横截面上切应力分布规律
横截面上切应力分布规律
F Fsmax 2
F
max
3 2
Fs A
32 2 bh
3 F 4 bh
h
Mmax
FL 4
FL
b
max
M max WZ
4 1 bh
2
6
max max
d z
t
b
工字形截面梁由腹板和翼缘组成（中间的矩形部分称 为腹板；上下两矩形称为翼缘）。翼缘和腹板上均存在 着竖向切应力，而翼缘上还存在着与翼缘长边平行的 水平切应力。 经理论分析和计算表明：横截面上剪力的（95～97） ％由腹板分担，而翼缘仅承担了剪力的（3～5）％， 并且翼缘上的切应力情况又比较复杂。为了满足实际 工程计算和设计的需要，仅分析腹板上的切应力。
Iz1 Iz a2A
例1 长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知
b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b
、c各点的正应力。
A
F
h6
a
B
z
C
b
h
l2
l2
h2
FL
c
b
a
M B ya IZ
1 FL h
2 bh
3
3
1.65MP（a拉 ）
b 0
简易的矩形竹结构桥
钢管混凝土拱桥中的混凝土小横梁
建筑阳台挑梁受力分析与破坏问题
1.挑梁属于悬臂结构。 2.挑梁工作环境：常常处于室外，面对雨水、二氧化碳等的 直接侵蚀，荷载存在不确定性。 3. 破坏形式：出现裂缝后极有可能进一步扩大，严重的将危 及建筑物的安全。
建筑阳台挑梁受力分析与破坏问题
工程力学梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件
三、T字型截面梁的切应力
T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的 狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切 应力仍用下式计算：
τ
FS
S
* z
I zb1
最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。
四、圆形及环形截面梁的切应力 圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在
中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为
M+dM
FS dx
σ
现假设用一水平截面将微段梁截 开，并保留下部脱离体，由于脱离 体侧面上存在竖向切应力τ ，根据 切应力互等定理可知，在脱离体的
顶面上一定存在切应力τ '，且 τ '=τ ,如图所示。
dx τ
z y τ' τ
y dx
以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧 面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应力的 总和，如图所示。
翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀 分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式 相同，即
τ
FS
S
* z
Izδ
式中FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼 缘边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的 惯性矩；δ为翼缘的厚度。
水平切应力的大小沿水平方向的分布如图所示。实 践和理论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力 的方向可用图c表示。从图中表示切应力方向的许多小 箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，从上 （或下）翼缘的两端开始，共同朝向中间流动，到腹 板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上） 翼缘处再分为两股向两侧流动。对所有的薄壁杆，其 横截面上切应力的方向，都有这个特点。这种现象称 为切应力流。掌握了切应力流的特性，则不难由剪力 的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。
梁横截面上的切应力
弯曲应力\梁横截面上的切应力
梁横截面上的切应力
在横力弯曲时，梁的横截面上有剪力FS，相应地在横截面上存
在切应力。本节以矩形截面梁为例，对切应力计算公式进行推导，
并对其他几种常用截面梁的切应力计算作简要介绍。
1.1 矩形截面梁横截面上的切应力
1. 横截面上切应力的计算公式
图a所示的简 支梁是一个矩形
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力 工字形截面上的最大切应力可按下式计算：
max
FS Af
式中：FS—横截面上的剪力； Af —腹板的面积。
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力
2．圆形截面梁和薄壁圆环形截面梁 圆形截面和薄壁圆环形截面分别如图a、b所示。可以证明，梁 横截面上的最大切应力均发生在中性轴上各点处，并沿中性轴均匀 分布，其值分别为
1.2 其他形状截面梁横截面上的切应力
1. 工字形截面梁
工字形截面由上下翼缘和中 间腹板组成 （图a）。腹板是狭 长矩形，所以腹板上的切应力可 按矩形截面的切应力计算公式进 行计算，最大切应力仍然发生在 中性轴上各点处，并沿中性轴均 匀分布。在腹板与翼缘交接处， 由于翼缘面积对中性轴的静矩仍 然有一定值，所以切应力较大。 腹板上的切应力接近于均匀分布， 如图 b所示。翼缘上的切应力的 数值比腹板上切应力的数值小许 多，一般忽略不计。
A*
Iz
Iz
A*
ydA
M
FSdx Iz
S
* z
F3 bdx bdx
将F1、 F2和F3代入平衡方程，得
M
FSdx Iz
S
* z
M Iz
S
* z
bdx
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力
梁横截面上的应力
2）计算C截面上的最大拉应力和最大压应力。
C截面上的最大拉应力和最大压应力为
tC
M C y2 I
2.5103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
Z
28.8106 P a 28.8MP a
cC
M
B
y 1
Iz
2.5 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
17.0 106 P a 17.0MP a
3）计算B截面上的最大拉应力和最大压应力。
B截面上的最大拉应力和最大压应力为
tB
M
B
y 1
Iz
4 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
27.2 106 P a 27.2MP a
cB
M B y2 Iz
4 103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
【例4.17】 求图（a，b)所示T形截面梁的最大拉 应力和最大压应力。已知T形截面对中性轴的惯性矩 Iz=7.64106 mm4，且y1=52 mm。
【解】 1）绘制梁的弯矩图。
梁的弯矩图如图（c）所示。 由图可知，梁的最大正弯矩发 生在截面C上，MC=2.5kNm; 最 大负弯矩发生在截面B上，MB= －4kNm。
入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正（拉）
或负（压）。即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉 应力，凹入边的应力为压应力。
（2）横截面上正应力的分布规律和最大正应力 在同一横截面上，弯矩M 和惯性矩Iz 为定值，因此
由公式可以看出，梁横截面上某点处的正应力σ与该点到 中性轴的距离y成正比，当y=0时，σ=0，中性轴上各点处 的正应力为零。中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。离 中性轴最远的上、下边缘y=ymax处正应力最大，一边为最 大拉应力σtmax，另一边为最大压应力σcmax。
扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
矩形弯曲应力计算公式
材料力学笔记之——弯曲切应力、梁的强度条件横力弯曲的梁横截面上既有弯矩又有剪力，所以横截面上既有正应力又有切应力。
下面，讨论几种常见截面梁的弯曲切应力。
矩形截面从发生横力弯曲的梁上截取长度为dx的微段，该段梁上没有载荷作用，微段两侧截面上的剪力相等，但方向相反。
右侧截面上的弯矩相对左侧截面有增量，因为弯矩不等，因而两截面上的正应力也不相同。
对于狭长矩形截面，由于梁的侧面上无切应力，根据切应力互等定理，截面上两侧边各点处的切应力与边界相切，即与边界平行，梁发生对称弯曲，对称轴y轴上的切应力一定沿着y方向，在狭长截面上切应力沿宽度方向变化不大。
于是，关于横截面上切应力的分布规律，作以下假设：横截面上各点的切应力的方向都平行于剪力；切应力沿截面宽度均匀分布，即与中性轴平行的横线上各点的切应力大小相等。
截面高宽比大于2的情况下，以上述假定为基础得到的解与弹性理论的精确解相比，有足够的精确度。
根据切应力互等定理，横截面垂直的纵向截面上应存在与横截面上大小相等的切应力。
沿矩中性轴距离y的纵向面把微段截开，取纵向面下侧微元，受力如图所示。
左侧截面上正应力的合力为右侧截面上正应力的合力为显然这两个合力大小不等，纵向截面上必存在一个沿轴向的力使微段保持平衡，这个力为切应力的合力，这也证明了纵向截面上存在切应力，由于d x 是小量，则设纵向面的切应力均匀分布根据平衡条件即其中由切应力互等定理及剪力与弯矩之间的微分关系可得其中：b为截面上矩中性轴为y的横线的宽度，对于矩形截面为常数；I z为整个横截面对中性轴的惯性矩；S z*为横截面上矩中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩；F s为横截面上的剪力。
其中代入切应力计算公式切应力沿截面高度为抛物线分布，当y=0时，即中性轴处有截面上的最大切应力角应变为可见角应变大小沿截面高度也为抛物线分布，此时横力弯曲时横截面翘曲形状如下图，验证了横力弯曲变形不满足平面假设。
剪力不变的横力弯曲，相邻横截面上的切应力相同，翘曲程度也相同，纵向纤维的长度不因截面翘曲而改变，因此不会引起附加的正应力。
材料力学第三章答案
材料力学第三章答案材料力学第三章答案【篇一：材料力学习题册答案-第3章扭转】是非判断题二、选择题0 b 2t?d316?1?? ? b wp??d316?1?? ?2c wp??d316?1?? ? d w3p??d316?1?? ?46.对于受扭的圆轴，关于如下结论：①最大剪应力只出现在横截面上；②在横截面上和包含杆件的纵向截面上均无正应力；③圆轴内最大拉应力的值和最大剪应力的值相等。
现有四种答案，正确的是（ a ）a ②③对b①③对c①②对d 全对7.扭转切应力公式?mnp?i?适用于（d）杆件。
pa 任意杆件；b 任意实心杆件；c 任意材料的圆截面；d 线弹性材料的圆截面。
9.若将受扭实心圆轴的直径增加一倍，则其刚度是原来的（ d a 2倍； b 4倍； c 8倍； d 16倍。
三、计算题1.试用截面法求出图示圆轴各段内的扭矩t，并作扭矩图2.图示圆轴上作用有四个外力偶矩me1 =1kn/m, me2 =0.6kn/m,）me3= me4 =0.2kn/m, ⑴试画出该轴的扭矩图；⑵若me1与me2的作用位置互换，扭矩图有何变化？(1)(2)解：me1与me2的作用位置互换后，最大扭矩变小。
3.如图所示的空心圆轴，外径d=100㎜，内径d=80㎜，m=6kn/m,m=4kn/m.请绘出轴的扭矩图，并求出最大剪应力解：扭矩图如上，则轴面极惯性矩id4?d4)(1004?804)(10?3)4p=?(32??32?5.8?10?6m4㎜，l=500tr4?103?50?103ip5.8?104．图示圆形截面轴的抗扭刚度为g ip，每段长1m,试画出其扭矩图并计算出圆轴两端的相对扭转角。
ab+ad=cdab=t1l?90?gipgipad=bc=t2l100gipgipcd=t3l40gipgip?90?100?4050?gipgip【篇二：《材料力学》第3章扭转习题解】[习题3-1] 一传动轴作匀速转动，转速n?200r/min，轴上装有五个轮子，主动轮ii输入的功率为60kw，从动轮，i，iii，iv，v依次输出18kw，12kw，22kw和8kw。
一、横截面上的切应力
一、横截面上的切应力实心圆截面杆和非薄壁的空心圆截面杆受扭转时，我们没有理由认为它们在横截面上的切应力象薄壁圆筒中那样沿半径均匀分布导出这类杆件横截面上切应力计算公式，关键就在于确定切应力在横截面上的变化规律。
即横截面上距圆心τp任意一点处的切应力p与p的关系为了解决这个问题，首先观察圆截面杆受扭时表面的变形情况，据此做出内部变形假设，推断出杆件内任意半径p处圆柱表面上的切应变γp，即γp与p的几何关系利用切应力与切应变之间的物理关系，再利用静力学关系求出横截面上任一点处切应力τp的计算公式实验表明：等直圆杆受扭时原来画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状均不变，而且在小变形情况下，圆周线之间的纵向距离也不变图8-56扭转时的平面假设：等直圆杆受扭时它的横截面如同刚性圆盘那样绕杆轴线转动显然这就意味着：等直圆杆受扭时，其截面上任一根沿半径的直线仍保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度φ图8-57现从等直圆杆中取出长为dx的一个微段，从几何、物理、静力学三个方面来具体分析圆杆受扭时的横截面上的应力图8-581.几何方面小变形条件下dφ为dx长度内半径的转角，γ为单元体的角应变图8-59或因为dφ和dx是一定的，故越靠近截面中心即半径R越小，角应变γ也越小且γ与R成正比例(或线性关系)由平面假设：对同一截面上各点θ表示扭转角沿轴长的变化率，称为单位扭转角，在同一截面上其为常数所以截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离p成正比p为圆截面上任一点到轴心距离，R为圆轴半径图8-60上式为切应力的变化规律2.物理方面(材料在线性弹性范围内工作)由剪切胡克定律由于G和为常数，所以上式表明受扭等直圆杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径p 的圆周上各点处大小相同，但它们随p做线性变化同一横截面上的最大切应力在横截面的边缘处。
这些切应力的方向均垂直于各自所对应的半径，指向与扭矩对应3.静力学方面前面已找出了受扭等直圆杆横截面上的切应力τp随p变化的规律，但还没有把与扭矩T联系起来。
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任课 教师
课 题
教学 方法
教学 目的
陈德先
授课 班级
12建筑班
梁的弯曲正应力
授课 时间
2013/
课型
学 时
2
面授
讲练结合
掌握梁弯曲时横截面正应力分布规律；掌握正应力的计 算方法。
教学 正应力分布规律；正应力的计算。 重点
教学 横截面上正应力的公式的推导 难点 解决办法：理论推导→定性分析
中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条 形心轴。且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯 曲变形时，各横截面绕中性轴转动。
3、横截面上正应力分布规律 1）、梁横截面上只有正应力σ而无切应力τ； 2）、受拉区 : 拉应力，受压区 : 压应力；中性轴上应力为零； 3）、沿截面高度线性分布，沿截面宽度均匀分布； 4）、最大正应力发生在距中性轴最远处，即截面边缘处。
M>0时：下侧受拉，中性轴以下σ >0，以上σ <0 M<0时：上侧受拉，中性轴以下σ <0，以上σ >0
4、惯性距的确定 （1）简单图形（熟练掌握）
惯性矩
IZ
bh3 12
Iy
hb3 12
IZ
IY
d 4
64
弯曲截 面系数
Wz
bh2 6
Wy
hb2 6
Wz
Wy
d 3
32
Iz
Iy
I y1 I y b2 A
Iz1 Iz a2 A
例1 长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知
b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、
c各点的正应力。
A
F
h6
a
B
z
C
b
h
l2
l2
h2
FL
c
b
a
M B ya IZ
1 FL h
2 bh3
64
(D4
-
d4)
D4 (1- 4 ) 64
Wz
பைடு நூலகம் Wy
D3 32
(1- 4 )
式中: d D
（2）型钢------查型钢表（掌握）
（3）组合图形（了解）
整个图形对某一轴的惯性矩（等于各个分图形对同一轴的惯性 矩之和。
m
Iz Izi , i1
m
I yi i1
①正应力小于比例极限σ p；
②精确适用于纯弯曲梁；
③横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成
立,但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）
时上述公式近似成立。
④公式虽然是由矩形截面梁推导出来的，但它也适用 于所有横截面有竖向对称轴的梁。例如圆形、工字形、 T形、圆环形等。
使用此公式注意：公式中的M、y都用绝对值，σ 的正负 由M的正负判断
3
1.65MPa
（拉
）
b 0
12
c
M B yc IZ
1 FL h 22 bh3
2.47MPa
（压）
MB
1 2
FL
IZ
bh3 12
例2 图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度l＝
2m。yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求弯
注：若截面对称于中性轴，则最大拉应力等于最大压应力
σ-max
M
M
M
σmax
max
M
空间分布图
中性轴
max
平面分布图
二、正应力的计算公式(推导略)
1、横截面上任意点正应力计算
My
IZ
M为横截面的弯矩 y为计算点到中性轴的距离 Iz截面对Z轴的惯性矩，与 截面形状和尺寸有关 m4 ,
2、横截面m上m4的最大正应力
高速公路上常见的钢筋混凝土T梁桥
高速公路上常见的钢筋混凝土箱梁桥
简易的矩形竹结构桥
钢管混凝土拱桥中的混凝土小横梁
建筑阳台挑梁受力分析与破坏问题
1.挑梁属于悬臂结构。 2.挑梁工作环境：常常处于室外，面对雨水、二氧化碳等的 直接侵蚀，荷载存在不确定性。 3. 破坏形式：出现裂缝后极有可能进一步扩大，严重的将危 及建筑物的安全。
建筑阳台挑梁受力分析与破坏问题
• 挑梁的受力特征及破坏形态
1.受力特征：挑梁悬臂部分为负弯矩，梁的上侧受拉， 在设计时，纵向受力钢筋应布置在梁的上侧。 2.破坏形式：挑梁倾覆破坏；挑梁下砌体局部受压破坏。
拉压杆 连接件
轴 梁
回顾与比较
内力
应力
轴力
FN
A
F
F
剪力
=FＱ/A
扭矩 剪力和弯矩
t
max
M y1 IZ
c
max
M y2 IZ
当中性轴是横截面的对称轴时：
若：y1 y2 ymax
则
t
max
c
m a x
max
max
M ymax IZ
M
WZ
Wz
Iz y max
Wz 称为抗弯截面系数 与截面形状和尺寸有关
M3 ，mm3
3、公式适用范围（了解）
15.12MPa
（选学）例3 试计算图示简支矩形截面木梁平放与
竖放时的最大正应力，并加以比较。
q 2kN m
200
100
各纵向纤维之间互不挤压。纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态 。
（ 每根纤维相当于一根拉杆或一根压杆） 3）、各纵向纤维的变形与它在梁横截面宽度上的位置无关，即在梁 横截面上处于同一高度处的纵向纤维变形都相同。
中性层
Z
中性轴
y
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层。
F
F
mn
１、实验现象
1）、变形前互相平行的纵向直线 变形后变成弧线，且凹边纤维缩 短、凸边纤维伸长。
mn
2）、变形前垂直于纵向线的横向 线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
2、假设
1）、平面假设：变形前杆 件的横截面变形后仍为平面。
2.）、单向受力假设：
矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
F
y
A
l 2
B
l 2
150
50
96.4
z
200
C
M max
FL 4
16kNm
ym ax 200 50 - 96.4 153.6mm
ym- ax 96.4mm
50
max
Mym ax IZ
24.09MPa
max
Mym- ax IZ
T
IP
？
一、梁横截面上的正应力分布规律
变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯曲称为平面弯曲
（工程中最常见、最简单的弯曲形式） 纯弯曲
为了研究方便起见，将平面弯曲分为
F
F
剪切弯曲（横力弯曲）
a
a
A
B
F
F Fa
F
纯弯曲：梁受力弯曲后，
如其横截面上只有弯矩而无剪力， 这种弯曲称为纯弯曲。
纤维是天然或人工合成的细丝状物质