF ∠=∠，∠CBD BGC CAE AGF ∠+∠=∠+∠，∠90ACB ∠=︒，∠90CBD BGC ∠+∠=︒，∠90CAE AGF ∠+∠=︒，∠90AFB ∠=︒，∠BD AE ⊥；(3)如图，过点C 作CH CD ⊥，垂足为C ，交AD 于点H ，由旋转性质可得：90ACB ∠=︒，AC BC =，∠CH CD ⊥，∠90DCH ∠=︒，∠90ADC CHD ∠+∠=︒，且45ADC ∠=︒，∠45CHD ∠=︒，∠CHD ADC ∠=∠，∠CD CH ==在Rt DCH 中：2DH =，∠90ACB DCH ∠=∠=︒，∠ACB ACH DCH ACH ∠+∠=∠+∠，即ACD BCH ∠=∠，在ACD △和BCH 中，∠AC BC =，ACD BCH ∠=∠，CD CH =，∠ACD BCH ≌△△，∠4BH AD ==，CBH DAC ∠=∠，∠12CBH DAC ∠+∠=∠+∠，∠90ACB ∠=︒，∠190CBH ∠+∠=︒，∠290DAC ∠+∠=︒，∠90∠=°，BHA∠BH AD⊥，∠BHD△是直角三角形，在Rt BDH中，BD=【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．举一反三：【变式1】如图1，在∠ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为∠ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求证：∠BDA∠∠BFE；（2）∠CD+DF+FE的最小值为；∠当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∠BF．（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．【答案】（1）见解答；（2）；∠见解答；（3）是，∠MPN=30°．【分析】（1）由旋转60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS证出全等即可；（2）∠由两点之间，线段最短知C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE 最小值为CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋转知AB=BE，∠CBE=90°，最后根据勾股定理求出CE即可；∠先由∠BDF 为等边三角形得∠BFD =60°，再由C 、D 、F 、E 共线时CD +DF +FE 最小，∠BFE =120°=∠BDA ，最后ADF =∠ADB -∠BDF =120°-60°=60°，即证；（3）由中位线定理知道MN ∠AD 且PN ∠EF ，再设∠BEF =∠BAD =α，∠P AN =β，则∠PNF =60°-α+β，∠FNM =∠F AD =60°+α-β，得∠PNM =120°．（1）证明：∠∠DBF =∠ABE =60°，∠∠DBF -∠ABF =∠ABE -∠ABF ，∠∠ABD =∠EBF ，在∠BDA 与∠BFE 中，BD BF ABD EBF AB BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠BDA ∠∠BFE （SAS ）；（2）∠∠两点之间，线段最短，即C 、D 、F 、E 共线时CD +DF +FE 最小，∠CD +DF +FE 最小值为CE ，∠∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =1，∠BE =AB =2，BC∠∠CBE =∠ABC +∠ABE =90°，∠CE=∠证明：∠BD =BF ，∠DBF =60°，∠∠BDF 为等边三角形，即∠BFD =60°，∠C 、D 、F 、E 共线时CD +DF +FE 最小，∠∠BFE =120°，∠∠BDA ∠∠BFE ，∠∠BDA =120°，∠∠ADF =∠ADB -∠BDF =120°-60°=60°，∠∠ADF =∠BFD ，∠AD ∠BF ；（3）∠MPN 的大小是为定值，理由如下：如图，连接MN ，∠M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，∠MN ∠AD 且PN ∠EF ，∠AB =BE 且∠ABE =60°，∠∠ABE 为等边三角形，设∠BEF =∠BAD =α，∠P AN =β，则∠AEF =∠APN =60°-α，∠EAD =60°+α，∠∠PNF =60°-α+β，∠FNM =∠F AD =60°+α-β，∠∠PNM =∠PNF +∠FNM =60°-α+β+60°+α-β=120°，∠∠BDA ∠∠BFE ，∠MN =12AD =12FE =PN ， ∠∠MPN =12(180°-∠PNM )=30°．【点拨】本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键．【变式2】如图1，正方形ABCD 的边长为4，点P 在边AD 上（P 不与,A D 重合），连接,PB PC ．将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°得到PE ，将线段PC 绕点P 逆时针旋转90°得到PF ．连接EF EA FD ,,．（1）求证：∠PDF ∆的面积212S PD =； ∠EA FD =；（2）如图2，EA FD.的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．【答案】（1）∠见详解；∠见详解；（2）4≤MN＜【分析】≌，即可得到结论；（1）∠过点F作FG∠AD交AD的延长线于点G，证明PFG CPD∠过点E作EH∠DA交DA的延长线于点H，证明PEH BPA≌，可得≌，结合PFG CPDGD=EH，同理：FG=AH，从而得AHE FGD≌，进而即可得到结论；（2）过点F作FG∠AD交AD的延长线于点G，过点E作EH∠DA交DA的延长线于点EF，HG= 2AD=8，EH+FG= AD=4，然后求出当点P与点D重H，可得∠AMD=90°，MN=12合时，EF最大值=P与AD的中点重合时，EF最小值= HG=8，进而即可得到答案．解：（1）∠证明：过点F作FG∠AD交AD的延长线于点G，∠∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，∠∠FPG=∠CPD，又∠∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，∠PFG CPD ≌（AAS ），∠FG =PD ，∠PDF ∆的面积21122S PD FG PD =⋅=； ∠过点E 作EH ∠DA 交DA 的延长线于点H ，∠∠EPH +∠PEH =90°，∠EPH +∠BP A =90°，∠∠PEH =∠BP A ，又∠∠PHE =∠BAP =90°，PB =PE ，∠PEH BPA ≌（AAS ），∠EH =P A ，由∠得：FG =PD ，∠EH +FG =P A +PD =AD =CD ，由∠得：PFG CPD ≌，∠PG =CD ，∠PD +GD = CD = EH +FG ，∠FG + GD = EH +FG ，∠GD =EH ，同理：FG =AH ，又∠∠AHE =∠FGD ，∠AHE FGD ≌，∠EA FD =；（2）过点F 作FG ∠AD 交AD 的延长线于点G ，过点E 作EH ∠DA 交DA 的延长线于点H ，≌，由（1）得：AHE FGD∠∠HAE=∠GFD，∠∠GFD+∠GDF=90°，∠∠HAE+∠GDF=90°，∠∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，∠∠MAD+∠MDA=90°，∠∠AMD=90°，∠点N是EF的中点，EF，∠MN=12∠EH=DG=AP，AH=FG=PD，∠HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，此时EF最大值当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，此时EF最小值= HG=8，【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．。

人教版初中数学九年级上册全册配套习题

第一章一元二次方程测试1 一元二次方程的有关概念及直接开平方法学习要求1．掌握一元二次方程的有关概念，并应用概念解决相关问题．2．掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程中，只含有______个未知数，并且未知数的______次数是2．它的一般形式为__________________．2．把2x 2－1=6x 化成一般形式为__________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．3．若(k ＋4)x 2－3x －2=0是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是______．4．把(x ＋3)(2x ＋5)－x (3x －1)=15化成一般形式为______，a =______，b =______，c =______．5．若－3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______．6．方程y 2－12=0的根是______．二、选择题7．下列方程中，一元二次方程的个数为( )．(1)2x 2－3=0(2)x 2＋y 2=5(3)(4)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在方程：3x 2－5x =0，7x 2－6xy ＋y 2=0，=0， 3x 2－3x =3x 2－1中必是一元二次方程的有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．x 2－16=0的根是( )．A ．只有4B ．只有－4C ．±4D ．±8x x m －m+-222)(542=-x 2122=+x x ,5312+=+x x 322,052222--=+++xx x x ax10．3x 2＋27=0的根是()．A ．x 1=3，x 2=－3B ．x =3C ．无实数根D ．以上均不正确三、解答题(用直接开平方法解一元二次方程)11．2y 2=8．12．2(x ＋3)2－4=0．13．14．(2x ＋1)2=(x －1)2．综合、运用、诊断一、填空题15．把方程化为一元二次方程的一般形式(二次项系数为正)是__________，一次项系数是______．16．把关于x 的一元二次方程(2－n )x 2－n (3－x )＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．17．若方程2kx 2＋x －k =0有一个根是－1，则k 的值为______．二、选择题18．下列方程：(x ＋1)(x －2)=3，x 2＋y ＋4=0，(x －1)2－x (x ＋1)=x ，其中是一元二次方程的有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个.25)1(412=+x x x x +=-2232,01=+xx ,5)3(21,42122=+=-+x x x19．形如ax 2＋bx ＋c =0的方程是否是一元二次方程的一般形式，下列说法正确的是()．A ．a 是任意实数B ．与b ，c 的值有关C ．与a 的值有关D ．与a 的符号有关20．如果是关于x 的方程2x 2＋3ax －2a =0的根，那么关于y 的方程y 2－3=a的解是( )．A ．B ．±1C ．±2D ．21．关于x 的一元二次方程(x －k )2＋k =0，当k ＞0时的解为()．A ．B ．C ．D ．无实数解三、解答题(用直接开平方法解下列方程)22．(3x －2)(3x ＋2)=8．23．(5－2x )2=9(x ＋3)2．24．25．(x －m )2=n ．(n 为正数)拓广、探究、思考26．若关于x 的方程(k ＋1)x 2－(k －2)x －5＋k =0只有唯一的一个解，则k =______，此方程的解为______．27．如果(m －2)x |m ｜＋mx －1=0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为()．21=x 5±2±kk +kk -kk -±.063)4(22=--xA．2或－2B．2C．－2D．以上都不正确28．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1=0有一个根是0，求m的值．29．三角形的三边长分别是整数值2cm，5cm，k cm，且k满足一元二次方程2k2－9k－5=0，求此三角形的周长．测试2 配方法与公式法解一元二次方程学习要求掌握配方法的概念，并能熟练运用配方法与公式法解一元二次方程．课堂学习检测一、填空题1．_________=(x －__________)2．2．＋_________=(x －_________)2．3．_________=(x －_________)2．4．＋_________=(x －_________)2．5．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的根是______．6．一元二次方程(2x ＋1)2－(x －4)(2x －1)=3x 中的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．二、选择题7．用配方法解方程应该先变形为( )．A ．B ．C ．D ．8．用配方法解方程x 2＋2x =8的解为( )．A ．x 1=4，x 2=－2B ．x 1=－10，x 2=8C ．x 1=10，x 2=－8D ．x 1=－4，x 2=29．用公式法解一元二次方程，正确的应是( )．A ．B ．C ．D ．10．方程mx 2－4x ＋1=0(m ＜0)的根是()．A ．B ．C ．D ．+-x x 82x x 232-+-px x 2x a b x -201322=--x x 9831(2=-x 9831(2-=-x 910)31(2=-x 032(2=-x x x 2412=-252±-=x 252±=x 251±=x 231±=x 41m m-±42mm-±422mmm -±42三、解答题(用配方法解一元二次方程)11．x 2－2x －1=0．12．y 2－6y ＋6=0．四、解答题(用公式法解一元二次方程)13．x 2＋4x －3=0．14．五、解方程(自选方法解一元二次方程)15．x 2＋4x ＝－3．16．5x 2＋4x =1．综合、运用、诊断一、填空题17．将方程化为标准形式是______________________，其中a =______，b =______，c =______．18．关于x 的方程x 2＋mx －8=0的一个根是2，则m =______，另一根是.03232=--x x x x x 32332-=++______．二、选择题19．若关于x 的二次三项式x 2－ax ＋2a －3是一个完全平方式，则a 的值为()．A ．－2B ．－4C ．－6D ．2或620．4x 2＋49y 2配成完全平方式应加上()．A ．14xy B ．－14xy C ．±28xyD ．021．关于x 的一元二次方程的两根应为()．A ．B ．，C ．D ．三、解答题(用配方法解一元二次方程)22．3x 2－4x =2．23．x 2＋2mx =n ．(n ＋m 2≥0)．四、解答题(用公式法解一元二次方程)24．2x －1=－2x 2．25．ax a x 32222=+22a±-a 2a 22422a ±a2±xx 32132=+拓广、探究、思考27．解关于x的方程：x2＋mx＋2=mx2＋3x．(其中m≠1)28．用配方法说明：无论x取何值，代数式x2－4x＋5的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式x2－4x＋5的值最小?最小值是多少?测试3 一元二次方程根的判别式学习要求掌握一元二次方程根的判别式的有关概念，并能灵活地应用有关概念解决实际问题．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)根的判别式为∆=b 2－4ac ，(1)当b 2－4ac ______0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当b 2－4ac ______0时，方程有两个相等的实数根；(3)当b 2－4ac ______0时，方程没有实数根．2．若关于x 的方程x 2－2x －m =0有两个相等的实数根，则m =______．3．若关于x 的方程x 2－2x －k ＋1=0有两个实数根，则k ______．4．若方程(x －m )2=m ＋m 2的根的判别式的值为0，则m =______．二、选择题5．方程x 2－3x =4根的判别式的值是( )．A ．－7B ．25C ．±5D ．56．一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0有两个实数根，则根的判别式的值应是( )．A ．正数B ．负数C ．非负数D ．零7．下列方程中有两个相等实数根的是( )．A ．7x 2－x －1=0B ．9x 2=4(3x －1)C ．x 2＋7x ＋15=0D ．8．方程有( )．A ．有两个不等实根B ．有两个相等的有理根C ．无实根D ．有两个相等的无理根2322=--x x 03322=++x x三、解答题9．k 为何值时，方程kx 2－6x ＋9=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．10．若方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实根，求正整数a 的值．11．求证：不论m 取任何实数，方程都有两个不相等的实根．02)1(2=++-mx m x综合、运用、诊断一、选择题12．方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)根的判别式是()．A ．B ．C ．b 2－4acD ．abc13．若关于x 的方程(x ＋1)2=1－k 没有实根，则k 的取值范围是()．A ．k ＜1B ．k ＜－1C ．k ≥1D ．k ＞114．若关于x 的方程3kx 2＋12x ＋k ＋1=0有两个相等的实根，则k 的值为()．A ．－4B ．3C ．－4或3D ．或15．若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2mx ＋m ＋3=0有两个不等的实根，则m的取值范围是( )．A ．B ．且m ≠1C ．且m ≠1D ．16．如果关于x 的二次方程a (1＋x 2)＋2bx =c (1－x 2)有两个相等的实根，那么以正数a ，b ，c 为边长的三角形是( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．任意三角形二、解答题17．已知方程mx 2＋mx ＋5=m 有相等的两实根，求方程的解．242ac b b -±-ac b 42-2132-23<m 23<m 23≤m 23>m18．求证：不论k取任何值，方程(k2＋1)x2－2kx＋(k2＋4)=0都没有实根．19．如果关于x的一元二次方程2x(ax－4)－x2＋6=0没有实数根，求a的最小整数值．20．已知方程x2＋2x－m＋1=0没有实根，求证：方程x2＋mx=1－2m一定有两个不相等的实根．拓广、探究、思考21．若a，b，c，d都是实数，且ab=2(c＋d)，求证：关于x的方程x2＋ax＋c=0，x2＋bx＋d=0中至少有一个方程有实数根．测试4 因式分解法解一元二次方程学习要求掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法．课堂学习检测一、填空题(填出下列一元二次方程的根)1．x (x －3)=0．______2．(2x －7)(x ＋2)=0．______3．3x 2=2x ．______4．x 2＋6x ＋9=0．______5．______6．______7．(x －1)2－2(x －1)=0．______．8．(x －1)2－2(x －1)=－1．______二、选择题9．方程(x －a )(x ＋b )=0的两根是( )．A ．x 1=a ，x 2=bB ．x 1=a ，x 2=－bC ．x 1=－a ，x 2=bD ．x 1=－a ，x 2=－b 10．下列解方程的过程，正确的是()．A ．x 2=x ．两边同除以x ，得x =1．B ．x 2＋4=0．直接开平方法，可得x =±2．C ．(x －2)(x ＋1)=3×2．∵x －2=3，x ＋1=2， ∴x 1=5， x 2=1．D ．(2－3x )＋(3x －2)2=0．整理得3(3x －2)(x －1)=0，三、解答题(用因式分解法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程)11．3x (x －2)=2(x －2)．12．.03222=-x x .)21()21(2x x -=+.1,3221==∴x x .32x x =*13．x 2－3x －28=0．14．x 2－bx －2b 2=0．*15．(2x －1)2－2(2x －1)=3．*16．2x 2－x －15=0．四、解答题17．x 取什么值时，代数式x 2＋8x －12的值等于2x 2＋x 的值．综合、运用、诊断一、写出下列一元二次方程的根18．．______________________．19．(x －2)2=(2x ＋5)2．______________________．二、选择题0222=-x x20．方程x (x －2)=2(2－x )的根为()．A ．－2B ．2C ．±2D ．2，221．方程(x －1)2=1－x 的根为()．A ．0B ．－1和0C ．1D ．1和022．方程的较小的根为()．A ．B ．C ．D ．三、用因式分解法解下列关于x 的方程23．24．4(x ＋3)2－(x －2)2=0．25．26．abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0．(ab ≠0)四、解答题27．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m 2＋2)x ＋2m =0．(1)求证：当m 取非零实数时，此方程有两个实数根；(2)若此方程有两个整数根，求m 的值．043)(21()43(2=--+-x x x 43-218543.2152x x =-.04222=-+-b a ax x测试5 一元二次方程解法综合训练学习要求会用适当的方法解一元二次方程，培养分析问题和解决问题的能力．课堂学习检测一、填空题(写出下列一元二次方程的根)1．3(x －1)2－1=0．__________________2．(2x ＋1)2－2(2x ＋1)=3．__________________3．3x 2－5x ＋2=0．__________________4．x 2－4x －6=0．__________________二、选择题5．方程x 2－4x ＋4=0的根是( )．A ．x =2B ．x 1=x 2=2C ．x =4D ．x 1=x 2=46．的根是( )．A ．x =3B ．x =±3C ．x =±9D ．7．的根是( )．A ．B ．C ．x 1=0，D ．8．(x －1)2=x －1的根是( )．A ．x =2B ．x =0或x =1C ．x =1D ．x =1或x =2三、用适当方法解下列方程9．6x 2－x －2=0．10．(x ＋3)(x －3)=3．5.27.0512=+x 3±=x 072=-x x 77=x 77,021==x x 72=x 7=x11．x2－2mx＋m2－n2=0．12．2a2x2－5ax＋2=0．(a≠0)四、解下列方程(先将你选择的最佳解法写在括号中)13．5x2=x．(最佳方法：______) 14．x2－2x=224．(最佳方法：______) 15．6x2－2x－3=0．(最佳方法：______) 16．6－2x2=0．(最佳方法：______) 17．x2－15x－16=0．(最佳方法：______) 18．4x2＋1=4x．(最佳方法：______)综合、运用、诊断一、填空题20．若分式的值是0，则x =______．21．关于x 的方程x 2＋2ax ＋a 2－b 2=0的根是____________．二、选择题22．方程3x 2=0和方程5x 2=6x 的根()．A ．都是x =0B ．有一个相同，x =0C ．都不相同D ．以上都不正确23．关于x 的方程abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0(ab ≠0)的根是()．A ．B ．C ．D ．以上都不正确三、解下列方程24．(x ＋1)2＋(x ＋2)2=(x ＋3)2．25．(y －5)(y ＋3)＋(y －2)(y ＋4)=26．26．27．kx 2－(k ＋1)x ＋1=0．四、解答题28．已知：x 2＋3xy －4y 2=0(y ≠0)，求的值．1872+--x x x ba x ab x 2,221==ba x a bx ==21,0,2221=+=x abb a x .02322=+-x x yx yx +-29．已知：关于x 的方程2x 2＋2(a －c )x ＋(a －b )2＋(b －c )2=0有两相等实数根．求证：a ＋c =2b ．(a ，b ，c 是实数)拓广、探究、思考30．若方程3x 2＋bx ＋c =0的解为x 1=1，x 2=－3，则整式3x 2＋bx ＋c 可分解因式为__________________．31．在实数范围内把x 2－2x －1分解因式为____________________．32．已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)中的两根为请你计算x 1＋x 2=____________，x 1·x 2=____________．并由此结论解决下面的问题：(1)方程2x 2＋3x －5=0的两根之和为______，两根之积为______．(2)方程2x 2＋mx ＋n =0的两根之和为4，两根之积为－3，则m =______，n =______．(3)若方程x 2－4x ＋3k =0的一个根为2，则另一根为______，k 为______．(4)已知x 1，x 2是方程3x 2－2x －2=0的两根，不解方程，用根与系数的关系求下列各式的值：①②③｜x 1－x 2｜；④⑤(x 1－2)(x 2－2)．,24,221aacb b x x -±-=;1121x x +;2221x x +;221221x x x x +测试6 实际问题与一元二次方程学习要求会灵活地应用一元二次方程处理各类实际问题．课堂学习检测一、填空题1．实际问题中常见的基本等量关系。

人教版九年级数学上册24.3---24.4同步复习题含答案

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯24.3 正多边形和圆一．选择题1．如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，则下列结论：①弧DF的度数为90°；②AE＝DF；③S正八边形ABCDEFGH＝AE•DF．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③2．如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于⊙O，DC、BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是4，则GH的长度为（）A．2B．4﹣C．D．﹣3．如图，用若n个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为（）A．5B．6C．8D．104．下面说法正确的个数有（）①若m＞n，则ma2＞nb2；②由三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；③有两个角互余的三角形一定是直角三角形；④各边都相等的多边形是正多边形；⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个5．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．60°B．36°C．76°D．72°6．正六边形的半径为，则该正六边形的边长是（）A．B．2C．3D．7．如图，以正六边形ABCDEF的对角线CF为边，再作一个正六边形CFGHMN，若AB＝，则EG的长为（）A．2B．2C．3D．28．圆内接正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°9．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O 均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（）A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD10．如图，△ABD是⊙O的内接正三角形，四边形ACEF是⊙O的内接正四边形，若线段BC恰是⊙O的一个内接正n边形的一条边，则n＝（）A．16B．12C．10D．811．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4．则点O到FM的距离是（）A．4B．C．D．12．如图，将边长相等的正方形、正五边形、正六边形纸板，按如图方式放在桌面上，则∠a的度数是（）A．42°B．40°C．36°D．32°13．如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需（）个五边形完成这一圆环．A．6B．7C．8D．914．已知圆的内接正六边形的面积为18，则该圆的半径等于（）A．3B．2C．D．15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（）A．45°B．36°C．35°D．30°二．填空题16．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的圆，则B、E两点间的距离为．17．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是．18．若一个正方形的半径是3，则这个正方形的边长是．19．中心角为36°的正多边形边数为．20．一个半径为4cm的圆内接正六边形的面积等于cm2．21．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，则它的外接圆心P的坐标是．22．正六边形的边长为2，则边心距为．23．同一个圆中内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长之比为．24．如图，将边长为20的正方形剪去四个角，得到一个正八边形ABCDEFGH，那么这个正八形的边长为．（≈1.41，结果保留一位小数）25．圆内接正五边形中，每个外角的度数＝度．三．解答题26．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．27．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．28．如图，实线部分是由正方形，正五边形和正六边形叠放在一起形成的，其中正方形和正六边形的边长相同，求图中∠MON的度数．29．七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，等边三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM＝AN，连接BN、CM，发现BN＝CM，且∠NOC＝60°，试说明：∠NOC＝60°（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、DM，那么∠DON＝度，并说明理由．（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、EM，那么AN＝，且∠EON＝度．（正n边形内角和（n﹣2）×180°，正多边形各内角相等）30．如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．参考答案一．选择题1．D．2．A．3．B．4．A．5．D．6．A．7．C．8．B．9．D．10．B．11．C．12．A．13．B．14．B．15．B．二．填空题16．10．17．A．18．3．19．10．20．24．21．（3，3）．22．．23．：：1．24．8.2．25．72．三．解答题26．（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB为平行四边形．（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE＝＝6，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．27．（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．28．解：由正方形、正五边形和正六边形的性质得，∠AOM＝108°，∠OBC＝120°，∠NBC＝90°，∴∠AOB＝×120°＝60°，∠MOB＝108°﹣60°＝48°，∴∠OBN＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∴∠NOB＝×（180°﹣150°）＝15°，∴∠MON＝33°．29．（1）证明：∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，在△ABN和△BCM中，，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠ABN＝∠BCM，又∵∠ABN+∠OBC＝60°，∴∠BCM+∠OBC＝60°，∴∠NOC＝60°；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAM＝∠ABN＝90°，AD＝AB，又∵AM＝BN，∴△ABN≌△DAM（SAS），∴AN＝DM，∠ADM＝∠BAN，又∵∠ADM+∠AMD＝90°，∴∠BAN+∠AMD＝90°∴∠AOM＝90°；即∠DON＝90°；（3）解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠A＝∠B，AB＝AE，又∵AM＝BN，∴△ABN≌△EAM（SAS），∴AN＝ME，∴∠AEM＝∠BAN，∴∠NOE＝∠NAE+∠AEM＝∠NAE+∠BAN＝∠BAE＝108°．故答案为：90°，EM，108°．30．解：（1）证明：连接CD，∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∵∠E＝∠ACD，∠E＝∠B．∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）如图，连接OD、CE，若∠E＝45°，则∠AOD＝90°，∵AC＝4，∴OA＝OD＝2，∴AD ＝2．∴⊙O 的内接正四边形的边长为AD 的长为2．24.4 弧长和扇形面积一、选择题1. 2019·湖州已知圆锥的底面半径为5 cm ，母线长为13 cm ，则这个圆锥的侧面积是( )A ．60π cm2B ．65π cm2C ．120π cm2D ．130π cm22.如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D .若AC ＝BD ＝4，∠A ＝45°，则CD ︵的长度为( )A．π B．2π C．2 2π D．4π3. 在半径为6 cm 的圆中，长为2π cm 的弧所对的圆周角的度数为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4. 用圆心角为120°，半径为6 cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是( )A. 2 cm B ．3 2 cm C ．4 2 cm D ．4 cm5. 如图，一段公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵)，则AB ︵的展直长度为( )A ．3π mB ．6π mC ．9π mD ．12π m6. 如图0，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则图中阴影部分的面积为( )A ．4πB ．2πC ．π D.2π37. 如图，点I 为△ABC 的内心，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝2，将∠ACB 平移使其顶点与点I 重合，则图中阴影部分的周长为( )A ．4.5B ．4C ．3D ．28. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.曲线CDEF…叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中CD ︵，DE ︵，EF ︵，…的圆心依次按A ，B ，C ，…循环．如果AC ＝1，那么曲线CDEF 和线段CF 围成图的面积为( )图A .（12＋72）4πB .（9＋52）4πC .（12＋72）π＋24D .（9＋52）π＋249. 如图，在△AOC 中，OA ＝3 cm ，OC ＝1 cm ，将△AOC 绕点O 顺时针旋转90°后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( )A.π2cm2 B ．2π cm2C.17π8 cm2D.19π8cm210. 2017·衢州运用图变化的方法研究下列问题：如图AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图阴影部分的面积是( )图A.252πB．10πC．24＋4πD．24＋5π二、填空题11. 如图，已知⊙O 的半径为4，∠A ＝45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC 能完全重合，则该圆锥底面圆的半径为________．12.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB＝123，OP＝6，则劣弧AB ︵的长为________．(结果保留π)13. (2019•贺州)已知圆锥的底面半径是1，高是15，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是__________度．14. 2018·烟台如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，M 为AF 的中点，以点O 为圆心，OM 长为半径画弧得到扇形MON ，点N 在BC 上；以点E 为圆心，DE 长为半径画弧得到扇形DEF .将扇形MON 的两条半径OM ，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r 1；将扇形DEF 以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r 2，则r 1∶r 2＝________.15. 如图，将四边形ABCD 绕顶点A 顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置．若AB ＝16 cm ，则图中阴影部分的面积为________．16.如图在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心，2为半径作圆弧EF，以点D为圆心，3为半径作圆弧AC.若图阴影部分的面积分别为S 1，S 2，则S 1－S 2＝________．17. 如图中的小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”(阴影部分)图案的面积为________．18. 一个圆锥形漏斗，某同学用三角尺测得其高度的尺寸(单位：cm)如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为________cm2.三、解答题19. 如图所示的粮囤可以看成是圆柱体与圆锥体的组合体，已知其底面圆的半径为6 m，高为4 m，下方圆柱的高为3 m.(1)求该粮囤的容积；(2)求上方圆锥的侧面积(计算结果保留根号).20. 已知扇形的圆心角为120°，面积为300π cm2.(1)求扇形的弧长；(2)若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积是多少？21. 一个圆锥的高为3 3，侧面展开图半圆，求：(1)圆锥的母线长与底面圆半径的比；(2)圆锥的全面积．22. 如图，点A ，B ，C ，D 均在圆上，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠BAD ＝120°，四边形ABCD的周长为15. (1)求此圆的半径； (2)求图中阴影部分的面积．人教版九年级数学 24.4 弧长和扇形面积课后训练-答案一、选择题1. 【答案】B [解析] ∵r ＝5 cm ，l ＝13 cm ，∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×5×13＝65π(cm2)．故选B.2. 【答案】B3. 【答案】A [解析] 设长为2π cm 的弧所对的圆心角的度数为n°，则nπR 180＝2π，解得n＝60.∴这条弧所对的圆心角是60°，即所对的圆周角是30°.故选A.4. 【答案】C [解析] 设纸帽底面圆的半径为r cm ，则2πr ＝120×π×6180，解得r ＝2.设圆锥的高为h cm ，由勾股定理得h2＋r2＝62，所以h2＋22＝62，解得h ＝42.5. 【答案】B [解析] AB ︵的展直长度＝108π·10180＝6π(m)．故选B.6. 【答案】D [解析] 如图，连接OD.∵CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ＝3，∠CEO ＝∠DEO ＝90°. 又∵OE ＝OE ， ∴△COE ≌△DOE ，故S △COE ＝S △DOE ，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积． ∵∠CDB ＝30°，∴∠COB ＝60°， ∴∠OCD ＝30°，∴OE ＝12OC.在Rt △COE 中，CE ＝3，由勾股定理可得OC ＝2， ∴OD ＝2.∵△COE ≌△DOE ，∴∠DOE ＝∠COE ＝60°，∴S 扇形OBD ＝60π·22360＝23π，即阴影部分的面积为2π3.故选D.7. 【答案】B [解析] 设CA ，CB 平移后分别交AB 于点M ，N ，连接AI ，BI.由平移可知AC∥MI ，∴∠CAI ＝∠AIM.∵∠CAI ＝∠BAI ，∴∠BAI ＝∠AIM ，∴AM ＝MI.同理BN ＝NI.∴△MNI 的周长＝MI ＋NI ＋MN ＝AM ＋BN ＋MN ＝AB ＝4.故选B.8. 【答案】C [解析] 曲线CDEF 和线段CF 围成的图是由三个圆心不同，半径不同的扇形以及△ABC 组成的，所以根据面积公式可得135π×1＋135π×（2＋1）2＋90π×（2＋2）2360＋12×1×1＝（12＋7 2）π＋24.9. 【答案】B [解析] 如图，AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积即阴影部分的面积．S阴影＝S △OCA ＋S 扇形OAB －S 扇形OCD －S △ODB.由旋转知△OCA ≌△ODB ，∴S △OCA ＝S △ODB ，∴S 阴影＝S 扇形OAB －S 扇形OCD ＝90π×32360－90π×12360＝2π(cm2)．故选B.10. 【答案】A [解析] 如图作直径CG ，连接OD ，OE ，OF ，DG .∵CG 是⊙O 的直径，∴∠CDG ＝90°，则DG ＝CG 2－CD 2＝8. 又∵EF ＝8，∴DG ＝EF ， ∴DG ︵＝EF ︵， ∴S 扇形ODG ＝S 扇形OEF .∵AB ∥CD ∥EF ，∴S △OCD ＝S △ACD ，S △OEF ＝S △AEF ，∴S 阴影＝S 扇形OCD ＋S 扇形OEF ＝S 扇形OCD ＋S 扇形ODG ＝S 半圆＝12π×52＝252π.二、填空题11. 【答案】1 [解析] ∵∠A ＝45°，∴∠BOC ＝2∠A ＝90.设该圆锥底面圆的半径为r ，则有2πr ＝90π×4180，解得r ＝1.12.【答案】8π 【解析】∵AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，∴AP＝12AB＝63.如解图，连接OA，OB，∵OA＝OB，∴∠AOB＝2∠AOP.在Rt △AOP中，OA＝OP 2＋AP 2＝12，tan ∠AOP＝APOP ＝636＝3，∴∠AOP＝60°.∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB的长为120π·12180＝8π.13. 【答案】90 【解析】设圆锥的母线为a ，根据勾股定理得，a=4，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n ︒，根据题意得π42π1180n ⨯⨯=，解得90n =，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90︒．故答案为：90．14. 【答案】3∶2 [解析] 如图连接OA ，OB ，OF .∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴OA ＝OF ，∠AOF ＝∠AOB ＝60°，∠E ＝120°.∵M 为AF 的中点，∴∠AOM ＝30°.由题意，得ON ＝OM .易证△BON ≌△AOM ，∴∠BON ＝∠AOM ＝30°，∴∠MON ＝120°.设AM ＝a ，则AB ＝OA ＝2a ，OM ＝3a ，∴扇形MON 的弧长为120×π×3a 180＝2 33πa ，则r 1＝33a . 同理可得，扇形DEF 的弧长为120×π×2a 180＝43πa ，则r 2＝23a ，∴r 1∶r 2＝3∶2.15. 【答案】32π cm2 [解析] 由旋转的性质得∠BAB′＝45°，四边形AB′C′D′≌四边形ABCD ，则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD 的面积＋扇形ABB′的面积－四边形AB′C′D′的面积＝扇形ABB′的面积＝45π×162360＝32π(cm2)．16. 【答案】13π4－9 [解析] ∵S 正方形ABCD ＝3×3＝9，S 扇形DAC ＝9π4，S 扇形AEF ＝π，∴S 1－S 2＝S 扇形AEF －(S 正方形ABCD －S 扇形DAC )＝π－⎝⎛⎭⎪⎫9－9π4＝13π4－9.17. 【答案】2π－4 [解析] 如图所示，由题意，得阴影部分的面积＝2(S 扇形OAB －S △OAB)＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4. 故答案为2π－4.18. 【答案】15π三、解答题19. 【答案】解：(1)容积V ＝π×62×3＋13×π×62×(4－3)＝108π＋12π＝120π(m3)．答：该粮囤的容积为120π m3.(2)圆锥的母线长l ＝62＋12＝37(m)，所以圆锥的侧面积S ＝π×6×37＝637π(m2)．20. 【答案】解：(1)设扇形的半径为r cm.由题意，得120π×r2360＝300π，解得r ＝30， ∴扇形的弧长＝120π×30180＝20π(cm)． (2)设圆锥的底面圆的半径为x cm ，则2π·x ＝20π，解得x ＝10， ∴圆锥的高＝302－102＝202(cm)， ∴圆锥的体积＝13·π·102·20 2＝ 2000 23π(cm3)．21. 【答案】解：(1)设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，根据题意得2πr ＝180πl 180，所以l ＝2r ，即圆锥的母线长与底面圆半径的比为2∶1.(2)因为r 2＋(3 3)2＝l 2，即r 2＋(3 3)2＝4r 2，解得r ＝3(负值已舍去)，所以l ＝6，所以圆锥的全面积＝π·32＋12·2π·3·6＝27π.22. 【答案】解：(1)∵AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝60°，∠ADB ＝∠DBC.又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠ADB ＝30°，∴AB ︵＝AD ︵＝DC ︵，∠BCD ＝60°，∴AB ＝AD ＝DC ，∠BDC ＝90°，∴BC 是圆的直径，BC ＝2DC ，∴BC ＋32BC ＝15，解得BC ＝6，∴此圆的半径为3.(2)设BC 的中点为O ，由(1)可知点O 为圆心，连接OA ，OD. ∵∠ABD ＝30°，∴∠AOD ＝60°.根据“同底等高的三角形的面积相等”可得S △ABD ＝S △OAD ， ∴S 阴影＝S 扇形OAD ＝60×π×32360＝32π.。

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一元二次方程及其应用复习【课前热身】1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .2．关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n xn x n +++-+=中，则一次项系数是 . 3．一元二次方程2230x x --=的根是 .4．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为 .5. 关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p =（）A ．4B ．0或2C ．1D ．1- 【考点链接】1．一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是21,240)2b x b ac a-±=-≥.（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 【典例精析】例1 选用合适的方法解下列方程：（1）)4(5)4(2+=+x x ；（2）x x 4)1(2=+；（3）22)21()3(x x -=+；（4）31022=-x x .例2 已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值.例3 用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？【中考演练】1．方程 (5x －2) (x －7)＝9 (x －7)的解是_________.2．已知2是关于x 的方程23x 2－2 a ＝0的一个解，则2a －1的值是_________. 3．关于y 的方程22320y py p +-=有一个根是2y =，则关于x 的方程23x p -=的解为_____.4．下列方程中是一元二次方程的有（）①9 x 2=7 x ②32y =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1)④ x 2-2y+6=0⑤ 2( x 2+1)=10 ⑥24x -x-1=0 A ． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤5. 一元二次方程(4x ＋1)(2x －3)＝5x 2＋1化成一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)后a,b,c 的值为（）A ．3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，46．一元二次方程2x 2－(m ＋1)x ＋1＝x (x －1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为（）A. －1B. 1C. －2D. 2 7．解方程(1) x 2－5x －6＝0 ； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）；（4）x 222-x+1=0．8．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求月增长率．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系复习【课前热身】1．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根2. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 . 3．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ . 4．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝时，两根互为倒数；当m ＝时，两根互为相反数. 【考点链接】1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个实数根，即=2,1x . （2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有相等的实数根，即==21x x .（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根. 2．一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x . 3．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ； ② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系. 【典例精析】例1 当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.例3 菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的周长为 .【中考演练】1．设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_________，1211x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______. 2．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）3. 已知关于x 的方程2(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0，且12x =是方程的根，则a b +的值为．4. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是．5．已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（）Ａ．3或1-Ｂ．3Ｃ．1Ｄ．3-或16．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（）Ａ．3Ｂ．3-Ｃ．13Ｄ．13-7．若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（） A ．m<l B ．m>－1 C ．m>l D ．m<－1 8．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若,4171221=+x x x x 求k 的值.9．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+课时6．反比例函数【课前热身】1．已知反比例函数ky x=的图象经过点(36)A --，，则这个反比例函数的解析式是．2．（07梅州）近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为．3．在反比例函数3k y x-=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（）A ．k ＞3B ．k ＞0C ．k ＜3D ． k ＜0 4．（07青岛）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa )是气体体积V ( m 3) 的反比例函数，其图象如图1所示．当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）A ．不小于54m 3B ．小于54m 3C ．不小于45m 3D ．小于45m 35．（08巴中）如图2，若点A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = ．【考点链接】1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝或（k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质3．k 的几何含义：反比例函数y ＝kx(k ≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝kx(k ≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 . 【典例精析】k 的符号k ＞0 k ＜0 图像的大致位置经过象限第象限第象限性质在每一象限内y 随x 的增大而在每一象限内y 随x 的增大而oy xy xo1-1yO x P 例1 某汽车的功率P 为一定值，汽车行驶时的速度v （米／秒）与它所受的牵引力F （牛）之间的函数关系如右图所示：（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时？（3）如果限定汽车的速度不超过30米／秒，则F 在什么范围内？例2 （07四川）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于 (21)(1)A B n -，，，两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB △的面积．【中考演练】1．（07福建）已知点(12)-，在反比例函数ky x=的图象上，则k = ． 2．（07安徽）在对物体做功一定的情况下，力F (牛)与此物体在力的方向上移动的距离s (米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P (5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是米． 3. (08河南)已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3），则m 的值为． 4.（08宜宾）若正方形AOBC 的边OA 、OB 在坐标轴上，顶点C 在第一象限且在反比例函数y ＝x1的图像上，则点C 的坐标是 . 5. (08广东)如图,某个反比例函数的图象经过点P, 则它的解析式为( )A.y ＝1x (x>0) B.y ＝－1x (x>0) C.y ＝1x (x<0) D.y ＝－1x(x<0)6．（08嘉兴）某反比例函数的图象经过点(23)-，，则此函数图象也经过点（） A ．(23)-，B ．(33)--，C ．(23)，D ．(46)-， 7．（07江西）对于反比例函数2y x=，下列说法不正确．．．的是（） A ．点(21)--，在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象限C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小OyxBA8.（08乌鲁木齐）反比例函数6yx=-的图象位于（）A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限D．第一、二象限9．某空调厂装配车间原计划用2个月时间（每月以30天计算），每天组装150台空调. （1）从组装空调开始，每天组装的台数m（单位：台／天）与生产的时间t（单位:天）之间有怎样的函数关系？（2）由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？10.（07四川）如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y kx b=+的图象与反比例函数myx=的图象的两个交点.(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.相似三角形复习1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________． 3．如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠B ，则下列等式成立的是（）A ．ADAE AB AC = B ．AE ADBC BD = C ．DEAE BCAB =D ．DE ADBC AC=4．在△ABC 与△A′B ′C ′中，有下列条件：（1）''''AB BC A B B C =；（2）''''BC ACB C A C =；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A′B ′C ′的共有多少组（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【考点链接】一、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．二、相似三角形的判定方法1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________．2. 射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ____．E A D CBEA DCBAD CB3. 两个角对应相等的两个三角形__________．4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．5. 三边对应成比例的两个三角形___________．三、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．例1 在△ABC 和△DEF 中，已知∠A=∠D ，AB=4，AC=3，DE=1，当DF 等于多少时，这两个三角形相似例2 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，•要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，•这个正方形零件的边长是多少？例3 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm ×3.5cm ，放映的荧屏的规格为2m ×2m ，若放映机的光源距胶片20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？【中考演练】1.如图，若△ABC ∽△DEF ，则∠D 的度数为______________． 2 在Rt ABC ∆中, C ∠为直角, AB CD ⊥于点D ,5,3==AB BC ,写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _ ；并写出它的面积比_____.3. 如图，在△ABC 中,若DE ∥BC,AD DB ＝12,DE ＝4cm,则BC 的长为 ( ) A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm 4. 如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF AE ⊥于F ，试证明ABF EAD △∽△．AB C D EB(0,－4)A(3,0) 0xy 锐角三角函数1．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sinA ＝23，则AC 的长是（） A ．5 B ．3 C ．45D ．13 2．Rt ∆ABC 中，∠C=︒90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值（）A ．21B ．22C ．23D ．13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （3，0），点B （0，－4），则cos OAB ∠ 等于_______．4．︒+︒30sin 130cos =____________．【考点链接】1．sin α，cos α，tan α定义sin α＝____，cos α＝_______，tan α＝______ ． 2．特殊角三角函数值【典例精析】例1 在Rt △ABC 中，a ＝5，c ＝13，求sinA ，cosA ，tanA ．例2 计算:4sin 302cos 453tan 60︒-︒+︒．例3 等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，求底角∠B 的四个三角函数值．1．在△ABC 中，∠C ＝ 90°，tan A ＝13，则sin B ＝( ) A ．1010 B ．23 C ．34D ．3101030° 45° 60° sin α cos α tan αα abcF A BCD E 2．若3cos 4A =，则下列结论正确的为（） A ． 0°< ∠A < 30°B ．30°< ∠A < 45°C ． 45°< ∠A < 60°D ．60°< ∠A < 90°3.在Rt ABC △中，90C ∠=，5AC =，4BC =，则tan A = ．4. 计算 45tan 30cos 60sin -的值是 . 5.已知3tan 0 A =∠A =则 6．△ABC 中，若（sinA －12）2＋cosB|＝0，求∠C 的大小．7.图中有两个正方形，A ，C 两点在大正方形的对角线上，△HAC•是等边三角形，若AB=2，求EF 的长．8. 矩形ABCD 中AB ＝10，BC ＝8， E 为AD 边上一点，沿BE 将△BDE 对折，点D 正好落在AB 边上，求 tan ∠AFE ．解直角三角形及其应用 1．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（结果保留根号）2. 某坡面的坡度为1_______度．3．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 ( )A ．150mB ．350mC ．100 mD ．3100m1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形．2．解直角三角形的类型：已知____________；已知___________________．3．如图（1）解直角三角形的公式：（1）三边关系：__________________．（2）角关系：∠A+∠B ＝_____，（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______． _E _ A _F _ D _ C _ B _ O _ H _ GO A B C cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．5．如图（3）方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________．6．如图（4）坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tanα＝i ＝____．AB ＝5, 3cos 5A =求ABC ∆中的其他量. 例1Rt ABC ∆的斜边例2海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．例题3为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米．（如图所示）求：（1）渠面宽EF ；（2）修200米长的渠道需挖的土方数．1．在Rt ABC ∆中，090C ∠=，AB ＝5，AC ＝4，则 sinA 的值是_________.2．升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m ，则旗杆高度约为_______.（取3 1.73=，结果精确到0.1m ）3．已知：如图，在△ABC 中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC 的长. (结果保留根号)4．如图，在测量塔高AB 时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C 、D 两点，用测角仪器测得塔顶A 的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB ．（保留根号）αA C B 45︒南北西东60︒A D CB 70︒O。