导数的概念及其计算-完整版
导数的概念及运算
使 b (3t 2 1)a 2t 3． 则方程 2t 3 3at 2 a b 0 有三个相异的实数根．
记 g (t ) 2t 3 3at 2 a b，则 g (t ) 6t 2 6at 6t (t a).
于是，若过点 a, b 可作曲线 y f ( x) 的三条切线，
（3）.复合函数的导数: 复合函数y=f(g(x))的导数和函 数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为
ux yx yu
考点2 导数的计算
【变式】求下列函数的导数： 例2.
x x （1） y x sin cos ； 2 2
（2） y x( x 1)( x 2) ；
f′ (x)＝cos x ； (3)f(x)＝sin x; 答： __________
(4)f(x)＝cos x; 答： __________ f′( x)＝－sin x； (5)f(x)＝ax 答： __________ f′ (x)＝axln a；
f′(x)＝ex ； (6)f(x)＝ex 答： __________ 1 (x)＝xln a； (7)f(x)＝logax; 答： f′ __________ 1 f′(x)＝x ； (8)f(x)＝ln x; 答： __________ ′＝f′(x)± g′(x)； (9)y＝f(x)± g(x); 答： y ________________ y′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) (10)y＝f(x)g(x); 答： ____________________________ ； f′xgx－fxg′x fx y′＝ 2 (11)y＝ 答： __________________. gx≠0； [ g x ] gx
导数的定义与计算
导数的定义与计算导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
它在数学和科学领域有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解决各种问题。
本文将介绍导数的定义与计算方法。
一、导数的定义导数表示函数在某一点上的瞬时变化率。
我们以函数 f(x) 为例进行说明。
函数 f 的导数在点 x 处的定义如下：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim 表示极限，h 为一个无穷小量，表示 x 的增量。
导数的定义表示当 x 的增量无穷小时，f(x) 在该点上的变化率。
二、导数的计算1. 基本函数的导数计算对于简单的函数，我们可以利用导数定义来计算其导数。
以下是一些常见函数的导数计算公式：常数函数导数为 0：f(x) = c，则 f'(x) = 0，其中 c 为常数。
幂函数导数为其指数乘以常数：f(x) = x^n，则 f'(x) = nx^(n-1)，其中 n 为常数。
指数函数导数为其自身乘以常数：f(x) = a^x，则 f'(x) = ln(a)*a^x，其中 a 为常数。
对数函数导数为其自身的倒数：f(x) = log_a(x)，则 f'(x) = 1 /(x*ln(a))。
三角函数导数：正弦函数导数为余弦函数：f(x) = sin(x)，则 f'(x) = cos(x)。
余弦函数导数为负的正弦函数：f(x) = cos(x)，则 f'(x) = -sin(x)。
其他三角函数的导数计算与此类似。
2. 导数的性质导数具有一些重要的性质，我们可以利用这些性质来计算复杂函数的导数。
导数的加法规则：若 f(x) 和 g(x) 都是可导函数，则 [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)。
导数的乘法规则：若 f(x) 和 g(x) 都是可导函数，则 [f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
导数的定义与计算
导数的定义与计算导数是微积分中的重要概念，它用于描述函数在某一点处的变化率。
本文将介绍导数的定义和计算方法。
一、导数的定义在数学中，导数可以通过极限的方法来定义。
设函数y=f(x)，若函数在点x处的导数存在且有限，则导数表示为f'(x)，它表示函数f(x)在点x处的变化率。
导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率。
通过导数，我们可以研究函数的变化趋势、拐点、极值等重要性质。
二、导数的计算方法导数的计算方法有多种，下面将介绍一些常见的计算方法。
1. 函数可导情况下的基本运算法则（1）常数法则：若c为常数，则导数(常数)=0。
（2）幂函数法则：若f(x)=x^n，其中n为常数，则导数f'(x)=nx^(n-1)。
（3）指数函数法则：若f(x)=a^x，其中a为常数，则导数f'(x)=a^x*ln(a)。
（4）对数函数法则：若f(x)=log_a(x)，其中a为常数，则导数f'(x)=1/(x*ln(a))。
（5）三角函数法则：若f(x)=sin(x)，则导数f'(x)=cos(x)。
2. 导数的基本运算法则（1）和差法则：若f(x)=u(x)+v(x)，则导数f'(x)=u'(x)+v'(x)。
（2）积法则：若f(x)=u(x)v(x)，则导数f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。
（3）商法则：若f(x)=u(x)/v(x)，则导数f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2。
（4）复合函数法则：若f(x)=g(h(x))，则导数f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
3. 使用导数计算函数的极值为了找到函数的极值点，我们可以先求得函数的导数，然后解方程f'(x)=0。
解得的x值即为函数的极值点。
三、导数的应用导数是微积分的基本工具，它在许多实际问题中具有广泛的应用。
导数的概念、求导法则
链式法则可以用于求复合函数的导数，特别是当函数包含多个嵌 套函数时。
乘积法则
乘积法则
$(uv)' = u'v + uv'$
应用
乘积法则可以用于求两个函数的乘积的导数，例如$y = u(x)v(x)$的导数可以通 过乘积法则求得。
商的求导法则
商的求导法则
$(u/v)' = frac{u'v - uv'}{v^2}$
导数的概念、求导法则
目
CONTENCT
录
• 导数的概念 • 求导法则 • 导数的应用 • 导数与积分的关系
01
导数的概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要概念。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的 斜率，表示函数在该点附近的小变化 量与自变量变化量之比，即函数在一 点的变化率。
导数表示的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在该点的 切线斜率。
详细描述
对于可导函数，其导数在几何上表示 该函数图像在某一点的切线斜率。这 个切线的斜率反映了函数值在该点的 变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数在物理中常用于描述物体的运动状态、速度、加速度等 。
详细描述
在物理中，导数常用于描述物体的运动状态，如速度和加速 度。例如，物体的瞬时速度可以通过位移函数的导数来描述 ，瞬时加速度可以通过速度函数的导数来描述。
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感谢聆听
应用
商的求导法则可以用于求两个函数的商的导数，例如$y = u(x)/v(x)$的导数可以 通过商的求导法则求得。
03
导数的应用
切线斜率
导数的概念与计算
3. 将内层函数的导数乘以外层函 数的导数，得到复合函数的导数 。
03
高阶导数
高阶导数的定义与计算
03
高阶导数定义
计算方法
莱布尼兹公式
函数的高阶导数是指对其一阶导数再次求 导的过程，以此类推可以得到二阶、三阶 等高阶导数。
高阶导数的计算可以通过连续应用求导法 则来实现，例如乘积法则、链式法则等。
导数的物理意义
速度
在物理学中，导数常用来表示物体的速度。如果物体的位移函数为$s(t)$，则物体的速度可以表示为位移函数对 时间$t$的导数，即$v(t) = s'(t)$。
加速度
导数还可以表示物体的加速度。如果物体的速度函数为$v(t)$，则物体的加速度可以表示为速度函数对时间$t$的 导数，即$a(t) = v'(t)$。
04
隐函数及由参数方程所确 定的函数的导数
隐函数的求导法则
01
隐函数求导的基本步 骤
首先将隐函数转化为显函数形式，然 后应用显函数的求导法则进行计算。 若无法转化为显函数形式，则通过隐 函数的求导公式进行求解。
02
隐函数求导的公式
若$y$是$x$的函数，且满足方程 $F(x,y)=0$，则隐函数的导数 $frac{dy}{dx}$可以通过求解方程 $frac{partial F}{partial x} + frac{partial F}{partial y} cdot frac{dy}{dx} = 0$得到。
相关变化率在实际问 题中的应用
相关变化率在实际问题中有着广 泛的应用，如经济学中的边际分 析、物理学中的速度加速度问题 等。通过求解相关变化率，可以 更好地理解和描述这些实际问题 中的变化规律。
(完整版)导数的概念、几何意义及其运算
导数的概念、几何意义及其运算常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：+-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数；;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e xx x x ln )(;)(''==；e x x x x a a log 1)(log ;1)(ln ''==法则1： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u +=法则3： )0)(()()()()()(])()([2'''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾：1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率xx f x x f x y o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/x f 或0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。
称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =，就是导函数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 。
导数的概念及计算
导数的概念及计算一.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作y ′|x =x 0 ＝f ′(x 0) ＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)值就是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).二.基本初等函数的导数公式三.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0). 四.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.考向一 利用公式及运算法则求导【例2】求下列函数的导数2311(1)()y x x x x =++ （2） （3） ()234(21)x y x =+ (5)sin2xy e x -= 【举一反三】1．下列求导运算正确的是（ ）A ．(3x )′=x •3x−1B ．(2e x )′=2e x （其中e 为自然对数的底数）C ．(x 2+1x )′=2x +1x 2 D ．(x cosx)′=cosx−xsinx cos 2x2．求下列函数的导数： （1）y =√x 5+√x 7+√x 9√x ； （2）y =x ⋅tanx (3)y ＝x n ⋅lg x ；(4)y ＝1x +2x 2+1x 3；考向二 复合函数求导【例3】求下列函数导数（1）y ＝sin(2x ＋1) ()(2)cos2f x x x =⋅ （3）()cos ln y x =【举一反三】求下列函数的导数： （1）y =； （2）2()5log 21y x =+.（3）sin()eax b y +=；（提示：设e uy =，sin u v =，v ax b =+，x u v xy y u v ''''=⋅⋅）（4）2(πsin 2)3y x =+； 考向三 利用导数求值【例4】（1）f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0＝ . 2．若f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝ .3. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '= 。
导数的概念及其计算
x 0
x
x 0 x
我们称它称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x0) 或 y |xx0 , 即 f(x0) lx i0 m f(x0Δ x)xf(x0).
当x= x0变化时，f’(x)便是一个函数，我们称它为f(x)
的导函数（简称导数）。
C(x) 5284 100 x
C '(x)5 2 8 4'(1 0 0x) 5 2 8 4 (1 0 0x)' 5284
(1 0 0x)2
(100 x)2
(1)C'(90)(105 0289 40)252.84
5284
(2)C'(98)
1321
(10098)2
答:(1)纯净度为90％时，费用的瞬时变化率为 52.84元/吨；(2)纯净度为98％时，费用的瞬时变 化率为1321元/吨。
C．4x－5 D．4x－3
4. 函数 y=sin2x 在点 M( , 3 )处的切线斜率为（ C ）
62
A.－1
B.－2
C.1
D.2
例 6．已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点(1,1),且在点(2,－1)处与直线 y=x
－3 相切,求 a、b、c 的值.
分解析:∵:本f题(1考)=查1,导∴数a+的b几+c何=1意. 义.函数在 x=2 处的导数①等于直线
2. 若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 2x+y+1=0,则（ C ）
A.f′(x0)>0
B.f′(x0)=0
C.f′(x0)<0
D.f′(x0)不存在