第八章 线性离散时间控制系统分析
高国燊《自动控制原理》(第4版)(章节题库 线性离散(时间)控制系统分析)
第8章 线性离散（时间）控制系统分析
1．试根据定义
确定下列函数的
和闭合形式的E （
z ）：解：（1
）由欧拉公式
可得（2）将
E
（s ）展成部分分式，有
式中
于是
经采样拉普拉斯变换，得
故有
2．求下列各函数的z反变换：
解：（1）采用幂级数法。
则采样函数为
（2）采用反演积分法。
有三个极点，则有
相应的采样函数为
用幂级数法验证：
故有
（3）因为
所以
查z变换表，可知
则有
用反演积分法验证
有两个根，而
则有
（4）采用反演积分法
有三个极点，则有
相应的采样函数为
用幂级数法验证
故有
（5）因为
所以
查z变换表，可知则有
3．试根据定义
确定下列函数的E*（s）的闭合形式和E（z）：（1）e（t）＝sinωt；
（2）
解：（1）
（2）
4．试求的z变换。
解：求z变换的另一种方法是直接利用z变换表。
先将E（s）展为部分分式，然后由表求每一部分分式项的z变换，并将它们组合在一起便可得E（z）。
（1）将E（s）展成部分分式，则有
（2）求每一个部分分式项的z变换：与相应的z变换为
与
相应的z变换为所以
令T＝1，有
5．求解下列差分方程，结果以c（nT）表示：
解：（1）因为。
第八章 线性离散控制系统PPT课件
8.1 概述
本章讨论的离散控制系统可统一由图8-3来描述。
系统工作原理：1) 对偏差信号e(t)进行采样获得偏差脉冲序列 e*(t)(e(t0)、e(t1)、e(t2)、...)；2) 经控制器产生控制量脉冲序列u*(t) (u(t0)、u(t1)、u(t2)、...)直接作用于被控对象或者经保持器得到连续 控制量uh(t)再作用于被控对象；3) 所得对象的输出y(t)被反馈到输 入端与参考输入r(t)形成偏差信号e(t)。
4
8.1 概述
时间上离散的信号，其幅值可能是连续的，亦可能是 离散的。将时间上、幅值上都连续的模拟信号，转换 成时间上离散、但幅值上仍然连续的离散模拟序列信 号的过程，而这一过程就称为采样，又称为波形的离 散化过程，相应的控制系统则称为采样控制系统。 若由数字计算机实现控制，受计算机字长限制，还需 要进一步将幅值连续的理想化序列信号量化为数字序 列信号，进一步得到时间和幅值上都是离散的数字序 列信号，相应的控制系统则称为数字控制系统。
仿真设计法：是先用线性连续系统的分析和综合方 法设计校正环节，然后通过选择合适的采样周期将 连续校正环节离散化来实现离散校正。
离散设计法：是完全采用离散系统的分析和综合方 法来直接设计离散控制器。
12
8.2 信号采样与保持
8.2.1 信号采样 1. 采样信号的数学表示
1) 采样的形状多样：
对同一连续信号，采样方式和采样装置不同，所得的脉 冲序列的形状（包括高度和宽度等）也不一样。
采样结果可能为幅值恒 定而宽度正比于采样值 大小的脉冲调宽序列， 亦可能为幅值正比于采 样值而宽度恒定的脉冲 调幅序列，或者其他形 式的脉冲序列。
13
8.2 信号采样与保持
2) 脉冲序列的数学表达 当脉冲宽度相对于采样周期足够小，可统一将其近似为宽度 为零且冲量等于其面积的理想脉冲。数学上，采样信号f*(t)可 用连续信号f(t)与周期为Ts的单位脉冲序列来 Ts (描t ) 述。
Note-线性离散控制系统的分析与综合
第8章 线性离散控制系统的分析与综合8.1 引言随着微处理器和微计算机的出现和发展，数字控制器在系统中逐渐取代模拟控制器，成为控制系统的一个重要的组成部分，并得到了越来越广泛的应用。
在控制系统中，只要任何一个环节为采样开关或数字元器件，或者只要某处采集、传输或加工处理的信号是离散型的时间函数，则称该系统为离散时间控制系统，简称离散控制系统或采样控制系统。
若离散信号为脉冲序列，则称为脉冲控制系统；若离散信号为数字序列，则称为数字控制系统或计算机控制系统。
由于在离散控制系统中出现了离散型的信号，前面各章所介绍的适用于连续控制系统的各种分析和综合方法，在这里已不再适用，所以，必须另辟蹊径，寻求新的分析和综合方法，这正是本章所面临的主要任务和所要介绍的主要内容。
8.2 离散信号和离散控制系统前面各章介绍了连续控制系统理论，本章将介绍离散控制系统理论。
离散控制系统与连续控制系统之间的根本区别在于：在连续控制系统中的输入信号)(t r 、反馈信号)(t b 和偏差信号)(t e 都是连续型的时间函数；而在离散控制系统中则不然，在一般情况下，由于输入信号是离散型的时间函数，记为)(*t r ，所以，取自系统输出端的反馈信号，在和上述离散型输入信号进行比较时，也需要采用离散型的时间函数，记为)(t b *，这样，比较后得到的偏差信号就是离散型的时间函数，记为)(t e *，于是)()()(**t b t r t e -=*因此，在离散控制系统中，通过控制器对被控对象进行控制的直接控制作用乃是离散型的偏差信号)(t e *。
上述离散控制系统的方框图如图8-1所示。
在图8-1中，离散型的反馈信号)(t b *是由连续型的反馈信号)(t b *通过采样开关的采样而获得的。
采样开关经过一定的时间间隔T 重复闭合，每次闭合的持续时间为τ，且有τ<<T ，如图8-2所示。
图8-1 离散控制系统方框图 图8-2 离散反馈信号 图8-3 离散控制系统简化方框图在离散控制系统中， 采样开关重复闭合的时间间隔T 称为采样周期，而Tf s 1=和Tsπω2=分别称为采样频率和采样角频率。
高国燊《自动控制原理》(第4版)(名校考研真题 线性离散(时间)控制系统分析)
一、填空题1．离散系统输出响应的Z 变换为：()2320.3680.2642 1.6320.632z z C z z z z +=-+-则系统输出在前两个采样时刻的值为______，______。
[重庆大学()C nT ()0C =()C T =2006年研]【答案】0；0.3682．零阶保持器的传递函数是______，加入零阶保持器______会影响采样系统的稳定性。
[北京交通大学2009年研]【答案】；不1e Ts s--二、问答题1．如何判断离散系统的稳定性。
并图示说明之。
[东北大学研]答：由于Z 变换与拉普拉斯变换之间的映射关系为，其中T 为采样周期，在s平面内当系统稳定时所有特征根位于左半平面，映射到Z 平面中则是单位圆内，对应的映射关系如图8-1所示。
图8-1于是判断离散系统的稳定性时，只需判断其特征方程的根的模是否大于1，当其模大于1时，系统不稳定；模等于1时，系统临界稳定；当其模小于1时，系统稳定，为了能位于右半平面；位于左半平面；对应的映射关系如图8-2所示。
所示得到关于ω的特征方程，使用劳斯判据进行判断。
图8-22．线性定常离散系统的稳定性除了与系统结构参数有关之外，还与哪些因素有关？[南京航空航天大学2008年研]答：线性定常离散系统的稳定性除了与系统结构参数有关之外，还与采样周期T有关，当系统开环增益一定时，T越小，稳定性越好。
三、计算题1．先用Z变换法求解下面的微分方程，再求其终值e（∞）。
e（k＋2）＋3e（k＋1）＋2e（k）＝0，已知e（0）＝0，e（1）＝1。
[浙江大学研]解：将善分方程两沩讲行Z变换可以得到：将e（0）＝0，e（1）＝1代入整理可以得到：2．已知z变换求离散时间函数z（k）和采样函数[清华大学研]解：由对照典型函数的z 变换表可以得到即其中T为采样周期，为单位脉冲。
3．某离散系统如图8-3所示，试求其闭环脉冲传递函数[四川大学研]图8-3解：由题意，可以得到如下方程整理得到对式（3）两边进行z变换得到：（4）由两边进行Z 变换得到：（5）联立式（4），式（5），消去中间变量可以得到4．线性定常离散系统如图8-4所示，写出闭环系统的脉冲传递函数。
线性离散控制系统的分析和综合66页PPT
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11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
线性离散控制系统的分析和综合
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
离散时间系统分析
离散时间系统分析离散时间系统分析是指对离散时间信号和系统的特性进行研究和分析的过程。
离散时间信号是在时间上是离散的，而连续时间信号则是在时间上是连续的。
离散时间系统是指对离散时间信号进行输入输出变换的系统。
离散时间系统分析主要包括对离散时间信号和系统的表示、性质、分析和设计等方面的内容。
离散时间信号的表示离散时间信号可以通过数学方法进行表示和描述。
常用的表示方法包括序列表示法和函数表示法。
序列表示法是离散时间信号的一种常见表示方式，它将离散时间信号看作是一个序列，表示为一个有序的数值列表。
序列可以分为有限序列和无限序列两种。
有限序列表示了在有限时间内的信号取值，而无限序列表示了在无限时间内的信号取值。
函数表示法是另一种常用的离散时间信号的表示方式，它使用数学函数来描述信号的取值。
函数表示法更加灵活，可以表示各种复杂的离散时间信号，如周期序列、随机信号等。
离散时间系统的性质离散时间系统可以根据其性质进行分类和分析。
其中包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。
线性性是指系统的输出与输入之间存在线性关系。
如果系统满足输入信号的线性性质，那么对于任意输入信号x1(n)和x2(n)，以及对应的输出信号y1(n)和y2(n)，系统将满足以下性质：•线性叠加性：对于任意的实数a和b，有系统对于输入信号ax1(n)+bx2(n)的输出为ay1(n)+by2(n)。
时不变性是指系统的输出与输入之间的关系不随时间的变化而变化。
如果系统满足输入信号的时不变性质，那么对于任意输入信号x(n)和对应的输出信号y(n)，如果将输入信号延时d个单位时间，那么对应的输出信号将也会延时d个单位时间。
因果性是指系统的输出只取决于当前和过去的输入值，不受未来输入值的影响。
如果系统满足输入信号的因果性质，那么对于任意n的值，系统的输出信号y(n)只取决于输入信号x(n)及其过去的值。
稳定性是指系统的输出有界，不会无限增长。
如果系统满足输入信号的稳定性质，那么对于任意有界输入序列，输出序列也将是有界的。
第8章 线性离散时间控制系统
一阶保持器复现原信号的准确度与零阶保持器相比有所 提高。但由于在式(8-16)中仍然忽略了高阶微分,一阶保持器 的输出信号与原连续信号之间仍有不同。
第8章 线性离散时间控制系统 由式(8-16)可知,一阶保持器的响应可以分解为阶跃响应
和斜坡输入响应之和。将式(8-16)的微分形式变换成式(8-17) 的差分形式,对应的传递函数为式(8-18)。
第8章 线性离散时间控制系统
图8-6 零阶保持器输入信号与输出信号的关系
第8章 线性离散时间控制系统 下面推导零阶保持器的表达式。利用泰勒级数展开公式,
可以得到
如果略去含 Δt、(Δt)2等项,可得
第8章 线性离散时间控制系统 这就是零阶保持器的公式。由式(8-11)可得零阶保持器输出 信号的完整表达式为
第8章 线性离散时间控制系统
第8章 线性离散时间控制系统
8.1 信号采样与采样定理 8.2 信号保持器 8.3 离散系统的数学模型 8.4 离散系统的稳定性分析 8.5 离散系统的稳态误差 8.6 离散系统的动态性能 8.7 离散系统的校正
第8章 线性离散时间控制系统
8.1 信号采样与采样定理
8.1.1 概述 离散时间系统(简称离散系统)是指系统中全部或一部分
进而输入给计算机控制器。也就是说,采样后的离散信号必 须能够保留有原连续信号的完整或近似完整的信息。因此, 周期T 的设定非常重要。
采样定理(也叫Shannon定理)从理论上给出了必须以多 快的采样周期(或多高的采样频率)对连续信号进行采样,才能 保证采样后离散信号可以不失真地保留原连续信号的信息。 换句话说,采样定理给出了对采样周期的限定条件,即采样周 期要在多短时间之内,才能保证采样后的离散信号保留有采 样之前的连续信号的尽量多的信息。
自动控制原理(下)-第8章-线性离散控制系统
8.2 信号采样与恢复
在离散控制系统中，信号的采样过程将连续信号变换为 脉冲序列或数字序列，信号恢复过程将脉冲序列或数字序列 变换为连续信号。为了定量地研究离散控制系统，有必要对 信号的采样过程和恢复过程用数学形式加以描述。
8.2.3 信号恢复
零阶保持器的复域特性 1) 低通特性。零阶保持器具有 明显的低通特性，允许部分高频频 谱分量通过，其复现出的连续信号 与原来的信号是有差别的。
2) 相角滞后特性。加大了系统 的相角滞后，从而使闭环系统的稳 定性降低。
3) 传递函数为
gh
(t)
1(t )
1(t
T
)
Gh
(s)
L[ gh
数学描述：
x* (t) x(0) (t) x(T ) (t T ) x(2T ) (t 2T )
x(kT ) (t kT ) k 0
在数字式仪表或计算机中，离散信号x*(t)为一数字序列， 而数字序列可以看作是以数字表示其幅值的脉冲序列，它与 上述脉冲序列并没有本质区别。
8.2.2 采样定理
8.3.4 z反变换
例 已知 X (z) 10z
试求其z反变换。
(z 1)(z 2)
解 将X(z)的分子和分母都写成z-1的升幂形式
X
(z)
(z
10z 1)( z
2)
1
10z 1 3z 1 2 z 2
应用长除法得
X (z) 10z 1 30z 2 70z 3 对应的离散信号x*(t) 为
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h
15
开环脉冲传递函数的各种情况
连续环节串联
r*(t)
r(t) T
G1(s)
c(t) G2(s)
G (s)G 1(s)G 2(s)
G (z)Z [G 1(s)G 2(s)]G1G2(z)
h
16
连续环节之间存在同步采样开关
r*(t)
c1(t) c1*(t)
r(t) T
T G1(s)
c2(t) G2(s)
r(nT) 差分方程 c(nT)
离散时间系统
R(z)
G(z)
C(z)
离散系统输出信号 的 z 变换 C(z) 与输
入信号的 z 变换 R(z) 之比，称为离散系
统的脉冲传递函数，表示为：
R(z)
C (z)
G (z)
离散系统
C(z) G(z)
h R(z)
脉冲传函
11
➢说明
r*(t) r(t) T
T
h
6
2. 用z 变换法差分方程
(1) 已知差分方程和初始条件
n
m
aic(ki)bjr(kj)
i0
j0
c ( 0 ) , ,c ( k 1 ) ,r ( 0 ) , ,r ( k )
(2) 将方程两边作z变换，代入初始条件
n
m
Z [ a ic (k i)]c (0 ), ,c (k 1 ), Z [ b jr(k j)]r(0 ), ,r(k )
s s10
g(ksT )1(ksT )e1k0sT
G(z)k 0g(kTs)zkzz1zez10Ts z2(1(1ee101Ts0T)s)zze10Ts
h
14
例8-23：已知系统传递函数为
G(s)s2
s1 5s6
求脉冲传递函数 G (z) 。
解：
G (s)s2 s5 s1 6s 23s 12
G (z)z 2 e z 3 T sz e z 2 T s (z z ( z e 2 3 T e s )2 T z s( e e 3 2 T T s s))
i 0
j 0
得：
A (z)C (z)B (z)R (z)
(3)整理方程，写出输出变量的 z 变换 C(z)
B(z)
C(z) h R(z)
7
A(z)
(4) 将C(z)作z 反变换求出输出离散时间序列 y(k)
c(k)Z1[C(z)]Z1[B(z)R(z)] A(z)
例8-19：已知二阶差分方程和初始条件,试用
g (t) =L-1[G(s)] （3）将 g(t)采样，得离散化表达式 g (nT)
（4）由 z 变换的定义式求得脉冲传递函数
G (z)
h
13
例8-22：已知系统传递函数为 G(s) 10
s(s10)
求脉冲传递函数 G (z) 。
解： g(t) L1[G(s)] L1[ 10 ]
s(s 10) L1[1 1 ]1e10t
x (n ) 2 x (n 1 ) x (n 2 )
nxn n 1xn n 1xn 1
h
4
➢ 差分的方向：当前时刻为n
前向差分
xnx(n1)x(n)
nxn n 1xn 1 n 1xn
后向差分
xnx(n)x(n1)
nxn n 1xn n 1xn 1
h
5
➢ 差分方程：确定两个离散时间序列关系 的方程，表示为
s
c*(t) R(z)
C(z)
G(s)
c(t)
G(z)
连续环节
离散系统
输出为假想采样器
传递函数：线性环节传递函数是其脉响应函数 的拉氏变换
脉冲传递函数：线性环节及采样开关的组合体
的脉冲传递函数是线性环节脉冲响应的Z变换
h
12
由传函G(s)求取开环脉冲传函 G(z)步骤
（1）已知系统的传递函数G (s) （2）求取系统的脉冲响应函数 g (t)
c ( k n ) a n 1 c ( k n 1 ) a 1 c ( k 1 ) a 0 c ( k )
b m r ( k m ) b m 1 r ( k m 1 ) b 1 r ( k 1 ) b 0 r ( k ) ,n m
➢ 差分方程的求解
z 变换法
迭代法
差分 xnx(nT )T x[n (1)T]
忽略（T=1）
xnx(n)x(n1)
h
3
➢ 差分的阶：采样点间信号平均变化率的 不同称为差分的阶。
一阶差分 二阶差分
n阶差分
xnx(n)x(n1)
2xnxnxn1
[ x ( n ) x ( n 1 ) [ ] x ( n 1 ) x ( n 2 )]
§8.4 离散时间控制系统的数学模型
连续系统 数学模型
传递函数
离散系统 数学模型
脉冲 传递函数
h
1
• 差分方程 • 脉冲传递函数 • 状态变量(t) 微分方程 y(t)
连 续 时 间 系 统
x(nT) 差分方程 y(nT)
离 散 时 间 系 统
➢ 差分：两个采样点信息之间的微商即称为
3
…
yk
0
1 -3
7
…
yk+1
1
-3
7
-15 …
yk+2 -3
7
-15 31 …
y ( k ) 0 T ( t ) 1 ( t T ) 3 ( t 2 T ) 7 ( t 3 T )
h
10
3.开环脉冲传递函数
r(t) 微分方程 c(t)
连续时间系统
R(s) G(s)
C(s)
z变换法求差分方程的解c(n),n=0,1,2,…
c ( n 2 ) 3 c ( n 1 ) 2 c ( n ) 0
c(0)0, c(1)1
h
8
解：两边求z变换 Z [ c ( k 2 ) 3 c ( k 1 ) 2 c ( k ) ] 0即：
[ z 2 C ( z ) z 2 c ( 0 ) z c ( 1 ) ] 3 [ z C ( z ) z c ( 0 ) ] 2 C ( z ) 0
[z 2 C (z ) z ] 3 [z C (z ) ] 2 C (z ) 0
(z23z2)C(z)z
C(z)
z2
z 3z2
z
z 1
z
z 2
C (k ) Z 1 [C (z )] ( 1 )k ( 2 )k
h
9
迭代法求解
yk23yk12yk0 y0 0,y11
迭代式
yk23yk12yk
K
0
1
2
G ( z ) Z [ G 1 ( s ) Z [ ] G 2 ( s ) G ] 1 ( z ) G 2 ( z )
h
17
例8-24：比较下面两个系统的脉冲传递函数
有何差别。
T
1
(a) r(t)
s
10
c(t)
s 10
T
1T
10
(b) r(t)
c(t)
s
s 10
解：系统(a)
110 ( 1 e 1 T s0 )z G (z ) Z [ G 1 ( s )G 2 ( s ) ] Z [ss 1] 0 z 2 ( 1 e 1 T s0 )z e 1 T s0