2019-2020学年黑龙江省大庆一中高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年黑龙江省大庆一中高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．圆（x+1）2+y2＝4的圆心坐标和半径分别是（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），4D．（﹣1，0），4 2．等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝（）A．﹣B．﹣2C．2D．3．已知向量＝（m，1），＝（1，﹣2），若，则m＝（）A．﹣B．C．﹣2D．24．若x＞0，y＞0，且＝1，则x+y的最小值为（）A．6B．12C．16D．245．已知直线l1：mx+（m﹣3）y+1＝0，直线l2：（m+1）x+my﹣1＝0为，若l1⊥l2，则（）A．m＝0或m＝1B．m＝1C．m＝﹣D．m＝0或m＝﹣6．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β7．若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．48．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．60πD．68π9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7+a8＞0，a7+a9＜0，则S n取最大值时n的值是（）A．4B．5C．6D．710．在空间四边形ABCD中，已知AD＝2，BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF ＝，则异面直线AD与BC所成角的大小为（）A．B．C．D．11．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝3，b+c＝5，tan A+tan B+＝tan A•tan B，则△ABC的面积为（）A．B．3C．D．12．矩形ABCD中，BC＝2AB＝2，N为边BC的中点，将△ABN沿AN翻折成△B1AN（B1∉平面ABCD），M为线段B1D的中点，则在△ABN翻折过程中，下列命题：①与平面B1AN垂直的直线必与直线CM垂直；②线段CM的长为；③异面直线CM与NB1所成角的正切值为；④当三棱锥D﹣ANB1的体积最大时，三棱锥D﹣ANB1外接球表面积是4π．正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共4小题，共20.0分）13．直线x+y+1＝0的倾斜角的大小为．14．在△ABC中，若b＝5，B＝，cos A＝，则a＝．15．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•＝5，•＝﹣2，则•的值是．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的面积为y，设BP＝x，则当x∈时，函数y＝f（x）的值域为．三、解答题（共6小题，第17题10分，其余每题12分，计60分）17．已知两直线l1：2x﹣y+7＝0，l2：x+y﹣1＝0，A（m，n）是l1和l2的交点，（1）求m，n的值；（2）求过点A且垂直于直线l1的直线l3的方程；（3）求过点A且平行于直线l：2x﹣3y﹣1＝0的直线l4的方程．18．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝81，a3+a5＝14．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和为T n．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B 上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F：（2）直线B1D⊥平面A1C1F．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知：c﹣a＝2b sin（C﹣）．（1）求∠B；（2）若△ABC面积为，求△ABC的周长的最小值．21．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC：（2）（理科做）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．（3）（文科做）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD，说明理由．22．已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1＝1，{b n}为等比数列且各项均为正数，b1＝1，且满足：b2+S2＝7，b3+S3＝22．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）记c n＝，求{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）若不等式（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．圆（x+1）2+y2＝4的圆心坐标和半径分别是（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），4D．（﹣1，0），4【分析】根据题意，由圆的标准方程分析可得答案．解：根据题意，所给圆的标准方程为（x+1）2+y2＝4，其圆心为（﹣1，6），半径r＝2；故选：B．2．等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝（）A．﹣B．﹣2C．2D．【分析】由已知条件利用等比数列的通项公式能求出公比．解：∵等比数列{a n}中，a2＝2，a8＝，∴，∴公比q＝．故选：D．3．已知向量＝（m，1），＝（1，﹣2），若，则m＝（）A．﹣B．C．﹣2D．2【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，求出m的值．解：∵向量＝（m，1），＝（1，﹣2），若，∴•＝m﹣2＝0，故选：D．4．若x＞0，y＞0，且＝1，则x+y的最小值为（）A．6B．12C．16D．24【分析】x+y等于x+y乘以+，展开，利用基本不等式；注意等号成立的条件．解：∵+＝1，∴x+y＝10++＝10+6＝16故选：C．5．已知直线l1：mx+（m﹣3）y+1＝0，直线l2：（m+1）x+my﹣1＝0为，若l1⊥l2，则（）A．m＝0或m＝1B．m＝1C．m＝﹣D．m＝0或m＝﹣【分析】由l1⊥l2，得m（m+1）+（m﹣3）m＝0，由此能求出m的值．解：∵直线l1：mx+（m﹣3）y+1＝8，直线l2：（m+1）x+my﹣1＝8，l1⊥l2，解得m＝0或m＝1．故选：A．6．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．7．若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z＝2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y＝x与3x+2y＝5的交点为最优解点，故选：C．8．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．60πD．68π【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是球，根据体积求出半径R，进而可得表面积．解：由已知中的三视图，可得该几何体是球，设其半径为R，则×＝＝，故其表面积S＝×4πR2+＝68π，故选：D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7+a8＞0，a7+a9＜0，则S n取最大值时n的值是（）A．4B．5C．6D．7【分析】由等差数列{a n}中，其前n项和为S n，且a7+a8＞0，a7+a9＜0，推导出a1＞0，d＜0，且a7＞0，a8＜0；由此能求出当S n取最大值时，n的值．解：∵等差数列{a n}中，其前n项和为S n，且a7+a8＞0，a7+a9＜3，∴2a1+13d＞0且7a1+14d＜0，当S n取最大值时，n＝7．故选：D．10．在空间四边形ABCD中，已知AD＝2，BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF ＝，则异面直线AD与BC所成角的大小为（）A．B．C．D．【分析】取BD中点O，连结EO、FO、EF，则OE∥AD，OF∥BC，从而∠EOF是异面直线AD与BC所成角（或所成角的补角），利用余弦定理能求出异面直线AD与BC 所成角．解：取BD中点O，连结EO、FO、EF，∵AD＝2，BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，∴∠EOF是异面直线AD与BC所成角（或所成角的补角），∴cos∠EOF＝＝＝﹣，∴异面直线AD与BC所成角为：π﹣∠EOF＝．故选：C．11．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝3，b+c＝5，tan A+tan B+＝tan A•tan B，则△ABC的面积为（）A．B．3C．D．【分析】由两角和的正切公式求出A+B的值，再求出C的值，利用余弦定理求出b的值，即可计算△ABC的面积．解：△ABC中，tan A+tan B+＝tan A•tan B，所以tan A+tan B＝﹣（1﹣tan A tan B），又A+B∈（0，π），所以A+B＝，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣5ab cos C＝9+b2﹣2×，又b+c＝5，…②所以△ABC的面积为S△ABC＝ab sin C＝×3××＝．故选：A．12．矩形ABCD中，BC＝2AB＝2，N为边BC的中点，将△ABN沿AN翻折成△B1AN（B1∉平面ABCD），M为线段B1D的中点，则在△ABN翻折过程中，下列命题：①与平面B1AN垂直的直线必与直线CM垂直；②线段CM的长为；③异面直线CM与NB1所成角的正切值为；④当三棱锥D﹣ANB1的体积最大时，三棱锥D﹣ANB1外接球表面积是4π．正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】取AB1的中点为E，AD的中点为F，连接EN，EM，FN，B1F，推出CM∥平面AB1N判断①；求解距离判断②；求出异面直线CM与NB1的所成角为∠ENB1的正切函数值判断③；求出三棱锥D﹣ANB1的体积最大时三棱锥D﹣ANB1外接球的球心，进一步求得半径，得外接球的表面积判断④．解：如图，取AB1的中点为E，AD的中点为F，连接EN，EM，FN，B1F，得EM∥AD∥NC，EM＝AD＝NC，则四边形CNEM为平行四边形，∴直线CM∥平面AB1N，故①正确；∵CM∥EN，∴异面直线CM与NB1的所成角为∠ENB2，tan，故③正确；AB1＝1，，∴∠AB2D＝90°，同理∠AND＝90°，∴正确的命题是①③④，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．直线x+y+1＝0的倾斜角的大小为．【分析】化直线的一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角．解：由x+y+1＝0，得，设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），∴θ＝．故答案为：．14．在△ABC中，若b＝5，B＝，cos A＝，则a＝2．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，进而根据正弦定理即可求解a的值．解：∵cos A＝，∴sin A＝＝，∴由正弦定理，可得a＝＝＝2．故答案为：2．15．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•＝5，•＝﹣2，则•的值是．【分析】把所用向量都用表示，结合已知求出的值，则的值可求．解：因为，，于是．故答案为：．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的面积为y，设BP＝x，则当x∈时，函数y＝f（x）的值域为[，]．【分析】根据对称性可得：当x＝或时，三角形的面积最小，当x＝，即P在BD1中点时，截面为正六边形的面积最大，分别求得最值即可．解：如图：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，∵x∈，根据对称性可得：当x＝或时，三角形的面积最小，∴t＝，∴y min＝×＝．此时正六边形的边长为＝，故截面面积为6××＝．故答案为：[，]．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，计60分）17．已知两直线l1：2x﹣y+7＝0，l2：x+y﹣1＝0，A（m，n）是l1和l2的交点，（1）求m，n的值；（2）求过点A且垂直于直线l1的直线l3的方程；（3）求过点A且平行于直线l：2x﹣3y﹣1＝0的直线l4的方程．【分析】（1）把两直线的方程联立方程组，求得此方程组的解，即可得到m，n的值．（2）由（1）可得A的坐标，再根据两直线垂直，斜率之积等于﹣1求得直线l3的斜率，用点斜式求得直线l3的方程．（3）根据两直线平行，斜率相等，求得直线l4的斜率，用点斜式求得直线l4的方程．解：（1）因为A（m，n）是l1和l2的交点，所以，…解得．…因为，l3⊥l1，所以，…（3）因为l4∥l，所以，…由点斜式得，，即2x﹣3y+13＝0．…18．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝81，a3+a5＝14．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和为T n．【分析】（1）直接利用等差数列的性质的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法的应用求出数列的和．解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝81，a3+a5＝14，所以，解得，（2）由于a n＝2n﹣2，所以＝．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B 上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F：（2）直线B1D⊥平面A1C1F．【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）证明B1D⊥A1C1，利用A1F⊥B1D，A1F∩A1C1＝A1，即可证明B1D⊥平面A1C1F．解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴DE∥A2C1，∴DE∥平面A1C1F；∴B1D⊥A1C6，∴B1D⊥平面A1C1F．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知：c﹣a＝2b sin（C﹣）．（1）求∠B；（2）若△ABC面积为，求△ABC的周长的最小值．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin C≠0，可得sin（B+）＝，结合范围B+∈（，），可得B+＝，进而解得B的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac＝4，利用余弦定理，基本不等式，即可计算得解△ABC周长的最小值．解：（1）∵c﹣a＝2b sin（C﹣）＝2b（sin C﹣cos C）＝b sin C﹣b cos C，∴由正弦定理可得sin C﹣sin A＝sin B sin C﹣sin B cos C，∴sin C﹣sin C cos B＝sin B sin C，∴1﹣cos B＝sin B，可得sin（B+）＝，∴B+＝，可得B＝．∴△ABC的面积为＝ac sin B＝ac，解得：ac＝4，当且仅当a＝c＝6时等号成立，此时△ABC周长取最小值为4+2．21．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC：（2）（理科做）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．（3）（文科做）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD，说明理由．【分析】（1）推导出BC⊥平面CMD，从而BC⊥DM，推导出DM⊥CM，从而DM⊥平面BMC，由此能证明平面AMD⊥平面BMC．（2）（理科做）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，M为CD中点，以D为原点，DA为x 轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．（3）（文科做）当P为AM中点时，连结AC，BD，交于点O，则O是AC的中点，连结OP，推导出MC∥OP，从而MC∥平面PBD．解：（1）证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD，∵BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面CMD，∵M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，∴DM⊥CM，∵DM⊂平面AMD，∴平面AMD⊥平面BMC．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，＝（﹣2，1，1），＝（0，2，0），＝（2，0，0），则，取x＝1，得＝（1，5，2），∴cos＜＞＝＝，∴面MAB与面MCD所成二面角的正弦值为．证明如下：∵ABCD是矩形，∴O是AC的中点，连结OP，∵MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，∴MC∥平面PBD．22．已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1＝1，{b n}为等比数列且各项均为正数，b1＝1，且满足：b2+S2＝7，b3+S3＝22．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）记c n＝，求{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）若不等式（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q＞0，由a1＝1，b1＝1，且满足：b2+S2＝7，b3+S3＝22．可得q+2+d＝7，q2+3+3d＝22，联立解出即可得出．（Ⅱ）c n＝＝，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．（Ⅲ）不等式（﹣1）n•m﹣T n＜，即（﹣1）n•m﹣4+（2+n）＜，化为：（﹣1）n•m＜4﹣．对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q＞0，∵a1＝1，b6＝1，且满足：b2+S2＝7，b3+S4＝22．∴a n＝1+（n﹣1）＝n，b n＝4n﹣4．∴{c n}的前n项和T n＝1++3×+…+，∴＝1+++…+﹣n＝﹣＝2﹣（2+n），（Ⅲ）不等式（﹣1）n•m﹣T n＜，即（﹣1）n•m﹣4+（2+n）＜，当n为偶数时，m＜4﹣＝．∵（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，∴实数m的取值范围是．。
黑龙江高一高中数学期末考试带答案解析
黑龙江高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．2.给出下列命题：①；②；③；④．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．①④3.焦点在轴上，焦距等于，离心率等于的椭圆的标准方程是（）A．B．C．D．4.若，则直线必不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5.在中，角的对边满足，且，则的面积等于（）A．B．4C．D．86.等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（）A．B．C．D．87.已知直线与垂直，则的值是（）A．或B．C．D．或8.直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为（）A．B．C．D．9.下列函数中，的最小值为的是（）A．B．C．D．10.已知圆的圆心位于直线上，且圆与直线和直线均相切，则圆的方程为（）A．B．C．D．11.椭圆焦点在轴上，离心率为，过作直线交椭圆于两点，则周长为（）A．3B．6C．12D．2412.已知点、是椭圆的左右焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，若为锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知向量，若向量与垂直，则=____________.2.设x，y满足约束条件，则的最小值为____________ .3.已知数列中，，且，，则数列的前20项和为_______.4.已知为椭圆上的一个点，，分别为圆和圆上的点，则的最小值为．三、解答题1.已知平面内两点.（1）求的中垂线方程；（2）求过点且与直线平行的直线的方程．2.已知向量（1）若，求的值；（2）求的最大值．3.在中,角、、所对的边分别为、、,且满足.（1）求角的大小；（2）求的周长的最大值.4.等差数列的前项和为，且满足（1）求数列的前项和；（2）设，求数列的前项和．5.已知圆的方程:（1）求的取值范围；（2）圆与直线相交于两点，且 (为坐标原点)，求的值．6.已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率e＝，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(－a，0)．若|AB|＝，求直线l的倾斜角．黑龙江高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意有，解得.2.给出下列命题：①；②；③；④．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【解析】当时，命题①错误；当时，命题②错误；据此排除ABD选项.本题选择C选项.3.焦点在轴上，焦距等于，离心率等于的椭圆的标准方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设椭圆方程为：，由题意可得：，解得：，则椭圆的标准方程为：.本题选择D选项.4.若，则直线必不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】令x =0，得y =sinα<0，令y =0，得x =cosα>0， 直线过(0,sinα)，(cosα,0)两点，因而直线不过第二象限。
黑龙江省重点名校2019-2020学年高一下学期期末检测数学试题含解析
黑龙江省重点名校2019-2020学年高一下学期期末检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列极限为1的是（ ） A ．lim(0.999)n →∞（n 个9）B ．lim (1)(0.9999)n nn →∞-⋅⎢⎥⎣⎦C ．2lim n n n π-→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．2273lim 714n n n n n →∞++++【答案】A 【解析】 【分析】利用极限的运算逐项求解判断即可 【详解】对于A 项，极限为1，对于B 项，极限不存在，对于C 项，极限为1．对于D 项，222273lim =lim 71473117144n n n n n n nn n n →∞→∞++=++++++， 故选：A ． 【点睛】本题考查的极限的运算及性质，准确计算是关键，是基础题 2．在△ABC 中角ABC 的对边分别为A ．B ．c ，cosC ＝19，且acosB+bcosA ＝2，则△ABC 面积的最大值为（） AB．9CD【答案】D 【解析】 【分析】首先利用同角三角函数的关系式求出sinC 的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用求出结果． 【详解】△ABC 中角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，cosC 19=， 利用同角三角函数的关系式sin 1C+cos 1C ＝1， 解得sinC =利用余弦定理222222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=，解得c ＝1．所以c 1＝a 1+b 1﹣1abcosC ， 整理得42229a b ab =+-， 由于a 1+b 1≥1ab ，故1649ab ≥， 所以94ab ≤．则11922492ABCSabsinC =≤⋅⋅=，△ABC 故选D ． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题． 3．已知x 、y 的取值如下表所示：如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为4y x b =-+ ，则b =（ ） A ．10 B ．11C ．212 D ．434【答案】A 【解析】 【分析】计算出x 、y ，再将点(),x y 的坐标代入回归直线方程，可求出b 的值. 【详解】由表格中的数据可得2345645x ++++==，9786575y ++++==，由于回归直线过样本的中心点(),x y ，则有3474b -⨯+=，解得10b =，故选：A.【点睛】本题考查回归直线方程中参数的计算，解题时要充分利用回归直线过样本的中心点(),x y 这一结论，考查计算能力，属于基础题.4．已知点(1,1)A 和点(4,4)B ， P 是直线10x y -+=上的一点，则||||PA PB +的最小值是（ ） A ．36 B ．34C ．5D ．25【答案】D 【解析】 【分析】求出A 关于直线l ：10x y -+=的对称点为C ，则BC 即为所求 【详解】 如下图所示：点(1,1)A ，关于直线l ：10x y -+=的对称点为C （0,2），连接BC,此时||||PA PB +的最小值为16425BC =+=故选D ．【点睛】本题考查的知识点是两点间距离公式的应用，难度不大，属于中档题． 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）C ．223D ．203【答案】A 【解析】该立方体是正方体，切掉一个三棱柱， 所以体积为826-=，故选A 。
黑龙江省大庆市重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学调研试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是（ ）A ．d ac =B ．a cd =C ．c ad =D ．d a c =+2．已知集合{|(1)(4)0}A x x x =--≤， 5{|0}2x B x x -=≤-，则A B =( ) A ．{|12}x x ≤≤ B ．{|12}x x ≤< C ．{|24}x x ≤≤D ．{|24}x x <≤ 3．已知实数x ，y 满足1x >，1y >，且1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有（ ） A ．最大值e B ．最大值e C ．最小值e D ．最小值e4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．10B ．20C ．30D ．605．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ）A 7B 10C 13D ．46．已知0x >，函数4y x x =+的最小值是（ ） A ．4 B ．5C ．8D ．6 7．记复数z 的虚部为Im()z ，已知z 满足12iz i =+，则Im()z 为（ ）A ．1-B ．i -C ．2D ．2i8．实数数列21,,4,a b 为等比数列，则a =（ ）A ．-2B ．2C ．2±D ．22±9．边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域.向正方形中随机地撒200粒芝麻，大约有80粒落在阴影区域内，则此阴影区域的面积约为（ ）A ．125B ．85C ．35D ．2510．设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB ．若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥β D ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若60A =，1b =，ABC S ∆=,则a 的值为( )A ．4BC ．2D 12．在区间[2,7]-上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x -≥”发生的概率是（ ）A ．13B ．59C ．79D ．89二、填空题：本题共4小题13．若直线10ax y ++=与直线20x ay +-=互相平行，那么a 的值等于_____．14．将函数f （x ）＝cos （2x 12+π）的图象向左平移8π个单位长度后，得到函数g （x ）的图象，则下列结论中正确的是_____．（填所有正确结论的序号）①g （x ）的最小正周期为4π；②g （x ）在区间[0，3π]上单调递减； ③g （x ）图象的一条对称轴为x 12=π； ④g （x ）图象的一个对称中心为（712π，0）． 15．住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．16．数列{n a }的前n 项和为n S ，若1cos ()2n n a n n N π*=+∈，则{n a }的前2019项和2019S =____. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
黑龙江省大庆市重点名校2019-2020学年高一下学期期末教学质量检测数学试题含解析
黑龙江省大庆市重点名校2019-2020学年高一下学期期末教学质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A．2 15πB．320πC．2115π-D．3120π-【答案】C【解析】【分析】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】2251213+=，设内切圆的半径为r，则51213r r-+-=，解得2r.所以内切圆的面积为24rππ=，所以豆子落在内切圆外部的概率42P111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C．【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误．2．要得到函数2sin25y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需要将函数2sin25y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像（）A ．向右平移25π个长度单位 B ．向左平移25π个长度单位 C ．向右平移5π个长度单位 D ．向左平移5π个长度单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据()sin y A x ωϕ=+的图像变换规律求解即可 【详解】设平移量为θ，则由2sin 22sin 22sin 22sin 25101010y x x y x x ππππθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-→=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足：10105x x πππθθ-+=+⇒=，故由2sin 25y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移5π个长度单位可得到2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图像变换规律，属于基础题3．在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 没有公共点，则三角形1PBB 面积的最小值为（ ）A ．1B ．12C ．2D ．4【答案】D 【解析】 【分析】根据直线1D P 与平面EFG 没有公共点可知1D P ∥平面EFG .将截面EFG 补全后,可确定点P 的位置,进而求得三角形1PBB 面积的最小值. 【详解】由题意E ,F ,G 分别是棱AB ,BC ,1CC 的中点,补全截面EFG 为EFGHQR ,如下图所示:因为直线1D P 与平面EFG 没有公共点所以1D P ∥平面EFG ,即1D P ∥平面EFGHQR ,平面EFG ∥平面EFGHQR 此时P 位于底面对角线AC 上,且当P 与底面中心O 重合时,BP 取得最小值 此时三角形1PBB 的面积最小111122122PBB S OB BB ∆=⨯⨯==故选:D【点睛】本题考查了直线与平面平行、平面与平面平行的性质与应用,过定点截面的作法,属于难题. 4．设△ABC 的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，4a =，43b =30A =，则B =（ ） A ．60 B ．60或120C ．30D ．30或150【答案】B 【解析】试题分析：因为4a =，43b =，30A =，由正弦定理sin 3sin sin sin a b b A B A B a =⇒==，因为B 是三角形的内角，且b a >，所以60120B =︒︒或，故选B ． 考点：正弦定理5．不等式2230x x +->的解集为（ ）A ．()3,1-B ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞C ．()1,3-D ．(,1)(3,)-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】把不等式左边的二次三项式因式分解后求出二次不等式对应方程的两根，结合二次函数的图象可得二次不等式的解集． 【详解】由2230x x +->,得(x−1)(x+3)>0，解得x<−3或x>1. 所以原不等式的解为(,3)(1,)-∞-⋃+∞， 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，求出二次方程的根结合二次函数的图象可得解集，属于基础题. 6．已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．ab a b >+ C ．22a b > D ．3223a ab a b b +>+【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，一一进行判断即可得出正确结果． 【详解】 A.11a b<，取11a b =>=-，显然不成立，所以该选项错误； B. ab a b >+，取1,1a b ==-，显然不成立，所以该选项错误； C. 22a b >，取2,3a b ==-，显然不成立，所以该选项错误；D. 3223a ab a b b +>+，由已知220a b +>且a b >，所以2222()()a a b b a b +>+， 即3223a ab a b b +>+．所以该选项正确. 故选：D ． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于容易题．7．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB|=,|DE|=则C 的焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】 【详解】如图,设抛物线方程为22y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则22AC =,即A 点纵坐标为22,则A 点横坐标为4p ,即4OC p=,由勾股定理知2222DF OF DO r +==,2222AC OC AO r +==,即22224(5)()(22)()2p p+=+,解得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B.【点睛】8．边长为4的正三角形ABC 中，点D 在边AB 上，12AD DB =，M 是BC 的中点，则AM CD ⋅=（ ） A ．16 B ．123C ．3-D ．8-【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】()11·23AM CD AB ACAB AC ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭22112cos 60233AB AC AB AC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭221121444482332⎛⎫=⨯--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭，故选D ． 9．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B 【解析】22(22)(10)17++-=2,3，321723∴-<<+，所以两圆相交 ．故选C ．考点：圆与圆的位置关系．10．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( ) A ．92，2 B ．92，2.8C ．93，2D ．93，2.8【答案】B 【解析】 【分析】由平均数与方差的计算公式，计算90，90， 93，94，93五个数的平均数和方差即可. 【详解】90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后是90，90， 93，94，93， 所以其平均数为9090939493925++++=，因此方差为()()()()()2222290929092939294929392441412.855-+-+-+-+-++++==.故选B 【点睛】本题主要考查平均数与方差的计算，熟记公式即可，属于基础题型. 11．数列1-，3，5-，7，9-，，的一个通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．(1)(12)nn a n =-- C ．(1)(21)nn a n =--D ．1(1)(21)n n a n +=--【答案】C 【解析】 【分析】首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式． 【详解】∵数列{a n }各项值为1-，3，5-，7，9-，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列， ∴|a n |＝2n ﹣1又∵数列的奇数项为负，偶数项为正， ∴a n ＝（﹣1）n （2n ﹣1）． 故选：C ． 【点睛】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖掘其规律是关键．解题时应注意数列的奇数项为负，偶数项为正，否则会错．12．半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（ ）A ．2B ．0C ．-2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】将PA PB +转化为2PO ，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值. 【详解】画出图像如下图所示，()22PA PB PC PO PC PO PC +⋅=⋅=-⋅2222PO PC ⎛⎫+⎪≥-=- ⎪⎝⎭,等号在PO PC =，即P 为OC 的中点时成立.故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题：本题共4小题13．函数22cos 1y x =-的最小正周期是______． 【答案】π 【解析】 【分析】由二倍角的余弦函数公式化简解析式可得()cos2f x x =，根据三角函数的周期性及其求法即可得解． 【详解】()()22cos 11cos21cos2f x x x x =-=+-=．∴由周期公式可得：22T ππ==． 故答案为.π 【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．14．下列关于函数sin y x =与arcsin y x =的命题中正确的结论是______. ①它们互为反函数；②都是增函数；③都是周期函数；④都是奇函数. 【答案】④ 【解析】 【分析】利用反函数，增减性，周期函数，奇偶性判断即可 【详解】 ①，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，sin y x =的反函数是arcsin y x =，故错误； ②，当2,2,22x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，sin y x =是增函数，故错误；③，arcsin y x =不是周期函数，故错误； ④，sin y x =与arcsin y x =都是奇函数，故正确 故答案为④ 【点睛】本题考查正弦函数及其反函数的性质，熟记其基本性质是关键，是基础题15．已知点(3,1)和(4,6)在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是__________. 【答案】70a -<< 【解析】试题分析：若点A （3，1）和点B （4，6）分别在直线3x-2y+a=0两侧，则将点代入直线中是异号，则[3×3-2×1+a]×[3×4-2×6+a]＜0，即（a+7）a ＜0，解得-7＜a ＜0，故填写-7<a<0 考点：本试题主要考查了二元一次不等式与平面区域的运用．点评：解决该试题的关键是根据A 、B 在直线两侧，则A 、B 坐标代入直线方程所得符号相反构造不等式． 16．若复数满足（其中为虚数单位），则________.【答案】 【解析】 设，则由，得，则，解得，即，即.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年___高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年___高一下学期期末数学试卷 (解析版)2019-2020学年___高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）1.若复数z1对应复平面内的点（2，-3），且z1·z2=1+i，则复数z2的虚部为（）A。
-1.B。
1.C。
-2.D。
22.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A。
若m∥α，m∥β，则α∥βB。
___⊥α，___，则n⊥αC。
___⊥α，___，则n⊥αD。
若α⊥β，m⊥α，则___β3.设x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2,-4)，且a⊥b，a∥c，则|a+b|+|a-c|=（）A。
2√10.B。
4√2.C。
4√5.D。
104.某社区组织“研究强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组[40，50），第2组[50，60），第3组[60，70），第4组[70，80），第5组[80，90），第6组[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图。
现采用分层抽样的方法，从第3，4组中按分层抽样抽取8人，3，4组抽取的人数依次为（）A。
1，3，4.B。
2，3，3.C。
2，2，4.D。
1，1，65.雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在___校园中就有一座___的雕像。
雕像由像体AD和底座CD两部分组成。
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）。
A。
4.0米。
B。
4.2米。
C。
4.3米。
D。
4.4米6.如图，△ABC中，D是边BC上一点，AD=3，则（）A。
△ABC和△ADB的面积比为2:1B。
2020-2021学年黑龙江省大庆中学高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年黑龙江省大庆中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.某校高中三个年级人数扇形图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为()A. 24B. 30C. 32D. 352.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x甲−、x乙−标准差分别为σ甲、σ乙，则()A. x甲−<x乙−，σ甲<σ乙B. x甲−<x乙−，σ甲>σ乙C. x甲−>x乙−，σ甲<σ乙D. x甲−>x乙−，σ甲>σ乙3.如图，在直棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=CC1，AB⊥BC，E为BC的中点，F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的正切值为()A. 2√55B. 23C. √52D. √534. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗−56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 若cos(30°−α)−sinα=13，则sin(30°−2α)=( )A. 13B. −13C. 79D. −796. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(1,√3)，则b ⃗ 在a⃗ 上的投影向量为( ) A. −14a⃗ B. 14a⃗ C. −a ⃗ D. a⃗ 7. 学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进行中，小明必须再胜2盘才最后获胜，小杰必须再胜3盘才最后获胜，若两人每盘取胜的概率都是12，则小明连胜2盘并最后获胜的概率是( )A. 14B. 38C. 716D. 15328. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2acosA =bcosC +ccosB ，当△ABC的外接圆半径R =2时，△ABC 面积的最大值为( )A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√39. 已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D 为BC 的中点，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( )A. −2B. −32C. −3D. −610.在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AB、AC上，DE//BC，AD=√3BD，将△ADE沿DE折起，连接AB，AC，当四棱锥A−BCED体积最大时，二面角A−BC−D的大小为A. π6B. π4C. π3D. π2二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）11.下列命题为真命题的是()A. 若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B. 若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=iC. 复数5i−2的共轭复数为−2−iD. 复数为−2−i的虚部为−112.已知α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是()A. 若m⊥α，n⊥α，则m//nB. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC. 若α∩β=l，m//α，m//β，则m//lD. 若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.烟花三月、草长莺飞，樱花、桃花、梨花、苹果花、牡丹花陆陆续续地都开放了，周老师准备从这5种花中任选出3种去旅游观赏，则恰巧选中桃花与牡丹花的概率为______．14.已知一组数据4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，则该组数据的第25百分位数是______．15.如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500m，则山高MN=______m.16.已知A、B、C、D为同一球面上的四个点.在△ABC中，∠BAC=2π3，AB=AC=2√3；AD=6，AD⊥平面ABC，则该球的体积为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组后，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题：(1)求分数[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；18.已知函数f(x)=2sinxcos(x+π3)+√32．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)+m≤0对x∈[0,π2]恒成立，求实数m的取值范围．19.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是√3，D是AC的中点．(1)求证：B1C//平面A1BD；(2)求三棱锥D−A1C1B的体积．20.2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；(2)(i)若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；(ii)已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2000，若18岁以上(含18岁)为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b+c+a)(b+c−a)=3bc．(1)求A的大小；(2)若cosBcosC=−1，且△ABC的面积为2√3，求a以及△ABC外接圆的面积．822.如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC=BC，(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成线面角的正切值．答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题考查的知识点是分层抽样，扇形图，属于基础题．根据分层抽样的方法，由样本中高一年级学生有8人，所占比例为25%，即可计算． 【解答】解：由分层抽样的方法可设样本中有高中三个年级学生人数为x 人， 则8x =14， 解得：x =32． 故选C ．2.【答案】C【解析】 【分析】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，是基础题．甲的整体成绩好，成绩波动小，所以甲的平均数大，标准差小． 【解答】解：由折线图得：x 甲−>x 乙−， 甲的成绩相对集中，成绩稳定些， 所以σ甲<σ乙， 故选C ．3.【答案】A【解析】解：连接BF ，由BE =C 1F ，且BE//C 1F ， 可得四边形BEC 1F 为平行四边形，即有C 1E//BF ，则∠AFB 为异面直线AF 与C 1E 所成角． 设AB =BC =CC 1=2，由B 1B ⊥平面ABC ，可得B 1B ⊥BA ， 由AB ⊥BC ，可得BA ⊥平面CBB 1C 1， 即有BC ⊥AB ，AB ⊥BF ， 所以tan∠AFB =AB BF=√4+1=2√55． 故选：A ．连接BF ，由平行四边形的判定和性质，可得C 1E//BF ，则∠AFB 为异面直线AF 与C 1E 所成角．由线面垂直的判定和性质，以及解直角三角形，可得所求值．本题考查异面直线所成角的求法，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：在平行四边形中，由已知可得：DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：D ．利用三角形法则即可求解．本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由cos(30°−α)−sinα=13，可得√32cosα−12sinα=13，即cos(30°+α)=13，所以sin(30°−2α)=cos(60°+2α)=2cos 2(30°+α)−1=2×19−1=−79． 故选：D ．先将已知的等式化简，再利用诱导公式和二倍角公式化简求解．本题考查了三角函数的化简求值问题，主要考查了二倍角公式、两角和差公式的运用，解决此类问题的关键是将要求的角转化为已知的角表示，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：由题意可得，b ⃗ 在a ⃗ 上的投影向量为|b ⃗ |cosθa ⃗ ，∵b ⃗ =(1,√3)，|b ⃗ |=2，a ⃗ 为单位向量，a ⃗ =(1,0)，且a ⃗ 与b ⃗ 夹角为θ=π3，∴|b ⃗ |cosθa ⃗ =2×12×a ⃗ =a ⃗ ．故选：D ．由题意可得，b ⃗ 在a ⃗ 上的投影向量为|b ⃗ |cosθa ⃗ ，将已知条件代入，即可求解． 本题考查了向量的投影，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】 【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件的概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用相互独立事件概率乘法公式直接求解． 【解答】解：学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进行中，小明必须再胜2盘才最后获胜，小杰必须再胜3盘才最后获胜， 两人每盘取胜的概率都是12，则小明连胜2盘并最后获胜的概率是： p =(12)2+12×(12)2+(12)2×(12)2=716．故选：C ．8.【答案】C【解析】解：∵2acosA =bcosC +ccosB ，∴由正弦定理可得2sinAcosA =sinBcosC +sinCcosB ，即2sinAcosA =sin(B +C)=sinA ， ∵A ∈(0,π)，∴cosA =12，即A =π3，由余弦定理，(2√3)2=b 2+c 2−2×bc ×12≥2bc −bc ， 则bc ≤12，(当且仅当b =c 时等号成立)，∴△ABC 的面积S =12bcsinA ≤12×12×√32=3√3，当且仅当b =c 时，等号成立，故选：C ．根据正弦定理，以及三角函数的两角和公式，可得A =π3，再结合余弦定理、以及三角形面积公式，即可求解．本题考查了解三角形的正弦定理、余弦定理，以及三角函数的两角差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．9.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查了平面向量的数量积，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解题的关键． 建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用坐标法结合平面向量数量积的定义，求最小值即可．【解答】解：以BC 中点D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A(0,2√3)，B(−2,0)，C(2,0)， 设P(x,y)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,2√3−y)， PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,−y)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−y)， 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−x ⋅(−2x)+(2√3−y)⋅(−2y) =2x 2−4√3y +2y 2=2x 2+2(y −√3)2−6；所以当x =0，y =√3时，PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )取得最小值−6． 故选D ．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，是中档题．由题意画出图形，可知当△ADE ⊥平面BCED 时，四棱锥A −BCED 体积最大，找出二面角A −BC −D 的平面角，结合已知可得二面角A −BC −D 的平面角的正切值，则答案可求．【解答】解：如图，∵AB =AC ，∴△ABC 为等腰三角形，过A 作BC 的垂线AH ，垂足为H ，交DE 于G ，∴当△ADE ⊥平面BCED 时，四棱锥A −BCED 体积最大．由DE ⊥AG ，DE ⊥GH ，AG ∩GH =G ，可得DE ⊥平面AGH ，又BC//DE ，则BC ⊥平面AGH ，∴∠AHG 为二面角A −BC −D 的平面角，在Rt △AGH 中，由AG GH =ADDB =√3，∴tan∠AHG =AG GH =√3，则二面角A −BC −D 的大小为π3．故选：C ．11.【答案】AD【解析】解：若z1，z2互为共轭复数，设z1=a+bi，z2=a−bi，则z1z2=a2+b2是实数，所以A正确；若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=i3=−i，所以b不正确；复数5i−2=5(−2−i)(−2+i)(−2−i)=−2−i，所以复数5i−2的共轭复数为−2+i，所以C不正确；复数为−2−i的虚部为−1，满足复数的定义，所以D正确；故选：AD．利用复数的运算法则判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断与应用，复数的基本运算，是基础题．12.【答案】AC【解析】解：α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，对于A，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质得m//n，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若α∩β=l，m//α，m//β，则由线面平行的性质得m//l，故C正确；对于D，若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则直线m与β相交不一定垂直，故D错误．故选：AC．对于A，由线面垂直的性质得m//n；对于B，m与n相交、平行或异面；对于C，由线面平行的性质得m//l；对于D，m与β相交但不一定垂直．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力等数学核心素养，是中档题．13.【答案】310【解析】解：设樱花、梨花、苹果花为1，2，3，桃花与牡丹花为M和N，从中选3种花去旅游观赏的基本事件为：123，12M，12N，13M，13N，1MN，23M，23N，2MN，3MN，共10种，其中含有桃花与牡丹花的事件有：1MN，2MN，3MN，共3个，∴恰巧选中桃花与牡丹花的概率为P=310．故答案为：310．设樱花、梨花、苹果花为1，2，3，桃花与牡丹花为M和N，从中选3种花去旅游观赏，利用列举法能求出恰巧选中桃花与牡丹花的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】4.7【解析】解：数据从小到大排列为4.2，4.7，5.0，5.3，5.5，6.1，共6个，∵6×25%=1.5，∴第25百分位数是4.7．故答案为：4.7．直接利用百分位数的定义求解即可．本题考查了百分位数的求解，解题的关键是掌握百分位数的定义，属于基础题．15.【答案】750【解析】解：在Rt△ABC中，∠CAB=45°，BC=500m，所以AC=500√2m；在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，由正弦定理得，ACsin45∘=AMsin60∘，因此AM=500√2×√32√22=500√3m；在Rt△MNA中，AM=500√3m，∠MAN=60°，由MNAM=sin60°，得MN=500√3×√32=750m．故答案为：750．利用直角三角形求出AC，由正弦定理求出AM，再利用直角三角形求出MN的值．本题主要考查了正弦定理的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．16.【答案】28√21π【解析】解：由题意，设△ABC外接圆的圆心为G，球心为O，把A、B、C、D扩展为三棱柱，AD=6，AB=AC=2√3，OG=3，△ABC中，BC=√12+12−2×2√3×2√3×(−12)=6，∴AG=12×6√32=2√3，得球半径AO=√12+9=√21．所求球的体积为V=43π×(√21)3=28√21π，故答案为：28√21π．把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积本题考查球的表面积的求法，球的内接体问题，考查空间想象能力以及计算能力．17.【答案】解：(1)设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，则有(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1，可得x=0.30，所以频率分布直方图为：(2)以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，所以中位数是70+10×13=7313，所以估计本次考试成绩的中位数为7313．【解析】(1)利用所有小矩形的面积之和为1，求得分数在[70,80)内的频率，再根据小矩形的高=频率组距求得小矩形的高，补全频率分布直方图；(2)根据中位数的左、右两边的小矩形的面积之和相等，求从左数频率之和等于0.5的横坐标的值；本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数、频数，考查了古典概型的概率计算，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=频数样本容量．18.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=2sinxcos(x+π3)+√32．=2sinx(12cosx−√32sinx)+√32=sinxcosx−√3sin2x+√3 2=12sin2x+√32cos2x=sin(2x+π3)．所以函数的最小正周期为T=2π2=π．(Ⅱ)f(x)+m≤0对x∈[0,π2]恒成立，所以f(x)max+m≤0，由于x∈[0,π2]，所以2x+π3∈[π3,4π3]．当2x+π3=π2时，即x=π12时，m+1≤0时，实数m的取值范围为(−∞,−1]．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．(Ⅱ)利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．19.【答案】证明：(1)设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，∵D为AC中点，∴PD//B1C，又∵PD⊂平面A1BD，∴B1C//平面A1BD；解：(2)连接DB1，则V D−A1B1C =V B1−A1DC，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1//平面AA1C1C，则B1与B到平面DA1C的距离相等，∵D为AC的中点，∴BD⊥AC，又平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴BD⊥平面AA1C1C，在等边三角形ABC中，由AB=2，得BD=√3，又正三棱柱的侧棱长为√3，∴S△DA1C =12×1×√3=√32，∴V D−A1B1C =V B1−A1DC=13×√32×√3=12．【解析】(1)设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则PD//B1C，再由直线与平面平行的判定可得B1C//平面A1BD；(2)利用等体积法，即V D−A1B1C =V B1−A1DC求三棱锥D−A1C1B的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】解：(1)平均数x−=15×0.15+25×0.2+35×0.3+45×0.15+55×0.1+ (65+75)×0.05=37，前三组的频率之和为0.15+0.2+0.3=0.65，故中位数落在第3组，设为x，则(x−30)×0.03+0.15+0.2=0.5，解得x=35，即中位数为35．(2)(i)样本中，年龄在[50,70)的人共有40×0.15=6人，其中年龄在[50,60)的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60,70)的有2人，设为x，y则从中选取2人共有如下15个基本事件：(a,b)，(a,c)(a,d)，(a,x)，(a,y)，(b,c)(b,d)，(b,x)，(b,y)，(c,d)，(c,x)，(c,y)，(d,x)，(d,y)，(x,y)．至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：(a,x)，(a,y)，(b,x)，(b,y)，(c,x)，(c,y)，(d,x)，(d,y)，(x,y)．记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，故所求概率为P(A)=915=35．(ii)样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1−(18−10)×0.015=0.88，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88=1760．【解析】本题考查了频率分布直方图的识别和应用，考查了古典概型的概率计算，用频率分布直方图估计平均数和中位数．做题时要认真审题，准确把握题意，属于中档题．(1)以每一个小矩形的下方中点为该组的代表值，以频率为权加权平均即可得到平均数，根据中位数处于中间位置，即在中位数之前的数频率为0.5估计即可；(2)(i)样本中，年龄在[50,70)的人共有40×0.15=6人，其中年龄在[50,60)的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60,70)的有2人，设为x，y列举出取出的两人的所有情况，数出2人中至少有1人年龄不低于60岁包含的基本事件个数和基本事件的总数即可求出2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；(ii)以频率当做概率的近似值，又年龄在[10,80]内的总人数为2000，相乘即可得到估计值．21.【答案】解：(1)由(b+c+a)(b+c−a)=3bc，得b2+c2−a2=bc，即b2+c2−a22bc =12，由余弦定理得cosA=12；又A∈(0,π)，所以A=π3．(2)由(1)可得B+C=π3，所以cos(B+C)=cosBcosC−sinBsinC=−12；又因为cosBcosC=−18，所以sinBsinC=38；所以△ABC的面积为S△ABC=12bcsinA=12bcsinπ3=2√3，解得bc=8；由正弦定理asinA =bsinB=csinC=2R(R为△ABC外接圆的半径)，所以bc=4R2sinBsinC=4R2×38=8，解得R=√3；所以a=2RsinA=2√3×√32=4；所以△ABC 外接圆的面积为S =πR 2=16π3． 综上知：a =4，△ABC 外接圆面积为16π3．【解析】(1)由题意利用余弦定理求得cos A ，再根据特殊角三角函数值求出A 的值；(2)由三角形面积公式求出bc 的值，再利用正弦定理求出△ABC 外接圆的半径，从而求出a 和△ABC 外接圆的面积．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．22.【答案】(1)证明：∵ACDE 是正方形，∴AM ⊥EC ，∵正方形ACDE 所在平面与平面ABC 垂直，AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面ACDE ，∵AM ⊂平面ACDE ，∴AM ⊥BC ，∵EC ∩BC =C ，∴AM ⊥平面EBC ．(2)解：由题意，以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CD 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵边长为2的正方形ACDE 所在平面与平面ABC 垂直，AD 与CE 的交点为M ，AC ⊥BC ，且AC =BC ，∴A(2,0，0)，B(0,2，0)，E(2,0，2)，C(0,0，0)，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)， 设平面ABE 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， {n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0n⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,1，0)， CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)， 设直线EC 与平面ABE 所成线面角为θ，sinθ=|cos <EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|2√2×√8|=12， ∴θ=30°，∴tanθ=√33．∴直线EC与平面ABE所成线面角的正切值为√3．3【解析】(1)由已知得AM⊥EC，AC⊥BC，从而AM⊥BC，由此能证明AM⊥平面EBC．(2)以CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EC与平面ABE所成线面角的正切值．本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．。
黑龙江高一高中数学期末考试带答案解析
黑龙江高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.若函数的值域为，则＝．2.已知, 且点在的延长线上, , 则点的坐标为__________.3.若幂函数的图像不过原点，则实数的值为_______.4.已知为的外心，，，如果，其中、满足，则_________.二、选择题1.设集合，，则（）A．B．C．D．2.已知角的终边过点P(－6，8)，则的值是（）A．B．C．D．3.已知函数定义域是，则的定义域是（）A．B．C．D．4.已知平面向量，，若，则实数（）A．2B．﹣2C．4D．﹣45.方程的根所在的区间是（）A．B．C．D．6.设函数f（x）（x）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f(x)+f(2)，则（）A．0B．1C．D．57.若为锐角，，,则的值为（）A．B．C．D．8.已知非零向量满足，且，则与的夹角是（）9.函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A．B．C．D．10.已知函数（为常数，）的图像关于直线对称，则函数的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称11.已知函数的值域为R，则常数的取值范围是( )A．B．C．D．12.函数的所有零点之和等于（）A．B．C．D．三、解答题1.（1）若第三象限角,求；（2）若，求的值.2.已知且，求函数的值域．3.已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）将的图像向右平移个单位得到函数的图像，若，求函数的值域．4.已知点的坐标分别是，且. 若，求的值.5.已知函数为奇函数,（1）求的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）是否存在这样的实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由．6.已知函数在上单调递增,(1)若函数有实数零点，求满足条件的实数的集合；(2)若对于任意的时，不等式恒成立，求的取值范围.黑龙江高一高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.若函数的值域为，则＝．【答案】2【解析】因为＝＝，令，则，所以为奇函数，所以，所以，所以．【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的值域．2.已知, 且点在的延长线上, , 则点的坐标为__________.【答案】【解析】如图所示，，且点在的延长线上，，设，则，即，解得点坐标为，故答案为.3.若幂函数的图像不过原点，则实数的值为_______.【答案】1【解析】幂函数的图象不过原点，所以，解得，符合题意，故答案为.4.已知为的外心，，，如果，其中、满足，则_________.【答案】【解析】设，是的外心，所以的横坐标是，因为，所以，，即，故答案为.【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及外接圆的性质、向量的夹角，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，本题就是根据这种思路解答的．二、选择题1.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合，则，故选B.2.已知角的终边过点P(－6，8)，则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】角的终边过点，则，故选A.3.已知函数定义域是，则的定义域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数定义域是，所以，可得，即的定义域是，故选C.【方法点晴】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.4.已知平面向量，，若，则实数（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【答案】B【解析】因为，，所以，解得，故选B.5.方程的根所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，方程的根就是函数的零点，因为是单调递增函数，且，，所以函数的零点所在区间是，因此方程的根所在区间是，故选B.6.设函数f（x）（x）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f(x)+f(2)，则（）A．0B．1C．D．5【答案】C【解析】由，对，令,得，又为奇函数，，于是，令，得，于是，故选C.7.若为锐角，，,则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,解得,因为为锐角所以，故选B.8.已知非零向量满足，且，则与的夹角是（）【答案】A【解析】，且，则，又与的夹角是，故选A.9.函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图象可以看出，，则，将点代入中，得，，又函数表达式，故选D.10.已知函数（为常数，）的图像关于直线对称，则函数的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【答案】C【解析】因为函数（为常数，）的图像关于直线对称，所以，可得，，，函数的对称轴方程为，当时，对称轴为，数的图象关于关于直线对称,故选C.11.已知函数的值域为R，则常数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为时，，要使函数的值域为R，当时，的最小值不大于，即，得，又当时，恒成立，所以可得，，常数的取值范围，故选C.【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数的值域，属于难题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰，本题函数值域的值域为R本质上是两段函数函数值的范围的并集为.12.函数的所有零点之和等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的所有零点之和等于,函数的图象与函数的图象交点横坐标的和，画出两函数图象如图，两图象都关于对称，由图知共有八个交点，横坐标之和为，所以函数的所有零点之和等于.【方法点睛】本题主要考查函数的零点与函数图象交点的关系及数形结合思想，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1．确定方程根的个数；2．求参数的取值范围；3．求不等式的解集；4．研究函数性质．三、解答题1.（1）若第三象限角,求；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）.【解析】（1）利用同三角函数基本关系，结合象限角三角函数的符号，即可求的值；（2）运用诱导公式化简，再利用同三角函数基本关系求值.试题解析：（1）若第三象限角，则（2）2.已知且，求函数的值域．【答案】.【解析】由，可得，于是得到，利用对数的运算法则可得，再利用二次函数的单调性即可得出.试题解析：由得,,即，当，当故的取值范围为3.已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）将的图像向右平移个单位得到函数的图像，若，求函数的值域．【答案】（Ⅰ）．单调递增区间为[－+k，+k]，; （Ⅱ）．【解析】（1）首先通过三角函数的恒等变换，把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用三角函数的性质求出函数的周期和单调区间；（2）利用上步的结论，进一步利用函数的定义域求出三角函数的值域.试题解析：（Ⅰ）f（x）=c o sx（s i nx+c o sx）+1=c o s2x+s i nxc o sx+1=c o s2x+s i n2x+=s i n（2x+）+∵T===即函数f（x）的最小正周期为．由f（x）=s i n（2x+）+由2k－≤2x+≤2k+，解得：－+k≤x≤+k，故函数f（x）=s i n（2x+）+的单调递增区间为[－+k，+k]，.（Ⅱ），x [－,]，－≤2x≤，∴－≤≤1∴函数的值域为．4.已知点的坐标分别是，且. 若，求的值.【答案】.【解析】由的坐标表示出与，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，求出的值，两边平方利用同角三角函数间基本关系求出的值，根据的范围求出的范围，进而求出的值，原式分子提取，分母利用同角三角函数间基本关系化简，整理后将各自的值代入计算即可求出值.试题解析：，.，，，得，.又，所以，.所以.5.已知函数为奇函数,（1）求的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）是否存在这样的实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由．【答案】（1）a=3；（2）减函数；（3）.【解析】（1）由可得结果；（2）利用定义法，任取判断的符号即可判断函数的单调性；（3）利用函数的单调性和三角函数的性质求恒成立问题.试题解析：（1）因为是奇函数，所以，可得a=3.（2）任取是上的减函数；（3）是上的减函数令同理：由得：由得：即综上所得：,所以存在这样的k,其范围为.【方法点晴】本题主要考查利用函数的奇偶性、单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得的范围.6.已知函数在上单调递增,(1)若函数有实数零点，求满足条件的实数的集合；(2)若对于任意的时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1);（2）.【解析】(1)数形结合，开口向上，对称轴为，与轴交于点图象有两种可能，一是对称轴在轴左侧，另一个是，对称轴在轴右侧，为使函数有实数零点，则函数图象应与轴有大于零的交点横坐标，所以，对称轴应在轴右侧，即，又因为在上单调递增，所以；（2）令，只需且解不等式组，即可求的取值范围.试题解析：（1）函数级单调递增区间是，因为在上单调递增，所以；令，则函数有实数零点，即：在上有零点，只需：方法一解得方法二解得综上：，即（2）化简得因为对于任意的时，不等式恒成立，即对于不等式恒成立，设（）法一当时，即不符合题意当时，即，只需得从而当，即，只需得或，与矛盾法二得综上知满足条件的的范围为【方法点睛】本题主要考查函数的单调性、函数的零点及不等式恒成立问题，已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．。
2019-2020学年大庆实验中学高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年大庆实验中学高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.当时，下列大小关系正确的是()A. B.C. D.2.已知{a n}是等差数列，a1+a3+a5=99，a2+a4+a6=93，S n表示{a n}的前n项和，则使S n达到最大值的n是()A. 18B. 19C. 20D. 213.已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且4a1为a m，a n的等比中项，则1m +4n的最小值为()A. 32B. 53C. 256D. 不存在4.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A. 6+4B. 4+4C. 6+2D. 4+25.tan18°+tan42°+tan120°tan198∘tan222∘=()A. −√3B. √3C. √33D. −√336.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为A. B. C. D.7.设实数x、y满足{x+2y≤62x+y≤6x≥0,y≥0，则z=max{2x+3y−1,x+2y+2}的取值范围是()A. [2,5]B. [2,9]C. [5,9]D. [−1,9]8.矩形ABCD沿BD将△BCD折起，使C点在平面ABD上投影在AB上，折起后下列关系：①△ABC是直角三角形；②△ACD是直角三角形；③AD//BC；④AD⊥BC.其中正确的是()A. ①②④B. ②③C. ①③④D. ②④9.−将直线l：y=2x+1绕点4(1,3)按逆时针方向旋转45°得到直线l′，则直线l′的方程为()A. 2x−y+1=0B. x−y+2=0C. 3x−2y+3=0D. 3x+y−6=010.四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为2√3的正方形，SA⊥平面ABCD，且SA=2√6，则此四棱锥的外接球的表面积为()A. 12πB. 24πC. 144πD. 48π11.已知数列{a n}满足a1=43，且a n+1−1=a n(a n−1)(n∈N∗)，m=1a1+1a2+⋯+1a2015的整数部分是()A. 0B. 1C. 2D. 312.直线l：8x−6y−3=0被圆O：x2+y2−2x+a=0所截得弦的长度为√3，则实数a的值是()A. −1B. 0C. 1D. 1−√132二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.读下列程序，回答问题：运行结果是______．14. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b.c ，且，则B 的大小为 ．15. 已知数列a 1，a 2，…，a 8，满足a 1=2013，a 8=2014，且a n+1−a n ∈{−1,13,1}(其中n =1，2，…，7)，则这样的数列{a n }共有______ 个．16. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则下列命题： ①直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；②三棱锥P −A 1C 1D 的体积为定值；③异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是[45°,90°]；④直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为√63．其中所有真命题的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. (1)若sin(α−π12)=15，则求cos(α+5π12)的值． (2)设α为锐角，若cos(π6+α)=45，则求sin(2α+π12)的值．(3)已知f(x)=2√3sin(πx4+π3)，若f(x 0)=8√35，且x 0∈(−103,23)，求f(x 0+1)的值．18. 已知圆C 的圆心在直线3x −y =0上，与x 轴相切，且被直线x −y =0截得的弦长为2√7，求圆C 的方程．19. 在①sinB =√32，②cosB =34，③cosC =−79，这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并判断三角形是否有解，若有解，求出a 的值；若无解，请说明理由．在△ABC中，已知道a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足C=2B，b+c=10．20.(本小题满分10分)数列满足：，(1)求数列的通项公式；(2)若等比数列满足：，，求数列的前n项和；21.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°(Ⅰ)平面PAD与平面PAB是否垂直？并说明理由；(Ⅱ)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．22.若C的切线在x轴轴上的截相等，求此切的方程；从圆C外一点P(x11向该圆引一条切线切点为M，O为标原点，有PM|=|P|求使得|M得最小值的点P坐标．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：当时，，，，所以，选B ．考点：利用中间值法比较大小2.答案：B解析：解：∵{a n }是等差数列，a 1+a 3+a 5=99，a 2+a 4+a 6=93， ∴a 3=33，a 4=31， ∴{a 1+2d =33a 1+3d =31， 解得a 1=37，d =−2，∴S n =37n +n(n −1)2×(−2) =−n 2+38n=−(n −19)2+361，∴n =19时，S n 达到最大值S 19=361． 故选B ．由{a n }是等差数列，a 1+a 3+a 5=99，a 2+a 4+a 6=93，知a 3=33，a 4=31，利用等差数列的通项公式列出方程组{a 1+2d =33a 1+3d =31，解得a 1=37，d =−2，再由等差数列的前n 项和公式得到S n =−n 2+36n ，然后利用配方法能求出S n 达到最大值时n 的值．本题考要等差数列的通项公式和前n 项和公式，是基础题．解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．3.答案：A解析：本题考查了等比数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列{a n }是公比为2的等比数列，且4a 1为a m ，a n 的等比中项，可得16a 12=a m ⋅a n ，化简可得m +n =6.再利用基本不等式的性质即可得出．解：数列{a n }是公比为2的等比数列，且4a 1为a m ，a n 的等比中项，∴16a 12=a m ⋅a n =a 12·2m+n−2，∴16=2m+n−2，∴m+n=6．∵m>0，n>0，则1m +4n=16(m+n)(1m+4n)=16(5+nm+4mn)≥16(5+2√nm⋅4mn)=32，当且仅当n=2m=4时取等号．故选：A．4.答案：C解析：本题考查由三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力，难度一般．先由三视图还原几何体，即可求出表面积．解：由三视图可知该几何体是底面为腰长2的等腰直角三角形，一侧棱长为2且垂直底面的三棱锥，如图，故其表面积为故选C．5.答案：A解析：解：tan18°+tan42°+tan120°tan198∘tan222∘=tan18°+tan42°+tan(180°−60°)tan(180∘+18∘)⋅tan(180∘+42∘)=tan(18°+42°)(1−tan18°tan42°)−tan60°tan18∘⋅tan42∘=−tan60°=−√3．故选A．利用正切的两角和与差以及诱导公式化简即可．本题考查了正切的两角和与差以及诱导公式化简的运用．比较基础．解析：解析：试题分析：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：;是否继续循环x y z;循环前/1 1 2;第一圈是1 2 3;第二圈是2 3 5;第三圈是3 5 8;第四圈是5 8 13;第五圈是8 13 21;第六圈否，故答案为D考点：流程图点评：根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模7.答案：B解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图： 2x +3y −1−(x +2y +2)=x +y −3， 即z =max{2x +3y −1,x +2y +2}={2x +3y −1,x +y −3≥0x +2y +2,x +y −3<0， 其中直线x +y −3=0过A ，C 点．在直线x +y −3=0的上方，平移直线z =2x +3y −1(红线)，当直线z =2x +3y −1经过点B(2,2)时， 直线z =2x +3y −1的截距最大，此时z 取得最大值为z =2×2+3×2−1=9．在直线x +y −3=0的下方，平移直线z =x +2y +2(蓝线)，当直线z =x +2y +2经过点O(0,0)时， 直线z =x +2y +2的截距最小， 此时z 取得最小值为z =0+2=2． 即2≤z ≤9， 故选：B ．作出不等式组对应的平面区域，利用作差法求出z 的表达式，然后根据平移，根据数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义确定对应的直线方程是截距本题的关键．难度较大．解析：解：已知如图：折起后C记为P点，由P(C)O⊥底面ABD，可得P(C)O⊥AD，又由AB⊥AD，可得：AD⊥平面P(C)AB，进而AD⊥P(C)B，又由PD(CD)⊥PB(CB)，故PB(CB)⊥平面P(C)AD，故PB(CB)⊥P(C)A，即：△ABP是直角三角形；即：△ABC是直角三角形；故①正确；由①中，AD⊥平面P(C)AB，可得：AD⊥P(C)A，即②△APD是直角三角形，即△ACD是直角三角形，故②正确；AD与BC，异面，故③错误；由①中，AD⊥平面P(C)AB，可得：AD⊥P(C)B，即AD⊥BC，故④正确；故选：A．记折起后C记为P点，根据线面垂直的性质定理和判断定理，分析折起后的线面，线线关系，可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系等知识点，难度中档．9.答案：D解析：解：直线l：y=2x+1绕点4(1,3)按逆时针方向旋转45°得到直线l′，设直线l′的斜率为k，则根据到角公式的应用，=1，解得k=−3，tan45°=k−21+2k所以直线l′的方程为y−3=−3(x−1)，整理得3x+y−6=0．故选：D．直接利用到角公式的应用和点斜式的应用求出结果．本题考查的知识要点：到角公式的应用，直线方程的确定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.答案：D解析：解：如图所示连接AC，BD相交于点O1.取SC的中点，连接OO1．则OO1//SA．∵SA⊥底面ABCD，∴OO1⊥底面ABCD．可得点O是四棱锥S−ABCD外接球的球心．因此SC是外接球的直径．∵SC2=SA2+AC2=48．∴四棱锥P−ABCD外接球的表面积为48π．故选：D如图所示，连接AC，BD相交于点O1.取SC的中点，连接OO1.利用三角形的中位线定理可得OO1//SA.由于SA⊥底面ABCD，可得OO1⊥底面ABCD.可得点O是四棱锥S−ABCD外接球的球心，SC是外接球的直径．本题考查了线面垂直的性质、三角形的中位线定理、正方形的性质、勾股定理、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：C，且a n+1−1=a n(a n−1)(n∈N∗)，解析：解：数列{a n}满足a1=43即a n+1−1=a n2−a n，由a1>1，a n+1−1=a n(a n−1)，可得a n>1，∴a n+1−a n=(a n−1)2>0，∴a n+1>a n，∴数列{a n}是单调递增数列，由a1=43，a2=139，a3=13381，a4=1+13381×5281>2，可得1a n+1−1=1a n(a n−1)=1a n−1−1a n，即为1a n =1a n−1−1a n+1−1，m=1a1+1a2+⋯+1a2015=1a1−1−1a2−1+1a2−1−1a3−1+⋯+1a2015−1−1a2016−1=1a1−1−1a2016−1=3−1a2016−1，由a2016−1>a4−1>1，可得1a2016−1∈(0,1)，则2<m<3，m=1a1+1a2+⋯+1a2015的整数部分为2．故选：C．先判断数列{a n}是单调递增数列，再根据数列的递推公式利用裂项求和即可得到m=1a1+1a2+⋯+1 a2015=3−1a2016−1，再根据数列的单调性判断出a2016>2，问题得以解决．本题考查数列的单调性和实数的整数部分的求法，注意运用变形思想和裂项相消求和，以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．12.答案：B解析：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式求得a的值．解：圆O：x2+y2−2x+a=0，即(x−1)2+y2+a=1−a，∴a<1，圆心(1,0)、半径为√1−a．又弦心距d=√64+36=12，∴14+(√32)2=r2=1−a，求得a=0，故选：B．13.答案：4，4解析：解：从所给的赋值语句中可以看出，x，y初始赋给的值分别为3，4，接下来x是y赋给的值：x=4，∴输出的值是：x=4，y=4，故答案为：4，4．从所给的赋值语句中可以看出x，y初始赋给的值分别为3，4，再依次往下执行程序可得结论．本题主要考查了赋值语句，解题的关键是在赋值语句中看一个量的值，需要看它是由谁赋给的值，属于基础题．14.答案：解析：试题分析：结合正弦定理可将转化为，变形为考点：解三角形点评：解三角形时常借助于正余弦定理实现边与角的互相转化，本题用到了正弦定理：15.答案：252解析：解：∵数列a1，a2，…，a8，满足a1=2013，a8=2014，∴a8−a1=a8−a7+a7−a6+a6−a5+a5−a4+a4−a3+a3−a2+a2−a1=1，a n+1−a n∈{−1,1,1}(其中n=1，2，…，7)，共有7对差，3，或a n+1−a n=1．可能a n+1−a n=−1，或a n+1−a n=13有y个，1有7−x−y个，设−1有x个，13+1×(7−x−y)=1，则想x(−1)+y3即6x +2y =18，x ，y ∈[0,7]的整数，可判断；x =1，y =6；x =2，y =3；x =3，y =0，三组符合所以共有数列C 71+C 73C 42C 22+C 7 3C 44=7+210+35=252． 故答案为：252运用数列相邻两项差的值，可能够取值的情况分类讨论，转化为排列组合问题求解．本题考查了方程的解转化为组合问题等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，转化能力．16.答案：①②④解析：解：在①中，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1=B 1， ∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1， ∵A 1C 1∩DC 1=C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，故①正确； 在②中，∵A 1D//B 1C ，A 1D ⊂平面A 1C 1D ，B 1C ⊄平面A 1C 1D ， ∴B 1C//平面A 1C 1D ，∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P −A 1C 1D 的体积为定值，故②正确； 在③中，∵A 1D//B 1C ，∴异面直线AP 与A 1D 所成的角为直线AP 与B 1C 所成的角， 当P 运动到B 1或C 点时，直线AP 与B 1C 所成的角最小为60°， 当P 在为B 1C 中点时，直线AP 与B 1C 所成的角最大为90°， ∴异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°,90°]，故③错误；在④中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P(a,1，a)，则D(0,0，0)，A 1(1,0，1)，C 1(0,1，1)，DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，C 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0，a −1)， 设平面A 1C 1D 的法向量n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +z =0,n ⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0,取x =1，得n⃗ =(1,1，−1)， ∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为|n ⃗⃗ ⋅C 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||C 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3√a 2+(a−1)2=√3√2(a−2)2+2：，∴当a =12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为√63，故④正确．故答案为：①②④．在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C//平面A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P −A 1C 1D 的体积为定值；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°,90°]；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为√63．本题考查命题真假的判断，空间图形中直线与直线、平面的位置关系，异面直线的判断，利用空间向量法求解线面角问题，属于中档题．17.答案：解：(1)若sin(α−π12)=15，则cos(α+5π12)=cos[π2+((α−π12)]=−sin(α−π12)=−15；(2)∵α为锐角，cos(α+π6)=45，∴sin(α+π6)=35， ∴sin(2α+π3)=2sin(α+π6)cos(α+π6)=2425，cos(2α+π3)=2cos 2(α+π6)−1=725． 故sin(2α+π12)=sin[(2α+π3)−π4]=sin(2α+π3)cos π4−cos(2α+π3)sin π4 =2425×√22−725×√22=17√250； (3)∵f(x)=2√3sin(πx4+π3)，由f(x 0)=8√35，且x 0∈(−103,23)，2√3sin(πx 04+π3)=8√35，∴sin(πx 04+π3)=45．∵x 0∈(−103,23)，∴πx 04+π3∈(−π2,π2)， 则cos(πx 04+π3)=35．则f(x 0+1)=2√3sin(π(x 0+1)4+π3)=2√3sin[(πx 04+π3)+π4]=2√3[sin(πx 04+π3)cos π4+cos(πx 04+π3)sin π4]=2√3[45×√22+35×√22]=7√65． 解析：(1)直接由已知结合三角函数的诱导公式求值；(2)由cos(α+π6)=45，求得sin(α+π6)=35，进一步得到sin(2α+π3)，再由sin(2α+π12)=sin[(2α+π3)−π4]展开两角差的正弦求解；(3)由函数解析式结合f(x 0)=8√35求得sin(πx 04+π3)=45，进一步求得cos(πx 04+π3)=35.再由f(x 0+1)=2√3sin(π(x 0+1)4+π3)，展开两角和的正弦求解．本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数中的恒等变换应用，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．18.答案：解：设圆心(t,3t)，则由圆与x 轴相切，可得半径r =3|t|．∵圆心到直线的距离d =√2=√2|t|，由r 2=d 2+(√7)2，解得t =±1．故圆心为(1,3)或(−1,−3)，半径等于3．故圆C 的方程为(x +1)2+(y +3)2=9 或(x −1)2+(y −3)2=9．解析：本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于中档题．设圆心(t,3t)，由题意可得半径r =3|t|，求出圆心到直线的距离d ，再由r 2=d 2+(√7)2，解得t 的值，从而得到圆心坐标和半径，由此求出圆的方程．本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键．19.答案：解：若选择①sinB =√32，则B =60°或120°， 因为C =2B ，所以C =120°或240°，显然矛盾，此时三角形无解． 若选择②cosB =34，由正弦定理可知cb =sinCsinB =sin2B sinB=2sinBcosB sinB=2cosB =32．又b +c =10． 所以c =6，b =4．由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ， 可得16=a 2+36−9a ，解得a =4或a =5，若a =4则由b =4知A =B ，又因为C =2B ， 所以B +B +2B =180°得B =45°，这与cosB =34矛盾，舍去． 经检验知，当a =5时适合题意，故a =5 若选择③cosC =−79，因为C =2B ， 所以cosB =−79，即2cos 2B −1=−79，得cosB =13， 此时cb =sinCsinB =sin2B sinB=2cosB =23<1，所以c <b ，此时C =2B 矛盾，此时三角形无解．解析：本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．根据题意依次选①②③，进一步利用正弦定理余弦定理和三角形的面积的应用求出结果．20.答案：(1);(2)或解析：试题分析：(1)由即可求出结果；(2)设等比数列的公比为根据，，可得解得或，利用等比数列的前n 项和公式即可求出．试题解析：解：(1)当时，该式当n=1时也符合．．(2)设等比数列的公比为或或考点：1.等差数列；2.等比数列的性质．21.答案：解：(Ⅰ)平面PAD⊥平面PAB，证明如下：∵∠PBC=90°∴BC⊥PB，∵四棱锥P−ABCD的底面ABCD为矩形∴BC⊥AB，∵PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，且PB∩AB=B，∴BC⊥平面PAB，∵AD//BC，∴AD⊥平面PAB，∵AD⊂平面PAD∴平面PAD⊥平面PAB．(Ⅱ)如图，过点P作BA延长线的垂线PH，垂足为H，连接CH．由(Ⅰ)可知AD⊥平面PAB，∵AD⊂平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD，∵PH⊂平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴PH⊥平面ABCD，∴CH为PC在平面ABCD内的射影，∴∠PCH为PC与底面ABCD所成的角，∵∠PAB=120°，∴∠PAH=60°，∵PA=1，∴在直角三角形PAH中，PH=PA×sin60°=√32，AH=PA×cos60°=12，在直角三角形HBC中，BH=AH+AB=12+2=52，BC=AD=1，故CH=√BH2+BC2=√292，在直角三角形PHC中，PC=√PH2+CH2=2√2，∴sin∠PCH=PHPC=√68故直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为√68．解析：本题主要考查了面面垂直的判定定理、性质定理及直线与平面所成的角概念和求法，培养了空间想象能力及问题的等价转换的能力，属于中档题．(I)由ABCD为矩形，∠PBC=90°，可证DA⊥平面PAB，再利用面面垂直的判定定理即可证得平面PAD⊥平面PAB；(II)过点P 作BA 延长线的垂线PH ，垂足为H ，连接CH ，可证得∠PCH 为PC 与底面ABCD 所成的角，在直角三角形PAH ，直角三角形BCH ，直角三角形PCH 中分别求得PH ，CH ，PC 的长，即可求得直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值为√68．22.答案：解：∵切两坐标上的截距相等，∵切线M 与半CM 垂直，而PO|最为原点O 到直2x −4y +3=0的距离d =3√510，∴|PM 的最值是|PO|的最小． 即√2=√2，C ：(x+)2+(y −2)2=2，当截距不为零时，设切线方x +y =， ∴心C(−1,2)到线的距等于圆的径√2， 当截距零时，设ykx ， ∴|P|=|PC2−|CM2． ∴动点P 的轨迹线2−4y+=0． 解得：a =−a =3，∴由{x 12+y 12=9202x 1−4y 1+=0，可得{x 1=−310y 1=35.所求点P 的坐为P(−310,35)．解析：当距不0时，根据圆的切线在x 轴和y 轴的截距相等，设出线方程x +y ，然利用点到直线距离公式求圆心到线的距，让d 于圆半径r 出关于的方，求程的解即可得到a 的值，得线的程；当截距0时，设出切线方程为=k ，同理列出关于k 的方，求出方程的解即可到k 值，得到线方程； 根据圆切线垂直于过切点的半径，到三角形PM 为直角三角形，根据勾股理表示出点P 的轨迹方，由迹方程得到动点P 轨迹为一条直线，所以|PM 最小值是|PO 的最小，求出原点到轨迹方的离即PO|的最小值，然后利间的距式示P 到O 的把入动点轨方，两者联立即可此时P 的坐标．此考查学生掌直线与圆相切时足的，会根条件求动点的轨迹，灵活运用两点间的距离式化简求值，一综合题．。
2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．若实数a，b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．B．a2＞b2C．ab＞b D．a3＞b32．已知直线l1；2x+y﹣2＝0，l2：ax+4y+1＝0，若l1⊥l2，则a的值为（）A．8B．2C．﹣D．﹣23．在等差数列{a n}中，a8＝24，a16＝8，则a24＝（）A．﹣24B．﹣16C．﹣8D．04．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝（）A．45°B．135°C．45°或135°D．以上答案都不对5．已知两条直线m，n，两个平面α，β，m∥α，n⊥β，则下列正确的是（）A．若α∥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥βC．若α⊥β，则n∥αD．若α⊥β，则m⊥n6．已知等比数列{a n}的前n项和S n＝3n+2+3t，则t＝（）A．1B．﹣1C．﹣3D．﹣97．已知点A（2，5），B（1，6），则直线AB的倾斜角为（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．9．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”，题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，相邻两个儿子中，年龄小的比年龄大的多分到17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A．201斤B．191斤C．184斤D．174斤10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为∠MAN＝30°，∠MBN＝60°，∠MCN＝45°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为（）A．12m B．12m C．30m D．30m12．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，PB与平面PAC所成的角为30°，则球O的表面积为（）A．6πB．12πC．16πD．48π二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．14．已知直线x+2y﹣4＝0与直线2x+my+m+3＝0平行，则它们之间的距离为．15．已知正数a，b满足a+b＝2，则（3+）（8+）的最小值为．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sin2A+cos B＝1，则的取值范围为．三、解答题（共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b cos C＝2a+c．（1）求角B的大小；（2）若c＝2，b＝2，求a的值．18．已知数列{a n}，S n是其前n项和，且满足3a n＝2S n+n（n∈N*），b n＝a n+．（1）求证：数列{b n}为等比数列；（2）若c n＝2n•b n，求数列{b n}的前n项和T n．19．在平行四边形ABCD中，A（﹣1，4），B（2，3），C（﹣2，﹣2）．（1）求直线AD的方程；（2）求平行四边形ABCD的面积．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，AB＝AC＝2，PA＝2，PB＝PD．（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若PA⊥AC，M为PC的中点，求三棱锥B﹣CDM的体积．21．已知函数f（x）＝x2﹣2ax，x∈R，a∈R．（1）当a＝1时，求满足f（x）＜0的x的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜3a2；（3）若对于任意的x∈（2，+∞），f（x）＞1均成立，求a的取值范围．22．已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20与y轴交于O，A两点，圆C2过O，A两点，且直线C2O与圆C1相切；（1）求圆C2的方程；（2）若圆C2上一动点M，直线MO与圆C1的另一交点为N，在平面内是否存在定点P 使得PM＝PN始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（共12小题）.1．若实数a，b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．B．a2＞b2C．ab＞b D．a3＞b3【分析】根据a＞b，取a＝1，b＝﹣1，则可排除错误选项．解：根据a＞b，取a＝1，b＝﹣1，则可排除ABC．故选：D．2．已知直线l1；2x+y﹣2＝0，l2：ax+4y+1＝0，若l1⊥l2，则a的值为（）A．8B．2C．﹣D．﹣2【分析】由直线方程分别求出l1、l2的斜率，再由l1⊥l2得斜率之积为﹣1，列出方程并求出a的值．解：由题意得，l1：2x+y﹣2＝0，l2：ax+4y+1＝0，则直线l1的斜率是﹣2，l2的斜率是﹣，∵l1⊥l2，∴（﹣）×（﹣2）＝﹣1，解得a＝﹣2，故选：D．3．在等差数列{a n}中，a8＝24，a16＝8，则a24＝（）A．﹣24B．﹣16C．﹣8D．0【分析】由已知结合等差数列的性质即可直接求解．解：由等差数列的性质可得，d＝＝﹣2，则a24＝a8+16d＝24﹣32＝﹣8．故选：C．4．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝（）A．45°B．135°C．45°或135°D．以上答案都不对【分析】在△ABC中，由正弦定理求得sin B＝，再由b＜a以及大边对大角可得B ＜A＝60°，从而求得B的值．解：在△ABC中，由正弦定理可得，即，求得sin B＝．再由b＜a以及大边对大角可得B＜A＝60°，∴B＝45°．故选：A．5．已知两条直线m，n，两个平面α，β，m∥α，n⊥β，则下列正确的是（）A．若α∥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥βC．若α⊥β，则n∥αD．若α⊥β，则m⊥n【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断命题的真假性即可．解：对于A，由α∥β，n⊥β，所以n⊥α；又m∥α，所以n⊥m，A正确；对于B，由m∥α，且α∥β，得出m∥β，或m⊂β，所以B错误；对于C，由n⊥β，且α⊥β时，得出n∥α或n⊂α，所以C错误；对于D，m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，也可能相交，也可能在β内；α⊥β，且n⊥β，则n∥α或n⊂α，所以m⊥n不一定成立，D错误．故选：A．6．已知等比数列{a n}的前n项和S n＝3n+2+3t，则t＝（）A．1B．﹣1C．﹣3D．﹣9【分析】根据题意，由S n公式求出a1、a2、a3的值，由等比数列的定义分析可得答案．解：根据题意，等比数列{a n}的前n项和S n＝3n+2+3t，则a1＝S1＝33+3t＝27+3t，a2＝S2﹣S1＝（34+3t）﹣（33+3t）＝54，a3＝S3﹣S2＝（35+3t）﹣（34+3t）＝162，则有（27+3t）×162＝542，解可得t＝﹣3，故选：C．7．已知点A（2，5），B（1，6），则直线AB的倾斜角为（）A．B．C．D．【分析】设直线AB的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．利用斜率计算公式可得：tanθ＝﹣1，即可得出θ．解：设直线AB的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．则tanθ＝＝﹣1，∴θ＝．故选：A．8．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【分析】由几何体的三视图得：该几何体是三棱锥S﹣ABC，其中平面SAC⊥ABC，SA ＝AB＝BC＝SC＝SB＝2，AC＝4，由此能求出该几何体的表面积．解：由几何体的三视图得：该几何体是三棱锥S﹣ABC，其中平面SAC⊥ABC，SA＝AB＝BC＝SC＝SB＝2，AC＝4，如图，∴SA⊥SC，AB⊥BC，∴该几何体的表面积为：S＝2（S△SAC+S△SAB）＝2×（）＝8+4．故选：A．9．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”，题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，相邻两个儿子中，年龄小的比年龄大的多分到17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A．201斤B．191斤C．184斤D．174斤【分析】由题意可知，数列为等差数列，公差为d＝17，n＝8，S8＝996，以第8个儿子为首项，即可求出答案．解：由题意可知，数列为等差数列，公差为d＝﹣17，n＝8，S8＝996，以第8个儿子为首项，∴8a1+×（﹣17）＝996，解得a1＝184，故选：C．10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．解：延长CA到D，使得AD＝AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D＝A1B＝DB＝AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60°故选：C．11．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为∠MAN＝30°，∠MBN＝60°，∠MCN＝45°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为（）A．12m B．12m C．30m D．30m【分析】用MN表示出AN，BN，CN，利用余弦定理表示出cos∠ABN，cos∠CBN，根据cos∠ABN+cos∠CBN＝0列方程求出MN．解：设MN＝h，则AN＝h，BN＝，CN＝h，在△ABN中，由余弦定理可得cos∠ABN＝，在△BCN中，由余弦定理可得cos∠NBC＝，∵∠ABN+∠NBC＝π，∴+＝0，即7200+﹣4h2＝0，解得：h2＝2160，∴h＝12．故选：B．12．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，PB与平面PAC所成的角为30°，则球O的表面积为（）A．6πB．12πC．16πD．48π【分析】由题意画出图形，可得底面三角形ABC为等腰直角三角形，找出三棱锥P﹣ABC 的外接球的球心，进一步求得半径，代入球的表面积公式得答案．解：如图，由PA⊥平面ABC，得平面PAC⊥平面ABC，取AC中点H，连接BH，PH，则BH⊥AC，可得BH⊥平面PAC，则∠BPH＝30°，∵PA＝AB＝2，∴PB＝2，得BH＝，求得AH＝HC＝，则H为底面三角形ABC的外心，过H作HO⊥底面ABC，且HO＝PA（O在球内部），则O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，可得．∴球O的表面积为4πR2＝4π×3＝12π．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为2．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝x+2y为．由图可知，当直线过C（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值为0+2×1＝2．故答案为：2．14．已知直线x+2y﹣4＝0与直线2x+my+m+3＝0平行，则它们之间的距离为．【分析】由两直线平行与系数间的关系列式求得m值，再由两平行线间的距离公式求解．解：∵直线x+2y﹣4＝0与直线2x+my+m+3＝0平行，∴，解得m＝4．∴直线2x+my+m+3＝0化为2x+4y+7＝0，即x+2y+．由两平行线间的距离公式可得，直线x+2y﹣4＝0与直线x+2y+间的距离为d＝．故答案为：．15．已知正数a，b满足a+b＝2，则（3+）（8+）的最小值为49．【分析】由（3+）（8+）＝（3+）（8+）＝（4+）（9+），展开后利用基本不等式即可求解．解：∵正数a，b满足a+b＝2，则（3+）（8+）＝（3+）（8+）＝（4+）（9+），＝37+≥37+12＝49，当且仅当且a+b＝2即b＝，a＝时取等号．故答案为：4916．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sin2A+cos B＝1，则的取值范围为（2，3）．【分析】由条件可得B＝2A，C＝π﹣3A，可求出A的取值范围，利用正弦定理可得＝2cos A+1，根据A的取值范围可得的取值范围解：因为2sin2A+cos B＝1，所以cos B＝1﹣2sin2A＝cos2A，因为A、B∈（0，π），所以B＝2A，由正弦定理＝＝＝＝＝＝＝2cos A+1，因为0＜B＝2A＜π，0＜C＝π﹣3A＜π，所以0＜A＜，故cos A∈（，1），则2cos A+1∈（2，3），故∈（2，3），故答案为（2，3）．三、解答题（共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b cos C＝2a+c．（1）求角B的大小；（2）若c＝2，b＝2，求a的值．【分析】（1）由正弦定理可将条件整理为（2cos B+1）sin C＝0，因为sin C≠0，故可求得cos B，即可得B；（2）根据余弦定理得到关于a的方程，解出即可．解：（1）因为2b cos C＝2a+c，所以由正弦定理得2sin B cos C＝2sin A+sin C，所以2sin B cos C＝2sin（B+C）+sin C，即2sin B cos C＝2（sin B cos C+cos B sin C）+sin C，整理可得（2cos B+1）sin C＝0，因为△ABC中，sin C＞0，所以cos B＝﹣，所以B＝；（2）由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，所以28＝a2+4+2a，解得a＝4或a＝﹣6（舍）．所以a＝4．18．已知数列{a n}，S n是其前n项和，且满足3a n＝2S n+n（n∈N*），b n＝a n+．（1）求证：数列{b n}为等比数列；（2）若c n＝2n•b n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由3a n＝2S n+n得，3a n+1＝2S n+1+n+1，两式相减化简后得a n+1＝3a n+1，可变形为a n+1+＝3（a n+），即b n+1＝3b n，故而得证；（2）易知，b n＝，，然后采用错位相减法即可求得T n．【解答】（1）证明：由3a n＝2S n+n得，3a n+1＝2S n+1+n+1，两式相减得，3a n+1﹣3a n＝2a n+1+1，即a n+1＝3a n+1，所以a n+1+＝3（a n+），即b n+1＝3b n，故数列{b n}为等比数列．（2）解：在3a n＝2S n+n中，令n＝1，得a1＝1，所以b1＝．由（1）知数列{b n}的公比为3，所以b n＝，所以，所以T n＝1×31+2×32+3×33+……+n•3n，3T n＝1×32+2×33+……+（n﹣1）•3n+n•3n+1，两式相减得，﹣2T n＝31+32+33+……+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，整理得，T n＝．19．在平行四边形ABCD中，A（﹣1，4），B（2，3），C（﹣2，﹣2）．（1）求直线AD的方程；（2）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）借助于线段AC的中点也为线段BD的中点求出D的坐标；（2）求出点A到直线BC的距离d，和线段BC的长度，BC与d的乘积即为平行四边形ABCD的面积．解：如图所示：（1）AC中点为（﹣，1），该点也为BD中点，设D（x，y），则，解得：，则D（﹣5，﹣1），直线AD的方程为：y﹣4＝（x+1），即5x﹣4y+21＝0；（2）直线BC的方程为：y﹣3＝（x﹣2），化简得：5x﹣4y+2＝0，点A（﹣1，4）到BC的距离为：d＝＝，又BC＝＝，∴平行四边形ABCD的面积为：BC×d＝×＝19．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，AB＝AC＝2，PA＝2，PB＝PD．（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若PA⊥AC，M为PC的中点，求三棱锥B﹣CDM的体积．【分析】（1）设BD交AC于点O，连接PO，证明AC⊥BD，PO⊥BD，再由线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，进一步得到平面PAC⊥平面ABCD；（2）连接OM，证明OM⊥平面ABCD，再由等积法求三棱锥B﹣CDM的体积．【解答】（1）证明：设BD交AC于点O，连接PO，在菱形ABCD中，AC⊥BD，又PB＝PD，O是BD的中点，∴PO⊥BD，∵AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面ABCD，故平面PAC⊥平面ABCD；（2）解：连接OM，∵M为PC的中点，且O为AC的中点，∴OM∥PA，由（1）知，BD⊥PA，又PA⊥AC，则BD⊥OM，OM⊥AC，又AC∩BD＝O，∴OM⊥平面ABCD，又，OM＝，∴＝．∴三棱锥B﹣CDM的体积为1．21．已知函数f（x）＝x2﹣2ax，x∈R，a∈R．（1）当a＝1时，求满足f（x）＜0的x的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜3a2；（3）若对于任意的x∈（2，+∞），f（x）＞1均成立，求a的取值范围．【分析】此题主要考查二次不等式的解法【解答】解（1）当a＝1时x2﹣2x＜0，解得0＜x＜2（2）由f（x）＜3a2，∴（x﹣3a）（x+a）＜0当a＞0时解集为（﹣a，3a）当a＝0时解集为空集当a＜0时解集为（3a，﹣a）（3）由f（x）＞1得x2﹣2ax＞1，变形的2a＜，由函数单调性的相关知识：函数y ＝x﹣在x∈（2，+∞）单调递增，2a≤即a22．已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20与y轴交于O，A两点，圆C2过O，A两点，且直线C2O与圆C1相切；（1）求圆C2的方程；（2）若圆C2上一动点M，直线MO与圆C1的另一交点为N，在平面内是否存在定点P 使得PM＝PN始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）由（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20，令x＝0，解得y＝0或4．圆C2过0，A两点，可设圆C2的圆心C1（a，2）．直线C2O的方程为：y＝x，即x﹣2y＝0．利用直线C20与圆C1相切的性质即可得出．（2）存在，且为P（3，4）．设直线OM的方程为：y＝kx．代入圆C2的方程可得：（1+k2）x2+（2﹣4k）x＝0．可得M的坐标．同理可得N的坐标．设P（x，y），线段MN的中点E，利用k PE•k＝﹣1即可得出．解：（1）由（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20，令x＝0，解得y＝0或4．∵圆C2过O，A两点，∴可设圆C2的圆心C1（a，2）．直线C2O的方程为：y＝x，即x﹣2y＝0．∵直线C2O与圆C1相切，∴＝，解得a＝﹣1，∴圆C2的方程为：（x+1）2+（y﹣2）2＝，化为：x2+y2+2x﹣4y＝0．（2）存在，且为P（3，4）．设直线OM的方程为：y＝kx．代入圆C2的方程可得：（1+k2）x2+（2﹣4k）x＝0．x M＝，y M＝．代入圆C1的方程可得：（1+k2）x2﹣（8+4k）x＝0．x N＝，y N＝．设P（x，y），线段MN的中点E．则×k＝﹣1，化为：k（4﹣y）+（3﹣x）＝0，令4﹣y＝3﹣x＝0，解得x＝3，y＝4．∴P（3，4）与k无关系．∴在平面内是存在定点P（3，4）使得PM＝PN始终成立．。
黑龙江省大庆第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题
黑龙江省大庆第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知{}n a 是等比数列，2512,4a a ==，则公比q =（ ） A ．12- B ．2- C ．2 D ．122．已知直线1:(3)10l mx m y +-+=，直线2:(1)10l m x my ++-=，若12l l ⊥则m =（ ）A ．0m =或1m =B ．1m =C ．32m =-D ．0m =或32m =- 3．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥4．若变量x,y 满足约束条件1{325x y x x y ≥-≥+≤则z=2x+y 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．45．在空间四边形ABCD 中，已知2AD =，BC =E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF =，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为( ) A ．6π B ．3π C ．4π D ．34π 6．已知 ABC ∆中， ,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且4,5a b c =+=，tanA tanB tanB +=，则ABC ∆的面积为（ ）AB．CD7．直线10x ++=的倾斜角的大小是_________.8．如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．9．已知等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，11a =，{}n b 为等比数列且各项均为正数，11b =，且满足：22337,22b S b S +=+=.（1）求n a 与n b ；（2）记12n n n na cb -⋅=，求{}nc 的前n 项和n T ； （3）若不等式()112n n n n m T --⋅-<对一切*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围.。