拓扑学教案
拓扑学教案6
1拓扑学教案6§2§2-5 -5 连续映射与同胚连续映射与同胚一、连续映射（我们这里先给出映射在点x 处的连续定义）处的连续定义）定义定义 1 1 设X 和Y 都是拓扑空间，:f X Y ®是一个映射。
若x X Î，且()f x 在Y 中的任意邻域V 的原象1()f V -为x 在X 中的邻域，则称f 为在点x 处连续的映射。
处连续的映射。
该定义的E 空间上分析见下图，左图是连续情况，右图是间断情况。
空间上分析见下图，左图是连续情况，右图是间断情况。
★在上述定义中，将“邻域”换成“开集”，意义不变。
于是，f 为在点x 处连续的定义可以描述为：描述为：对于包含()f x 的每个开集V ，必存在包含x 的开集U ，使得()f U V Ì。
这正是本章开始给出的连续性几种定义中的“邻域语言”表述。
这正是本章开始给出的连续性几种定义中的“邻域语言”表述。
它是连续映射的等价定义。
它是连续映射的等价定义。
定义定义 2 2 若映射:f X Y ®在任一点x X Î都连续，则称f 为X 上的连续映射。
注：映射在某点处连续具有“局部性”，而连续映射具有“整体性”。
定理定理 1 1 设映射:f X Y ®，下列各条件相互等价，下列各条件相互等价 （1）f 是连续映射。
是连续映射。
（2）Y 的任一开集在f 下的原象是X 的开集。
（此条可做连续映射的定义） （3）Y 的任一闭集在f 下的原象是X 的闭集。
的闭集。
证明：(1)Þ(2)设f 连续，V 是Y 的开集，设V 的原象1()f V U -=。
（下面证U 是开集，即x U "Î是内点） 由于x U "Î，设V 是()f x 的邻域，根据f 在点x 处连续的定义，则1()f V U -=是x 的邻域（即存在开集x V ，x x V U ÎÌ），则x 是U 的内点。
幼儿园拓扑学教案
幼儿园拓扑学教案1. 简介本教案旨在通过拓扑学的学习，帮助幼儿园的孩子们培养空间观念、触觉体验以及思维能力。
通过互动游戏和实践操作，让幼儿初步了解和掌握拓扑学的基础概念和方法，为他们未来的学习打下良好的基础。
2. 教学目标•培养幼儿的空间观念，让他们能够感知和理解不同形态和空间结构之间的关系；•培养幼儿的触觉体验能力，让他们能够通过触摸和感受物体的形态和特性；•开发幼儿的思维能力，帮助他们通过探索和实践，学会分析和解决问题。
3. 教学内容3.1 拓扑学的基本概念•拓扑学的定义•点、线和面的概念•近似形状的比较3.2 拓扑学的基本方法•分类和归类•比较和排序•分析和解决问题4. 教学准备•教具：图形卡片、几何模型玩具、彩色纸张、剪刀、胶水等；•教材：《幼儿拓扑学入门》、《拓扑学游戏和乐趣》等；•教学环境：宽敞明亮的教室，幼儿园的操场等。
5. 教学过程5.1 导入活动•师生互动：老师向学生们提问，引发他们对空间的思考，如“你们经常遇到什么样的形状和结构？”，“你们熟悉的几何图形有哪些？”等。
5.2 基本概念的学习•点、线和面的介绍：老师通过图形卡片，向学生们展示不同的几何形状，并引导他们触摸和感受形状的特性。
然后，通过和学生们的互动，引导他们了解点、线和面的概念，并在黑板上进行简单的示意图演示。
5.3 基本方法的学习•分类和归类：老师带领学生们进行游戏，让他们观察不同形态的几何图形，并根据共同特征进行分类和归类。
例如，让学生们将所有边数相同的图形分在一起。
•比较和排序：老师准备多个相似形状的几何图形，并要求学生们对其进行比较和排序。
通过比较和排序的过程，让学生们初步理解形状的相似性和差异性。
•分析和解决问题：老师提出一些有关几何图形的问题，让学生们分析并解决问题。
例如，“你们能否找到一个不规则形状的图形？”、“你们能否找到边数不同、但形状相似的图形？”等。
5.4 拓展活动•创作活动：老师让学生们动手制作一些简单的拓扑模型，如立体动物、房屋等。
拓扑学教案5
拓扑学教案5§2-4 拓扑基与子基一、拓扑基概念的背景 (本节重点：一个拓扑可以由特殊集族（基）生成)我们知道，X 上的一个拓扑ϑ 是一个开集族，这些集合之间可以相互包含、重叠，表述起来很不方便。
我们试图寻找另外某种“元素”，使得ϑ 中的元素都能由这些元素构成，这就是产生“基”的思想。
为此，先回顾一下度量空间中开集的一些有用性质。
◎（1） 设U 是(,)X d 中的一个开集，则x U ∀∈，都存在一个球形邻域(,)x B x U ε⊂，因此，有(,)xx UU B x ε∈=即每个开集都能由球形邻域来构成。
◎（2）球形邻域自身也是开集，所以，任意个球形邻域的并也是开集。
由上述讨论得到启发：X 上的一个拓扑ϑ 可以由X 上的球形邻域来“构成”。
形象比喻：拓扑构件为一片片墙，但它们都是由砖构成的，砖是构成墙的“基”，而“砖”自身也是“墙”的一部分。
二、拓扑空间X 的基及性质定义： 设(,)X τ为拓扑空间，B 是ϑ 的子族。
若ϑ 的每个成员（即X 的开集）都是B 中某些成员的并,即对于每一个U ∈ϑ ，存在 1⊂B ，使得1B U B ∈=111B ，则称B 是拓扑ϑ 的基，或称B 为拓扑空间X 的基.注：不同教材上给出的基的定义不一样，但它们是等价的。
下面的定理是另一种基的定义。
我们先介绍定理，然后再详细分析“基”的实例。
定理 1 设B 为拓扑空间(,X ϑ )的开集族（即B ⊂ϑ ），则B 为拓扑空间X 的基⇔对于每一x X ∈，以及x 的每一邻域x U ，存在x V ∈B ，使得x x x V U ∈⊂.证明：()⇒设B 为拓扑空间X 的基，则对每一x X ∈，以及x 的每一邻域x U ，存在x 的开邻域x x W U ⊂.(注：x W ∈ϑ )由于x W 是开集，则由上述定义，存在 1⊂B ，使得1x A W A ∈=111B ，于是，由1A x A ∈∈111B 知，则至少存在一个xV∈ 1⊂B ，使得1x xx A x V A WU ∈∈⊂=⊂ 111B()⇐ 设定理条件成立。
一般拓扑学基础课程设计
一般拓扑学基础课程设计一、课程概述本课程是一门关于一般拓扑学基础知识的入门课程。
在本门课程中，学生将学会如何将经典的拓扑分析工具应用到现实问题中，帮助他们更好地理解拓扑学在其他领域中的应用。
二、课程目标本课程的目标是：1.了解一般拓扑学的基本知识，包括拓扑空间、连通性、紧性、分离性、连续映射和同胚等。
2.掌握一些基础的拓扑分析方法，如映射次数、Brouwer度、Lefschetz不动点定理等。
3.学会如何把拓扑学应用到其他领域中去，如物理、几何、无穷维拓扑学等。
4.发展学生逻辑思维和分析问题的能力。
三、课程大纲第一章：引论1.什么是拓扑学？2.拓扑学的发展历史。
3.拓扑学在其他领域中的应用。
第二章：拓扑空间1.拓扑空间的定义和基本性质。
2.连通性、紧性、分离性、可度量性等基本概念及其关系。
第三章：连续映射和同胚1.连续映射的定义和基本性质。
2.同胚的定义和基本性质。
3.一些基于同胚概念的定理。
第四章：拓扑分析1.映射次数和Brouwer度的定义和性质。
2.Lefschetz不动点定理及其应用。
第五章：应用1.拓扑学在物理中的应用。
2.拓扑学在几何中的应用。
3.拓扑学在无穷维空间中的应用。
四、教学方法本课程采用讲授、讨论、案例分析和实验等多种教学方法，其中案例分析和实验为重点。
在案例分析中，将引导学生运用课程中所学知识进行数据分析，并通过讨论进一步加深学生对拓扑学的理解；在实验中，将学生分为小组，进行小规模拓扑学实验，并通过自主思考和讨论，激发学生的创新思维。
五、考核方式1.平时成绩：包括课堂表现、小组讨论、实验报告等，占总评成绩的30%。
2.期末考试：占总评成绩的70%。
六、教材及参考资料主要教材1.《拓扑学导论》 Munkres (J. R. Munkres) 著，刘大永等译，高等教育出版社；2.《初等拓扑学》 Jun-iti Nagata 著，刘祥良译，高等教育出版社。
参考资料1.《拓扑学基础》 Wolfgang J. Thron 著，贺令方送审改编，北京大学出版社；2.《拓扑学：一门新的数学分支》 Heinz Hopf 著，任潇等译，科学出版社。
幼儿园中班数学教案认识拓扑学让孩子学会拓扑学概念
幼儿园中班数学教案-《认识拓扑学，让孩子学会拓扑学概念》幼儿园中班数学教案-《认识拓扑学，让孩子学会拓扑学概念》随着社会的不断发展，数学教育在幼儿园中也越来越受到重视。
数学启蒙是数学教育的基础，而拓扑学作为数学中一个重要的分支，其概念对于幼儿数学教育也是必不可少的。
本文将以《认识拓扑学，让孩子学会拓扑学概念》为题，从教学目标、教学内容、教学方法、教学步骤、教学重点与难点、教学总结等六个方向进行详细阐述。
一、教学目标1.了解拓扑学的基本概念；2.认识不同形状的物体；3.提高孩子的形象思维能力；4.培养孩子的观察力和逻辑思维能力；5.增强孩子对数学的兴趣和学习能力。
二、教学内容1.拓扑学基本概念：点、线、面、圆、正方形等；2.不同形状的物体：球、圆环、立方体、长方体等；3.掌握不同形状物体的特征和区别；4.认识不同形状物体间的关系，如包含、相交、相邻等；5.通过游戏和实物展示帮助孩子理解拓扑学概念。
三、教学方法1.观察法：通过观察不同形状的物体，引导孩子了解其特征和区别；2.游戏法：通过游戏的形式，让孩子体验不同形状物体的包含、相交、相邻等关系；3.实物展示法：通过实物展示，让孩子直观感受不同形状物体的特征和区别；4.讲解法：引导孩子认识拓扑学基本概念，并通过讲解让孩子理解概念。
四、教学步骤1.引导孩子观察不同形状的物体，并通过比较和分类的方式引导孩子认识不同形状物体的特征和区别；2.引导孩子通过游戏的形式体验不同形状物体的包含、相交、相邻等关系；3.通过实物展示，让孩子直观感受不同形状物体的特征和区别；4.引导孩子认识拓扑学基本概念，如点、线、面、圆、正方形等；5.通过讲解让孩子理解概念，并进行复习巩固。
五、教学重点与难点1.教学重点：引导孩子认识不同形状物体的特征和区别，理解不同形状物体间的关系；2.教学难点：让孩子理解拓扑学基本概念，如点、线、面、圆、正方形等，并将其应用到实际生活中。
六、教学总结本次教学通过观察、游戏、实物展示、讲解等多种方式，让孩子认识了拓扑学基本概念，理解不同形状物体间的关系，提高了孩子的形象思维能力和观察力，增强了孩子对数学的兴趣和学习能力。
《点集拓扑学教案》
《点集拓扑学教案》word版教案章节一：引言1.1 课程介绍本课程旨在帮助学生理解点集拓扑学的基本概念和性质，掌握基本的拓扑空间及其性质，了解拓扑学在数学和物理学中的应用。
1.2 知识点1.2.1 拓扑空间的定义与性质1.2.2 开集、闭集和边界1.2.3 拓扑关系的传递性1.3 教学目标通过本章的学习，使学生了解拓扑空间的基本概念，掌握开集、闭集和边界的定义及其性质，理解拓扑关系的传递性。
教案章节二：拓扑空间2.1 基本概念2.1.1 拓扑空间的定义2.1.2 拓扑空间的性质2.1.3 常见的拓扑空间2.2 拓扑关系2.2.1 拓扑关系的定义2.2.2 拓扑关系的性质2.2.3 拓扑关系的传递性2.3 教学目标通过本章的学习，使学生掌握拓扑空间的基本概念和性质，理解拓扑关系的定义及其性质，掌握拓扑关系的传递性。
教案章节三：开集与闭集3.1 开集与闭集的定义3.1.1 开集的定义3.1.2 闭集的定义3.2 开集与闭集的性质3.2.1 开集与闭集的举例3.2.2 开集与闭集的关系3.2.3 开集与闭集的运算3.3 教学目标通过本章的学习，使学生理解开集与闭集的定义及其性质，掌握开集与闭集的举例和运算。
教案章节四：边界4.1 边界概念4.1.1 边界的定义4.1.2 边界的性质4.2 边界定理4.2.1 边界定理的定义4.2.2 边界定理的证明4.3 教学目标通过本章的学习，使学生了解边界的定义及其性质，掌握边界定理及其证明。
教案章节五：拓扑关系与边界关系5.1 拓扑关系与边界关系的联系5.1.1 拓扑关系与边界关系的定义5.1.2 拓扑关系与边界关系的性质5.2 拓扑关系与边界关系的应用5.2.1 拓扑关系与边界关系在几何学中的应用5.2.2 拓扑关系与边界关系在物理学中的应用5.3 教学目标通过本章的学习，使学生理解拓扑关系与边界关系的联系及其性质，掌握拓扑关系与边界关系在数学和物理学中的应用。
拓扑学基础第二版教学设计
拓扑学基础第二版教学设计课程信息•课程名称：拓扑学基础•授课对象：本科生•学分：3•先修课程：微积分、线性代数教材•课程参考书：《拓扑学基础(第二版)》，作者：Munkres，出版社：北京大学出版社。
教学目标通过本课程的学习，使学生掌握一些基本的拓扑学概念和方法，包括：•拓扑空间的概念和分类；•连通性、紧性以及它们的等价关系；•分离公理、一点紧和极大可分性；•重要的基本定理，如Urysohn引理、Tietze扩张定理等。
教学内容第1章拓扑空间• 1.1 拓扑空间的引入• 1.2 拓扑空间的例子• 1.3 拓扑基和拓扑• 1.4 子空间拓扑和商空间拓扑• 1.5 连续性和同胚• 1.6 连续函数的等价关系第2章连通性和紧性• 2.1 连通性• 2.2 分离公理• 2.3 一点紧和局部紧• 2.4 紧性和拓扑的连通性第3章序列和极限• 3.1 序列和子序列• 3.2 序列和极限• 3.3 序列的收敛性• 3.4 序列和闭集• 3.5 序列紧性和集合紧性第4章完备度和紧性• 4.1 度量空间的完备度• 4.2 紧性和完备度• 4.3 紧性和距离• 4.4 紧性和连续函数第5章 Tychonoff定理和Urysohn引理• 5.1 Tychonoff定理和紧性• 5.2 Urysohn引理和紧性• 5.3 Tietze扩张定理和紧性教学方法•课堂讲解：由教师讲解课程重点和难点，帮助学生掌握理论知识；•课程设计：通过设计一些小的拓扑空间问题，引导学生学以致用，理解和运用所学的知识；•问题探讨：鼓励学生在课堂上发挥主动性，提出自己的疑问或者问题，同时让学生讨论和解决问题，帮助学生进一步理解所学知识。
评分方式•平时作业：20%•期中考试：30%•期末考试：50%参考资料•Brian M. Scott. Introduction to Topology.•Eva Bayer-Fluckiger. The Basics of Topology.•James R. Munkres. Topology (2nd Edition).•Stephen Willard. General Topology.。
拓扑学中的连通性与分离性-教案
拓扑学中的连通性与分离性-教案一、引言1.1拓扑学的定义和重要性1.1.1拓扑学是数学的一个分支，研究空间的性质在连续变换下的不变性。
1.1.2连通性与分离性是拓扑学中的基本概念，对于理解复杂的空间结构至关重要。
1.1.3拓扑学的应用广泛，包括物理学、计算机科学和经济学等领域。
1.1.4连通性与分离性的研究有助于深入理解这些领域的空间特性。
1.2教学目标和预期效果1.2.1学生能够理解连通性和分离性的定义，并能够应用这些概念解决实际问题。
1.2.2学生能够掌握连通性和分离性的基本性质，并能够证明一些简单的定理。
1.2.3学生能够通过学习连通性和分离性，培养逻辑思维和空间想象力。
1.2.4学生能够将连通性和分离性的知识应用到其他数学分支和相关领域中。
1.3教学方法和策略1.3.1采用讲授、讨论和练习相结合的教学方法，引导学生主动参与学习过程。
1.3.2利用直观的图形和实例，帮助学生理解和掌握抽象的概念。
1.3.3通过小组合作和问题解决，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
1.3.4设计丰富的练习题和实际应用案例，巩固学生的知识和技能。
二、知识点讲解2.1连通性的定义和性质2.1.1连通性是指一个空间中任意两点都可以通过连续路径相连的性质。
2.1.2一个空间是连通的，当且仅当它不能被分解为两个非空的开集的并集。
2.1.3连通性具有传递性，即如果两个空间都是连通的，那么它们的积空间也是连通的。
2.1.4连通性可以推广到多个点的连通性，如路径连通性和弧连通性。
2.2分离性的定义和性质2.2.1分离性是指一个空间中任意两点都可以被分开的性质，即存在两个不相交的开集分别包含这两个点。
2.2.2一个空间是分离的，当且仅当它不能被分解为两个非空的开集的交集。
2.2.3分离性具有对称性，即如果两个点可以被分开，那么它们也可以被分开。
2.2.4分离性可以推广到多个点的分离性，如T0、T1和T2等不同的分离性。
2.3连通性与分离性的关系2.3.1一个空间是连通的，当且仅当它不是分离的。
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, 不用 0 个集之交.
二. 关系
R 是集合 X 的一个关系, 即 R X X , (x, y) R 记为 xRy , 称 x 与 y 是 R 相关的. R 称为自反的, 若 x X , xRx;
R 称为对称的, 若 xRy, 则 yRx; R 称为传递的, 若 xRy, yRz, 则 xRz. 等价关系: 自反、对称、传递的关系.
X1 X 2 ... X n
X 1in i
X n
i1 i
{(x1, x2 ...xn ) xi
Xi,i
n}到第 i 个坐标集 X i
的投射 pi : X X i 定义为 p(x) xi , 其中 x (x1,.., xn ) .
对等价关系 R, 集合 X 到商集 X / R 的自然投射 p : X X / R 定义为 p(x) [x]R .
四. 集族
数列{x n } {x n }nZ , 有标集族{A } , 指标集 Γ, 与{A } 不同, 可记有标集族
A {A }A ; 类似地, 定义其并 A (或∪A)、交 A (或∩ A), 不定义 0 个集的交.
与有限集族有相同的运 算律, 如 De Morgan 律
A A ( A A ), A A A ,
记号: Z, Z+, R, Q 分别表示整数集, 正整数集, 实数集和有理数集.
教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理
一. 集合的运算
幂集 P ( X ) , 交∩ 、并∪、差－(补, 余 Ac , A/ ).
运算律: De Morgan 律: (1) A - (B C) (A - B) (A - C) .
定理 1.4.1 设 R 是非空集合 X 的等价关系, 则
3
(1) x X, x [x]R ;
(2) x, y X ，或者[x]R =[y]R , 或者[x]R [y]R
证(2). 设 z [x]R [y]R , 则 ZRx, zRy , 于是[x]R [y]R 且[x]R [y]R , 于是 [x]R [y]R .
6.3
1
理
证明
6.4
完全正则空间, Tychonoff 空间
1
分离性公理与子空间、积空间和
6.5
1
商空间
6.6
可度量化空间
1
定理 6.6.1 讲部分
七
紧致性
10
习题课时1
7.1
紧致性
3
定理 7.1.6 讲部分
7.2
紧致性与分离性公理
1
7.3
n 维欧氏空间 R n 中的紧致子集
0.5
7.4
几种紧致性以及其间的关系
(2) A - (B C) (A - B) (A - C) A-(B∩ C)=(A-B)∪(A-C)
利用集合的包含关系证明(1).
类似可定义任意有限个集的交或并, 如记
A1 A2 ... An ( A1 ... An1 ) An
A in i
n
A i1 i
Ai. 规定
0
个集之并是
1
1.2
无限集
1
二
拓扑空间与连续映射
21
2.1
度量空间与连续映射
3
2.2
拓扑空间与连续映射
3
备注
习题课时 2 不讲附录
2.3
邻域与邻域系
2.4
导集、闭集、闭包内部、边界
2.5
内部、边界
2.6
基与子基
2.7
拓扑空间中的序列
三
子空间、有限积空间、商空间
3.1
子空间
3.2
积空间
3.3
商空间
四
连通性
4.1
连通空间
三. 映射
函数： f : X Y .
像： A X , f ( A) { f (x) | x A}；
原像： B Y , f1 (B) {x X | f (x) B} 满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射 iX 、限制 f|A 、扩张、内
射 iX |A: A X
集合 X i , i n , 笛卡儿积
1
道路连通分支不讲
6
习题课时1
2
1
5.2
可分空间
1.5
定理 5.2.1 不讲
5.3
Lindeloff空间
1.5
六
分离性公理
8
习题课时1.5
6.1
T0 ,T1 、Hausdorff 空间
2
6.2
正则、正规、 T3 ,T4 空间
1.5
例 6.2.2 讲部分
Urysohn 引理和 Tietze 扩张定
不讲定理 6.3.1, 6.3.4 的
映射对应的集族性质: f ( A ) f ( A ), f ( A ) f ( A ) , f 1 ( B ) f 1 (B ), f 1 ( B ) f 1 (B )
点集拓扑学教案
为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设《点集拓扑》 课程。
按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版, 北京: 高等教育出版社, 2003)第一至七 章编写的教案。
本科生授课 64学时，教学内容与进度安排如下：
章节
本科生授课主要内容
课时数
拓扑学的起源
1
一
朴素集合论
2
1.1
集合、映射与关系
1.5
7.5
度量空间中的紧致性
1
引理 7.3.2 用分析中的结 论
7.6
局部紧致空间, 仿紧致空间
1
定理 7.6.8 不讲
2
一章 朴素集合论
点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology), 它的起源与出发点都 是 集合论. 作为基本的点集拓扑学知识, 所需的只是一些朴素集合论的预备知识. 本章介绍本 书中 要用到的一些集合论内容, 主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选 择公理等. 作为一教材, 讲义对各部分内容均有较系统的论述 , 作为授课, 我们只强调一些基 本内容, 而对 已有过了解的知识不提或少提.
如, Δ(X)={(x, x )|xX}, 恒同关系, 它是等价关系; {(x, y) | x, y R, x y}，小于关系,
它是传递 的, 但不是对称的、不是自反的.
设 R 是 X 上等价关系, x X , x 的 R 等价类或等价类[x]R 或[x]为{y X | xRy} , [x]R 的元称为[x]R 的代表元; 商集 X/R {[x]R | x X}.
4.2
连通性的某些简单应用
4.3
连通分支
4.4
局部连通空间
4.5
道路连通空间
五
有关可数性的公理
5.1
第一与第二可数性公理
2
不讲定理 2.3.3
3
不讲例 2.4.4, 定理 2.4.8
2
部分证明定理2.6.3，邻域 2
基及相关内容在5.1中介绍
2
6
习题课时1
2
2
1
例3.3.3起不讲
8
习题课时1
2
1
1
2