24.2 圆的基本性质(2)九年级数学下册同步教学课件(沪科版)
【解】作出ΔABC的外接圆，确定圆心的位置如图. 容易计算出外接圆的半径为
所以还可以经过的格点师给同学们讲过“王戎不取道旁李” 的故事：王戎七岁的时候，和小伙伴们一起外出游玩， 看到路边的李子树上长满了李子.小伙伴们纷纷去摘果子， 只有王戎站在原地不动，有人问他为什么不去摘，王戎 回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘了一 个尝了尝，果然李子是苦的.
第24章 圆
24.2 圆的基本性质（2）
5 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 (重点、掌握)
【引入】我们的生活中经常见到五角星，那么如何画出一个规 则的五角星呢？ 可以先画一个圆，然后通过画72°圆
心角的方法来五等分圆周，连接5个顶点，就可以得到规则 的五角星了，同学们可以试一试.
圆的旋转对称性 圆具有旋转不变性。它绕圆心旋转任意一个 角度都可以与它本身重合，因此圆是中心对称图形，圆心是对称中心，有无数条 对称轴. 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角(∠AOB、∠COD)
5.如图所示，AB、CD是⊙O的两条直径，CE//AB，求证：BC=AE 【解】连接OE
∵CE//AB，∴∠1=∠2，∠3=∠4
∵CO和EO都是半径，∴CO=EO ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠4 ∴BC=AE
6 圆的确定及三角形的外接圆 (重点、掌握)
【问题导入】 卢老师所在的地区有A、B、C三所学校，如图所示，现
【证明】运用反证法，假设在三角形中所有的角都大于60°， 那么这个三角形的内角和就大于3×60°=180° 这与“三角形内角和定理”相矛盾， 所以原命题正确.
注意 运用反证法在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面的所有情况，如果 只有一种情况，那么否定一种即可；如果有多种情况，则需要逐个否定.
7.【中考真题】利用反证法证明一个三角形中不能有两个钝角.
重点笔记
【1】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的结论必须是在同圆或者等圆中才成立
【2】利用同圆(或等圆)中圆心角、弧 、弦、弦心距之间的关系可以证明角、弧或 弦、弦心距相等.
【3】圆心角的度数和它所对应的弧相等，并不是圆心角等于它所对的弧 【4】圆心角的度数等于它所对应的弧的度数，与圆的半径无关.也就是说，在大小
例⑥ 【中考真题】如图，在坐标系中，各点坐标分别为A(1,0)，B(2,5)，P(4,2)， 若点C在第一象限且横纵坐标均为整数，P是ΔABC的外心，则点C的坐标是多少？
【解】由题意有
，因为P是ΔABC的外心，
所以
，因为点C的横纵坐标为整数，
所以点C的坐标为(7，4)或(6，5)或(1，4)
6.【中考真题】如图，A、B、C三点均在6×6的正方形方格的格点上，过这三点 的外接圆除了经过这三个点之外，还能经过几个格点？
我们把每一份这样的弧叫做1°的弧.
一定相等：
一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对 着n°的圆心角.也就是说，圆心角的度数和它所对 的弧的度数相等.
AB与A′B′ 所对应的圆 心角相等， 但AB=A′B′，
【注意】优弧对应优弧，劣弧对应劣弧
同时AB=A′B′
5 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 (重点、掌握)
三角形的外接圆
定义
经过三角形的三个顶点作的圆叫做三角形的外 接圆，三角形是这个外接圆的内接三角形.“接”的 意思是三角形的三个顶点都在这个圆上
外心 三角形外接圆的圆心
三角形三条边的垂直平分线的交点
确定外心的方法
外心的位置
锐角三角形的外心在三角形的内部， 直角三角形的外心在斜边的中点处，钝 角三角形的外新在三角形外部
在准备盖一个图书馆提供给三所学校的学生使用，为了公平 起见，图书馆的位置应该盖在离三所学校相同距离的位置， 也就是经过A、B、C三点的圆的圆心上，也就是ΔABC外接 圆的圆心上. 【圆的确定】①经过一点可以作无数个圆，此时圆心，半径都不唯一
②经过两点可以作无数个圆，此时圆心在这两个点连线的垂直平分 线上，半径不唯一
三角形的外心到三角形三个顶点的 距离相等，且等于外接圆的半径
外心的性质
拓展
(1)任意一个三角形有且 只有一个外接圆，但一个 圆有无数个内接三角形
(2)直角三角形的外接圆 的直径就是斜边
(3)“不在同一直线上” 这个条件不可省略，也 就是说过同一直线上的 三点无法作圆
6 圆的确定及三角形的外接圆 (重点、掌握)
拓展 反证法是一种间接证明命题的方法，当一个命题直接证明很难入手或者 无法证明时，我们可以考虑用反证法来证明.运用反证法证明命题时，关键是在 假设命题不成立后，沿着这个假设出发，经过推理论证得出已知或者学过的基本 事实、定理、定义等互相矛盾的结论.
7 反证法 (难点、了解)
例⑦ 利用反证法证明：在三角形中，至少有一个叫小于或者等于60°
【6】圆心角∠AOB的度数与它所对的AB的度数相等，应该写成∠AOB的度数等于 AB的度数，而不能写成∠AOB=AB
5 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 (重点、掌握)
例⑤ 如图所示，在⊙O中，C是AB的中点，∠OAB=40°， 则∠BOC=（ ）° A. 40 B. 50 C. 70 D. 80
【解】由题意∠AOC=90°-∠OAB=90°-40°=50° ∠BOC=∠AOC=50°，选B
弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距(OE、OF)
5 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
(重点、掌握)
在同圆或等圆 中，相等的圆心角 所对的弧相等，所 对的弦相等，所对 弦的弦心距也相等
在同圆或等圆 中，如果两个圆心 角以及这两个圆心 角所对的弧、所对 的弦、所对的弦心 距中，有一组量相 等，那么其余各组 量也相等
定义 在证明一个命题是真命题的时候，我们假设命题的结论不成立，然后由此 推导，得出不合理或者互相矛盾的结果，由矛盾可以断定我们的假设不成立，从、 而原命题正确，这种证明方法叫做反证法.
7 反证法 (难点、了解) 反证法的步骤 ①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②从这个假设出发，通过推导论证，得出矛盾； ③由矛盾得出假设不正确，从而得出原命题成立.
【证明】假设在三角形有两个钝角 因为钝角大于90° 所以这两个钝角加起来的和大于90°×2=180 这与“三角形内角和定理”互相矛盾 所以原命题正确
5 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 (重点、掌握)
弧的度数与该弧所对的圆心角的度数的关系
敲黑板
不能忽略“在同圆或等圆
我们知道，把顶点在圆心的周角等分成360分， 中”这个前提条件，如果没有 每一份的圆心角就是1°的角.因为同圆中相等的圆心 这个前提条件，那么即使圆心
角所对的弧相等，所以整个圆周也被等分成360份. 角相等，所对的弧或者弦也不
不等的两个圆中，相同度数的圆心角所对的弧的度数相等；反过来，弧的度 数相等，则他们所对的圆心角的度数相等，但是弧长不一定相等.
5 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 (重点、掌握)
重点笔记
【5】相等的弧与相同度数的弧是两个不同的概念.只有弧的度数 和弧的长度都相等的两条弧才是等弧.也就是说，相等的弧 度数一定相等，但相等度数的弧不一定是等弧.如图，AB和 CD度数相等，但是AB与CD不是等弧.
③经过不在同一直线上的三点，有且仅有一个圆
6 圆的确定及三角形的外接圆 (重点、掌握)
【作法步骤】 ①连接AB、BC，如图所示 ②分别作线段AB、BC的垂直平分线， 设它们交于点O ③以点O为圆心，OA为半径作圆(则 圆O即为所作)
【注意】①中可以连接任意两组点构 成两条线段
6 圆的确定及三角形的外接圆 (重点、掌握)
所以还可以经过的格点师给同学们讲过“王戎不取道旁李” 的故事：王戎七岁的时候，和小伙伴们一起外出游玩， 看到路边的李子树上长满了李子.小伙伴们纷纷去摘果子， 只有王戎站在原地不动，有人问他为什么不去摘，王戎 回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘了一 个尝了尝，果然李子是苦的.
第24章 圆
24.2 圆的基本性质（2）
5 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 (重点、掌握)
【引入】我们的生活中经常见到五角星，那么如何画出一个规 则的五角星呢？ 可以先画一个圆，然后通过画72°圆
心角的方法来五等分圆周，连接5个顶点，就可以得到规则 的五角星了，同学们可以试一试.
圆的旋转对称性 圆具有旋转不变性。它绕圆心旋转任意一个 角度都可以与它本身重合，因此圆是中心对称图形，圆心是对称中心，有无数条 对称轴. 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角(∠AOB、∠COD)
5.如图所示，AB、CD是⊙O的两条直径，CE//AB，求证：BC=AE 【解】连接OE
∵CE//AB，∴∠1=∠2，∠3=∠4
∵CO和EO都是半径，∴CO=EO ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠4 ∴BC=AE
6 圆的确定及三角形的外接圆 (重点、掌握)
【问题导入】 卢老师所在的地区有A、B、C三所学校，如图所示，现
【证明】运用反证法，假设在三角形中所有的角都大于60°， 那么这个三角形的内角和就大于3×60°=180° 这与“三角形内角和定理”相矛盾， 所以原命题正确.
注意 运用反证法在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面的所有情况，如果 只有一种情况，那么否定一种即可；如果有多种情况，则需要逐个否定.
7.【中考真题】利用反证法证明一个三角形中不能有两个钝角.
重点笔记
【1】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的结论必须是在同圆或者等圆中才成立
【2】利用同圆(或等圆)中圆心角、弧 、弦、弦心距之间的关系可以证明角、弧或 弦、弦心距相等.
【3】圆心角的度数和它所对应的弧相等，并不是圆心角等于它所对的弧 【4】圆心角的度数等于它所对应的弧的度数，与圆的半径无关.也就是说，在大小
例⑥ 【中考真题】如图，在坐标系中，各点坐标分别为A(1,0)，B(2,5)，P(4,2)， 若点C在第一象限且横纵坐标均为整数，P是ΔABC的外心，则点C的坐标是多少？
【解】由题意有
，因为P是ΔABC的外心，
所以
，因为点C的横纵坐标为整数，
所以点C的坐标为(7，4)或(6，5)或(1，4)
6.【中考真题】如图，A、B、C三点均在6×6的正方形方格的格点上，过这三点 的外接圆除了经过这三个点之外，还能经过几个格点？
我们把每一份这样的弧叫做1°的弧.
一定相等：
一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对 着n°的圆心角.也就是说，圆心角的度数和它所对 的弧的度数相等.
AB与A′B′ 所对应的圆 心角相等， 但AB=A′B′，
【注意】优弧对应优弧，劣弧对应劣弧
同时AB=A′B′
5 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 (重点、掌握)
三角形的外接圆
定义
经过三角形的三个顶点作的圆叫做三角形的外 接圆，三角形是这个外接圆的内接三角形.“接”的 意思是三角形的三个顶点都在这个圆上
外心 三角形外接圆的圆心
三角形三条边的垂直平分线的交点
确定外心的方法
外心的位置
锐角三角形的外心在三角形的内部， 直角三角形的外心在斜边的中点处，钝 角三角形的外新在三角形外部
在准备盖一个图书馆提供给三所学校的学生使用，为了公平 起见，图书馆的位置应该盖在离三所学校相同距离的位置， 也就是经过A、B、C三点的圆的圆心上，也就是ΔABC外接 圆的圆心上. 【圆的确定】①经过一点可以作无数个圆，此时圆心，半径都不唯一
②经过两点可以作无数个圆，此时圆心在这两个点连线的垂直平分 线上，半径不唯一
三角形的外心到三角形三个顶点的 距离相等，且等于外接圆的半径
外心的性质
拓展
(1)任意一个三角形有且 只有一个外接圆，但一个 圆有无数个内接三角形
(2)直角三角形的外接圆 的直径就是斜边
(3)“不在同一直线上” 这个条件不可省略，也 就是说过同一直线上的 三点无法作圆
6 圆的确定及三角形的外接圆 (重点、掌握)
拓展 反证法是一种间接证明命题的方法，当一个命题直接证明很难入手或者 无法证明时，我们可以考虑用反证法来证明.运用反证法证明命题时，关键是在 假设命题不成立后，沿着这个假设出发，经过推理论证得出已知或者学过的基本 事实、定理、定义等互相矛盾的结论.
7 反证法 (难点、了解)
例⑦ 利用反证法证明：在三角形中，至少有一个叫小于或者等于60°
【6】圆心角∠AOB的度数与它所对的AB的度数相等，应该写成∠AOB的度数等于 AB的度数，而不能写成∠AOB=AB
5 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 (重点、掌握)
例⑤ 如图所示，在⊙O中，C是AB的中点，∠OAB=40°， 则∠BOC=（ ）° A. 40 B. 50 C. 70 D. 80
【解】由题意∠AOC=90°-∠OAB=90°-40°=50° ∠BOC=∠AOC=50°，选B
弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距(OE、OF)
5 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
(重点、掌握)
在同圆或等圆 中，相等的圆心角 所对的弧相等，所 对的弦相等，所对 弦的弦心距也相等
在同圆或等圆 中，如果两个圆心 角以及这两个圆心 角所对的弧、所对 的弦、所对的弦心 距中，有一组量相 等，那么其余各组 量也相等
定义 在证明一个命题是真命题的时候，我们假设命题的结论不成立，然后由此 推导，得出不合理或者互相矛盾的结果，由矛盾可以断定我们的假设不成立，从、 而原命题正确，这种证明方法叫做反证法.
7 反证法 (难点、了解) 反证法的步骤 ①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②从这个假设出发，通过推导论证，得出矛盾； ③由矛盾得出假设不正确，从而得出原命题成立.
【证明】假设在三角形有两个钝角 因为钝角大于90° 所以这两个钝角加起来的和大于90°×2=180 这与“三角形内角和定理”互相矛盾 所以原命题正确
5 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 (重点、掌握)
弧的度数与该弧所对的圆心角的度数的关系
敲黑板
不能忽略“在同圆或等圆
我们知道，把顶点在圆心的周角等分成360分， 中”这个前提条件，如果没有 每一份的圆心角就是1°的角.因为同圆中相等的圆心 这个前提条件，那么即使圆心
角所对的弧相等，所以整个圆周也被等分成360份. 角相等，所对的弧或者弦也不
不等的两个圆中，相同度数的圆心角所对的弧的度数相等；反过来，弧的度 数相等，则他们所对的圆心角的度数相等，但是弧长不一定相等.
5 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 (重点、掌握)
重点笔记
【5】相等的弧与相同度数的弧是两个不同的概念.只有弧的度数 和弧的长度都相等的两条弧才是等弧.也就是说，相等的弧 度数一定相等，但相等度数的弧不一定是等弧.如图，AB和 CD度数相等，但是AB与CD不是等弧.
③经过不在同一直线上的三点，有且仅有一个圆
6 圆的确定及三角形的外接圆 (重点、掌握)
【作法步骤】 ①连接AB、BC，如图所示 ②分别作线段AB、BC的垂直平分线， 设它们交于点O ③以点O为圆心，OA为半径作圆(则 圆O即为所作)
【注意】①中可以连接任意两组点构 成两条线段
6 圆的确定及三角形的外接圆 (重点、掌握)
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沪科版九年级下24.2圆的基本性质课件(共23张PPT)
1°的弧。
C
1度弧
D
一般地，n°的圆心角对着n°的弧， 弧对着n°的圆心角。
n°的
1度圆心角
结论：圆心角的度数和
它所对的弧的度数相等。
O A
n度圆心角
n度弧 B
例题讲解:
例4：已知：如图，等边三角形ABC的三个顶
点都在⊙O上。 求证：∠AOB= ∠ BOC= ∠ COA=120°
证明：∵AB=BC=CA
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
垂径定理： “知二推三”
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都
可以推出其他三个结论
操作探究（1）
在平面内，一 图形绕某个点旋转
在两张透明纸1上80，°分，如别果作旋半转径前相等的 ⊙O和⊙O′，把两后张的纸图叠形能在互一相起重，使⊙O和⊙O′重
弦相等
弦心距相等
D
例6：已知 AB和CD为⊙O的两 条直径,弦CE∥AB, E⌒C 为40°. 求∠BOD的度数。
解：连接OE
∵ E⌒C =40°
∴∠COE =40°
∵OC=OE
∴∠OCE=
180 -40 70 2
又CE∥AB，
∴∠AOD=∠OCE=70°
∴ ∠BOD=180°-70°=110°
D A
24.2 圆的基本性质 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
学习目标：
1、复习垂径定理及其推论。 （知二推三） 2、理解圆心角的概念. 3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的 相等关系定理及推论. （知一推三） 4、理解“1°的弧”的概念。
【最新】沪科版九年级数学下册第二十四章《圆的基本性质(2)-_弧_弦_圆心角》公开课课件.ppt
3.圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距.求证:在同圆或 等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等.
4：如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的
1 ，圆的半径为4cm，求AB的长 3
O
A
B
C
练一练
如图，AB是⊙O的径，
⌒
BC
=
⌒
CD
=
⌒
DE
，
∠COD=35°，求∠AOE的度数．
E
D
解：
⌒
BC
=
⌒
CD
=
（2）AB 所对的圆心角和 CD 所对的圆 心角相等
布置作业
1.在半径相等的⊙O和⊙O´中,A⌒B和A´⌒B´所对的圆心 角都是60°. (1)A⌒B和A⌒´B´各是多少度? (2)A⌒B和A´⌒B´相等吗?
(3)在同圆或等圆中,度数相度的弧相等.为什么?
2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8等分,那么 每一份弧是多少度?
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021 9:08:28 AM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/122021/1/122021/1/12Jan-2112-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/122021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021
理由:如图，AC、BD为⊙O
A
的两条直径，则AC=BD，且 B
O
AO=BO=CO=DO.
4：如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的
1 ，圆的半径为4cm，求AB的长 3
O
A
B
C
练一练
如图，AB是⊙O的径，
⌒
BC
=
⌒
CD
=
⌒
DE
，
∠COD=35°，求∠AOE的度数．
E
D
解：
⌒
BC
=
⌒
CD
=
（2）AB 所对的圆心角和 CD 所对的圆 心角相等
布置作业
1.在半径相等的⊙O和⊙O´中,A⌒B和A´⌒B´所对的圆心 角都是60°. (1)A⌒B和A⌒´B´各是多少度? (2)A⌒B和A´⌒B´相等吗?
(3)在同圆或等圆中,度数相度的弧相等.为什么?
2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8等分,那么 每一份弧是多少度?
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021 9:08:28 AM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/122021/1/122021/1/12Jan-2112-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/122021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021
理由:如图，AC、BD为⊙O
A
的两条直径，则AC=BD，且 B
O
AO=BO=CO=DO.
沪科版数学九年级下册《第24章 圆 24.2 圆的基本性质 第1课时》教学课件
大于半圆的弧(用三个字母表示，如图中的 ABC )叫
做优弧．
B
在同圆或等
O
圆中，能重合的
弧叫等弧．
A
C
练习 下列说法中，正确的是B( ) A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等
例1 已知：如图，AB，CD为⊙O的直径.
求证：AD∥CB .
集合性定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是平面内所有 到定点O的距离等于定长r的点的集合.
基
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
本
直径：直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦. 圆弧（弧）：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
概 念
与圆有关 的概念
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧 都叫做半圆.
3.已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D 两点在AB上，且AC=BD． 求证：OC=OD． 证明：∵OA、OB为⊙O的半径， ∴OA=OB. ∴∠A=∠B. 又∵AC=BD， ∴△ACO≌△BDO. ∴OC=OD.
课后小结
圆 圆的定义 的
形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋 转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.
设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则
符号“ ”读
点在圆内
d﹤r
作“等价于”， 它表示符号
●
点在圆上
d＝r
“ ”的左右 两端可以互相
●
●
O
点在圆外 d > r 推出.
●
位置关系 数量关系
练习 已知⊙O的直径为3 cm，点P到圆心O 的距离OP=4 cm，则点P（ A ） A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定
沪科版九年级下册数学： 24.2 圆的确定 (共18张PPT)
经过两个已知点
A、B所作的圆的圆
B
心在怎样的一条直
线上?
5
过已知点A,B作圆,可以作无数个圆.
你准备如何作圆？
其圆心的分布有什么特点?与线段AB 有什么关系？
经过两点A,B的圆的圆心在线段AB
●O
的垂直平分线上.
●O
A●
●O ●B
以线段AB的垂直平分线上的任意
●O
一点为圆心,这点到A或B的距离为
半径作圆.
7
过如下三点能不能做圆? 为什么?
A
B
C
归纳：不在同一直线上的三点确定一个圆.
8
画一画
已知：不在同一直线上的三点A、B、C 求作： ⊙O使它经过点A、B、C
A N
F
作法：1、连接AB，作线段AB 的垂直平分线MN；
2、连接AC，作线段AC的垂直
B
EO
M
C
平分线EF，交MN于点O； 3、以O为圆心，OB为半径作
个顶点的距离相等。
一个圆的内接 三角形有几个？
12
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角
三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各
三角形与它的外心的位置关系.
A
A
A
●O
●O
●O
B
C
┐ B
C
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内. 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点. 钝角三角形的外心位于三角形外.
13
探究活动
某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动物园 A，植物园B和人工湖C包括在内，又要使这个圆形 的面积最小，请你给出这个公园的施工图。（A、B、 C不在同一直线上）
植物园
初三下数学课件(沪科版)-《圆及其相关概念》
3．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使 CD⊥AB，垂足为M.
(1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什 么？
(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由
分析讨论：(1)是轴对称图形，其对称轴是CD.
(2)AM＝BM，AC＝BC，AD＝BD，即直径 CD 平分弦 AB，并且平 ︵
分 AB 及ADB.这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦所对的两条弧。进一步，我们还可以得到结论：平分弦(不是直 径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
例4：已知：AB交⊙O于C、D，且AC＝BD.请证明：OA＝OB. 答案：过O作OE⊥AB于E，∵OE过圆心O，∴CE＝DE，∵AC ＝BD，∴AE＝BE，∵OE⊥AB，∴OA还有哪些疑惑？请 与同伴交流．
24．2.2圆的基本性质
教学目标 1．掌握垂径定理及其他结论； 2．学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算 和作图问题．
教学重点和难点 重点：掌握垂径定理 难点：垂径定理及其推论的应用
一、情景引入 问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我 国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对 的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？ 通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题．
解析：根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平方 弦所对的两条弧”，可知 BC＝12AB＝ 3，然后根据勾股定理， 得 OB＝ （ 3）2＋12＝2.
答案：2
例3：如图，一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中 ，点O是 的圆心) ，其中CD＝600m，E为 上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m，求 这段弯路的半径．
九年级数学下册 第24章 圆 24.2 圆的基本性质(第二课时)课件沪科沪科级下册数学课件
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
D A
B
E
A
O
A
E
C A
CE
O
B B
C
C
12/11/2021
O E D B
O
AE
B
D
O
D D
O
AE
B
C
垂径定理的推论:
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧．
CD⊥AB吗？
CD为直径 条件
AE=BE
D
CD⊥AB
结论 A⌒C=B⌒C A⌒D=B⌒D
即 R 21.7 8 2(R 7 .2 )2.
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱所在圆半径约为27.9m.
12/11/2021
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm.
O AE B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm .
C
A
12/11/2021
·O
E B
D
? 交流
C
.O
E A
D
条件 CD为⊙O的直径 CD⊥AB
垂径定理：
结论
AE=BE ⌒⌒ AC=BC ⌒⌒ AD=BD
垂直于弦的直径平分这条弦，
B
并且平分这条弦所对的两条弧.
12/11/2021
已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且CD⊥AB于M，
求证：AM=BM， ⌒AC =⌒BC, A⌒D =⌒BD.
第二十四章
24.2 圆的基本性质
第2课时
12/11/2021
沪科版九年级数学下册24.2圆的基本性质(2)课件
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD 证明：过O作OE⊥AB于E， 则 AE=BE,CE=DE ∴AE－CE=BE－DE
A
C
••o o ┐ E
D
B
即AC=BD 在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于 弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作 弦的垂线段。
在图中
OD=OC－CD=R－7.2
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2
A
R
AB=37.4，CD=7.2，
C
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即
O
R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径， 则下列结论不正确的是（ ） C
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半 径 OA的夹角为 30 °,求弦 AB 的长.
6 O M A 30° B B A E C (2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半 径 OC互相平分,交点为 M , 求 弦 AB 的长.
O
M C A D B
A
E O
B
A C
.
. E
题设
直径（或过圆心的直线）
结论
平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
垂直于弦
垂径定理 判断题： (1)过圆心的直线平分弦 (2)垂直于弦的直线平分弦 (3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，则AE=BE
C C
错
错 对
A D
E
•o B (1) A D E
沪科初中数学九年级下册《24.2 圆的基本性质》精品课件 (2)
用旋转的方法可以得到:
一个圆绕着它的圆心旋转任
●O
意一个角度,都能与原来的图
形重合.
这是圆特有的一个性质:圆的
旋最转新初不中数变学性精品课件设计
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
C
使CD⊥AB，垂足为E。
C
O
E
A
B
D
最新初中数学精品课件设计
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？
C
O
E
A
B
D
最新初中数学精品课件设计
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？
观察现象：
O
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观察现象：
O
最新初中数学精品课件设计
观察现象：
O
最新初中数学精品课件设计
观察现象： 你能得到什么结
●O
论？ O
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都 是它的对称轴。它有无数条对称轴
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沪科版九年级数学(下)24.2圆的基本性质课件(共19张PPT)
圆的基本性质
圆的确定
问题：车间工人要将一 个如图所示的破损的圆盘复 原，你有办法吗？
探究发现
过一点可以做几条直线？过两点呢？
●A
●A
●B
●O
●O
● ●A O
●O
●O
●O ●O
●A
●O
●B
●O
1.过已知点A作圆，你能作出几个这样的圆？ 2.过已知点A，B作圆，你能作出几个这样的圆？
过已知点A，B作圆，可以作无数个圆。
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/272021/8/272021/8/27Aug-2127-Aug-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/272021/8/272021/8/27Friday, August 27, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/272021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月27日星期五2021/8/272021/8/272021/8/27 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021
如何确定圆心和半径？
●O
其圆心的分布有什么特点？与线
●O
段AB有什么关系？
●A
●O
●B
●O
经过两点A，B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。
圆的确定
问题：车间工人要将一 个如图所示的破损的圆盘复 原，你有办法吗？
探究发现
过一点可以做几条直线？过两点呢？
●A
●A
●B
●O
●O
● ●A O
●O
●O
●O ●O
●A
●O
●B
●O
1.过已知点A作圆，你能作出几个这样的圆？ 2.过已知点A，B作圆，你能作出几个这样的圆？
过已知点A，B作圆，可以作无数个圆。
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/272021/8/272021/8/27Aug-2127-Aug-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/272021/8/272021/8/27Friday, August 27, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/272021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月27日星期五2021/8/272021/8/272021/8/27 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021
如何确定圆心和半径？
●O
其圆心的分布有什么特点？与线
●O
段AB有什么关系？
●A
●O
●B
●O
经过两点A，B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。
沪科版九年级数学(下)24.2圆的基本性质课件(共17张PPT)
在 圆内 ； （2、3）矩若形O的P=四个2c顶m 点是，否则一点定P在能圆在上同。一个圆上，为 什以么O？为圆心、以3cm为半径再画一个圆。如图
这两个圆叫做同心圆
（4）若OP≤2cm，A 则点P在 小D圆上或小圆内 ；
（5）若2cm<OP<3cm，则O 点P在小圆和大圆之；间
(4)过圆心的直线是直径；( )
(5)半圆是最长的弧；( )
(6)直径是最长的弦；( )
(7)半径相等的两个圆是等圆.( )
14
如 图 , 一 根 5m
长的绳子,一端
栓在柱子上,另
5
一端栓着一只羊,
请画出羊的活动
区域.
15
5m
× 4m o
5m
× 4m o
5m 1m
正确答案
16
小结：
1、圆的相关概念（旋转观点、集合点）； 2、点与圆的位置关系； 3、与圆有关的概念。
12
例1 已知：如图，AB、CD为⊙O的直径， 求证：AD∥CB
C 证明 连接AC、BD
A
O D
B ∵ AB、CD为⊙O的直径 ∴OA=OB OC=OD ∴四边形ABCD为平行四边形 ∴ AD∥CB
13
想一想 判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；( )
(2)半圆是弧； (
)
(3)过圆心的线段是直径； ( )
P
B
O·
·O
C
D
A
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定 点O的距离等于定长r 的点组成的图形．
4
5
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心 （圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平 面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变， 因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会 感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学 道理．
这两个圆叫做同心圆
（4）若OP≤2cm，A 则点P在 小D圆上或小圆内 ；
（5）若2cm<OP<3cm，则O 点P在小圆和大圆之；间
(4)过圆心的直线是直径；( )
(5)半圆是最长的弧；( )
(6)直径是最长的弦；( )
(7)半径相等的两个圆是等圆.( )
14
如 图 , 一 根 5m
长的绳子,一端
栓在柱子上,另
5
一端栓着一只羊,
请画出羊的活动
区域.
15
5m
× 4m o
5m
× 4m o
5m 1m
正确答案
16
小结：
1、圆的相关概念（旋转观点、集合点）； 2、点与圆的位置关系； 3、与圆有关的概念。
12
例1 已知：如图，AB、CD为⊙O的直径， 求证：AD∥CB
C 证明 连接AC、BD
A
O D
B ∵ AB、CD为⊙O的直径 ∴OA=OB OC=OD ∴四边形ABCD为平行四边形 ∴ AD∥CB
13
想一想 判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；( )
(2)半圆是弧； (
)
(3)过圆心的线段是直径； ( )
P
B
O·
·O
C
D
A
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定 点O的距离等于定长r 的点组成的图形．
4
5
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心 （圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平 面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变， 因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会 感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学 道理．