能量法能量法
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第3章 能量法
V
V F
l
l
0
M 2 ( x)dx 2 EI
F 0
l M 2 ( x) 1 M ( x) 1 dx 2M ( x) F 0 dx 0 0 F 2 EI F F 0 2 EI
V 1 即： F EI
l
0
M ( x) F 0
M ( x) dx F F 0
其中fi、δi为加载过程中荷载及位移的瞬时值。
因积分后Vε为Δi 的函数，所以有：
V dV d i i
目录
18
I、卡氏第一定理
当第i 个荷载相应的位移Δi有一增量dΔi时，外力的功
dW dV Fi d i
故：
V Fi d i d i i
说明：
线弹性、单向应力状态：
1
0
1 2 d E1 2 2E
2 1
线弹性、纯剪应力状态：
1
0
1 2 d G 1 2 2G
2 1
9
目录
例题3-1
弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，试求 q 梁内的应变能
A B
w
解：梁的弯矩方程：
1 1 2 M qlx qx 2 2
25
目录
II、卡氏第二定理
同样，对于同时作用有n个荷载F1，F2，…，Fn 的梁，外力的余功为：
Wc Vc i df i
Fi i 1 0 n
其中fi、δi为加载过程中荷载及位移的瞬时值。积分后Vc 为fi 的函数。 当第i 个荷载Fi 有一改变量dFi时，外力的余功增量：
dW c dVc i dFi
目录
II、卡氏第二定理
V F
l
l
0
M 2 ( x)dx 2 EI
F 0
l M 2 ( x) 1 M ( x) 1 dx 2M ( x) F 0 dx 0 0 F 2 EI F F 0 2 EI
V 1 即： F EI
l
0
M ( x) F 0
M ( x) dx F F 0
其中fi、δi为加载过程中荷载及位移的瞬时值。
因积分后Vε为Δi 的函数，所以有：
V dV d i i
目录
18
I、卡氏第一定理
当第i 个荷载相应的位移Δi有一增量dΔi时，外力的功
dW dV Fi d i
故：
V Fi d i d i i
说明：
线弹性、单向应力状态：
1
0
1 2 d E1 2 2E
2 1
线弹性、纯剪应力状态：
1
0
1 2 d G 1 2 2G
2 1
9
目录
例题3-1
弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，试求 q 梁内的应变能
A B
w
解：梁的弯矩方程：
1 1 2 M qlx qx 2 2
25
目录
II、卡氏第二定理
同样，对于同时作用有n个荷载F1，F2，…，Fn 的梁，外力的余功为：
Wc Vc i df i
Fi i 1 0 n
其中fi、δi为加载过程中荷载及位移的瞬时值。积分后Vc 为fi 的函数。 当第i 个荷载Fi 有一改变量dFi时，外力的余功增量：
dW c dVc i dFi
目录
II、卡氏第二定理
材料力学第三章 能量法
三、卡氏第二定理（线弹性体）
Di
Vc Fi
在线弹性范围内
余能定理 Vc V
Di
V Fi
卡氏第二定理： 线弹性杆件或杆系的应变能对于 作用在该杆件或杆系上的某一荷 载的变化率，就等于与该荷载相 应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理公式D及i 含义VF：i
若结构的应变能 V 表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变 能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
C
与需求位移相应的虚设外力
F。求偏导后令其为零。
（2）列弯矩方程
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
（3）求梁的应变能
M 2 l/2
x
1
V 2 0
dx
2EI
EI
l/2
0
F 2
ql 2
x
qx 2 2
2 dx
1 EI 1 EI
V W
一、杆件基本变形的应变能
(一)轴向拉伸(压缩)
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况:
dW Fd(Dl) W Dl1 Fd(Dl) 0
线弹性范围内 W 1 FDl
1
2
V
F
W
FN
2
F Dl Dl
FNl EA
应变能
V
FN2l 2EA
F
l
Dl
F
Dl d (Dl)
Dl1
Dl
(一)轴向拉伸(压缩)
第十三章 - 能量法.ppt-结构力学
三 利用功能原理计算位移
第十三章 能量法/三 利用功能原理计算位移
利用
U W
1 P 2
可以计算荷载作用点的位移,但是
只限于单一荷载作用,而且所求位移只是荷载作用点 (或作用面)沿着荷载作用方向与荷载相对应的位移。
第十三章 能量法/三 利用功能原理计算位移
例题 图示变截面受拉杆，E、A 为已知，求加力点C的水平位
第十三章 能量法/二 变形能
4 关于变形能计算的讨论
1 2 以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的变形能的计算。 变形能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功
等于微段的变形能，然后积分求得整个杆件上的变形能。
3 变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算
中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功
P
CP
Pl 3 48 EI
BP
mo
Pl 2 16 EI
A
B
Bm
o
C
Cm
o
mol 2 16 EI
mol 3EI
L/2
L/2
B
Pl 2 16 EI
Pl 3 mo l 2 C 48EI 16 EI
mo l 3EI
第十三章 能量法 /一 外力功
解: (2)外力功的计算
FN L U W 2 EA
式中
2
FN
——轴力，
A ——截面面积
第十三章 能量法/二 变形能
由拉压杆件组成的杆系的变形能： 2 1 5 4 受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的变形能
x
P 3
2 n Pi 2 Li FNi Li U i 1 2 Ei Ai i 1 2 Ei Ai n
第10章 能量法
M n ( x) = − Px
EI L x
2
P A O
U =
∫
[M n ( x)]
L
2 EI
P 2 L2 dx = 6 EI
∂U PL3 = ③求位移 δ A = ∂P 3EI
例5(续): 求 A点的转角 解： ①求弯矩 M n ( x) = −(M 0 + Px) ②求变形能
U =
EI L x
P A O
N1 = N 2 cos α = Pctgα , N 2 =
对每个杆内能
2 2
P sin α
2
L
A N1 α
2
P
U =∫
L
[ N ( x)] dx + [ M T ( x)] dx + [ M n ( x)] dx = N
2 EA
∫
L
2GI p
∫
L
2 EI
L 2 EA
C
对整个杆系内能 N 12 l1 N 22 l 2 1 U = + = W = P yc 2 E A1 2 E A2 2 1 ( Pctg α ) 2 l1 l2 P 2 Py c = + ( ) 2 2 EA 1 2 EA 2 sin α
δ1 δi δn
δ2
Fi
Fn
1 n U = ∑ Fiδ i 2 i =1
二. 互等定理
1.功互等定理 Fi δ′ = Fjδ′ji ij
i 力在 j 力引起的位移δ’ij上 做的功等于j 力在 i 力引起 的位移δ’ji上做的功。
Fi
δ i′
i
0 Fj j
δ i′
i Fi
0
δ ij ′
δ j′
EI L x
2
P A O
U =
∫
[M n ( x)]
L
2 EI
P 2 L2 dx = 6 EI
∂U PL3 = ③求位移 δ A = ∂P 3EI
例5(续): 求 A点的转角 解： ①求弯矩 M n ( x) = −(M 0 + Px) ②求变形能
U =
EI L x
P A O
N1 = N 2 cos α = Pctgα , N 2 =
对每个杆内能
2 2
P sin α
2
L
A N1 α
2
P
U =∫
L
[ N ( x)] dx + [ M T ( x)] dx + [ M n ( x)] dx = N
2 EA
∫
L
2GI p
∫
L
2 EI
L 2 EA
C
对整个杆系内能 N 12 l1 N 22 l 2 1 U = + = W = P yc 2 E A1 2 E A2 2 1 ( Pctg α ) 2 l1 l2 P 2 Py c = + ( ) 2 2 EA 1 2 EA 2 sin α
δ1 δi δn
δ2
Fi
Fn
1 n U = ∑ Fiδ i 2 i =1
二. 互等定理
1.功互等定理 Fi δ′ = Fjδ′ji ij
i 力在 j 力引起的位移δ’ij上 做的功等于j 力在 i 力引起 的位移δ’ji上做的功。
Fi
δ i′
i
0 Fj j
δ i′
i Fi
0
δ ij ′
δ j′
材料力学13能量法
1 1 V F2 22 F111 F2 21 2 2
功的互等定理:
F1 12 F2 21
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2 力在由F1力引起的位移上所作的功。
若F1 = F2 ，则得
位移互等定理:
12 21
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
( F1 F2 ) L F1 L F2 L F1F2 L V 2 EA 2 EA 2 EA EA
2
2
2
L
2） F1 单独作用下：
F1 F2
F1 L V 1 2 EA
3）F2 单独作用下：
F22 L V 2 2 EA
2
L F1 F2
L
V1 V 2 V
证毕。
b Px1 l ( 0 ≤x1 ≤ a) a CB段： M(x2 ) = RB x2 = Px2 l ( 0 ≤x2≤ b) 2
AC段：M(x1 ) = RA x1 =
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。 比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
P12 l1 P1作功为 V 3 2 EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)
总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例
利用能量法求解时，所列 例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
解：
A x1 RA l a
P
功的互等定理:
F1 12 F2 21
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2 力在由F1力引起的位移上所作的功。
若F1 = F2 ，则得
位移互等定理:
12 21
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
( F1 F2 ) L F1 L F2 L F1F2 L V 2 EA 2 EA 2 EA EA
2
2
2
L
2） F1 单独作用下：
F1 F2
F1 L V 1 2 EA
3）F2 单独作用下：
F22 L V 2 2 EA
2
L F1 F2
L
V1 V 2 V
证毕。
b Px1 l ( 0 ≤x1 ≤ a) a CB段： M(x2 ) = RB x2 = Px2 l ( 0 ≤x2≤ b) 2
AC段：M(x1 ) = RA x1 =
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。 比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
P12 l1 P1作功为 V 3 2 EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)
总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例
利用能量法求解时，所列 例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
解：
A x1 RA l a
P
第十三章能量法
BC段：(0 x1 a)
M (x1) FB x1
F
F
B
C
A
EI
a
a
F FB F
AC段：(a x2 2a)
B
M ( x2 ) FPBB x2 FP( x2 a)
M ( x1
PFBB
)
x1 , MP(FBxB2
)
x2
C
x1
EI
x2
a
A
a
M ( x2 ) FPBB x2 FP( x2 a)
dF
W*
外力功和应变能
1
W U Fd
0
余功和余能
F1
F1 F
W
0 d 1
W * U * dF
0
2、线性弹性体
F
线性弹性体
W W*
U
U*
1 2
F11原理计算位移
利用 U W 1 F 可以计算荷载作用点的位移，此方法只限于
2 单一荷载作用，而且所求位移只是荷载作用点沿着荷载方向与荷载相 对应的位移。
x
FN (x)
dU
1 2
FN
(x) (dx)
FN2 (x)dx 2EA
比能：
u(x) dU FN2 (x)dx 1 (x) (x)
dV 2EA Adx 2
整个杆内的应变能：U dU FN2 (x)dx
l
l 2EA
FN (x) FN (x)
dx
x
FN (x)
2. 纯剪切时的变形能
比能： u 1 2 1 G 2
l GI p
Fi
l EI
Fi
例 桁架如图所示，各杆EA相同，利用卡氏第二定理求D 点的垂直位移。
M (x1) FB x1
F
F
B
C
A
EI
a
a
F FB F
AC段：(a x2 2a)
B
M ( x2 ) FPBB x2 FP( x2 a)
M ( x1
PFBB
)
x1 , MP(FBxB2
)
x2
C
x1
EI
x2
a
A
a
M ( x2 ) FPBB x2 FP( x2 a)
dF
W*
外力功和应变能
1
W U Fd
0
余功和余能
F1
F1 F
W
0 d 1
W * U * dF
0
2、线性弹性体
F
线性弹性体
W W*
U
U*
1 2
F11原理计算位移
利用 U W 1 F 可以计算荷载作用点的位移，此方法只限于
2 单一荷载作用，而且所求位移只是荷载作用点沿着荷载方向与荷载相 对应的位移。
x
FN (x)
dU
1 2
FN
(x) (dx)
FN2 (x)dx 2EA
比能：
u(x) dU FN2 (x)dx 1 (x) (x)
dV 2EA Adx 2
整个杆内的应变能：U dU FN2 (x)dx
l
l 2EA
FN (x) FN (x)
dx
x
FN (x)
2. 纯剪切时的变形能
比能： u 1 2 1 G 2
l GI p
Fi
l EI
Fi
例 桁架如图所示，各杆EA相同，利用卡氏第二定理求D 点的垂直位移。
弹簧弹性势能公式的六种推导方法(4页)
弹簧弹性势能公式的六种推导方法一、基本概念与公式弹簧弹性势能是指弹簧在发生形变时所储存的能量。
根据胡克定律，弹簧的弹性势能可以表示为：\[ E = \frac{1}{2} k x^2 \]其中，\( E \) 表示弹簧的弹性势能，\( k \) 表示弹簧的劲度系数，\( x \) 表示弹簧的形变量。
二、推导方法一：能量守恒法假设弹簧原长为 \( l_0 \)，形变量为 \( x \)，则弹簧在形变过程中的弹性势能为：\[ E = \int_{l_0}^{l_0+x} F dx \]根据胡克定律，弹簧的弹力 \( F \) 与形变量 \( x \) 成正比，即 \( F = kx \)。
将 \( F \) 代入上式，得到：\[ E = \int_{l_0}^{l_0+x} kx dx = \frac{1}{2} kx^2 \]三、推导方法二：积分法弹簧的弹性势能可以表示为：\[ E = \int_{l_0}^{l_0+x} F dx \]根据胡克定律，弹簧的弹力 \( F \) 与形变量 \( x \) 成正比，即 \( F = kx \)。
将 \( F \) 代入上式，得到：\[ E = \int_{l_0}^{l_0+x} kx dx = \frac{1}{2} kx^2 \]四、推导方法三：微分法弹簧的弹性势能可以表示为：\[ E = \int_{l_0}^{l_0+x} F dx \]根据胡克定律，弹簧的弹力 \( F \) 与形变量 \( x \) 成正比，即 \( F = kx \)。
将 \( F \) 代入上式，得到：\[ E = \int_{l_0}^{l_0+x} kx dx = \frac{1}{2} kx^2 \]五、推导方法四：动能定理法弹簧的弹性势能可以表示为：\[ E = \int_{l_0}^{l_0+x} F dx \]根据胡克定律，弹簧的弹力 \( F \) 与形变量 \( x \) 成正比，即 \( F = kx \)。
理论力学 第十三章 能量法
F3 F2
F1
3
F4
1 1 F1δ1 F2 δ2 2 2
（2）在结构上再作用有力
F3 ,F4
2
1
4
沿 F3和 F4方向的相应位移为
3 , 4
1 1 F3 和 F4 完成的功应为 F3 δ3 F4 δ4 2 2
31
（3）在 F3和 F4的作用下,F1 和F2 的作用点又有位移
1´和 2´
av
图b
23
av av
1 - av 2 - av
图c
av
图b
3 - av
1 2 所示的单元体的三个主 ( 1 2 3 ) E 应力之和为零
0
图C单 元 体 的 应 变 能 为 :
v vV vd 0 vd 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 vd 6E
BA :
V
L b
②、变形能： T ( x2 ) Fb. M 2 ( x) T 2 ( x) dx dx L 2GI 2 EI P
2 2 a ( Fx ) dx a ( Fb) dx ( Fx1 ) 2 dx 2 0 0 2 EI 2 EI 2GI p
0
F 2 (a 3 b 3 ) F 2 ab2 6 EI 2GI p
F1 和 F2 在 1´和 2´上 完成的功应为
' F1δ1 F2 δ'2
F3
F2 F1
2 1 1
2
3
4
因此,按先加 F1,F2 后F3,F4 的次序加力,结构的应变能为
1 1 1 1 ' ' Vε1 F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 F4 δ4 F1δ1 F2 δ2 32 2 2 2 2
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Δ δ 1， Δ δ 2 .... Δ δ i ...... 。
Pa 2 R l3 (3l − a ) − B = 0 6 EI 3EI
结构变形能的相应增量：
ΔVε = ΔPi Δδ i + P 1Δδ 1 + P 2 Δδ 2 + " + P i Δδ i + ⋅ ⋅ ⋅
ΔVε = P1Δδ1 + P2 Δδ 2 + " + Pi Δδ i + ⋅ ⋅ ⋅ 略去高阶微量：
A
2 EI
∫
0
2 EI
∫
0
2 EA
2 3
2 3
2
2 3
2 3
Vε = W
1 2 P 2l 3 Pδ C = 2 3 EI C
δC =
4 Pl 3 3 EI
§4 互等定理
1、功的互等定理
P1 P2 P3
§4 互等定理
P1 P2 P3
δ1 δ2
δ3 δ4
第一组力在第二组力引 P4 起的位移上所作的功， 等于第二组力在第一组 力引起位移上所作的功
1 2
Pa 2 RB = 3 (3l − a) 2l
ΔVε = P1Δδ1 + P2 Δδ 2 + " + Pi Δδ i + ⋅ ⋅ ⋅
各力作为第一组力， Δ Pi作为第二组力 根据功的互等定理：
∂ Vε = δi ∂ Pi
拉压杆件
δi =
P1Δ δ 1 + P2 Δ δ 2 + " + Pi Δ δ i + ⋅ ⋅ ⋅ = Δ Piδ i
a2 δ1 = (3l − a ) 6 EI
§5 卡氏定理（第二定理）
P1 P2 P3
δ1 δ2
δ3 δi
1 1 1 Vε = P P2δ 2 + "+ Piδ i 1δ1 + 2 2 2
Pi
若给Pi一增量Δ Pi ，
l3 δ2 = 3EI
P 1δ 1 − RBδ 2 = 0
各力作用点沿作用力方向的 位移增量：
2、位移互等定理
P4
δ1 δ2
δ3 δ4
沿 P1 方向由 P3 引起 的位移等于沿P3方 向由P1引起的位移
1 1 1 1 Vε 2 = P3δ 3 + P4δ 4 P P2δ 2 = 1δ 1 + 2 2 2 2 1 1 1 1 ' ' ' + P1δ 1' + P2δ 2 + P3δ 3 + P4δ 4 + P3δ 3 + P4δ 4 + P1δ 1 + P2δ 2 2 2 2 2 Vε 1 =
3、线弹性梁弯曲（纯弯曲）
1 Vε = W = M eθ 2
§2 杆件应变能的计算
线弹性材料发生小变形时
θ =
M el EI
2
Vε = W =
1 F — 广义力； Fδ 2 δ— 广义位移
拉压 — 线位移； 扭转、弯曲— 角位移
M l 1 Vε = W = M eθ = e 2 2 EI
dVε =
M 2 ( x )dx 2 EI
Vε = W = 1 1 1 F1δ1 + F2δ 2 + " + Fiδ i 2 2 2
略去剪力应变能
线弹性体的应变能等于每一外力与其相应 位移乘积的二分之一的总和_____克拉贝依隆原理
因FN与M和T各自所产生的变形分别正交且为小变形， 这些内力都在它自身所引起的位移上作功而互不影响。 1 1 1 dW = FN ( x)d (Δl ) + M ( x)dθ + T ( x) dφ 2 2 2 2 FN ( x )dx M 2 (x )dx T 2 ( x )dx +∫ +∫ Vε = ∫ l l l 2GI 2 EA 2 EI p
能 量 方 法
能量原理—固体力学中与功和能有关的定理
Vε = W
本章主要内容：应变能、互等定理、 卡氏定理、莫尔积分、图乘法
主讲教师：梁小燕
§2 杆件应变能的计算
1、轴向拉伸与压缩
§2 杆件应变能的计算
2、纯剪切、扭转
Vε = W =
Vε = F 2l 2 EA
1 FΔl 2
FN l 2 EA
2 l
Δ Vε = Δ Piδ i
Δ Pi → 0
∂ Vε = δi ∂ Pi
例1：AB梁抗弯刚度EI，试求此梁的应变能 F B M A l 解：AB仅发生弯曲变形 1、列内力方程 2、求应变能
Vε = ∫
l
M (x ) = M − F ⋅ x
=
Vε = ∫
M 2 ( x )dx 0 2 EI
l
已知:刚架的抗弯刚度EI、抗拉压刚度EA, 试求C点的垂直位移 整个刚架的变形能: Vε =VεAB +VεBC L x1 BC杆内力: M ( x1 ) = Px1 B C x2 P AB杆内力: M (x2 ) = Pl，N = P 2 2 l P l ( Pl ) l ( x1 ) 2 P2 L V = dx 1 + dx 2 + dx 2 ε
∫
0
(M − Fx )2 dx
2 EI
0
2 3 1 ≠ Vε M + Vε F M 2l − FMl 2 + F l 3 2 EI
(
)
※不同类型变形的应变能可以代数相加 不同性质外力产生同一种变形时的应变能不能代数相加
Pl Pl i P l P l 2 P 2l 3 = + (1 + 2 ) = + = 6 EI 2 EI l 6 EI 2 EI 3 EI 轴向力的变形能远比弯曲变形能小，在杆系中当 两种变形能同时存在时，其拉压变形能可忽略不计。
′ ′ ′ ′ P1δ 1 + P2δ 2 = P3δ 3 + P4δ 4
′ ′ ′ ′ P1δ 1 + P2δ 2 = P3δ 3 + P4δ 4
若P 1 = P 3 ，P 2 = P 4 =0
δ1 = δ 3
′
′
2
例1：装有尾顶针的车削工件可简化为静不定梁， 试利用互等定理求解 解：利用功的互等定律
2
FN=P为常数， V ε = FN = FN（x）， Vε = ∫
FN (x ) ⋅ dx σ 2 1 2 EA u = = σε 2E 2
F
Vε = W =
1 m 2l mφ = 2 2GI p
φ=
u=
=∫
T 2 ( x )dx l 2GI p
Tl GI p
1 = τγ 2
τ2
2G
§2 杆件应变能的计算
Vε = ∫
l
0
M 2 ( x )dx 2 EI
非弹性材料 Vε = W δ1 力与位移的 =ຫໍສະໝຸດ ∫ F ⋅ dδ 0 关系不是线 性的
1
§3 应变能的普遍表达式
F1 F2 δ2 F3
M(x) T(x) FN(x)
dx
M(x) T(x) FN(x)
δ1
δ3
弹性体在变形过程中储存的应 变能，决定于外力和位移的最 终值，与加力的次序无关。 线弹性材料发生小变形时