数学分析反常积分 113瑕积分的收敛判别法.
《数学分析》课件 10-3瑕积分的性质与收敛判别
(x a)p
a
推 设f 定义于(a,b]a为瑕点，且在任何区间[u,b] a,b上
论 可积,若
lim (x a) p f (x) .
xa
则 (i) 当0＜p＜1,0 时, b f (x)dx收敛; a
(ii) 当p 1,0 时, b f (x) dx发散. a
例1 例2
例3 判别广义积分 3 dx 的收敛性. 1 ln x
e x x s1dx 对 s 0 均收敛. 0
o
s
－函数的几个重要性质：
１．递推公式(s 1) s(s) (s 0). ２．当 s 0 时，(s) . 3．余元公式 (s)(1 s) (0 s 1).
sin s
４．在 (s) ex xs1dx 中，作代换 x u2， 0
1
(1) 当 s 1 时, I1 是常义积分; 当 0 s 1 时,
ex
x s1
1 x 1 s
1 ex
1 x1s ,
而 1 s 1, 根据比较审敛法2, I1 收敛.
(2)lim x
x2
(e x xs1 )
lim
x
x s1 ex
0,
(s)
根据极限审敛法1, I2 也收敛.
由 (1), (2) 知
若 b g(x)dx收敛 则 b f (x)dx收敛;
a
a
若 b f (x) dx发散 则 b g(x)dx发散.
a
a
推论 又若 g(x) 0,且
lim f (x) c，则有
xa g(x)
(i) 当0 c 时 b f (x)dx与 b g(x)dx同敛态;
a
a
(ii) 当c 0时 若 b g(x)dx收敛 则 b f (x)dx收敛;
数学分析11.3瑕积分的性质与收敛判别
第十一章 反常积分 3 瑕积分的性质与收敛判别定理11.5：瑕积分⎰ba f(x )dx(瑕点为a)收敛的充要条件是： 任给ε>0，存在δ≥0，只要u 1,u 2∈(a,a+δ)，总有 |⎰b u 1f(x)dx-⎰bu 2f(x)dx |=|⎰21u u f(x)dx |<ε.性质1：设函数f 1与f 2的瑕点同为x=a ，k 1,k 2为任意常数，则 当瑕积分⎰b a 1(x )f dx 与⎰ba 2(x )f dx 都收敛时， 瑕积分⎰+ba 2211(x )]f k (x )f [k dx 也收敛，且⎰+ba2211(x )]f k (x )f [k dx=k 1⎰b a1(x )f dx+k 2⎰ba2(x )f dx.性质2：设f 的瑕点为x=a, c ∈(a,b)为任一常数，则瑕积分⎰ba f(x )dx 与⎰caf(x )dx 同敛态，且有⎰b af(x )dx dx=⎰c af(x )dx+⎰bcf(x )dx .性质3：设函数f 的瑕点为x=a ，f 在(a,b]内任一[u,b]上可积，则当⎰ba|f(x )|dx 收敛时，⎰b af(x )dx 亦必收敛，并有|⎰b af(x )dx |≤⎰ba|f(x )|dx.证：∵⎰ba |f(x )|dx 收敛，∴任给ε>0，存在δ>0，当u 2,u 1∈(a,a+δ]时， 有|⎰21u u f(x)dx |=|⎰21u u |f(x)|dx | <ε，∴⎰ba f(x )dx 收敛，且|⎰b af(x )dx |≤⎰ba|f(x )|dx.注：当⎰b a |f(x )|dx 收敛时，称⎰ba f(x )dx 为绝对收敛. 又称收敛而不绝对收敛的瑕积分为条件收敛.定理11.6：(比较法则)设定义在(a,b]上的两个函数f 和g ，瑕点同为x=a ，在任何[u,b]⊂(a,b]上都可积，且满足|f(x)|≤g(x), x ∈(a,b]，则当⎰bag(x )dx 收敛时,⎰b a|f(x )|dx 必收敛(或当⎰b a|f(x )|dx 发散时,⎰bag(x )dx 必发散).证：若⎰ba g(x )dx 收敛，则任给ε>0，存在δ>0，当u 2,u 1∈(a,a+δ]时， 总有|⎰21u u g(x)dx|<ε. 又|f(x)|≤g(x), x ∈(a,b]，∴|⎰21u u |f(x)|dx |=⎰21u u |f(x)|dx ≤⎰21u u g(x)dx ≤|⎰21u u g(x)dx|<ε，∴⎰ba |f(x )|dx 收敛.若⎰ba |f(x )|dx 发散，则存在ε0>0，对任何δ>0，当u 2,u 1∈(a,a+δ]时， 总有|⎰21u u |f(x)|dx |>ε0. 又|f(x)|≤g(x), x ∈(a,b]，∴|⎰21u u g(x)dx|≥⎰21u u g(x)dx ≥⎰21u u |f(x)|dx =|⎰21u u |f(x)|dx|>ε0.∴⎰ba g(x )dx 发散.推论1：若g(x)>0，且)x (g |)x (f |lima x +→=c ，则有：(1)当0<c<+∞时，⎰ba |f(x )|dx 与⎰ba g(x )dx 同敛态； (2)当c=0时，由⎰ba g(x )dx 收敛可推知⎰ba |f(x )|dx 也收敛； (3)当c=+∞时，由⎰ba g(x )dx 发散可推知⎰ba |f(x )|dx 也发散. 证：∵)x (g |)x (f |lim a x +→=c ，∴任给ε>0，存在δ>0，当x ∈(a,a+δ)时，有|)x (g |)x (f |-c|<ε，即有(c-ε)g(x)<|f(x)|<(c+ε)g(x).(1)由比较原则得⎰b a |f(x )|dx 与⎰ba g(x )dx 同敛态；(2)由|f(x)|<εg(x)知，若⎰ba g(x )dx 收敛，则⎰ba |f(x )|dx 也收敛； (3)∵)x (g |)x (f |lim∞x +→=+∞，∴任给M>0，存在σ>0，当x ∈(a,a+σ)时，就有 )x (g |)x (f |>M ，即|f(x)|>Mg(x)，∴当⎰b a g(x )dx 发散，⎰b a |f(x )|dx 也发散.推论2：设f 定义于(a,b]，a 为其瑕点，且在任何[u,b]⊂(a,b]上可积，则有：(1)当|f(x)|≤pa)-(x 1, 且0<p<1时，⎰b a |f(x )|dx 收敛； (2)当|f(x)|≥pa)-(x 1, 且p ≥1时，⎰b a |f(x )|dx 发散.推论3：设f 定义于(a,b]，a 为其瑕点，且在[u,b]⊂(a,b]上可积，且+→ax lim (x-a)p|f(x)|=λ.则有：(1)当0<p<1, 0≤λ<+∞时，⎰ba |f(x )|dx 收敛； (2)当p ≥1, 0<λ≤+∞时，⎰ba |f(x )|dx 发散.例1：判别下列瑕积分的收敛性： (1)⎰1xlnx dx ；(2)⎰21xln xdx. 解：(1)∵xlnx≤x 1, x ∈(0,1]，0<p=21<1，∴⎰10x lnx dx 绝对收敛.(2)当p=1时, λ=xln x1)-(x lim 1x ⋅+→=1，∴⎰21x ln x dx 发散.例2：讨论反常积分φ(a)=⎰+-+∞01a x1x dx 的收敛性. 解：记φ(a)=⎰+-+∞1a x 1x dx=⎰+-101a x 1x dx+⎰+-+∞11a x1x dx=I(a)+J(a). 当a ≥1时，I(a)是定积分；当a<1时，I(a)是瑕点为x=0的瑕积分.又当0<a<1时，|x 1x 1a +-|≤a -1x1, 0<p=1-a<1，∴I(a)收敛.当a ≤0时，p=1-a ≥1，λ=x1x xlim 1a a10x +⋅--→+=1，∴I(a)发散. 对J(a)有，λ=x1x x lim 1a a2x +⋅--+∞→=1； 当p=2-a>1，即a<1时，J(a)收敛；当a ≥1时，J(a)发散. 综上，由下表可知：反常积分φ(a)只有当0<a<1时才收敛.习题1、讨论下列瑕积分的收敛性： (1)⎰22)1-x (dx ；(2)⎰π023x sinx dx ；(3)⎰10xln x dx；(4)⎰-10x 1lnx dx ； (5)⎰103x -1arctanx dx ；(6)⎰2π0m x cosx -1dx ；(7)⎰10a x 1sin x1dx ；(8)⎰-∞+0x x ln e dx. 解：(1)令p=2>1, ∵λ=221x )1-x (dx1)-(x lim ⋅→=1， ∴⎰202)1-x (dx 发散.(2)令0<p=21<1, ∵λ=23x sinx x lim 210x ⋅+→=1， ∴⎰π023xsinx dx 收敛.(3)令⎰1xln x dx =⎰axln x dx +⎰1axln x dx =I+J, a ∈(0,1)对I ，令0<p=21<1，则λ=xln x dx x lim 210x ⋅+→=0，∴⎰a 0x ln x dx 收敛.对J ，令p=1, 则λ=xln x dx 1)-(x lim 1x ⋅-→=1，∴⎰1axln x dx 发散.∴⎰1xln x dx 发散.(4)令0<p=21<1，则λ=x 1lnx x )-(1lim 211x -⋅-→=0，∴⎰-10x1lnx dx 收敛.(5)令p=1，则λ=31x x-1arctanx x)-(1lim ⋅-→=12π，∴⎰103x -1arctanx dx 发散. (6)令p=m-2，则λ=m1-m 0x x cosx-1x lim ⋅+→=1， ∴当m ≤0时，原积分是定积分；当0<m<3时收敛；当m ≥3时发散.(7)⎰10a x 1sin x1dx =⎰+∞12-a sint t dt.当0≤a<1时，∵|t a-2sint|≤t a-2；又⎰+∞12-a t dt 收敛，∴原积分绝对收敛. 当1≤a<2时，t a-2单调减即+∞→t lim t a-2=0，又|⎰u1sint dt |≤2，∴积分收敛.且当t ∈[1,+∞)时，|t a-2sint|≥t t sin 2=2t 1-2tcos2t，其中⎰+∞12t1dt 发散，⎰+∞12t cos2t dt 收敛，∴原积分条件收敛.当a ≥2时，令p=1，∵λ=sint t t lim 2-a t ⋅+∞→=+∞，∴积分发散. (8)⎰-∞+0xx ln e dx=⎰-10xx ln e dx+⎰-∞+1x x ln e dx=I+J.对I ，令0<p=21<1，则λ=x ln e x lim x 210x -→⋅+=0，∴⎰-10x x ln e dx 收敛.对J ，令p=2>1，λ=x ln e x lim x20x -→⋅+=0，∴⎰-∞+1x x ln e dx 收敛.∴原积分收敛.2、计算下列瑕积分的值(其中n 为正整数)： (1)⎰10n)x (ln dx ；(2)⎰1n x-1x dx.解：(1)记I n =⎰10n )x (ln dx=x(lnx)n |10-⎰10x d(lnx)n =-n ⎰101-n )x (ln dx=-nI n-1. ∴I n =(-1)n-1n!I 1=(-1)nn!⎰10dx =(-1)n n!. (2)⎰10n x-1x dx=2⎰10n2)t -(1dt=2⎰+2π012n θcosdt=!)!1n 2(!!n)2(2+=!)!1n 2(!n 21n ++.3、证明瑕积分J=⎰2π0)x ln(sin dx 收敛，且J=-2πln2. (提示：利用⎰2π0)x ln(sin dx=⎰2π0)x ln(cos dx ，并将它们相加).证：∵lnxlnsinxlim 0x +→=1, 又⎰2π0x ln dx 收敛，∴J=⎰2π0)x ln(sin dx 收敛.又J=⎰2π0)x ln(sin dx=-⎰2π0x )]-2πln[sin(d x)-2π(=⎰2π0x)ln(cos dx. ∴2J=⎰2π0)x ln(sin dx+⎰2π0x)ln(cos dx=⎰⎪⎭⎫⎝⎛2π2x 2sin ln dx =⎰2π0)x 2ln(sin dx-⎰2π02ln dx=⎰π0)x ln(sin 21dx-2πln2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰2π0π2π)x ln(sin )x ln(sin 21dx-2πln2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰2π02π0dx )x ln(cos dx )x ln(sin 21-2πln2 =J-2πln2. ∴J=-2πln2.4、利用上题结果，证明： (1)⎰π)θln(sin θd θ=-2π2ln2； (2)⎰π0cos θ-1θsin θd θ=2πln2. 证：(1)令θ=π-φ，则J=⎰π0)θln(sin θd θ=⎰π0)]φ-πln[sin()φ-(πd(π-φ) =⎰π0)φln(sin )φ-(πd φ=π⎰π)φln(sin d φ-J.∴2J=π⎰π)φln(sin d φ=-π2ln2. ∴J=⎰π)θln(sin θd θ=-2π2ln2. (2)∵⎰2π0)θln(sin d θ=θln(sin θ)|2π0-⎰2π0θd(ln(sin θ))=-⎰2π0sin θθcosθd θ=-⎰2π0sin θθcosθd θ =-⎰2π02θsin θsin2θ21d θ=-⎰2π0cos2θ-1sin2θ 2θ41d2θ=-⎰π0cos θ-1sin θ θ41d θ=-2πln2. ∴⎰π0cos θ-1θsin θd θ=2πln2.。
11-3瑕积分的性质与收敛判别
u1
u2
u1
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证 设 F (u) b f ( x)dx, u (a,b), 则
b
f ( x)dx
u
a
收敛的充要条件是 lim F (u) 存在.由函数收敛的 ua
柯西准则，此等价于 0, 0,
u1,u2 (a,a )，F (u1) F (u2 ) ,
0<a<1 收敛 收敛 收敛
a1 定积分
发散 发散
所以, (a) 只有当 0 a 1 时才是收敛的.
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复习思考题
1.试给出瑕积分的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.
2. 设 f ( x) 为[a, b) 上的连续函数,b 为瑕点.试问当
b f ( x) dx 收敛时, b f 2( x)dx 是否收敛? 反之是
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I(a)
x 1 a1 dx
0 1 x
(i) 先讨论 I(a). 当 a 1 0, 即 a 1 时它是定积分;
当 a 1 时它是瑕积分,瑕点为 x 0.由于
lim x1a xa1 1,
x0
1 x
因此由定理11.6 的推论 3,当 0 p 1 a 1, 即
a
的柯西收敛准则可推出瑕积分的柯西收敛准则.
定理11.5 （瑕积分收敛的柯西准则）
瑕积分 b f ( x)dx (瑕点为a) 收敛的充要条件是 a
任给 0,存在 0,当 u1,u2 (a,a ) 时，
b
b
f ( x)dx f ( x)dx
u2 f ( x)dx .
xa
则有：（ⅰ）当0＜p＜1，0
11.3 瑕积分的性质与收敛判别
b
b
任意常数 k1 , k2 , 有
a [k1 f1 ( x ) k2 f 2 ( x )] dx
k1 f1 ( x ) dx k2 f 2 ( x ) dx .
a a b b
b
性质2：设函数 f ( x ) 的瑕点为x a, 则对任意
对c (a , b) , 瑕积分 f ( x )dx 与 f ( x )dx
推论2: 设非负函数 f ( x ) 与 g( x ) 的瑕点同为 x a ,
f ( x) 在任何 [u, b] (a, b] 上可积 , 且 lim c. x a g( x )
(i ) 若0 c , 则 f ( x )dx 与 g( x )dx 同敛散；
a a b b
u1 , u2 (a, a ) 时 ,
b
u
b
1
f ( x )dx f ( x )dx
u2
b
u
u2
1
f ( x )dx .
性质1： 设函数 f1 ( x ) 与 f 2 ( x ) 的瑕点同为a , 若瑕
积分 f1 ( x )dx 与 f 2 ( x )dx 都收敛 , 则对
(1)
1
sin 1 x x
r
0
dx (0 r 2).
( 2)
1 x 0
ln x dx ( R).
例3、讨论反常积分 ( )
0
x 1 dx 的收敛性. 1 x
在任何 [u, b] (a, b] 上可积 , 且
x a
lim ( x a ) p f ( x ) , 则
b a
(i )当 0 p 1 , 0 时, f ( x )dx 收敛； (ii)当 p 1 , 0 时, f ( x )dx 发散 .
反常积分判敛的三种方法
反常积分判敛的三种方法反常积分在数学中有着重要的地位，但有的反常积分发散，有的反常积分收敛。
那么，如何判断反常积分是否收敛呢？本文介绍三种判断反常积分是否收敛的方法。
一、比较判别法比较判别法是判断反常积分是否收敛的基本方法之一。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若存在一个正函数 $g(x)$，使得当 $x \geq a$ 时有 $f(x) \leq g(x)$，且$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 收敛，则原积分收敛；若$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 发散，则原积分也发散。
同理，对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，只需将“$x \geq a$” 替换为“$x \leq a$”，“$\leq$” 替换为“$\geq$” 即可。
二、极限判别法极限判别法是另一种判断反常积分是否收敛的方法。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若极限 $\lim_{x \rightarrow +\infty} xf(x) = A$ 存在且有限，则积分收敛；若极限不存在或为无穷大，则积分发散。
对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，则需将“$x \rightarrow +\infty$” 替换为“$x \rightarrow -\infty$”。
三、绝对收敛判别法绝对收敛判别法是在比较判别法的基础上引出的判定方法。
对于形如 $\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若$\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 收敛，则原积分绝对收敛；反之，若 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 发散，则原积分发散。
反常积分收敛的比较判别法
反常积分收敛的比较判别法在数学中，反常积分的收敛问题是一个重要的话题。
比较判别法是一种常用的方法，用于判断反常积分的收敛性。
本文将介绍比较判别法在无穷区间积分、无穷级数求和、瑕点处理、非负函数积分、广义积分收敛性、变限函数积分、绝对收敛与条件收敛以及与微分方程的联系等方面的应用。
1.无穷区间积分无穷区间积分是指积分区间为无穷大的积分。
在这种情况下，比较判别法通常用于判断积分的收敛性。
例如，对于函数f(x)在[0,∞)上积分收敛的充要条件是存在常数M，使得当x→∞时，f(x)→M。
2.无穷级数求和无穷级数求和是指对无穷多个数进行求和。
比较判别法也适用于判断无穷级数的收敛性。
例如，对于级数∑an，如果存在常数M，使得对于任意n，有|an|≤M，则级数收敛。
3.瑕点处理瑕点是指反常积分中使被积函数无定义的点。
在处理瑕点时，比较判别法可以用来判断瑕积分的收敛性。
例如，对于瑕积分∫(上限为∞,下限为a)f(x)dx，如果存在常数M，使得当x→a+时，f(x)→M，则瑕积分收敛。
4.非负函数积分对于非负函数f(x)的积分，比较判别法也适用。
例如，如果f(x)在[0,∞)上可积，且存在常数M，使得当x→∞时，f(x)≤M，则f(x)的积分收敛。
5.广义积分收敛性广义积分是指积分区间为无穷大的反常积分。
在这种情况下，比较判别法可以用来判断广义积分的收敛性。
例如，对于广义积分∫(上限为∞,下限为a)f(x)dx，如果存在常数M，使得当x→∞时，f(x)→M，则广义积分收敛。
6.变限函数积分变限函数积分是指积分上限或下限为变量的积分。
在这种情况下，比较判别法可以用来判断变限函数积分的收敛性。
例如，对于变限函数积分∫(上限为φ(t),下限为a)f(x,t)dxdt，如果存在常数M，使得当t→∞时，∫(上限为φ(t),下限为a)|f(x,t)|dxdt≤M，则变限函数积分收敛。
7.绝对收敛与条件收敛反常积分可以分成绝对收敛和条件收敛两种情况。
反常积分收敛判断
反常积分收敛判断
摘要：
1.反常积分的定义及作用
2.反常积分收敛的判断方法
3.反常积分的应用举例
正文：
一、反常积分的定义及作用
反常积分，又称为不定积分，是指在一个定义域上，对一个函数进行积分，积分结果与定义域无关的积分。
反常积分通常用来计算函数在一段区间上的积分值，它可以用来求解微分方程的解以及研究函数的性质等。
二、反常积分收敛的判断方法
判断反常积分是否收敛，主要有以下几种方法：
1.柯西积分准则：如果一个函数在定义域上满足柯西积分准则，那么这个函数在这个定义域上的反常积分是收敛的。
2.积分区间长度：如果一个函数在定义域上的长度是有限的，并且函数在这个区间上是连续的，那么这个函数在这个定义域上的反常积分是收敛的。
3.分部积分法：可以将函数分解成部分，然后分别求解每个部分的反常积分，如果这些部分的积分都是收敛的，那么原函数的反常积分也是收敛的。
三、反常积分的应用举例
举例来说，如果我们需要求解函数f(x) = 1/x在区间[1, 2] 上的积分值，我们可以使用反常积分的方法。
首先，将函数分解成部分，即f(x) = 1/x =
H(x) - H(2)，其中H(x) 是函数x 的反函数。
然后，我们可以分别求解H(x) 和H(2) 在区间[1, 2] 上的积分值，再将它们相减，即可得到f(x) 在区间[1, 2] 上的积分值。
综上所述，反常积分是一种重要的数学工具，它可以帮助我们求解许多实际问题。
瑕积分的性质与收敛判别
f ( x)dx为绝对收敛.
性质３说明绝对收敛的级数自身一定收敛．但自身收敛的级数 不一定绝对收敛．
我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛．
二. 无穷积分收敛的判别法
瑕积分
１.柯西准则 b
a
f ( x)dx a为瑕点收敛的充要条件是 :
0, 0, 只要u1､ u2 a, a , 便有
11.3瑕积分的性质与收敛判别
瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 .
一. 瑕积分的性质 性质１
当瑕积分
b
b
若f1与f 2的瑕点同为x a，k1 , k2为任意常数则
b a
[k f ( x) k 性质２
a 1 1
瑕积分 [k1 f1 ( x) k2 f 2 ( x)]dx也收敛, 且
根据比较判别法,
1 sin 1 x dx 收敛， 0 x
1 sin 1 x dx 也收敛． 从而 0 x
函数
定义 ( s ) e x x s 1dx ( s 0)
0
特点: 1.积分区间为无穷;
2.当 s 1 0 时被积函数在点 x 0 的 右领域内无界.
u2
u1
f ( x)dx .
２，比较原则
设定义在(a, b]上的两个函数f 和g , 瑕点同为x a都在 任何区间 u,b (a, b]上可积且满足 f ( x) g ( x), x (a, b]
若 f ( x) dx发散则 g ( x)dx发散. a a f ( x) 推论 又若g ( x) 0, 且 lim c，则有 x a g ( x) b b (i) 当0 c 时 f ( x) dx与 g ( x)dx同敛态;
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定理11.9 ' (Dirichlet判别法)
设f和g满足下面两个条件:
1
M
0,
使得对0
b
a有|
b
a
f (]上单调,且 lim g( x) 0, xa 则 b f ( x)g( x)dx收敛. a
定理11.10' (Abel判别法)
设f和g满足下面两个条件:
ln x 1 x2
dx
1 2 0
ln x 1 x2
dx
1 1 2
ln x 1 x2
dx
ln x
lim x1 1 x2
1 2
lim
x1
ln
1
x
x
1 2
, 可见x=1为可去连续点。
1
而对于 2
ln x dx， ln x
2 ln x
0 1 x2
1 x2
1
1
1
2 ln xdx lim 2 ln xdx lim x ln x x 2 存在
a
a
3 l＝ , b g( x)dx 发散 b f ( x)dx发散.
a
a
定理11.5'
b f ( x)dx收敛 a
对 0, 0,
a '
只要0 ,0 ' ,总有 a f ( x)dx .
定理11.6'
b f ( x)dx收敛 b f ( x)dx收敛
a
a
绝对收敛 收敛. 收敛 绝对收敛.
|
(2k1) t p2 sin tdt | (2k ) p2
sin tdt
2 k
0
2(2k ) p2 2,
由Cauchy收敛原理, 当p 2时, 积分发散.
1 b f ( x)dx收敛, a
2 g( x)在(a,b]中单调有界,
则 b f ( x)g( x)dx收敛. a
瑕点为积分上限或者中间值时,有类似的结果.
比较审敛法及其极限形式的例子略去
例1 研究 1 x p1(1 x)q1 dx 的敛散性. 0
解 当p 1时, x 0是瑕点; 当q 1时, x 1是瑕点.
0
I2
e x x s1dx,
1
(1) 当 s 1 时, I1 是常义积分; 当 0 s 1 时,
ex
x s1
1 x 1 s
1 ex
1 x 1 s
,
收敛
(2)
lim
x
x2
(e x xs1 )
lim
x
x s1 ex
0,
s 0 收敛
收敛
例3：1 ln x dx 0 1 x2
收敛
解：1 0
{cos 1 } 有界 x
收敛
收敛
例5： 0
sin2 xm
xdx
1<m<3,收敛
解： 0
sin2 xm
xdx
1 0
sin2 xm
xdx
sin2 x 1 xm dx
lim
x0
x
m2
sin2 xm
x
1,
m
2
1,
m
3
收敛
由于
sin2 x xm
1 xm
，m
1
收敛
sin2 x 1 cos 2x m 1, xm xm
当 p 1时收敛； 当 P 1时发散．
定理11.3' (比较审敛法的极限形式)
设f , g 0, 且 lim f ( x) l，则 xa g( x)
1 0 l , b f ( x)dx与 b g( x)dx同敛散；
a
a
2 l＝0，b g( x)dx收敛 b f ( x)dx收敛；
ln
sin
1
x
lim x0
1 1
x 4 cos x sin x
0
11
x4
x2 4
收敛
例8
设p
0,
讨论积分
1 0
sin xp
1
xdx的敛散性.
解 易见 x 0 是瑕点, 作变换 1 t, 得 x
1 0
sin xp
1
xdx
1
sti2n ptdt
1o. 当p 2时, 积分发散
若取A' 2k , A'' (2k 1) , 那么当k 时,
0
0
0
例4：1 0
lnxln(1+ x) x(1+ x) dx
lnxln(1+ x)
解：lim x0
x(1+ x)
1
ln x
1
1
1
x4
lim x4 ln x lim
x0
x0
1
4lim x0
11 0
x4
xx 4
sinxcos1
例11： 0
x x dx
解： 0
sinx x dx
收敛
因此原积分在p 0,q 0时收敛.
故积分定义了一个二元函数B( p,q)－－Beta函数
例2 函数
(s)
(s) ex x s1dx (s 0) 0
o
s
特点: 1.积分区间为无穷;
2.当 s 1 0 时被积函数在点 x 0 的 右邻域内无界.
设 I1
1 e x x s1dx,
故取a (0,1), 把积分拆成两部分:
1 x p1 (1 x)q1 dx a x p1 (1 x)q1 dx
0
0
1 x p1 (1 x)q1 dx a
当x 0时, x p1(1 x)q1 ~ x p1 ,
故当p 0时, 第一个积分收敛;
当x 1时, x p1(1 x)q1 ~ (1 x)q1 , 故当q 0时, 第二个积分收敛;
定理11.2' (比较审敛法) 设0 f ( x) g( x), ( x a且充分靠近a), 那么
1o 若 b g( x)dx收敛 b f ( x)dx收敛
a
a
2o 若 b f ( x)dx 发散 b g( x)dx 发散
a
a
常用的比较对象：
b dx
a (x a)p
(a 0)
§11.3 瑕积分的收敛判别法
设f ( x)在区间(a,b]上有定义，而在点a的右邻域
内无界, 但对 (0,b a), f ( x)在(a ,b]上可积,
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
0 a
如 lim b f ( x)dx存在, 称瑕积分 b f ( x)dx收敛.
0 a
a
当极限不存在时, 称瑕积分发散.
如何判断瑕积分的敛散性?
设a是f的瑕点, 作代换x a 1 , 那么 y
lim
0
b a
f ( x)dx lim 0
1
ba 1
f
(a
1) y
1 y2
dy
1 ba
f
(a
1) y
1 y2
dy
瑕积分 无穷积分
约定 : 积分下限a是瑕点, f , g R[a ,b]
发散
1
例6：2
ln x
0 1 x2
dx x
ln x
解：lim x0
1
x2
1
11
x2 4
x
1
ln x
1
lim x4 ln x lim
x0
x0
1
4lim x0
1 0
x4
x4
收敛
例7： 2
ln
sin
xdx
0
x
解：lim x0
ln sin x
x 1
1
lim x 4 x0
ln sin x
lim
x0