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信号与系统第四章连续系统的频域分析.ppt
2e
j ( 9 t ) 4
4e
j ( 6 t ) 2
6e
j ( 3 t ) 4
16 6e
j (3 t ) 4
4e
j (6 t ) 2
2e
j (9 t ) 4
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲， 其周期为T，如图所示。求频谱。
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多， 即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完 备正交函数集），均方误差为零。此时有：
t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数 集中分解的各正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和:
A0 = a0
An a b
2 n
2 n
an An cosn
bn An sin n
bn n arctan an
A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信 号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n= – n，则上式写为：
A0 1 1 j n jn t j n jn t An e e An e e 2 2 n1 2 n 1
令 A0 A0e
j 0
j ( 9 t ) 4
4e
j ( 6 t ) 2
6e
j ( 3 t ) 4
16 6e
j (3 t ) 4
4e
j (6 t ) 2
2e
j (9 t ) 4
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲， 其周期为T，如图所示。求频谱。
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多， 即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完 备正交函数集），均方误差为零。此时有：
t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数 集中分解的各正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和:
A0 = a0
An a b
2 n
2 n
an An cosn
bn An sin n
bn n arctan an
A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信 号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n= – n，则上式写为：
A0 1 1 j n jn t j n jn t An e e An e e 2 2 n1 2 n 1
令 A0 A0e
j 0
信号与系统分析PPT电子教案第四章连续时间系统的复频域分析
(ansn an1sn1 a1s a0 )Y (s) (bmsm bm1sm1 b1s b0 )F (s)
n1
Ai (s) y(i) (0 ) i0
• 可见,时域的微分方程通过取拉氏变换 化成复频域的代数方程,并且自动地引入 了初始状态。响应的拉普拉斯变换为
n1
Y (s)
yzi (t) L1[Yzi (s)] 5eet 3e2t , t 0
系统的全响应 y(t) yzs (t) yzi (t) 3 et 2e2t , t 0
或直接对Y(s)取拉氏反变换,亦可求得全响应。 y(t) L1[Y (s)] 3 et 2e2t , t 0
直接求全响应时,零状态响应分量和零输 入响应分量已经叠加在一起,看不出不同 原因引起的各个响应分量的具体情况。 这时拉氏变换作为一种数学工具,自动引 入了初始状态。简化了微分方程的求解。
an
d n y(t) dt n
an1
d n1 y(t) dt n1
a1
dy(t) dt
a0 y(t)
bm
d m f (t) dt m
bm1
d
m1 f (t) dt m1
b1
df (t) dt
b0
f
(t)
对上式两边取拉普拉斯变换,并假定f(t)是因 果信号（有始信号），即t<0时,f(t)=0,因而
f (0 ) f (0 ) f (0 ) f (n1)(0 ) 0
零、极点图
线性系统的拉氏变换分析法
拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具, 它将描述系统的时域微积分方程变换为s域 的代数方程,便于运算和求解;同时,它将系统 的初始状态自然地含于象函数方程中,既可 分别求得零输入响应、零状态响应,也可一 举求得系统的全响应。
n1
Ai (s) y(i) (0 ) i0
• 可见,时域的微分方程通过取拉氏变换 化成复频域的代数方程,并且自动地引入 了初始状态。响应的拉普拉斯变换为
n1
Y (s)
yzi (t) L1[Yzi (s)] 5eet 3e2t , t 0
系统的全响应 y(t) yzs (t) yzi (t) 3 et 2e2t , t 0
或直接对Y(s)取拉氏反变换,亦可求得全响应。 y(t) L1[Y (s)] 3 et 2e2t , t 0
直接求全响应时,零状态响应分量和零输 入响应分量已经叠加在一起,看不出不同 原因引起的各个响应分量的具体情况。 这时拉氏变换作为一种数学工具,自动引 入了初始状态。简化了微分方程的求解。
an
d n y(t) dt n
an1
d n1 y(t) dt n1
a1
dy(t) dt
a0 y(t)
bm
d m f (t) dt m
bm1
d
m1 f (t) dt m1
b1
df (t) dt
b0
f
(t)
对上式两边取拉普拉斯变换,并假定f(t)是因 果信号（有始信号），即t<0时,f(t)=0,因而
f (0 ) f (0 ) f (0 ) f (n1)(0 ) 0
零、极点图
线性系统的拉氏变换分析法
拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具, 它将描述系统的时域微积分方程变换为s域 的代数方程,便于运算和求解;同时,它将系统 的初始状态自然地含于象函数方程中,既可 分别求得零输入响应、零状态响应,也可一 举求得系统的全响应。
信号与系统PPT教学课件-第4章 信号的频域分析(一)
x(t)
a0 2
n1
An
cos n0t
n
其中 An an2 bn2 n arctan bn an
a0/2称为信号的直流分量，
An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。
12
4.1.1 周期信号的Fourier级数表示
4. 对称特性
(1) 纵轴对称信号 ~x(t) ~x(t) ~x (t)
2. 掌握连续周期信号、连续非周期信号、离散周期信号、离 散非周期信号的频域分析方法，从数学概念、物理概念及 工程概念理解信号时域与频域的关系。
3. 掌握常见连续时间信号的频谱，以及傅里叶变换的基本性 质、物理含义及应用。
4. 深刻理解和灵活应用时域抽样定理和频域抽样定理。 5. 能够利用MATLAB进行信号的频域分析。
~x (t) 不连续时，|Cn|按1/n 的速度衰减 ~x (t)连续而其一阶导数不连续时，|Cn|按1/n2的速度衰减
29
4.1.2 周期信号的频谱
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号
的有效频带宽度,即
B
2π
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B 越大。
A
t
T0 T0 / 2 0
T0 / 2 T0
an
2 T0
T0 T0
2 2
x(t)
cos(n0t)dt
4 T0
T0 0
2
x(t) cos(n0t)dt
bn
2 T0
T0 T0
2 2
x(t) sin(n0t)dt
0
纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中
西安电子科技大学信号与系统课件ppt-第4章___连续系统的频域分析(共102张PPT)
n1
1 2
An{[cos(n0t
n)
j sin(n0t
n )]
[cos(0t n ) j sin(n0t n )]}
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
n)
j sin(n0t
n )]
1 2
An [cos(0t
n)
j sin(n0t
n )]
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
第4章 连续系统的频域分析
第4章 连续(liánxù)系统的频域分析
4.1 信号的正交分解与傅里叶级数
4.2 信号的频谱
4.3 傅里叶变换的性质
4.4 线性非时变系统的频域分析(fēnxī)
4.5 傅里叶变换计算机模拟举例
《 信号与线性系统》
第一页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
4.1 信号的正交分解(fēnjiě)与傅里叶级数
f (t)sin(2 nf )dt
bn
2 T
2 0
f (t) cos(2 nf )dt
c 2 2 f (t)dt T0
(4―7) (4―8) (4―9)
《 信号与线性系统》
第八页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
根 据 (gēnjù) 三 角 函 数 的 运 算 法 则 , 式 (4―6) 还 可 写 成 式
f (t) 1 F ( )e j td
2
(4―27)
《 信号与线性系统》
第二十六页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
式(4―24)和(4―27)是非常重要的一对式子,重写如
下(rúxià),并称前式为f(t)的傅里叶变换,后式为函数F(ω)的
1 2
An{[cos(n0t
n)
j sin(n0t
n )]
[cos(0t n ) j sin(n0t n )]}
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
n)
j sin(n0t
n )]
1 2
An [cos(0t
n)
j sin(n0t
n )]
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
第4章 连续系统的频域分析
第4章 连续(liánxù)系统的频域分析
4.1 信号的正交分解与傅里叶级数
4.2 信号的频谱
4.3 傅里叶变换的性质
4.4 线性非时变系统的频域分析(fēnxī)
4.5 傅里叶变换计算机模拟举例
《 信号与线性系统》
第一页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
4.1 信号的正交分解(fēnjiě)与傅里叶级数
f (t)sin(2 nf )dt
bn
2 T
2 0
f (t) cos(2 nf )dt
c 2 2 f (t)dt T0
(4―7) (4―8) (4―9)
《 信号与线性系统》
第八页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
根 据 (gēnjù) 三 角 函 数 的 运 算 法 则 , 式 (4―6) 还 可 写 成 式
f (t) 1 F ( )e j td
2
(4―27)
《 信号与线性系统》
第二十六页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
式(4―24)和(4―27)是非常重要的一对式子,重写如
下(rúxià),并称前式为f(t)的傅里叶变换,后式为函数F(ω)的
信号与线性系统分析 第4章 课件
0
t
−0.5
0.5 f(t)
0
t
13
半波整流波形
-T -T -T -T
f(t) F
f(-t)
T
t
F
fod(t)
T
t
F
T
t
F fev(t)
T
t
14
全波整流信号 f1(t)=E|sin0t|
f1(t) E
-T
Tt
a n T 4 0 T 2 f ( t ) cn o t ) d s 4 T ( t E 0 T 2 s i0 t n ) cn ( o t ) d s( t
4 T E 0 T 2 s i0 t n )c( n o 0 t) s d(t (令 0 )
2 E 1 cn o )s(
n 2 1
( n 0, 1 ) ,2,
f1 (t) 2 E 1 3 2 c2 o 0 ts ) 1 ( 2 c5 4 o 0 ts ) (
15
16
• f(t)为奇谐函数：将f(t)移动T/2后，与原波形反相， 即对称于横轴 f(t)＝−f(tT/2)
f(t) 1
-T
Tt
奇谐函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波，不含 偶次谐波。
f ( t ) a 1 c o t ) a s 3 c (3 o t ) s a 5 c (5 o t ) s ( b 1 s it ) n b 3 s (3 i t n ) b 5 s (5 i t n ) (
19
• 傅里叶级数小结：
f(t) a 2 0 n 1 a n co n t) s n ( 1 b n sin n t)(
f(t)A 2 0n 1A nco n s t＋ ( n)
信号与系统第四章-连续信号复频域分析
j
0
（可以用复平面虚轴上的连续频谱表示） 实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正
弦分量 d cost 之和。 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
F ( )
f (t )e jt dt
ZB
3. 拉普拉斯变换
2 j f (t ) F ( s)
称 为衰减因子； e- t 为收敛因子。 返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
取 f(t)e- t 的傅里叶变换：
F [ f (t )e
t
]
f (t )e
t jt
e
f (t )e ( j )t dt dt
它是 j的函数，可以表示成
拉普拉斯变换（复频域）分析法 – 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉氏变换的优点： (1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应 或全响应。 (2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需 要了解 t=0- 时的情况就可以了。 (3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ~ ，复频域变量 s 的取 值范围为复平面( S 平面)的一部分。 j S 平面 当 >0 时， f(t)e- t 绝对收敛。
ZB
按指数规律增长的信号：如 e t ，0 =
比指数信号增长的更快的信号：如 e 或t t 找不到0 ， 则此类信号不存在拉氏变换。
信号与系统分析第四章 连续时间系统的频域分析
(4.5)
Y(j)
H(j) F(j)
()y()f()
第四章 连续时间系统的频域分析
可见, |H(jω)|是角频率为ω的输出与输入信号幅度之 比, 称为系统的[HTH]幅频响应; φ(ω)是角频率为ω的输 出与输入信号的相位差, 称为系统的相频响应。 由于 H(jω)是h(t)的傅里叶变换, 因而当h(t)为实函数时, 由傅 里叶变换的性质可知, |H(jω)|关于ω偶对称, φ(ω) 关于ω 奇对称。
(4.1)
第四章 连续时间系统的频域分析
设系统的初始状态为零, 则y(t)为系统的零状态响应, 对上式两边取傅里叶变换, 并令 Yzs (jω)=F［y(t)］, F(jω)=F［f(t)］, 由时域微分性质, 可
[ j) ( n a n 1 ( j) n 1 a 1 ( j) a 0 ] Y z ( j s ) [ b m ( j) m b m 1 ( j) m 1 b 1 ( j) b 0 ] F ( j)
第四章 连续时间系统的频域分析
本章将讨论连续时间系统的频域分析。 系统的频 域分析就是把系统的激励和响应的关系应用傅里 叶变换从时域变换到频域, 在频域中求系统的响应或 分析系统的特性。 利用频域分析法求系统响应, 是 通过运用傅里叶级数或傅里叶变换, 将信号分解为一 系列正弦分量或虚指数信号(ejωt)之和或积分, 并将这 些单元信号作用于系统所得的响应进行叠加, 从而得 到完整的系统响应。
系统函数表征了系统的频域特性, 是频域分析的关 键。 系统函数的求解方法有如下几种:
第四章 连续时间系统的频域分析
(1) 若系统由微分方程给出, 则可以对微分方程两边 取傅里叶变换, 按照式(4.3)直接求取;
(2) 若给定系统的冲激响应, 则可以对其做傅里叶变 换来求取;
第04章 连续时间信号与系统的频域分析 课件
送信号而进行数据压缩，也需要先将信号
用三角函数展开式表示，然后只发送那些
振幅较大的正弦分量，较小振幅的正弦分
量对信号没有实质性贡献就不用发送，从 而可以加快信号传输的速度。
4.1.2周期信号的傅里叶级数 1.傅里叶级数的三角形式 2.频谱 3.傅里叶级数的复指数形式 4.两种形式间的关系
图4.9 直流信号及其频谱
3.单边指数信号
图4.10 单边指数信号及其频谱
4. 矩形脉冲
图4.11 矩形脉冲信号及频谱
5. 符号函数
图4.12 符号函数及其频谱
6. 单位阶跃信号
图4-13 阶跃信号及其频谱
4.3 傅里叶变换的性质
通过前面的学习我们知道，任一信号 可以有两种表示方法：时域表示x(t)和频域 表示 X(ω) 。对信号的时域与频域之间的对 应关系以及转换规律有一个深入的理解， 将会对实际的信号分析带来方便。为此， 我们有必要讨论一下傅里叶变换的基本性 质及其应用。
4.1 周期信号的傅里叶分析
4.1.1 周期信号表示为正弦信号的
线性组合
如果一个信号是周期的，那么对一切t， 存在某个正值的T1，有
x(t)=x(t+T1)
正弦信号就是一个典型的周期信号
x(t)=sin(ω1t)
其中 ω1=2π/T1 称为基波角频率。以此 为基础的一个正弦信号集可表示为
n(t)=sin(nω1t) n=0，1，2，…
第4章 连续时间信号与系统的频域分析
4.1 周期信号的傅里叶分析 4.2 非周期信号的傅里叶变换 4.3 傅里叶变换的性质 4.4 周期信号的傅里叶变换 4.5 系 统 的 频 域 分 析 4.6 连续时间信号的时域抽样 4.7 用MATLAB进行连续时间信号与系统的频域分析
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jt
1 j sgn()
t
例3 求t的频谱函数
解 (t) j
jt 2 () 2 ()
t j2 () 例9
例4 求Sa(t)的频谱函数
解
g
(t )
Sa(
2
)
Sa(t
2
)
2g
()
2g
()
2Sa(t) 2g2 ()
Sa(t) g2 ()
Sa(t)
1
g2 ()
2 0 2
t
10 1
四．尺度变换性质
若f t为偶函数 则F jt 2πf
证明：
f (t ) 1 F ( j )e jt d
2
f (t) 1 F ( j)e jt d
2
f () 1 F ( jt)e jtdt 2f () F( jt)e jtdt
2
F jt 2πf
若f (t) F( j) 则F jt 2πf
幅度频谱无变化，只影响相位频谱。
时移加尺度变换
相移t0
右 左
t0 t0
若f (t) F( j)
则f at b
1
F
j
e
j
b a
a a
例5 已知f (t) F( j),
则f (1 2t)
f (1 2t)
f (1 2t)
f (1 2t)
1
F
j
e
j
2
2 2
1
F
j
e
j
2
2 2
1
F( j) jG( j) j[Rg () jX g ()] jRg ( ) X g ( )
X () R( ) R() R() X () X () F( j) F( j) ,() ()
F ( j) F *( j)
三．对称性
1．性质 若f (t) F( j) 则F jt 2πf
•了解特性的内在联系； •用性质求F(ω)； •了解在通信系统领域中的应用。
主要内容
• 线性 • 奇偶性 • 对称性 • 尺度变换 • 时移特性和频移特性 • 卷积定理 • 微分和积分特性 • 能量谱与功率谱
一．线性性质
若f1(t) F1( j) , f2(t) F2( j)
则a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1( j) a2F2 ( j)
F
j
e
j
2
2 2
1
F
j
e
j
2
2), 求f1(t)、f2 (t)的傅里叶变换。
f (t)
f1(t)
f2 (t)
1
1
1
1 0 1 t 2
0
2 t 1 0 1 t
1
1
解 f (t) g2 (t) 2Sa()
f1(t) f (t 1) f (t 1)
0
F( j)是的实、偶函数.
若f(t)为t的实、奇函数，即 f (t) f (t)
F( j) j f (t)sin( t)dt j2 f (t)sin( t)dt jX ()
0
F( j)是的虚、奇函数.
2. 若f ( t ) F( j )，则f ( t ) F( j )
证明：由定义 F f ( t ) f ( t )e j t d t F( j )
复习
F( j) f (t)e jtdt f (t) 1 F ( j)e jtd
2
g
(t)
Sa
2
sgn( t) 2
j
e t (t) 1 , 0 j
(t) 1
E 2π E
(t) j
§4.5 傅里叶变换的性质
意义
傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
F ( j ) F ( j ) ,( ) ( )
F( j) R2 () X 2 ()
() arctan X () R()
F( j ) f ( t )cost dt j f ( t ) sint dt
若f(t)为t的实、偶函数，即 f (t) f (t)
F( j) f (t) cos( t)dt 2 f (t) cos( t)dt R()
F1
j
2Sa()(e j e j4Sa() sin( )
j ) j4
若f ( t
) F(
j
),则f at
1 a
F
j ,a为非零常数
a
证明 板书
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
( 3 ) a 1 f t F j F j
时域倒置，频域反相
next
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
back
f t
增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。
说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时 为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以 展宽频带为代价。
五．时移特性
若f (t) F( j), 则f (t t0 ) F( j)e jt0
证明 板书
若F( j) F( j) ej() , 则f (t t0 ) F( j) ej() t0
E
F
E
o t
2
2
f t 2
E
o
t
2π o 2π
2E 2F 2
π π
o
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频 带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。
（2）a>1 时域压缩，频域扩展。
back
f 2t
E
o
t
44
1 F
2 2
E
2
4π
o
4π
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量
可以得到
F f ( t ) f ( t )e j t d t u t f ( u )e j( ) u d u F ( j )
f(t)为实函数: F( j) F *( j)
若实函数 f ( t ) F( j )，则f ( t ) F( j )
3、f(t) = jg(t)是虚函数
2．意义 若F( jt)形状与F( j)相同 t 则F( jt)的频谱函数形状与 f t形状相同t ,
幅度差2π。
例1 求直流信号1的傅里叶变换
解 t 1
1 2π 1 2π
f (t)
1
0t
F j
2
0
例2 求1/t的频谱函数
解
sgn( t) 2
j
2 2 sgn( ) 2 sgn( )
a1, a2为常数
例： t 1 1 sgnt 22 F π 1 j
二．奇偶虚实性
1. 当f(t)是实函数
F( j ) f ( t )cost dt j f ( t ) sint dt
R( )
X ()
R( ) R( )
X ( ) X ( )
F ( j) F *( j)