《预测》2019年河北省石家庄市桥西区中考数学二模试卷(解析版)

2019年河北省石家庄市桥西区中考数学二模试卷一．选择题（共16小题，满分42分）1．计算：得（）A．B．C．D．2．将数据162000用科学记数法表示为（）A．0.162×105B．1.62×105C．16.2×104D．162×1033．如图，数轴上点A、B、C、D表示的数中，表示互为相反数的两个点是（）A．点B和点C B．点A和点C C．点B和点D D．点A和点D4．中国讲究五谷丰登，六畜兴旺，如图是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有六畜：“猪”，“牛”，“羊”，“马”，“鸡”，“狗”，将其围成一个正方体后，则与“牛”相对的是（）A．羊B．马C．鸡D．狗5．有理数a、b在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（）A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．a＜﹣b＜b＜﹣a C．﹣b＜a＜﹣a＜b D．a＜b＜﹣b＜﹣a6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作圆，交斜边AB于点E，D为AC的中点．连接DO，DE．则下列结论中不一定正确的是（）A．DO∥AB B．△ADE是等腰三角形C．DE⊥AC D．DE是⊙O的切线7．下列计算，正确的是（）A．（）﹣1＝2B．||＝﹣C．D．8．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A．如果AB＝CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形B．如果AB∥CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果OA＝OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形9．若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（）A．B．C．D．10．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．北偏东30°B．北偏西30°C．北偏东60°D．北偏西60°11．下列判断正确的是（）A．高铁站对旅客的行李的检查应采取抽样调查B．一组数据5、3、4、5、3的众数是5C．“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛掷硬币2次就必有1次反面朝上D．甲，乙组数据的平均数相同，方差分别是S甲2＝4.3，S乙2＝4.1，则乙组数据更稳定12．已知2是关于x的方程x2﹣（5+m）x+5m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（）A．9B．12C．9或12D．6或12或1513．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，点D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若CA′＝AA'，则折痕DE的长为（）A．4B．3C．2D．14．某校举行“社会主义核心价值观”演讲比赛，学校对30名参赛选手的成绩进行了分组统计，结果如下表：由上可知，参赛选手分数的中位数所在的分数段为（ ） A ．5≤x ＜6B ．6≤x ＜7C ．7≤x ＜8D ．8≤x ＜915．已知点A （﹣2，y 1），B（a ，y 2），C （3，y 3）都在反比例函数y ＝的图象上，且﹣2＜a ＜0，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 316．已知正方形MNOK 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK 边与AB 边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B 顺时针旋转，使KM 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使MN 边与CD 边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B ，M 间的距离可能是（ ）A ．0.5B ．0.7C ．﹣1D ．﹣1二．填空题（共3小题，满分10分）17．已知x ＝y +95，则代数式x 2﹣2xy +y 2﹣25＝ ．18．如图，已知点E ，F 分别是▱ABCD 的边BC ，AD 上的中点，且∠BAC ＝90°，若∠B ＝30°，BC ＝10，则四边形AECF 的面积为 ．19．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝x ，作A 1（1，0）关于y ＝x 的对称点B 1，将点B1向右水平平移2个单位得到点A2；再作A2关于y＝x的对称点B2，将点B2向右水平平移2个单位得到点A3；…．请继续操作并探究：点A3的坐标是，点B2014的坐标是．三．解答题（共7小题，满分68分）20．（8分）分解因式：（x+1）（x﹣4）+3x．21．（9分）计算：﹣．22．（9分）为了开展阳光体育运动，坚持让中小学生“每天锻炼一小时”，体育局做了一个随机调查，调查内容是：每天锻炼是否超过1h及锻炼未超过1h的原因．他们随机调查了340名学生，用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图（图1、图2）．根据图示，请回答以下问题：（1）“没时间”的人数是，并补全频数分布直方图；（2）2015年全市中小学生约18万人，按此调查，可以估计2015年全市中小学生每天锻炼超过1h的约有万人；（3）在（2）的条件下，如果计划2017年全市中小学生每天锻炼未超过1h的人数减少到8.64万人，求2015年至2017年锻炼未超过1h人数的年平均降低的百分率．23．（9分）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF＝AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E（1）求证：DE＝AB；（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF＝FC＝1，求扇形ABG的面积．（结果保留π）24．（10分）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝与y＝（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当m＝4，n＝20时．①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．25．（11分）如图，是一副学生用的三角板，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∠B＝30°；在△A1B1C1中，∠C1＝90°，∠A1＝45°，∠B1＝45°，且A1B1＝CB．若将边A1C1与边CA重合，其中点A1与点C重合．将三角板A1B1C1绕点C（A1）按逆时针方向旋转，旋转过的角为α，旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M，设AC＝a．（1）计算A1C1的长；（2）当α＝30°时，证明：B1C1∥AB；（3）若a＝，当α＝45°时，计算两个三角板重叠部分图形的面积；（4）当α＝60°时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积．（参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣，sin75°＝，cos75°＝，tan75°＝2+）26．（12分）已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a ＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．2019年河北省石家庄市桥西区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题，满分42分）1．【分析】同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化．【解答】解：原式＝﹣××，＝﹣．故选：B．【点评】本题考查的是有理数的运算能力．要正确掌握运算顺序，在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于162000有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．【解答】解：162 000＝1.62×105．故选：B．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3．【分析】一对相反数在数轴上的位置特点：分别在原点的左右两旁，并且到原点的距离相等．【解答】解：点A和点D分别在原点的左右两旁，到原点的距离相等，所以它们表示的两个数互为相反数．故选：D．【点评】主要考查一对相反数在数轴上的位置特点．4．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“猪”相对的字是“羊”；“马”相对的字是“鸡”；“牛”相对的字是“狗”．故选：D．【点评】本题主要考查了正方体的平面展开图，解题的关键是掌握立方体的11种展开图的特征．5．【分析】观察数轴可得出a＜0、b＞0、|a|＞|b|，进而即可得出a＜﹣b＜b＜﹣a，此题得解．【解答】解：观察数轴，可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a＜﹣b＜b＜﹣a．故选：B．【点评】本题考查了数轴，牢记“当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大”是解题的关键．6．【分析】连接OE，由OD为三角形ABC的中位线，利用中位线定理得到OD与AB平行，选项A正确；由两直线平行得到两对同位角相等，两对内错角相等，再由OE＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由OC＝OE，OD为公共边得到三角形COD与三角形EOD全等，由全等三角形的对应角相等得到∠OED为直角，即OE垂直于DE，可得出DE 为圆O的切线，选项D正确；由全等三角形对应角相等得到∠CDO＝∠EDO，等量代换得到∠A ＝∠DEA，即三角形AED为等腰三角形，选项B正确，而DE不一定垂直于AC，故选项C符合题意．【解答】解：连接OE，∵D为AC中点，O为BC中点，∴OD为△ABC的中位线，∴DO∥AB，选项A正确；∴∠COD＝∠B，∠DOE＝∠OEB，∠CDO＝∠A，∠EDO＝∠DEA，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠B，∴∠COD＝∠DOE，在△COD和△EOD中，，∴△COD≌△EOD（SAS），∴∠OED＝∠OCD＝90°，∠CDO＝∠EDO，∴DE为圆O的切线，选项D正确；连接EC，∵BC是直径，∴∠AEC＝∠CEB＝90°，∵AD＝DC，∴DA＝DE，∴∠A＝∠DEA，∴△AED为等腰三角形，选项B正确，则不一定正确的为DE⊥AC．故选：C．【点评】此题考查了切线的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．7．【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝2，符合题意；B、原式＝，不符合题意；C、原式＝2，不符合题意；D、原式＝2﹣＝，不符合题意，故选：A．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．【分析】根据矩形和菱形的判定定理进行判断即可．【解答】解：A、如果AB＝CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是等腰梯形，不一定矩形；B、如果AD∥BC，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，又AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形；C、如果AD∥BC，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形；D、如果AD∥BC，OA＝OC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形；故选：A．【点评】此题主要考查了矩形的判定和菱形的判定，关键是熟练掌握矩形和菱形的判定定理．9．【分析】首先根据二次根式中的被开方数是非负数，以及a0＝1（a≠0），判断出k的取值范围，然后判断出k﹣1、1﹣k的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，判断出一次函数y＝（k ﹣1）x+1﹣k的图象可能是哪个即可．【解答】解：∵式子+（k﹣1）0有意义，∴解得k＞1，∴k﹣1＞0，1﹣k＜0，∴一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是：．故选：A．【点评】（1）此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0＝1（a≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．10．【分析】根据题意画出图形，进而分析得出从乙船看甲船的方向．【解答】解：∵从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，∴从乙船看甲船，甲船在乙船的北偏西30°方向．故选：B．【点评】此题主要考查了方向角，根据题意画出图形是解题关键．描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．11．【分析】依据调查、众数、概率以及方差的概念进行判断，即可得到正确结论．【解答】解：A、高铁站对旅客的行李的检查应采取全面调查，此选项错误；B、一组数据5、3、4、5、3的众数是3和5，此选项错误；C、“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛掷硬币2次不一定就有1次反面朝上，此选项错误；D、甲，乙组数据的平均数相同，方差分别是S甲2＝4.3，S乙2＝4.1，则乙组数据更稳定，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查了调查、众数、概率以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．12．【分析】先把x＝2代入x2﹣（5+m）x+5m＝0中得4﹣2（5+m）+5m＝0，解得m＝2，再解方程得到x1＝2，x2＝5，然后根据三角形三边的关系得到等腰△ABC的腰长为5，底边长为2，再计算三角形的周长．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣（5+m）x+5m＝0得4﹣2（5+m）+5m＝0，解得m＝2，方程化为x2﹣7x+10＝0，解得x1＝2，x2＝5，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，所以等腰△ABC的腰长为5，底边长为2，所以△ABC的周长为5+5+2＝12．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．13．【分析】△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，可得∠DEA＝∠DEA′＝90°，AE＝A′E，所以，△ACB∽△AED，A′为CE的中点，所以，可运用相似三角形的性质求得【解答】解：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，∴∠DEA＝∠DEA′＝90°，AE＝A′E，∴DE∥BC∴△ACB∽△AED，∵CA′＝AA'，AE＝A′E，∴AE＝AC∵△ACB∽△AED，∴即∴DE＝2故选：C．【点评】本题考查了翻折变换和相似三角形的判定与性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．14．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：共有30个数，中位数是第15、16个数的平均数，而第15、16个数所在分数段均为6≤x＜7，所以参赛选手分数的中位数所在的分数段为6≤x＜7．故选：B．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．15．【分析】利用k＞0，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，双曲线在第一三象限，分别分析即可得出答案．【解答】解：∵反比例函数y＝中的k＝4＞0，∴在图象的每一支上，y随x的增大而减小，双曲线在第一三象限，∵﹣2＜a＜0，∴0＞y1＞y2，∵C（3，y3）在第一象限，∴y3＞0，∴y3＞y1＞y2，故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练地应用反比例函数的性质是解决问题的关键．16．【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，由此即可判断．【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是1或﹣1，故选：D．【点评】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．二．填空题（共3小题，满分10分）17．【分析】原式前三项利用完全平方公式分解，将已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵x＝y+95，即x﹣y＝95，∴原式＝（x﹣y）2﹣25＝9025﹣25＝9000，故答案为：9000【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18．【分析】由条件可先证得四边形AECF为菱形，连接EF交AC于点O，解直角三角形求出AC、AB，由三角形中位线定理求出OE，得出EF，菱形AECF的面积＝AC•EF，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E是BC边的中点，∴AE＝BC＝CE，同理，AF＝AD＝CF，∴AE＝CE＝AF＝CF，∴四边形AECF是菱形，连接EF交AC于点O，如图所示：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC＝10，∴AC＝BC＝5，AB＝AC＝5，∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，OA＝OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AB＝，∴EF＝5，＝AC•EF＝×5×5＝，∴S菱形AECF故答案为：．【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，证得四边形AECF为菱形是解题的关键．19．【分析】根据题意画出图象，进而得出各点坐标变化规律进而得出答案．【解答】解：如图所示：点A3的坐标是：（3，2），∵B1（0，1），B2（1，2），B3（2，3），∴B点横坐标比纵坐标小1，∴点B2014的坐标是：（2013，2014）．故答案为：（3，2），（2013，2014）．【点评】此题主要考查了点的变化规律，得出B点横纵坐标变化规律是解题关键．三．解答题（共7小题，满分68分）20．【分析】先将原式去括号、合并同类项化为最简形式，再利用平方差公式分解可得．【解答】解：原式＝x2﹣3x﹣4+3x＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【点评】本题主要考查公式法因式分解的能力，解题的关键是掌握整式混合运算的能力和平方差公式．21．【分析】先通分变成同分母的分式，再根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝＝＝．【点评】本题考查了分式的加减法，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键，注意：结果化成最简分式或整式．22．【分析】（1）先求出未超1h的人数，减去不喜欢和其他原因的即可求出“没时间”的人数，再补全频数分布直方图；（2）根据扇形统计图可以知道每天锻炼超过1h的百分比，然后乘以18万即可得到2015年全市中小学生每天锻炼超过1h的约有的人数；（3）设2015年至2017年锻炼未超过1h人数的年平均降低的百分率为x，由于计划2017年全市中小学生每天锻炼未超过1h的人数减少到8.64万人，由此可以列出方程18×0.75（1﹣x）2＝8.64，解方程即可求出2015年至2017年锻炼未超过1h人数的年平均降低的百分率．【解答】解：（1）∵随机调查了340名学生，∴锻炼未超过1h的中小学生有340×＝255人，又∵不喜欢的人数和其他的人数分别是120和20，∴“没时间”的人数为255﹣120﹣20＝115人，频数分布直方图如图所示：（2）根据扇形统计图知道：每天锻炼超过1h的百分比为18×＝4.5万人．故估计2015年全市中小学生每天锻炼超过1h的约有4.5万人；（3）设2015年至2017年锻炼未超过1h人数的年平均降低的百分率为x．由题意得：18×0.75（1﹣x）2＝8.64，解得x＝0.2，x＝1.8（舍去）．答：2015年至2017年锻炼未超过1h人数的年平均降低的百分率为20%．故答案为：115；4.5．【点评】此题比较复杂，既考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，也考查增长率的问题．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．23．【分析】（1）根据矩形的性质得出∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC，求出∠DAE＝∠AFB，∠AED＝90°＝∠B，根据AAS推出△ABF≌△DEA即可；（2）根据勾股定理求出AB，解直角三角形求出∠BAF，根据全等三角形的性质得出DE＝DG＝AB＝，∠GDE＝∠BAF＝30°，根据扇形的面积公式求得求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°＝∠B，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA（AAS），∴DE＝AB；（2）解：∵BC＝AD，AD＝AF，∴BC＝AF，∵BF＝1，∠ABF＝90°，∴由勾股定理得：AB＝＝，∴∠BAF＝30°，∴扇形ABG的面积＝＝．【点评】本题考查了弧长公式，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．24．【分析】（1）①先确定出点A，B坐标，再利用待定系数法即可得出结论；②先确定出点D坐标，进而确定出点P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；（2）先确定出B（4，），D（4，），进而求出点P的坐标，再求出A，C坐标，最后用AC ＝BD，即可得出结论．【解答】解：（1）①如图1，∵m＝4，∴反比例函数为y＝，当x＝4时，y＝1，∴B（4，1），当y＝2时，∴2＝，∴x＝2，∴A（2，2），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3；②四边形ABCD是菱形，理由如下：如图2，由①知，B（4，1），∵BD∥y轴，∴D（4，5），∵点P是线段BD的中点，∴P（4，3），当y＝3时，由y＝得，x＝，由y＝得，x＝，∴PA＝4﹣＝，PC＝﹣4＝，∴PA＝PC，∵PB＝PD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）四边形ABCD能是正方形，理由：当四边形ABCD是正方形，记AC，BD的交点为P，∴BD＝AC当x＝4时，y＝＝，y＝＝∴B（4，），D（4，），∴P（4，），∴A（，），C（，）∵AC＝BD，∴﹣＝﹣，∴m+n＝32【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形ABCD是平行四边形是解本题的关键．25．【分析】（1）在Rt△ABC中，由特殊锐角三角函数值，先求得BC的长，然后在Rt△A1B1C1中利用特殊锐角三角函数即可求得A1C1的长；（2）利用三角形的外角的性质求得∠BMC＝90°，然后利用同位角相等，两直线平行进行判定即可；（3）两个三角板重叠部分图形的面积＝△A1B1C1的面积﹣△BC1M的面积；（4）两个三角板重叠部分图形的面积＝△CC1B1的面积﹣三角形FB1C的面积﹣三角形DC1M的面积．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝a，由特殊锐角三角函数可知：，∴BC＝．∴B1C＝在Rt△A1B1C1，∠B1＝∠45°，∴．∴A1C1＝＝．（2）∵∠ACM＝30°，∠A＝60°，∴∠BMC＝90°．∴∠C1＝∠BMC．∴B1C1∥AB．（3）如下图：由（1）可知：A1C1＝＝＝3+∴△A1B1C1的面积＝＝∵∠A1B1C1＝45°，∠ABC＝30°∴∠MBC1＝15°在Rt△BC1M中，C1M＝BC tan15°＝（3+）（2﹣）＝3﹣，∴Rt△BC1M的面积＝＝＝3．∴两个三角板重叠部分图形的面积＝△A1B1C1的面积﹣△BC1M的面积＝3+3．（4）由（1）可知：BC＝，A1C1＝，∴C1F＝A1C1•tan30°＝a，∴＝＝×a×a＝a2，∵∠MCA＝60°，∠A＝60°，∴∠AMC＝60°∴MC＝AC＝MA＝a．∴C1M＝C1A1﹣MC＝．∵∠MCA＝60°，∴∠C1A1B＝30°，∴∠C1MD＝∠B+∠C1A1B＝60°在Rt△DC1M中，由特殊锐角三角函数可知：C1D＝C1M•tan60°＝a，a2，∴＝C1M•C1D＝两个三角板重叠部分图形的面积＝﹣＝C1M＝a2﹣a2＝a2．【点评】本题主要考查的是锐角三角函数和三角形的综合应用，难度较大，解答本题的关键是灵活应用锐角函数求得相关线段的长度．26．【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x 的一元二次方程，可求得另一交点N 的坐标，根据a ＜b ，判断a ＜0，确定D 、M 、N 的位置，画图1，根据面积和可得△DMN 的面积即可；（3）先根据a 的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH 与抛物线只有一个公共点时，t 的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t 的值，可得：线段GH 与抛物线有两个不同的公共点时t 的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+ax +b 有一个公共点M （1，0），∴a +a +b ＝0，即b ＝﹣2a ，∴y ＝ax 2+ax +b ＝ax 2+ax ﹣2a ＝a （x +）2﹣，∴抛物线顶点D 的坐标为（﹣，﹣）；（2）∵直线y ＝2x +m 经过点M （1，0），∴0＝2×1+m ，解得m ＝﹣2，∴y ＝2x ﹣2，则，得ax 2+（a ﹣2）x ﹣2a +2＝0，∴（x ﹣1）（ax +2a ﹣2）＝0，解得x ＝1或x ＝﹣2，∴N 点坐标为（﹣2，﹣6），∵a ＜b ，即a ＜﹣2a ，∴a ＜0，如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，∵抛物线对称轴为x ＝﹣＝﹣，∴E （﹣，﹣3），∵M （1，0），N （﹣2，﹣6），设△DMN 的面积为S ，∴S ＝S △DEN +S △DEM ＝|（﹣2）﹣1|•|﹣﹣（﹣3）|＝，（3）当a ＝﹣1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，有，﹣x2﹣x+2＝﹣2x，解得：x1＝2，x2＝﹣1，∴G（﹣1，2），∵点G、H关于原点对称，∴H（1，﹣2），设直线GH平移后的解析式为：y＝﹣2x+t，﹣x2﹣x+2＝﹣2x+t，x2﹣x﹣2+t＝0，△＝1﹣4（t﹣2）＝0，t＝，当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y＝﹣2x+t，t＝2，∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。