胡广书《现代信号处理教程》第二章

j
在时域也是有限支撑的;
j e 由于 在频域是线谱，所以STFT的基函数
gt , ( ) g ( t )e j Gt , (v)
的频谱的形状取决于 G (v) ，接近于有限支撑的。 而频率中心由 e j 来决定， 这样，利用STFT可实 现对 x(t ) 时－频定位的功能。
100
120
4091 2045
0
0
20
40
60 80 Time [s]
100
120
窗函数的宽度为55
窗函数的宽度为13
概念：
“谱图（spectrogram）”
2 j
STFTx (t , ) x( ) g ( t )e
谱图是恒正的，且是实的。
由于 所以
d S x (t , )
(2 )
函数移动 的序号
m ：窗
的分点数。 窗函数宽度
2.4 Gabor变换的基本概念
早在1946年，Gabor就提出：可用时－频平面上离 散栅格上的点来表示一个连续的一维信号：
x(t )

mb
m n
C



m,n m,n
h (t )

m n

j 2 mbt C h ( t na ) e m,n
若
y (t ) x (t t 0 ) ， 则
jt0
STFTy (t , ) STFTx (t t0 , )e
S y ( t , ) S x ( t t 0 , )
2.2 短时傅立叶反变换
短时傅里叶反变换有不同的表示形式：
取反变换 1 左边＝ STFTx (t , )e j d 2 1 j ( ) 右边 x ( ) g ( t ) e d d 2
所以：
STFTx (t , ) e
jt
1 2



X ( )G * ( )e jt d
STFT的频域表达式 对 x( ) 在时域加窗 g ( t )
对 X (v) 在频域加窗 G (v )
等效
有了时－频定位功能，下面再关心其时－频分辨率。
时—频分辨率
时间中心 0 由 g ( ) 的中心位置所决定 ，即
Gt , ( ) g ( t )e
j j
e
d
e j ( )t g (t )e j ( )t dt G( )e j ( )t
由于
1 x(t ), gt , ( ) X ( ), Gt , ( ) 2 1 * j ( ) t X ( ) G ( ) e d 2
2
Linear scale
Linear scale
Energy spectral density
Energy spectral density
0.4
0.4
Frequency [Hz]
Frequency [Hz]
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
4091 2045
0
0Hale Waihona Puke Baidu
20
40
60 80 Time [s]
j0
，则
j0
STFTx (t , ) e
g ( t )e j d
G ( 0 )e j ( 0 )t
STFT的频率分辨率由 g ( ) 频谱的宽度来决定。
例3
若 g ( ) 1 ，则 ， G() () STFTx (t , ) X () 这时，STFT减为简单的FT，这将给不出任何的时间 定位信息。其实，由于 g ( ) 为无限宽的矩形窗，故 等于没有对信号作截短。 高斯Chirp调制信号
jl
时间中心在 k 处 频率中心在 l处
分辨“细胞”为 v
t
tk 分辨“细胞”和

Ω2 Ω1
Gt , (v) Gt , (v)
v
gt , ( )
v
l 无关，即不
论 t k 和 l 处
在何处，分辨细
gt , ( )
胞的形状都保持 不变。这是STFT 的特点。
t1
t2
例1
令 x( ) ( 0 ) ，可以求出其
STFTx (t , ) ( 0 ) g ( t )e g ( 0 t )e j 0
j
d
该例说明，STFT的时间分辨率由窗函数 g ( ) 的 宽度而决定。
例2
若 x( ) e
用 g (t ) 的对偶函数 h(t ) 来表示
1 x( ) 2
区别




STFTx (t , )h ( t )e
j
dtd
* g ( t ) h (t )dt 1
2.3 离散信号的短时傅立叶变换
STFTx (m, ) x(n) g * (n mN )e j n
*
j
x( ), g ( t )e j
x(τ )
x( ) g ( t1 )
x( ) g ( t2 )
x( ) g ( t3 )
0
t1
t2
t3
FT
τ
Ω
FT FT
0
t1
t2
t3
t
由于 g ( ) 是窗函数，因此它在时域应是有限支撑的; 同理，gt , ( ) g ( t )e
展开的基函数
j 2 mbt

h(t a) exp( j 2 mbt )

t
移位＋调制
1.如何选择 a 和b？ 2.如何选择母函数 h(t ) 3.如何求Cm,n?
4. 是否任一能量有限信
号都可作 Gabor 分解？ 5. 时－频平面离散栅格上的 任一个二维函数是否都唯一 地对应一个一 维 的 信 号 ？
x(t ) L ( R) 其STFT定义为:
2
STFTx (t , ) x( ) g ( )d x( ), gt , ( )
* t ,
式中
gt , ( ) g ( t )e j
|| g ( ) || 1
窗函数应取 对称函数。
d
STFTx (t , ) x( ) g ( t )e
2
|| g ( ) || 1
S
x
(t , )dtd E x
谱图是信号能量的分布。
STFT和谱图的性质
若 y (t ) x(t )e ，则
j0t
STFTy (t , ) STFTx (t , 0 )
S y ( t , ) S x ( t , 0 )
第2章 短时傅立叶变换与 Gabor变换
2.1 2.2 2.3 2.4 连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶反变换 离散信号的短时傅立叶变换 Gabor变换的基本概念
2.5 临界抽样时连续信号展开系数的计算 2.6 过抽样情况下连续信号展开系数的计算
2．1 连续信号的短时傅立叶变换
（Short Time Fourier Transform，STFT） 概念：
Signal in time 1
Signal in time 1
Real part
Real part
0.5 0 -0.5 |STFT| , Lh=27, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
2
0.5 0 -0.5 |STFT| , Lh=6, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
2.5 临界抽样情况下连续信号 Gabor展开系数的计算
x(t )
m n
C
m n


m,n m,n
h (t )


j 2 mbt C h ( t na ) e m,n

如何 计算
选择一母函数 g (t ) ，移位加调制：
gm,n (t ) g (t na)e
假定内积 结果就是
j 2 mbt
x(t ), g m,n (t ) x(t ) g * (t na)e j 2 mbt dt Cm,n
0.1
0
20
40
60 80 Time [s]
100
120
例4
令 g ( ) ( ) ，则 STFTx (t , ) x (t )e jt
可准确地实现时域定位，但无法实现频域定位。
Signal in time
Real part
0.5 0 -0.5 |STFT| , Lh=0, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
n
DTFT
DFT
STFTx (m, k ) x(n) g (n mN )e
*
nk j2 M
2 k k , let M
n
x(n) g * (n mN ) x(n)
M 1 n 0
nk j2 M
STFTx (m, k ) x(n)e
N 是在时间轴上窗函数移动的步长， M 是一个周期
Signal in time
Real part
0.5 0 -0.5 |STFT| , Lh=63, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
2
Linear scale
Energy spectral density
0.4
Frequency [Hz]
168 84 0
0.3
0.2
欠抽样将引起信息的丢失，因此很少被研究；
Gabor最早提出：
使用高斯窗 取临界抽样
x(t )
临界抽样最简单；
m n
C


m,n m,n
h (t )
原因
高斯窗满足不定原理的下限； 高斯窗的傅里叶变换仍然是高斯的。
但是，由于展开系数计算的困难，Gabor展开长 期没有被重视； 从1946年～1980年，人们也不断地 提出一些计算的方法，但都不理想。直到 Bastians 于1980年提出了用“对偶”函数计算Gabor系数的方 法，这一问题才初步的被解决。 当时，考虑的是 ab 1 的临界情况
STFT的一维反变换表示
STFT的二维反变换来表示 ：
STFTx (t , ) x( ) g ( t )e j d
1 x( ) 2




STFTx (t , ) g ( t )e j dtd
1 jt x(t ) STFT ( t , ) e d x 2 g (0)
如果 ab 1 ，即栅格过稀，我们将缺乏足 够的信息来恢复原信号；
如果 ab 过小，必然会出现信息的冗余。类 似于对一维抽样时抽样频率过大的情况。
ab 1 ：临界抽样（Critical Sampling） ab 1 ：欠抽样（Undersampling） ab 1 ：过抽样（Oversampling）
b
a
a
na
：栅格的时间长度
t
b
：栅格的频率长度
x(t )
m n
C


m,n m,n
h (t )
h(t )
Cm,n
Gabor展开系数；
h(t )
h(t a)
h(t na)

0
a
h(t a) exp( j 2 bt )
na
t
母函数

t
hm,n (t ) h(t na )e
2
Linear scale
Energy spectral density
0.4
Frequency [Hz]
167 84 0
0.3
0.2
0.1
0
20
40
60 80 Time [s]
100
120
例5
设 x(t ) 由两个时频“原子”构成, 一个时间中心 t1 50 处，时宽是32，另一个时间中心在 t2 90 处时宽也是32，调制信号的归一化频率都是0.25 。 选择 g ( )为Hanning窗
t1 , t2 , , tn
频率中心 v0由G(v)的中心决定，即
1 , 2 , , n
时宽：2 带宽：
2

1 2
2
| g ( ) | d
2
与时移 t 无关


| G( ) | d
2 2
思考： 各与什 么有关
与频移 无关
STFT的基函数
gtk ,l ( ) g( tk )e
let t
STFTx (t , ) x( ) g ( t )e j d
1 jt x(t ) STFT ( t , ) e d x 2 g (0)
x( ) g ( t ) ( )d x( ) g ( t )