必修5第一章《数列》数列的概念
必修5数列知识点总结
必修5数列知识点总结1. 数列的概念数列是按一定规律排列的数字集合。
一般情况下，数列中的每个数字称为数列的项，通常用字母代表。
数列中第n个项称为第n项，一般用an表示。
2. 数列的分类2.1 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列。
设数列为a1,a2,a3…an，公差为d，则有a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d。
等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d。
2.2 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比都相等的数列。
设数列为a1,a2,a3…an，公比为q，则有a2/a1=a3/a2=…=an/an-1=q。
等比数列的通项公式为：an=a1q^(n-1)。
2.3 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，规律为前两项的和等于后一项。
数列以0和1开始，后续每一项都是前两项的和。
例如：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …3. 数列的性质3.1 通项公式根据数列的规律，可以得出数列的通项公式，即表示数列任意一项与项数之间的关系式。
3.2 前n项和公式数列的前n项和是指数列中前n项之和。
对于等差数列，前n项和公式为：Sn = n/2(a1+an)。
对于等比数列，前n项和公式为：Sn = a1 (q^n - 1)/(q - 1)。
3.3 递推关系数列中的每一项可以通过前一项或前几项的运算得到，这种关系称为递推关系。
例如，斐波那契数列中的第n项可以通过前两项的和得到。
3.4 有限数列和无限数列有限数列指数列中项数有限，而无限数列指数列中项数无限。
4. 应用题的解题思路在解数列的应用题时，需要根据题目中的条件和要求，确定数列的类型以及通项公式。
然后根据题意使用相应的公式求解。
常见的数列应用题包括递推关系式的求解、前n项和的计算、求某一项、确定数列范围等。
5. 典型例题5.1 例题1已知等差数列的公差为2，前3项的和为9，求该数列的通项公式。
解答过程：设数列的首项为a，通项公式为an=a+(n-1)d。
高一数学必修5：数列(知识点梳理)
第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和； （2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则 （1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐
数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。
前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。
数列的概念教学设计说明
数列的概念教学设计说明博爱县第一中学石利一、本课数学内容的本质、地位、作用分析《数列的概念》是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（北师大版）第一章第一节的内容，“数列”是中学数学的重要内容之一，数列是进行计算、推理等基本训练，综合训练的重要题材，它与高等数学有较为密切的联系，是进一步学习的必备基础知识，因而是历年高考命题的热点之一，而且在实际生活中也经常要用到数列的一些知识。
例如：银行存款的单利和复利、分期付款中的有关计算就要用到数列知识。
在数列这一节中不断渗透用函数观点来研究数列，数列是特殊的函数，所以函数的一切性质，数列都具备。
例如：函数的最值问题，在数列中体现为求数列的最大项和最小项，函数的周期性问题，高考命题方面，在数列的通项公式和数列求和中都有所体现。
二、教学目标分析1、三维目标知识与技能（1）形成并掌握数列及其有关概念，数列通项公式的意义。
（2）理解数列的表示方法与函数表示方法的关系。
（3）数列的函数特性。
过程与方法培养学生观察、归纳、类比、联想等分析问题的能力，同时加深理解数学知识之间相互渗透性的思想。
情感、态度、价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学态度和勇于创新的精神。
2、数学思想的体现：⑴、函数的思想。
⑵、数形结合思想。
⑶、特殊化思想。
三、教学问题诊断1、学情分析：对于我校的高二年级的学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
2、教学重、难点重点：数列的概念及其通项公式。
北师大版高二数学上册必修5第一章数列第一课数列的概念课件(共21张PPT)
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
数列的概念与性质
数列的概念与性质数列，是指按照一定规律排列的一组数。
数列的概念与性质是数学中非常重要的内容之一，对于我们深入了解数学的本质和应用具有重要意义。
本文将重点介绍数列的概念以及数列的常见性质。
一、数列的概念数列是指按照一定的规律排列的一组数，数列中的每一个数称为该数列的项。
通常用字母 a，b，c，... 表示数列的项，a₁表示数列的第一项，a₂表示数列的第二项，以此类推。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列的规律可以通过给出递推公式或者直接给出数列的项来表示。
递推公式是指通过前一项或前几项计算得到下一项的公式，例如斐波那契数列的规律可以表示为 aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂。
直接给出数列的项可以是通过某种规律或者特征得到的，例如等差数列的项可以通过一个常数 d 与前一项的和得到。
二、数列的性质1. 通项公式：数列中的每一项都可以通过一个公式来表示，该公式称为数列的通项公式。
通项公式可以通过数列的规律或者特性来推导得到，能够用通项公式表示的数列称为解析数列。
2. 公差和公比：对于等差数列和等比数列，分别有公差和公比的概念。
等差数列是指数列的相邻两项之差都相等，该公差称为等差数列的公差。
等比数列是指数列的相邻两项之比都相等，该比值称为等比数列的公比。
3. 首项和末项：数列的第一项称为首项，最后一项称为末项。
根据数列的规律，我们可以求得数列的首项和末项。
4. 有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。
有界的数列是指数列的项存在上界和下界，即数列的项的取值范围是有限的；无界的数列是指数列的项没有上界或下界，即数列的项的取值范围是无限的。
5. 单调性：数列可以是单调递增的，也可以是单调递减的。
单调递增的数列是指数列的项随着项的增加而增加；单调递减的数列是指数列的项随着项的增加而减小。
6. 求和公式：对于一些特殊的数列，我们可以求得其所有项的和。
例如等差数列和等比数列都存在求和公式，可以直接计算数列的和。
7. 排列组合：数列的性质可以与排列组合问题结合，解决一些问题。
高二数学必修五知识点：数列的概念与简单表示法
高二数学必修五知识点：数列的概念与简单表示法以下是作者为大家整理的关于《高二数学必修五知识点：数列的概念与简单表示法》，供大家学习参考！1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以显现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个肯定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，明显数列与数集有本质的区分.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2．数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)依照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3．数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是肯定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式情势上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式；有的数列虽然有通项公式，但在情势上，又不一定是的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能肯定的，通项公式更非.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要根据数列的构成规律，多视察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的知道注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么顺次用1，2，3，…去替换公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可判定某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，情势上不一定是的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不.4．数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映照.因此，从映照、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大顺次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特别的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特别的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情形，但不精确.把数列与函数比较，数列是特别的函数，特别在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无穷个或有限个孤立的点.5．递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用以下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1，。
数学必修五数列知识点总结归纳
数学必修五数列知识点总结归纳数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
在必修五的数学课程中，数列是一个重要的知识点，学好数列的相关知识对于理解高中数学以及以后的数学学习都是至关重要的。
本文将对数学必修五中的数列知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握数列的概念和性质。
一、基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数，这些数之间存在一种特定的关系。
2. 通项公式：数列中的每一项可以由一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。
3. 等差数列：如果一个数列中的任意两项之差都是一个常数，那么这个数列就是等差数列。
4. 等比数列：如果一个数列中的任意两项之比都是一个常数，那么这个数列就是等比数列。
5. 递推公式：等差数列、等比数列中的每一项可以通过前一项来计算的公式，称为递推公式。
二、等差数列1. 基本性质：等差数列的基本性质包括公差、首项、末项和项数等。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来计算数列中的任意一项。
3. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式可以用来计算数列前n项的和。
三、等比数列1. 基本性质：等比数列的基本性质包括公比、首项、末项和项数等。
2. 通项公式：等比数列的通项公式可以用来计算数列中的任意一项。
3. 前n项和公式：等比数列的前n项和公式可以用来计算数列前n项的和。
四、数列的应用1. 数列在初等数学中的应用：数列的应用不仅限于数学学科本身，在初等数学中，数列还有很多实际应用，例如求和、求平均数等。
2. 数列在自然科学中的应用：数列在自然科学中也有着广泛的应用，例如物理学中的运动学问题、化学中的化学反应速率等都可以通过数列来描述和求解。
五、数列知识点的拓展1. 等差数列和等比数列的推广：除了等差数列和等比数列之外，还存在其他形式的数列，例如等差递推数列和等比递推数列。
2. 数列的收敛性：数列的收敛性是数学分析中的一个重要概念，它与数列中项的趋势和极限有关。
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序号：1 , 2, 3, 4..., n,...
项： 1,
1, 3
1, 1 57
1 ..... 2n 1
n与 an 的对应关系：
an
1 2n 1
3.通项公式
如果数列an的第n项an 与n之间的
关系可以用一个公式来表示，这个公式 就叫做这个数列的通项公式。
数列 4，5，6，7，8，9，10的通项公式是：
1
0(n为奇数） an （1 n为偶数）
例3 已知数列 an 的第1项是1，以后的各
项由公式 前5项。
an
1 1 an1
给出，写出这个数列的
a1 1
1
a2
1 13
1 a1
1 1 1
2
a3 1 a2 1 2 2
1 25
a4
1
a3
1 1
3
3
3
8
a5
1
a4
1 5
5
29
课堂练习
根据数列 an 的通项公式，写出它的前5项。
(2).数列的通项公式不唯一
20
4.数列的应用
例1 根据数列 an 的通项公式，写出它的前5项。
n (1)an n 2
(2)an( 1) n
c
os
nπ 4
(1) 1 , 1 , 3 , 2 , 5 ; 32537
(2) 2 ,0, 2 ,1, 2 .
22
2
21
例2 写出下面数列的一个通项公式
an n 3 (n≤7)
数列 2，4，6，8，… 的通项公式是：
an 2n
14
数列 1，4，7，10，… 的通项公式是：
an 3n 2 数列： 1, 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 34 5
通项公式：1 n
实质：从映射、函数的观点看， 数列可以看作是一个定义域为正
整数集N*（或它的有限子集 {1，2，…，n}）的函数，当自变
(1)an 10n1
(n 1)2 1 n(n 2)
an
n 1
n 1
3.数列的图象表示
101. 数列 4，5，6，7，8●，9，10.的图象
9
●
8
●
7
●
6
●
5
●
4●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
24
110.
数列的图象表示1
数列 8, 4, 2, 1, 2
,
,的图象
9
量从小到大依 次取值时对应的一 列函数值。
18
y=f（x）
函数值
自变量
an ？ n
通项公式
19
n 通项公式：a n 与 之间的函数关
系式,通项公式即相应的函数解析式 注意：
(1).不是每一个数列都能写出其通项公式 （如以下数列）
2精确到1，0.1,0.01,0.001,的值：
1， 1.4， 1.41，1.414， …，
(1)3,5,7,9,.... (2)1,2,4,8,...
(3)9,99,999,9999,...
解：(1)an 2n 1
(2)an 2n1
(3)an 10 n 1
拓展延伸 写出下面数列的一个通项公式
（1）1，10，100，1000，…
（2）22 1，32 1，42 1，52 1；
2
3
4
5
8●
7 6
5
4
●
3
2
●
1
●
●●
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
25
4.有穷数列、无穷数列
项数有限的数列叫做有穷数列。 如:数列 4，5，6，7， 8，9，10.
项数无限的数列叫做无穷数列。
1, 如:数列
1, 1,1, 1, 2 345
26
按项的大小分： 递增数列 —— a n ＜a n + 1 递减数列 —— a n ＞a n + 1
a10
1 1000
(2)an n(n 2) a7 63 a10 120
(3)an
( 1) n 1 n
a7
1 7
a10
1 10
(4)an 2n 3 a7 125 a10 1021
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
31
写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是
下列各数：
(1) 1 , 1 , 1 , 1 ;
2 4 8 16
an
1 2n 1
数列的一般形式可以写成：
a1, a2 , a3, …，an , …
简记作： an
2.有穷与无穷数列：
像数列①③这样的数列称为有限数列， 也叫有穷数列。
像数列②.4.5这样的数列称为无限数列， 也叫无穷数列。
探讨：n应与关a系n 的：对1,
1 3
,
1 5
,
1 7
1 9
.....
1,
1 3
,
1 5
,
1 7
1 9
.....
③某人2006年1-2月工资，按月顺序排列
为
2100， 2100, 2100， 2100， …
7
4.-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成的一列数：
-1， 1， -1， 1， -1， …
5.无穷多个1排成的一列数：
1，1，1，1，1，1，…
1.数列的定义:
(1)an n2 1，4，9，16，25.
(2)an 10n 10，20，30，40，50.
(3)an
5
(1)
n1
5，-5，5，-5，5.
(4)an
2n n2
1 1
3, 2
1,
7 10
,
9 17
,
11 , 26
30
根据数列an 的通项公式，写出它的第7项与第10项。
(1)an
1 n3
a7
1 343
an
( 1) n 2n
(2)1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 ; 22 33 44 5
an
1 n
1 n 1
1 n(n 1)
32
五、小结：本节讲了：
1、数列概念（注意与函数、集合进行比较)
2、数列通项公式的求法（观察分析法）
3、数列的表示方法（列举法、图象法、解析法）。
常数列 : a n = a n + 1
摆动数列 : a n －1 ＜a n
且 a n ＞a n + 1
27
（3） 1 ， 1 ， 1 ， 1 ； 1• 2 2 • 3 3• 4 4 • 5
（4）(1)2 1，(1)3 1，(1)4 1，(1)5 1；
2
2
2
2
an
(1)n n(n 1)
an
(1)n1 2
教学目标
1.理解数列概念； 2.给出前几项，求通项的分析方法； 3.数列的表示方法； 4.递推公式的定义及简单应用。
教学重点、难点
重点： 根据数列的递推公式写出数列的前几项
难点： 理解递推公式与通项公式的关系
思考：什么叫数列? ①
堆放的钢管
4，5，6，7，8，9，10...
6
②正奇数的倒数按顺序排列：
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列中的各项依次叫做这个数列的
第1项（或首项）用a1 表示，
第2项用 a2表示, 第n项用 an 表示
an 也叫数列的通项
9
如数列2中，
1,
1 3
,
1 5
,
1 7
1 9
.....
首 项： a1 1
第10项：
a10
1 19
第n项（通项）：