江苏省南京市鼓楼区八年级上学期期中数学试卷
D
A
B
E
（第 25 题（ 1））
（ 2）如图（ 2），在△ ABC 中，AB＞ AC＞ BC，∠ACB＝80°，点 D 、E 在边 AB
上，且 AD＝ AC，BE＝BC，求∠ DCE 的度数；
C
A
E
DB
（2）
（ 3）在△ ABC 中， AB＞ AC＞ BC，∠ ACB＝ 80°，点 D、 E 在直线 AB 上，且 AD＝ AC， BE＝ BC，求∠ DCE 的度数（直接写出答案）；
11．如图，在△ ABC 中，∠ B 与∠ C 的平分线交于点 O，过点 O 作 DE ∥ BC，分别交 AB、AC
于点 D 、E．若 AB ＝ 9， AC＝ 7，则△ ADE 的周长是 ▲ ．
A
A
A
D
O
E
B
C
B
C
（第 11 题）
（第 12 题）
D
E
O
B
C
D
（第 13 题）
12．如图，△ ABC 为等边三角形，以 AC 为直角边作等腰直角三角形 ∠ CBD＝ ▲ °．
A
B
（ 3）
明、证明过程或演算步骤） 17．（ 6 分）已知：如图， AB＝AD ，∠ C＝∠ E，∠ BAE＝∠ DAC ．
求证：△ ABC≌△ ADE ．
B
A D
18．（ 6 分）已知：如图，在△ ABC 中， DE∥ BC， AD ＝AE． 求证： AB＝ AC．
E
C
（第 17 题）
A
D
E
B
C
（第 18 题）
C
B
A
（第 21 题）
22．（ 8 分）八年级某班数学实验课安排测量操场上旗杆的高度．小聪同学经过认真思考，研
究出了一个可行的测量方案：在某一时刻测得旗杆
AB 的影长 BC 和∠ ACB 的大小，然后
在操场上画∠ MDN ，使得∠ MDN ＝∠ ACB，在边 DM 上截取线段 DE ＝BC，再利用三角
15．已知直角周长为 22 cm，则此直角三角形的面积为
C
A
B
▲．
A
E
B
（第 14 题）
16．如图，在 2×2 方格纸中，有一个以格点为顶点的△
C （第 16 题）
ABC ，请你找出方格纸中所有与△
ABC
成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有
▲ 个．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 68 分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说
（4）如图（ 3），在△ ABC 中， AB＝14，AC＝15，BC＝13．点 D、E 在直线
AB 上，且 AD＝ AC，BE＝ BC．请根据题意把图形补画完整，并在图形的下 方直接写出△ CDE 的面积． （如果有多种情况， 图形不够用请自己画出， 各．种．情．况．用．一．个．图．形．单．独．表．示． ．）
A ．26
B ． 28
C． 32
D． 36
A
B
D
C
（第 4 题）
A
B
C
O （第 5 题）
A
D A′
O
B′
E
C
B
（第 6 题）
5．如图，点 O 是 △ABC 的两外角平分线的交点，下列结论：① OB＝OC；②点 O 到 AB 、AC 的距离相等； ③点 O 到 △ABC 的三边的距离相等； ④点 O 在∠ A 的平分线上． 其中结论正
（3）如图（ 3），五边形 ABCDE 中， AB＝ AE，BC＝ DE ，∠ B＝∠ E．请你只用无刻度的直 尺画出 CD 边的垂直平分线，并说明理由．
A
A
A
B
E
O
B
C
（ 1）
D
E
B
C
（ 2）
（第 23 题）
C
D
（ 3）
24．（ 8 分） 在一次 “构造勾股数”的探究学习课中，老师给出了下表：
m2
A ．2， 3， 5
B． 3， 4， 4
C． 32， 42 ， 52
D ． 6， 8， 10
3．下列说法正确的是
A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B ．全等三角形的周长和面积分别相等
C ．全等三角形是指面积相等的两个三角形
D ．所有的等边三角形都是全等三角形
4．如图，在△ ABC 中， AB＝ AC，AD 是 BC 边上中线．若 AB＝ 10，AD＝ 8，则△ ABC 的周长 是
形全等的知识求出旗杆的高度．请完成小聪同学的测量方案，并说明方案可行的理由．
A
M
E
C
B
D
N
（第 22 题）
23．（ 8 分）（ 1）如图（ 1），在△ ABC 中， AB＝ AC， O 为△ ABC 内一点，且 OB＝ OC． 求证：直线 AO 垂直平分 BC． 以下是小明的证题思路，请补全框图中的分析过程．
江苏省南京市鼓楼区 2015 年八年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共计 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰 ． 有．一．项．是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸 ．．．上）
1．在下列常见的手机软件小图标中，是轴对称图形的是
A．
B．
C．
D．
2．下列几组数中，能构成直角三角形三边的是
3
3
4
…
n1
a
22＋12
1 32＋ 12
2 32＋ 22
3
…
42＋32
…
b4
c
22－12
6 32－ 12
12 32－ 22
24
…
42－32
…
其中 m、n 为正整数，且 m＞n．
（1）观察表格，当 m＝ 2， n＝ 1 时，此时对应的 a、b、c 的值能否作为直角三角
形三边的长？说明你的理由．
（2）探究 a、b、c 与 m、n 之间的关系， 并用含 m、n 的代数式表示： a＝ ▲ ，
确的个数是
A ．1
B．2
C． 3
D．4
6．如图，在 △ ABC 中， AB＝BC ，∠ ACB＝ 90°，点 D、E 在 AB 上，将 △ACD 、△ BCE 分别 沿 CD、 CE 翻折，点 A、B 分别落在点 A′、 B′的位置，再将 △ A′CD 、 △B′CE 分别沿 A′C、
B′C 翻折，点 D 与点 E 恰好重合于点 O，则∠ A′OB′的度数是
要证 AO垂直平分 BC，只要证点 A、 点 O 都在 BC 的垂直平分线上，即证 ▲ ＝▲ ， ▲ ＝ ▲ ， 即可得证．
（ 2）如图（ 2），在△ ABC 中， AB＝ AC，点 D、 E 分别在 AB、 AC 上，且 BD＝ CE．请你 只用无刻度的直尺画出 BC 的垂直平分线（不写画法，保留画图痕迹） ．
A ．90°
B ．120° C． 135°
D ．150°
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答．题．纸．相应位置上）
7．如图，△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为
S1，S2，
S3，已知 S1＝ 15，S3＝ 25，则 S2＝ ▲ ．
ACD ，∠ACD ＝90°，则
13．如图，△ ABC≌△ BDE，点 B、 C、D 在一条直线上， AC、BE 交于点 O，若∠ AOE＝95°， 则∠ BDE ＝ ▲ °．
14．如图，在△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°，∠ CAB＝ 30°．以 AB 长为一边作△ ABD ，且 AD ＝
BD ，∠ ADB ＝ 90°，取 AB 中点 E，连 DE 、 CE、 CD ．则∠ EDC ＝ ▲ °．
19．（ 7 分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的△
ABC ．
（ 1）试根据三角形三边关系，判断△ ABC 的形状；
（ 2）在方格纸中利用直尺分别画出 AB、BC 的垂直平分线，交点为 O．观察点 O 的位置，
你能得出怎样的结论？
A
C B
（第 19 题）
20．（ 7 分）如图，将边长为 a 与 b、对角线长为 c 的长方形纸片 ABCD ，绕点 C 顺时针旋转 90°得到长方形 EFCG ，连接 AE．通过用不同方法计算梯形 ABGE 的面积可验证勾股定 理，请你写出验证的过程．
B
A
A
S3
S1
C
B
S2
（第 7 题）
A
C
D
O
（第 9 题）
D C
P
B （第 10 题）
8．已知等腰三角形一个外角等于 80°，则这个等腰三角形的顶角的度数是
▲．
9．如图，已知∠ BAC ＝∠ DAC，请添加一个条件： 即可）．
▲ ，使△ ABC≌△ ADC （写出一个
10．如图，OC 是∠ AOB 的平分线， PD ⊥DA ，垂足为 D，PD ＝ 2，则点 P 到 OB 的距离是 ▲ ．
b＝ ▲ ，c＝ ▲ ．
（3）以 a、b、c 为三边长的三角形是否一定是直角三角形？如果是， 请说明理由；
如果不是，请举出反例．
25. （10 分） （1）如图（ 1），在△ ABC 中， AB＞ AC＞ BC，∠ ACB＝80°，点 D、 E 线段 BA、 AB 的延长线上，且 AD＝AC，BE＝BC，则∠ DCE＝ ▲ °；
A
D
ac
F
E
c
b
B bC
a
G
（第 20 题）
21．（ 8 分）如图，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°，∠ A＞∠ B． （ 1）用直．尺．和．圆．规． 作．AB 的垂直平分线，交 AB 与 D ，交 BC 于 E；
江苏省南京市鼓楼四校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷
江苏省南京市鼓楼四校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．下列图形是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A ．13，14，15B ．2，3，4C ．7，24，25D ．9，37，383．如图，DAC BCA ∠=∠，添加下列条件后仍不能判定ABC CDA △△≌的是（）A ．BC DA =B ．AB CD =C ．BD ∠=∠D ．BAC DCA∠=∠4．如图，用直尺和圆规作ABC DBC △≌△，这两个三角形全等的依据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS5．某地兴建的幸福小区的三个出口A 、B 、C 的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在ABC V （）A ．三条高线的交点处B ．三条中线的交点处C ．三个角的平分线的交点处D ．三条边的垂直平分线的交点处6．如图，在55⨯的正方形网格中，已知线段a ，b 和点P ，且线段的端点和点P 都在格点上，在网格中找一格点Q ，使线段a ，b ，PQ 恰好能作为直角三角形三边，则满足条件的格点Q 有（）A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．如图，ABC DEF ≌△△，且55A ∠=︒，75B ∠=︒，则F ∠=︒．8．直角三角形斜边上的中线长为4，则两直角边的平方和为．9．已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为．10．如图，AD BC ∥，ABC ∠的平分线BP 与BAD ∠的平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ，5PE =，则两条平行线AD 与BC 间的距离为．11．如图，在ABC V 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，连接AD ．若ABC V 的周长为13，2AE =，则ABD △的周长为．12．如图，把一个直立的火柴盒放到，5cm,2cm AB BC ==，则ACD 的面积为．13．如图，DEF 的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形ABC ，使ABC DEF ≌△△，则这样的格点三角形最多可以画个．14．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，4AB =，CD 是ABC V 的中线，E 是C 的中点，连接AE ，BE ，若AE BE ⊥，垂足为E ，则2BC 的结果为．15．如图，在ABC V 中，,AB AC AB =的垂直平分线交AB 于N ，交AC 于M ，P 是直线MN上一动点，点H 为BC 中点．若5BC =，ABC V 的面积是30，则PB PH +的最小值为．16．如图，在ABC V 中，135ACB ∠=︒，AC =53BC =，D ，E 分别是AB ，BC 边上的点．把ABC V 沿直线DE 折叠，若B 落在AC 边上的点B '处，则CE 的取值范围是．三、解答题17．如图，AB AD =，C E ∠=∠，12∠=∠．求证：BC DE =．18．已知；如图，4=AD ，3CD =，90ADC ∠=︒，13AB =，12BC =．求该图形的面积．19．已知，如图，AB AC =，DB DC =，点E 在C 上．求证：EB EC =．20．如图，ABC V 中，AE 是高，CD 是中线，EF CD ⊥，且F 是CD 的中点．(1)求证：BD CE =；(2)若115BC BD ==，，求ABC V 的面积．21．如图，ABC V 的顶点均在正方形网格格点上．．(1)如图①，只用不带刻度的直尺，作出ABC V 的角平分线C （不写作法，保留作图痕迹）．(2)如图2，点E 为点C 右侧的格点，3BE =，4AE =，延长ABC V 的角平分线C ，交AE 于点P ，则AP 的长为__________．22．在ABC V 中，若2AC =，3BC =，CD 为ABC V 的中线．(1)写出C 长的取值范围：__________；(2)如图，已知线段a 、b ．用直尺和圆规作ABC V ，使得AC 2a =，3BC a =，AB b =．23．如图，在ABC V 中，D 在BC 上，AD 平分BAC ∠，且BD CD =．求证：AB AC =．24．如图，在ABD △中，AC BD ⊥于C ，DF AB ⊥，交AC 与点E ，垂足为F ，连接BE ，已知DE AB =．(1)填空：把图中的两个全等三角形用符号表示出来__________≌__________；(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明．已知：如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，BC a =，AC b =，AB c =，求证：222a b c +=．25．在学习中，我们知道直角三角形具有一种特性，即斜边上的中线可以把直角三角形分成两个等腰三角形．(1)圆圆发现，某些特殊的三角形也可以经过某一顶点作一条线段将其分成两个等腰三角形，请你在图①的三角形中画出一条线段，把它们分成两个等腰三角形．（画出分割线，在图上标出所有等腰三角形底角的度数或含x 的代数式以下要求与此相同）(2)满满发现，在某些情况下，三角形的内角满足如图②所示的关系时，也可以经过某一顶点作一条线段将其分成两个等腰三角形，请你尝试解决．（设B x ∠=︒）(3)如图④，乐乐发现对于顶角是36︒的等腰三角形，可以通过2条线段将其分成3个等腰三角形，请你按照乐乐的方式用两种不同的方法将顶角为45︒的等腰三角形分成3个等腰三角形．(4)如图⑤，在ABC V 中，2C B ∠=∠，设B x ∠=︒，请按乐乐的方式用三种不同的方法将ABC V 分成3个等腰三角形．。
2019-2020学年江苏省南京市鼓楼区八年级(上)期中数学试卷
2019-2020学年江苏省南京市鼓楼区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）有些国家的国旗设计成了轴对称图形，观察如图代表国旗的图案，你认为是轴对称图形的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（2分）在实数﹣，，0，﹣，2.161161161…，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）
A．16B．18C．20D．16或20
4．（2分）以下列数组为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（）
A．5，12，13B．8，15，16C．9，16，25D．12，15，20
5．（2分）下列说法中，正确的有（）
A．只有正数才有平方根
B．27的立方根是±3
C．立方根等于﹣1的实数是﹣1
D．1的平方根是1
6．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（）
A．6B．5C．4D．3
7．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）。
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区第二十九中学、鼓实四校八年级上学期期中考数学试卷带讲解
A.12B.15C.12或15D.18
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．
【详解】解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，
∴不构成三角形，舍去．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2.下列剪纸作品都是轴对称图形．其中对称轴条数最多的作品是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对称轴的概念求解．
20.己知：如图， ， 相交于点E．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由全等三角形的性质得到 ，利用等角对等边推出 ，进一步计算即可得到 ．
【详解】证明： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等角对等边，掌握“全等三角形的对应边相等、对应角相等”是解题的关键．
21.如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)．
6.如图，在 中， ，点D是 上的一点，且 ，则 的值为（）
A.4B.9C.16D.25
【答案】C
【解析】
【分析】在 中，得到 ①，在 中，得到 ②，① ②即可求解．【详解】解：在 中， ①，
在 中， ②，
① ②得：
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
江苏省南京市八年级(上)期中数学试卷
八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.某软件其中四个功能的图标如下，四个图标中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A. 3，4，4B. 3，4，5C. 3，4，6D. 3，4，73.关于线段的垂直平分线，下列说法错误的是（）A. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等B. 线段的垂直平分线是直线C. 用尺规作线段的垂直平分线，一般需要作两个点，因为两点确定一条直线D. 在三角形内到三边距离相等的点，是该三角形三条边的垂直平分线的交点4.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A. 10B. 8C. 5D. 45.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A. 40∘B. 30∘C. 20∘D. 10∘6.如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是（）A. SSSB. ASAC. AASD. SAS7.如图，一根长为a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP的长度（）A. 减小B. 增大C. 不变D. 先减小再增大8.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）A. x2+y2=49B. x−y=2C. 2xy+4=49D. x+y=9二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9.如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有______．10.如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“AAS”需要添加条件______．11.等腰三角形一角度数为30°，则这个等腰三角形的顶角度数为______．12.已知一个直角三角形两直角边长分别是6和8，则斜边上的高的长度是______．13.在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为______．14.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为______．15.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若MN=5cm，CN=2cm，则BM=______cm．16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点M在AB上，且∠ACM=∠BAC，则CM的长为______．17.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC．其中，正确的是__________（填序号）．18.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，AE=5，AD=4，线段CE的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）19.如图，AB、CD相交于点E，且AE=BE，CE=DE，求证：△AEC≌△BED．20.在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）△ABC的面积为______；（2）在直线l上找一点P，使点P到边AB、BC的距离相等．（3）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；再将△A1B1C1向下平移4个单位，画出平移后得到的△A2B2C2．（4）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，两个对应三角形△ABC和△A2B2C2的对应点所具有的性质是（______）．A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分或与对称轴重合C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行21.证明命题：直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明．已知：______；求证：______；证明过程：______．22.如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．（1）求证：ME=MF；（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．23.（1）如图（1），在△ABC，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC，求证：直线AO垂直平分BC．以下是小明的证题思路，请补全框图中的分析过程．（2）如图（2），在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE．请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线（不写画法，保留画图痕迹）．（3）如图（3），在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并说明理由．24.其中、为正整数，且＞．（1）观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a=______，b=______，c=______．（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．25.我们定义：三角形的边长和面积都是整数的三角形叫做海伦三角形，如三边长分别为5、5、6的三角形，边长为整数，且面积为12，则这个三角形为海伦三角形．已知：如图，在△ABC中，AB=15，BC=4，AC=13．求证：△ABC是海伦三角形．26.我们经常遇到需要分类的问题，画“树形图”可以帮我们不重复、不遗漏地分类．【例题】在等腰三角形ABC中，若∠A=80°，求∠B的度数．分析：∠A、∠B都可能是顶角或底角，因此需要分成如图1所示的3类，这样的图就是树形图，据此可求出∠B=50°、80°或20°．【应用】（1）已知等腰三角形ABC周长为19，AB=7，仿照例题画出树形图，并直接写出BC的长度；（2）将一个边长为5、12、13的直角三角形拼上一个三角形后可以拼成一个等腰三角形，图2就是其中的一种拼法，请你画出其他所有可能的情形，并在图上标出所拼成等腰三角形的腰的长度．（选用图3中的备用图画图，每种情形用一个图形单独表示，并用①、②、③…编号，若备用图不够，请自己画图补充）．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：A、因为32+42＞42，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意；B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；C、因为3+4＞6，且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意．故选：C．在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可．本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握组成钝角三角形的条件是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，此说法正确；B．线段的垂直平分线是直线，此说法正确；C．用尺规作线段的垂直平分线，一般需要作两个点，因为两点确定一条直线，此说法正确；D．在三角形内到三边距离相等的点，是该三角形三个内角平分线的交点，此说法错误；故选：D．根据线段垂直平分线的定义和性质分析求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握中垂线的定义、性质及其作法．4.【答案】B【解析】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，故选：B．根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，∴∠B=180°-90°-55°=35°，由折叠可得：∠CA′D=∠A=55°，又∵∠CA′D为△A′BD的外角，∴∠CA′D=∠B+∠A′DB，则∠A′DB=55°-35°=20°．故选：C．在直角三角形ABC中，由∠ACB与∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再由折叠的性质得到∠CA′D=∠A，而∠CA′D为三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性质即可求出∠A′DB的度数．此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．6.【答案】A【解析】解：用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质．由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是：由得出△OBC≌△OAC（SSS）．故选：A．根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．此题主要考查了基本作图，解题关键是掌握作角平分线的依据．7.【答案】C【解析】解：∵AO⊥BO，点P是AB的中点，∴OP=AB=×a=a，∴在滑动的过程中OP的长度不变．故选：C．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP=AB．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：由题意，①-②可得2xy=45 ③，∴2xy+4=49，①+③得x2+2xy+y2=94，∴x+y=，∴①②③正确，④错误．故选：D．由题意，①-②可得2xy=45记为③，①+③得到（x+y）2=94由此即可判断．本题考查勾股定理，二元二次方程组等知识，解题的关键学会利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想，属于中考常考题型．9.【答案】稳定性【解析】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，故答案为：稳定性．根据三角形具有稳定性解答．本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．10.【答案】∠B=∠C【解析】解：添加条件：∠B=∠C；∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（AAS），故答案为：∠B=∠C．首先根据AD平分∠BAC可得∠BAD=∠CAD，再加上公共边AD=AD，还缺少一个角相等的条件，因此可添加∠B=∠C．此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．11.【答案】120°或30°解：分两种情况：当30°的角是底角时候，则顶角度数为120°；当30°的角是顶角时候，则顶角为30°；故答案为120°或30°．等腰三角形的一个内角是30°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意讨论即可．本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．12.【答案】4.8【解析】解：根据勾股定理，斜边长为=10，根据面积相等，设斜边上的高为x，则×6×8=10x，解得，x=4.8；故答案是：4.8．根据勾股定理先求出斜边，再根据面积相等，即可求出斜边上的高．本题考查勾股定理的知识，注意利用面积相等来解题，是解决直角三角形问题的常用的方法，可有效简化计算．13.【答案】4【解析】解：如右图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD=4，∴DE=4．故答案为：4．根据角平分线的性质定理，解答出即可；本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．14.【答案】7解：如图，∵a、b、c都为正方形，∴BC=BF，∠CBF=90°，AC2=3，DF2=4，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABC和△DFB中，∴△ABC≌△DFB，∴AB=DF，在△ABC中，BC2=AC2+AB2=AC2+DF2=3+4=7，∴b的面积为7．故答案为7．如图，根据正方形的性质得BC=BF，∠CBF=90°，AC2=3，DF2=4，再利用等角的余角相等得∠1=∠3，则可根据”AAS“证明△ABC≌△DFB，得到AB=DF，然后根据勾股定理得到BC2=AC2+AB2=AC2+DF2=7，则有b的面积为7．本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了勾股定理和正方形的性质．15.【答案】3【解析】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，∵MN∥BC，∴∠OBC=∠MOB，∠NOC=∠OCB，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠OCN，∴BM=MO，ON=CN，∴MN=MO+ON，即MN=BM+CN，∵MN=5cm，CN=2cm，∴BM=5-2=3cm，故答案为3cm．只要证明MN=BM+CN即可解决问题；此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BMO，△CNO是等腰三角形．16.【答案】52【解析】解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵∠ACM=∠BAC，∴MC=MA，∵∠A+∠B=90°，∠MCA+∠MCB=90°，∠ACM=∠BAC，∴∠MCB=∠B，∴MB=MC，∴MC=AB=，故答案为：．根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质得到MC=MB=MA，计算即可．本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．17.【答案】①②③【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，以及HL，是解题的关键．根据全等三角形的性质得出AB=AD，∠BAO=∠DAO，∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，再根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，进而得出其它结论．【解答】解：∵△ABO≌△ADO，∴AB=AD，∠BAO=∠DAO，∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，∴AC⊥BD，故①正确；∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴∠COB=∠COD=90°，在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SAS），故③正确；∴BC=DC，故②正确．故答案为①②③．18.【答案】1.4【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AB=2AD=8，∠ADE=∠C=90°，∴△ADE∽△ACB，∴，∴AC=6.4，∴CE=1.4，故答案为：1.4．由AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质，求得AB，根据相似三角形的性质得到结论．此题考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握的线段垂直平分线性质是解决问题的关键．19.【答案】证明：在△AEC和△BED中，AE=BE∠AEC=∠BEDCE=DE，∴△AEC≌△BED（SAS）．【解析】由AE=BE，CE=DE，∠AEC=∠BED，根据SAS即可证明：△AEC≌△BED．此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．20.【答案】4 B【解析】解：（1）△ABC的面积=4×3-×4×2-×2×1-×2×3=4；故答案为4；（2）如图，点P为所作；（3）如图，△A1B1C1和△A2B2C2为所作；（4）对应点连线被对称轴平分或与对称轴重合．故选B．（1）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出△ABC的面积；（2）作∠ABC的平分线交l于点P；（3）利用对称的性质和平移的性质画出△A1B1C1和△A2B2C2；（4）利用AA2和BB2被l平分，CC2在直线l上可对各选项进行判断．本题考查了作图-对称性变换：在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．21.【答案】△ABC中，∠C=90°，∠A=30°BC=12AB延长BC到D，使CD=BC，连接AD，∵∠C=90°，∴AC⊥BD，∴AD=AB，∵∠ACB=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD=AB，∵BC=CD=12BD，∴BC=12AB．【解析】已知：△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求证：BC=AB，证明：延长BC到D，使CD=BC，连接AD，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BD，∴AD=AB，∵∠ACB=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD=AB，∵BC=CD=BD，∴BC=AB，故答案为：△ABC中，∠C=90°，∠A=30°；BC=AB；延长BC到D，使CD=BC，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BD，∴AD=AB，∵∠ACB=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD=AB，∵BC=CD=BD，∴BC=AB．延长BC到D，使CD=BC，连接AD，求出△ADB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出BD=AB，即可得出答案．本题考查了含30°角的直角三角形的性质和等边三角形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．22.【答案】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，∴ME=12BC，MF=12BC，∴ME=MF；（2）解：∵CF⊥AB，∠A=50°，∴∠ACF=40°，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴B、C、E、F四点共圆，∴∠FME=2∠ACF=80°．【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ME=BC，MF=BC，得到答案；（2）根据四点共圆的判定得到B、C、E、F四点共圆，根据圆周角定理得到答案．本题考查的是直角三角形的性质和四点共圆的知识，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．23.【答案】解：（1）（2）如图（2），AO为所作；（3）如图（3），AO为所作．在△ABC和△AED中AB=AE∠B=∠EBC=ED，∴△ABC≌△AED，∴AC=AD，∠ACB=∠ADE，∴∠ACD=∠ADC，∴∠BCD=∠EDC，在△BCD和△EDC中，BC=ED∠BCD=∠EDCCD=DC，∴△BCD≌△ECD，∴∠BDC=∠ECD，∴OD=OC，∴AO垂直平分CD．【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，只要AB=AC，OB=OC即可说明直线AO垂直平分BC；（2）连结BE、CD相交于点O，则直线AO为BC边的垂直平分线；（3）连结BD、CE相交于点O，则直线AO为CD边的垂直平分线．先证明ABC≌△AED得到AC=AD，∠ACB=∠ADE，根据等腰三角形的性质得∠ACD=∠ADC，所以∠BCD=∠EDC，再证明△BCD≌△ECD，则∠BDC=∠ECD，所以OD=OC，于是根据线段垂直平分线定理的逆定理即可判断直线AO为CD边的垂直平分线．本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此题得关键是运用线段垂直平分线定理的逆定理．24.【答案】m2+n22mn m2-n2【解析】解：（1）当m=2，n=1时，a=5、b=4、c=3，∵32+42=52，∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；（2）观察得，a=m2+n2，b=2mn，c=m2-n2；（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，∵a2=（m2+n2）2=m4+2m2n2+n4，b2+c2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，∴a2=b2+c2，∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．（1）计算出a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理判断即可；（2）根据给出的数据总结即可；（3）分别计算出a2、b2、c2，根据勾股定理的逆定理进行判断．本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．25.【答案】解：过点A作BC边上的高AD，则：AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，即：152-（4+CD）2=132-CD2，解得：CD=5，AD=12，S△ABC=12•AD•BC=24，∴三角形的边长和面积都是整数，∴△ABC是海伦三角形．【解析】由勾股定理，AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，计算高AD的长，进而计算三角形面积即可求解．本题考查的是解直角三角形，要根据题意明确求解的内容，属于概念类题目．26.【答案】解：（1）树形图如下：当AB为底边，BC为腰时，BC=12（19-7）=6；当AB为腰，BC为腰时，BC=AB=7；当AB为腰，BC为底边时，BC=19-2×7=5；综上所述，BC的长度是5、6或7．（2）如图所示，共有6种情况．．【解析】（1）分三种情况：当AB为底边，BC为腰时，BC=（19-7）=6；当AB为腰，BC 为腰时，BC=AB=7；当AB为腰，BC为底边时，BC=19-2×7=5；（2）将一个边长为5、12、13的直角三角形拼上一个三角形后拼成一个等腰三角形，据此可得图形与等腰三角形的腰的长度．本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角；求等腰三角形的角和边长的计算要注意分类讨论．解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．第21页，共21页。
2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区四校联考八年级(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区四校联考八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共6小题）.1．（2分）下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）下列各式正确的是（）A．B．|3.14﹣π|＝π﹣3.14C．D．3．（2分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去4．（2分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确5．（2分）如图所示，△ABC中，AB＝BC＝AC，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A．45°B．55°C．75°D．60°6．（2分）如图的方格纸中每一个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC为等腰三角形，这样的格点的个数有（）A．8个B．9个C．10个D．11个二、填空题（共10小题）.7．（2分）比较大小：2．8．（2分）角是轴对称图形，是它的对称轴．9．（2分）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，e是的整数部分，f是的小数部分，求代数式﹣+e﹣f＝．10．（2分）等腰三角形的一个内角为70°，另外两个内角的度数为．11．（2分）如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯米．12．（2分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△BCD的周长为13，则△ABC的周长是．13．（2分）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是．15．（2分）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC＝80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是．16．（2分）如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为．三、解答题（共8小题，共68分.）17．（8分）计算（1）（﹣2）2+；（2）+（π﹣3）0﹣|1﹣|．18．（10分）求下列各式中的x：（1）（x+2）2＝4；（2）1+（x﹣1）3＝﹣7．19．（8分）如图，已知直线l及直线l外一点P．（1）求作：直线PQ，使得PQ⊥l．（保留作图痕迹）（2）证明：PQ⊥l．20．（8分）如图，点D，E分别是三角形△ABC边BC上的点，若AB＝AC，BE＝CD，求证：AD＝AE．21．（6分）已知：△ABC和△ECD是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点D在AB的延长线上．求证：AE2+AD2＝ED2．22．（6分）如图为一个广告牌支架的示意图，其中AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，AC＝15m，求图中△ABC的周长和面积．23．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在BC上且满足PA＝PB，则此时t＝．（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；（3）在点P运动过程中，若△ACP为等腰三角形，则此时t＝．24．（12分）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，BC边上的中线AD的取值范围．（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD到Q使得DQ＝AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4＜AQ＜14，则AD的取值范围是．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC ＝90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明．参考答案一、选择题（共6小题）.1．（2分）下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．2．（2分）下列各式正确的是（）A．B．|3.14﹣π|＝π﹣3.14C．D．解：A、＝9，故本选项错误；B、正确；C、＝2，故本选项错误；D、已是最简形式，并且不是同类项，不用计算，故本选项错误．故选：B．3．（2分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确；D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．故选：C．4．（2分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确解：（1）如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．5．（2分）如图所示，△ABC中，AB＝BC＝AC，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A．45°B．55°C．75°D．60°解：在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠ABE+∠CBE＝60°，∴∠APE＝∠ABC＝60°．故选：D．6．（2分）如图的方格纸中每一个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC为等腰三角形，这样的格点的个数有（）A．8个B．9个C．10个D．11个解：图中的黑点为C点所在位置，这样的C点共有9个．故选：B．二、填空题（共10小题）.7．（2分）比较大小：＞2．解：＝9，23＝8，∵9＞8，∴＞2．故答案为：＞．8．（2分）角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．解：角的对称轴是“角平分线所在的直线”．故答案为：角平分线所在的直线．9．（2分）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，e是的整数部分，f是的小数部分，求代数式﹣+e﹣f＝4﹣．解：∵实数a、b互为相反数，∴a+b＝0，∵c、d互为倒数，∴cd＝1，∵3＜＜4，∴的整数部分为3，e＝3，∵2＜＜3，∴的小数部分为﹣2，即f＝﹣2，∴﹣+e﹣f＝﹣+3﹣（﹣2）＝0﹣1+3﹣+2＝4﹣，故答案为：4﹣．10．（2分）等腰三角形的一个内角为70°，另外两个内角的度数为55°，55°或70°，40°．解：分情况讨论：（1）若等腰三角形的顶角为70°时，另外两个内角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．故填55°，55°或70°，40°．11．（2分）如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯17米．解：根据勾股定理，楼梯水平长度为＝12米，则红地毯至少要12+5＝17米长，故答案为：17．12．（2分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△BCD的周长为13，则△ABC的周长是19．解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，∴DA＝DC，AC＝2AE＝6，∵△BCD的周长为13，∴BC+BD+CD＝13，∴BC+BD+DA＝BC+AB＝13，∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝13+6＝19，故答案为：19．13．（2分）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为4．解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△BND中，x2+32＝（9﹣x）2，解得x＝4．故线段BN的长为4．故答案为：4．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是．解：连接AM，∵AB＝AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，又S△AMC＝MN•AC＝AM•MC，∴MN＝＝．15．（2分）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC＝80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是50°．解：过点E作EN⊥BD，垂足为N，作EM⊥AC，垂足为M，作EF⊥AB，交BA的延长线于F，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴EF＝EN＝EM，∴E点在∠FAC的角平分线上，∴∠CAE＝∠CAF，∵∠CAF+∠BAC＝180°，∠BAC＝80°，∴∠CAF＝100°，∴∠CAE＝50°．16．（2分）如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为8．解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，连接OP，则OP1＝OP＝OP2，∠P1OA＝∠POA，∠POB＝∠P2OB，MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等边三角形．△PMN的周长＝P1P2，∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝8．故答案为：8．三、解答题（本大题共8小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）计算（1）（﹣2）2+；（2）+（π﹣3）0﹣|1﹣|．解：（1）原式＝4+4﹣2＝6；（2）原式＝+1﹣（﹣1）＝﹣．18．（10分）求下列各式中的x：（1）（x+2）2＝4；（2）1+（x﹣1）3＝﹣7．解：（1）x+2＝±2，∴x+2＝2或x+2＝﹣2，∴x＝0或﹣4；（2）（x﹣1）3＝﹣8，x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1．19．（8分）如图，已知直线l及直线l外一点P．（1）求作：直线PQ，使得PQ⊥l．（保留作图痕迹）（2）证明：PQ⊥l．【解答】（1）解：如图，直线PQ即为所求．（2）证明：由作图可知，PC＝PD，CQ＝QD，∴PQ垂直平分线段CD，∴PQ⊥直线l．20．（8分）如图，点D，E分别是三角形△ABC边BC上的点，若AB＝AC，BE＝CD，求证：AD＝AE．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE．21．（6分）已知：△ABC和△ECD是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点D在AB的延长线上．求证：AE2+AD2＝ED2．【解答】证明：∵BC＝AC，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°．∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴BC＝CA，CD＝CE，∠BCD＝∠ECA，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）．∴∠CAE＝∠CBD＝135°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAB＝90°，∴AD2+AE2＝ED2．22．（6分）如图为一个广告牌支架的示意图，其中AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，AC＝15m，求图中△ABC的周长和面积．解：在△ABD中，∵AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BC，在Rt△ADC中，∵AD＝12m，AC＝15m，∴DC＝＝9（m），∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝13+15+5+9＝42m，△ABC的面积为：×BC×AD＝×14×12＝84m2．23．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在BC上且满足PA＝PB，则此时t＝．（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；（3）在点P运动过程中，若△ACP为等腰三角形，则此时t＝或或或3．解：（1）如图，设PB＝PA＝x，则PC＝4﹣x，∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，∴AC＝3cm，在Rt△ACP中，AC2+PC2＝AP2，∴32+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，∴BP＝，∴t＝＝＝．故答案为：．（2）如图，过P作PD⊥AB于D，∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，∴PD＝PC，BC＝BD＝4，∴AD＝5﹣4＝1，设PD＝PC＝y，则AP＝3﹣y，在Rt△ADP中，AD2+PD2＝AP2，∴12+y2＝（3﹣y）2，解得y＝，∴CP＝，∴t＝＝＝，当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t＝＝．综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为或．（3）分四种情况：①如图，当P在AB上且AP＝CP时，∠A＝∠ACP，而∠A+∠B＝90°，∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠B＝∠BCP，∴CP＝BP，∴P是AB的中点，即AP＝AB＝，∴t＝＝．②如图，当P在AB上且AP＝CA＝3时，t＝＝．③如图，当P在AB上且AC＝PC时，过C作CD⊥AB于D，则CD＝＝，∴Rt△ACD中，AD＝，∴AP＝2AD＝，∴t＝＝．④如图，当P在BC上且AC＝PC＝3时，BP＝4﹣3＝1，∴t＝＝＝3．综上所述，当t＝或或或3时，△ACP为等腰三角形．故答案为：或或或3．24．（12分）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，BC边上的中线AD的取值范围．（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD到Q使得DQ＝AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4＜AQ＜14，则AD的取值范围是2＜AD＜7．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC ＝90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明．解：（1）延长AD到Q使得DQ＝AD，连接BQ，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△QDB和△ADC中，，∴△QDB≌△ADC（SAS），∴BQ＝AC＝5，在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，∴4＜AQ＜14，∴2＜AD＜7，故答案为：2＜AD＜7；（2）AC∥BQ，理由：由（1）知，△QDB≌△ADC，∴∠BQD＝∠CAD，∴AC∥BQ；（3）EF＝2AD，AD⊥EF，理由：如图2，延长AD到Q使得DQ＝AD，连接BQ，由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS），∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，∵AC＝AF，∴BQ＝AF，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ＝180°，∴∠BAC+ABQ＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABQ＝∠EAF，在△ABQ和△EAF中，，∴△ABQ≌△EAF，∴AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，延长DA交EF于P，∵∠BAE＝90°，∴∠BAQ+∠EAP＝90°，∴∠AEF+∠EAP＝90°，∴∠APE＝90°，∴AD⊥EF，∵AD＝DQ，∴AQ＝2AD，∵AQ＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD，AD⊥EF．。
2019-2020学年江苏省南京市鼓楼区八年级上学期期中数学试卷 (学生版+解析版)
2019-2020学年江苏省南京市鼓楼区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．有些国家的国旗设计成了轴对称图形，观察如图代表国旗的图案，你认为是轴对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．在实数﹣，，0，﹣，2.161161161…，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16B．18C．20D．16或204．以下列数组为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（）A．5，12，13B．8，15，16C．9，16，25D．12，15，20 5．下列说法中，正确的有（）A．只有正数才有平方根B．27的立方根是±3C．立方根等于﹣1的实数是﹣1D．1的平方根是16．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（）A．6B．5C．4D．37．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个8．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）9．由四舍五入法得到的近似数2.5×103精确到位．10．16的平方根为；（﹣4）3的立方根是．11．若，则x﹣y＝．12．如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形与（1）是全等形的有．13．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝5，BC＝7，则△ABD的周长是．14．已知等腰三角形的一个外角等于110°，则它的顶角是°．15．如图，在3×3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4＝°．16．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、点D．若∠BAC＝130°，那么∠EAD＝．17．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝BD，AC与BD相交于O，且AC⊥BD．①AB∥CD；②△ABD≌△BAC；③AB2+CD2＝AD2+CB2；④∠ACB+∠BDA＝135°．其中结论正确的是（填序号）．18．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为．三、解答题（共9小题，共64分）19．计算：（1）﹣（2）（）2+|1﹣|+（）0．20．求下列各式中的x的值（1）4x2﹣9＝0（2）64（x+1）3＝﹣125．21．已知：如图，C是AB的中点，AE＝BD，∠A＝∠B．求证：∠ACE＝∠BCD．22．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，AD是边BC上的中线，E在AD的延长线上，AD＝ED＝6，求△ABC的面积．23．如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）证明：AD＝BE；（2）求∠AEB的度数．24．如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）25．阅读理解：求的近似值．小明的方法：设＝10+x，其中0＜x＜1，则105＝（10+x）2，即105＝100+20x+x2．∵0＜x＜1∴0＜x2＜1，∴105≈100+20x，解之得x≈0.25，即的近似值为10.25，小莉的方法：设＝11﹣y，其中0＜y＜1，则105＝（11﹣y）2，即105＝121﹣22y+y2，∵0＜y＜1∴0＜y2＜1，∴105≈121﹣22y，解之得y≈0.73，即的近似值为10.27．【反思比较】你认为的方法更接近．（填“小明”或“小莉”）【深入思考】下面关于x与y之间的数量关系A．x+y＞1 B．x+y＝1 C．x+y＜1 D．无法确定你认为正确的是．请说明理由．26．（1）我们已经如道：在△ABC中，如果AB＝AC，则∠B＝∠C，下面我们继续研究：如图①，在△ABC中，如果AB＞AC，则∠B与∠C的大小关系如何？为此，我们把AC 沿∠BAC的平分线翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB边的点D处，如图②所示，然后把纸展平，连接DE．接下来，你能推出∠B与∠C的大小关系了吗？试写出说理过程．（2）如图③，在△ABC中，AE是角平分线，且∠C＝2∠B．求证：AB＝AC+CE．（3）在（2）的条件下，若点P，F分别为AE、AC上的动点，且S△ABC＝15，AB＝8，则PF+PC的最小值为．27．如图，已知等边△ABC，点D为△ABC内的一点，连接DA、DB、DC，∠ADB＝120°．以CD为边向CD上方作等边△CDE，连接AE（0°＜∠ACE＜60°）．（1）求证：△BDC≌△AEC．（2）若DC＝2n，AD＝AE，则△ADE的面积为．（3）若DA＝n2+1，DB＝n2﹣1，DC＝2n（n为大于1的整数）．求证：DA2+DC2＝AC2．参考答案一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分）1．有些国家的国旗设计成了轴对称图形，观察如图代表国旗的图案，你认为是轴对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：根据轴对称的概念可知：加拿大国旗、瑞士国旗是轴对称图形，符合题意；澳大利亚国旗、乌拉圭国旗都不是轴对称图形，不符合题意．故选：C．2．在实数﹣，，0，﹣，2.161161161…，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：在实数﹣，，0，﹣，2.161161161…，中，无理数有﹣，﹣，一共2个．故选：B．3．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16B．18C．20D．16或20解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．故此三角形的周长＝8+8+4＝20．故选：C．4．以下列数组为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（）A．5，12，13B．8，15，16C．9，16，25D．12，15，20解：A、∵52+122＝132，∴A正确；B、∵82+152≠162，∴B错误；C、∵92+162≠252，∴C错误；D、∵122+152≠202，∴D错误；故选：A．5．下列说法中，正确的有（）A．只有正数才有平方根B．27的立方根是±3C．立方根等于﹣1的实数是﹣1D．1的平方根是1解：A、只有正数才有平方根，错误，0的平方根是0，故本选项错误；B、27的立方根是3，故本选项错误；C、立方根等于﹣1的实数是﹣1正确，故本选项正确；D、1的平方根是±1，故本选项错误．故选：C．6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（）A．6B．5C．4D．3解：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF＝2，∴S△ABC＝×4×2+AC×2＝7，解得AC＝3．故选：D．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个解：共有5个．（1）∵AB＝AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：A．8．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④解：由题意，①﹣②得2xy＝45 ③，∴2xy+4＝49，①+③得x2+2xy+y2＝94，∴（x+y）2＝94，∴①②③正确，④错误．故选：B．二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）9．由四舍五入法得到的近似数2.5×103精确到百位．解：2.5×103精确到百位．故答案是：百．10．16的平方根为±4；（﹣4）3的立方根是﹣4．解：16的平方根为±4；（﹣4）3的立方根是﹣4．故答案为：±4、﹣4．11．若，则x﹣y＝5．解：根据题意得，x﹣3＝0，y+2＝0，解得x＝3，y＝﹣2，x﹣y＝3﹣（﹣2）＝3+2＝5．故答案为：5．12．如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形与（1）是全等形的有（2），（3），（6）．解：由图可知，图上由实线围成的图形与（1）是全等形的有（2），（3），（6），故答案为：（2），（3），（6），13．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝5，BC＝7，则△ABD的周长是12．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC．∵AB＝5，BC＝7，∴△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝12，故答案为：12．14．已知等腰三角形的一个外角等于110°，则它的顶角是70或40°．解：①若110°是顶角的外角，则顶角＝180°﹣110°＝70°；②若110°是底角的外角，则底角＝180°﹣110°＝70°，那么顶角＝180°﹣2×70°＝40°．故它的顶角是70°或40°．故答案为：70或40．15．如图，在3×3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4＝180°．解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4＝90°，∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．故答案为：180．16．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、点D．若∠BAC＝130°，那么∠EAD＝80°．解：∵∠BAC＝130°，∴∠B+∠C＝50°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝80°．故答案为：80°17．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝BD，AC与BD相交于O，且AC⊥BD．①AB∥CD；②△ABD≌△BAC；③AB2+CD2＝AD2+CB2；④∠ACB+∠BDA＝135°．其中结论正确的是③④（填序号）．解：在四边形ABCD中，∠ABD与∠BAC不一定相等，故①AB∥CD；②△ABD≌△BAC都不一定成立，∵AC⊥BD，∴Rt△CDH中，CD2＝DH2+CH2；Rt△ABH中，AB2＝AH2+BH2；Rt△ADH中，AD2＝DH2+AH2；Rt△BCH中，BC2＝CH2+BH2；∴AB2+CD2＝AD2+CB2，故③正确；∵AC⊥BD，∴∠ABH+∠BAH＝90°，又∵AB＝AC＝BD，∴等腰△ABC中，∠ACB＝（180°﹣∠BAC），等腰△ABD中，∠ADB＝（180°﹣∠ABD），∴∠ACB+∠BDA＝（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ABD）＝180°﹣（∠ABH+∠BAH）＝180°﹣45°＝135°，故④正确．故答案为：③④．18．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为 4.8．解：设CD与BE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，由折叠的性质可知△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP＝OG，PD＝GE，∴DG＝EP，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝4.8，∴AP＝4.8，故答案为：4.8．三、解答题（共9小题，共64分）19．计算：（1）﹣（2）（）2+|1﹣|+（）0．解：（1）原式＝5﹣（﹣3）＝5+3＝8；（2）原式＝3+﹣1+1＝3+．20．求下列各式中的x的值（1）4x2﹣9＝0（2）64（x+1）3＝﹣125．解：（1）移项4x2＝9，系数化为1，x2＝，x＝±；（2）（x+1）3＝﹣，x+1＝﹣，x＝﹣．21．已知：如图，C是AB的中点，AE＝BD，∠A＝∠B．求证：∠ACE＝∠BCD．【解答】证明：∵C是AB的中点，∴AC＝BC，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠ACE＝∠BCD．22．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，AD是边BC上的中线，E在AD的延长线上，AD＝ED＝6，求△ABC的面积．解：∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝CE＝5，∵AE＝AD+ED＝12，AC＝13，CE＝5，∴AE2+CE2＝AC2，∴△ACE是直角三角形，∴△ABC的面积＝△ACE的面积＝×5×12＝30．23．如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）证明：AD＝BE；（2）求∠AEB的度数．解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°﹣∠CDB＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE．（2）∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．24．如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）【解答】解解：（1）如图所示，是梯形；由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积＝（a+b）（a+b）．从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即ab+ab+c2．两者列成等式化简即可得：a2+b2＝c2；（2）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．25．阅读理解：求的近似值．小明的方法：设＝10+x，其中0＜x＜1，则105＝（10+x）2，即105＝100+20x+x2．∵0＜x＜1∴0＜x2＜1，∴105≈100+20x，解之得x≈0.25，即的近似值为10.25，小莉的方法：设＝11﹣y，其中0＜y＜1，则105＝（11﹣y）2，即105＝121﹣22y+y2，∵0＜y＜1∴0＜y2＜1，∴105≈121﹣22y，解之得y≈0.73，即的近似值为10.27．【反思比较】你认为小明的方法更接近．（填“小明”或“小莉”）【深入思考】下面关于x与y之间的数量关系A．x+y＞1 B．x+y＝1 C．x+y＜1 D．无法确定你认为正确的是B．请说明理由．解：我认为小明的方法更接近．故答案为小明．因为10+x＝11﹣y，所以x+y＝1，故答案为B．26．（1）我们已经如道：在△ABC中，如果AB＝AC，则∠B＝∠C，下面我们继续研究：如图①，在△ABC中，如果AB＞AC，则∠B与∠C的大小关系如何？为此，我们把AC 沿∠BAC的平分线翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB边的点D处，如图②所示，然后把纸展平，连接DE．接下来，你能推出∠B与∠C的大小关系了吗？试写出说理过程．（2）如图③，在△ABC中，AE是角平分线，且∠C＝2∠B．求证：AB＝AC+CE．（3）在（2）的条件下，若点P，F分别为AE、AC上的动点，且S△ABC＝15，AB＝8，则PF+PC的最小值为．解：（1）∠C＞∠B，理由如下：∵点C落在AB边的点D处，∴∠ADE＝∠C，∵AC沿∠BAC的平分线翻折，∠ADE为△EDB的一个外角，∴∠ADE＝∠B+∠DEB，∴∠ADE＞∠B，即：∠C＞∠B；（2）如图3，在AB上截取AD＝AC，连接DE，∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠CAE．在△ADE和△ACE中，∴△ADE≌△ACE（SAS），∴∠ADE＝∠C，DE＝CE．∵∠ADE＝∠B+∠DEB，且∠C＝2∠B．∴∠B＝∠DEB，∴DB＝DE，∵AB＝AD+DB，AD＝AC，DB＝DE＝CE．∴AB＝AC+CE．（3）如图4，在AB上截取AH＝AF，连接CH，∵AH＝AF，∠HAP＝∠F AP，AP＝AP，∴△AHP≌△AFP（SAS），∴HP＝PF，∴PF+PC＝PH+PC，∴点P在线段CH上，且CH⊥AB时，PF+PC的值最小，∵S△ABC＝15＝×AB×CH，AB＝8，∴CH＝，∴PF+PC的最小值为，故答案为：．27．如图，已知等边△ABC，点D为△ABC内的一点，连接DA、DB、DC，∠ADB＝120°．以CD为边向CD上方作等边△CDE，连接AE（0°＜∠ACE＜60°）．（1）求证：△BDC≌△AEC．（2）若DC＝2n，AD＝AE，则△ADE的面积为n2．（3）若DA＝n2+1，DB＝n2﹣1，DC＝2n（n为大于1的整数）．求证：DA2+DC2＝AC2．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，BC＝AC，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°，CD＝CE，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BDC≌△AEC（SAS）；（2）如图，由（1）知，△BDC≌△AEC，∴∠CBD＝∠CAE，BD＝AE，∵AE＝AD，∴BD＝AD，∴∠ABD＝∠BAD，∵∠ADB＝120°，∴∠ABD＝∠BAD＝30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝30°，∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，∴∠CAE＝∠CBD＝30°，∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝60°，∵AD＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE，∠ADE＝60°，∵△CDE是等边三角形，∴DE＝CD＝2n，∴AD＝2n，过点E作EF⊥AD于F，在Rt△DEF中，DF＝DE＝n，根据勾股定理得，EF＝＝n，∴S△ADE＝AD•EF＝×2n×n＝n2，故答案为：n2；（3）∵△CDE是等边三角形，∴∠CED＝60°，DE＝DC＝2n∵△BDC≌△AEC，∴∠AEC＝∠BDC，AE＝DB，EC＝DC，∵DB＝n2﹣1，∴AE＝n2﹣1，∴AE2+DE2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝DA2，∴△ADE是以AD为斜边的直角三角形，∴∠AED＝90°，∴∠AEC＝∠AED+∠CED＝150°，∴∠BDC＝∠AEC＝150°，∵∠ADB＝120°，∴∠ADC＝360°﹣∠ADB﹣∠BDC＝90°，在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2．。
江苏省南京市鼓楼区2024-2025学年八年级上学期数学期中试卷
江苏省南京市鼓楼区2024-2025学年八年级上学期数学期中试卷一、单选题1．以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下面三组数中是勾股数的一组是（）A ．6，7，8B ．2，3，4C ．1.5，2，2.5D ．5，12，133．如图，已知ABC ADE △△≌，55BAC ∠=︒，100∠=︒ADE ，则C ∠的度数为（）A ．55︒B ．45︒C ．35︒D ．25︒4．如图，在△ABC 中，AB=AC=10，AD 是角平分线，AD=6，则BC 的长度为（）A ．6B ．8C ．12D ．165．下列说法：①角平分线上的点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等；④等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中，所有正确说法的序号是（）A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．②④6．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD ＝CE ．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE 是等腰直角三角形；②DE 长度的最小值为4；③四边形CDFE 的面积保持不变；④△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A ．①②③B ．①③C ．①③④D ．②③④二、填空题7．角是轴对称图形，是它的对称轴．8．等腰三角形的一个角等于100︒，则它的底角是︒9．如图，已知ACB DBC ∠=∠，要用“SAS ”判断ABC DCB △△≌，需添加的一个条件：．10．直角三角形两直角边长分别是6cm 和8cm ，则斜边上的中线长等于．11．如图，∠C ＝90°，∠BAD ＝∠CAD ，若BC ＝11cm ，BD ＝7cm ，则点D 到AB 的距离为cm ．12．如图，在ABC V 中，35AC BC ==，，观察图中尺规作图的痕迹，则ADC △的周长为．13．如图所示，将长方形纸片ABCD 进行折叠，如果70BHG ∠=︒，那么BHE ∠=度．14．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是14，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2a b +的值为．15．如图，阴影部分表示以Rt △ABC 的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作1S 和2S ．若127S S +=，6AB =，则ABC 的周长为．16．如图，ABC V 中，AB AC =，已知平面内有一点P ，使得PAB 与PAC 均为等腰三角形，则所有满足条件的点P 有个．三、解答题17．已知：如图，AD CB =，AE BD ⊥，CF BD ⊥，E 、F 是垂足，AE CF =．求证：BE DF =．18．[学科素养·几何直观]如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，有一个以格点为顶点的ABC V ．(1)作ABC V 关于直线l 对称的图形A B C ''' ；(2)求ABC V 的面积；(3)在l 上画出点Q ，使得QA QC +的值最小．19．某校有一空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上中草皮，经测量，90B Ð=°，3m AB =，4m BC =，12m AD =，13m CD =，若种植1平方米草皮需要200元，问总共需要投入多少元？20．证明命题：直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明．已知：；求证：；证明过程：21．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =．点C 在直线l 上，分别过点A 、B 作AD ⊥直线l 于点D ，BF ⊥直线l 于点F ．(1)求证：DF AD BF =+；(2)设ACD 三边分别为a 、b 、c ，利用此图证明勾股定理．22．如图，ABC V 中，AD 是BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，连接EF 交AD 于点G ．(1)求证：AD 直平分EF ；(2)已知19AB AC +=，2DE =，求ABC V 的面积．23．已知P 为直线l 外一点，利用直尺和圆规在l 上作点A 、B ，分别满足下列条件．（保留作图痕迹，不写作法）(1)在图①中，PA PB =，90APB ∠=︒(2)在图②中，PA PB =，60APB ∠=︒．24．已知：在△ABC 中，AB ＝BC ＝8cm ，∠ABC ＝90°，点E 在AB 上，ED ⊥AC 于点D ，M 为EC 的中点．（1）试判断BM 和DM 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）当AE ＝2时，△BMD 的面积是cm 2．25．如图，在ABC V 中，AD BC ⊥于D ，13AB =，12AD =，9CD =，点P 从点C 出发，以每秒2个单位的速度沿着CD DA -运动，设点P 运动的时间为t 秒．(1)当t =__________时，AP 平分ABC V 的面积；(2)求当t 为何值时，PAB 为轴对称图形；(3)若点E 、F 分别为AD 、AB 上的动点，则BE EF +的最小值为__________．26．【引例】如图1，点A 、B 、D 在同一条直线上，在直线同侧作两个等腰直角三角形ABC V 和BDE V ，BA BC =，BE BD =，连接AE 、CD ．则AE 与CD 的关系是______．【模型建立】如图2，在ABC V 和BDE V 中，BA BC =，BE BD =，ABC DBE α∠=∠=，连接AE 、CD 相交于点H ．求证：①AE CD =；②∠=AHC α．【拓展应用】如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，=90BDC ∠︒，BD CD =，45BAD ∠=︒．若3AB =，4=AD ，求2AC 的值．。
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区求真中学八年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区求真中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共6小题，每题2分，共12分）1．（2分）下列四个常见的手机APP图标中，是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（ ）A．ASA B．AAS C．SSS D．HL3．（2分）图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）A．50°B．55°C．60°D．65°4．（2分）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）A．三边中线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点5．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，M为边BC上的点，连接AM，如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是（ ）A．B．C．D．6．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝8，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（ ）A．2.5B．2C．1.5D．1二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分）7．（2分）计算：＝ ．8．（2分）等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是 ．9．（2分）如图，数轴上点A表示的数是﹣2，∠OAB＝90°，AB＝1，以点O为圆心，OB 为半径画弧，与数轴的负半轴相交，则交点P所表示的数是 ．10．（2分）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ ．11．（2分）如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为20cm，则△ABC的周长为 cm．12．（2分）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是 ．13．（2分）将两个直角三角板如图放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°．如果点A是DE的中点，CE与AB交于点F，则∠BFC的度数为 °．14．（2分）如图，四边形ABCD沿直线l对折后重合，如果AD∥BC，则下列结论：①AB∥CD；②AB＝CD；③AB⊥BC；④AO＝OC．其中正确的是 ．（只填序号）15．（2分）如图，等腰△ABC的底边长为16cm，腰长为10cm，D是BC上一动点，当DA 与腰垂直时，则AD＝ cm．16．（2分）如图，△ABC和△CEF都为等边三角形，∠ACB＝∠ECF＝60°，且点E为线段AB上一个点．若AE＝2，，则BE＝ ．三、解答题（本题共10小题，共68分）17．（5分）一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和x的值．18．（5分）如图，AC、BD交于点O，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，求证：AB＝DC．19．（6分）图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形边长为1，点A、B均在格点上．只用直尺，分别按照下列要求画图．（1）在图1中，画一个△ABC，使它的面积为3，且点C在格点上；（2）在图2中，画∠ADB，使得∠ADB＝45°，且点D在格点上；（3）在图3中，画一个锐角△ABE，使它是轴对称图形，且点E在格点上．20．（6分）（1）已知：表格中x，y之间存在某种对应关系f，记y＝f（x）（其中x≥0，y≥0）x…0.00010.01110010000…y…a0.1110b…则a＝ ，b＝ ．（2）根据（1）中的对应关系f，填空：若f（10）≈3.16，则f（1000）≈ ．若f（3.68）≈1.918，则f（ ）≈191.8．21．（6分）在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论．22．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，将△ABC沿AM折叠，使点B落在AC边上点D的位置．（1）若AM＝MC，求∠C的度数．（2）若AB＝12，BC＝16．①求BM的长；②△AMC的面积为 ．23．（7分）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．24．（8分）如图，在Rt△ABC和Rt△EFD中，∠ABC＝90°，∠EFD＝90°，AC＝ED，AC ⊥ED，垂足为M．连接EA，连接EC并延长交AB的延长线于点G．（1）求证△ABC≌△EFD；（2）若∠G＝45°，求证：EA＝ED．25．（9分）（1）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC （保留作图痕迹，可以写出必要的文字说明）．①△ABC的底边长为a，底边上的高为h；②△ABC的腰长为a，腰上的高为h．（2）为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地，请直接写出这个等腰三角形绿地的另两边长．26．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝13，AD＝12，CD＝9，点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿着CD﹣DA运动，设点P运动的时间为t秒．（1）当t＝ 时，AP平分△ABC的面积；（2）求当t为何值时，△PAB为轴对称图形；（3）若点E、F分别为AD、AB上的动点，则BE+EF的最小值为 ．2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区求真中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共6小题，每题2分，共12分）1．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，故本选项符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．【分析】根据全等三角形判定的“SSS”定理即可证得△ADM≌△AEM．【解答】解：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，∴AD＝AE，在△ADM和△AEM中，．∴△ADM≌△AEM（SSS），故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．3．【分析】由全等三角形的对应角相等可求得答案．【解答】解：∵两三角形全等，∴a、c两边的夹角相等，∴α＝180°﹣60°﹣65°＝55°，故选：B．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．4．【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．故选：B．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．5．【分析】如图，过点M作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，利用面积法求解即可．【解答】解：如图，过点M作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，又∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠MAB＝∠MAE＝45°，∴ME＝MF，由题意AB＝AB′＝CB′＝1，∴S△ABC＝AB•AC＝•（AB+AC）•ME，∴ME＝，所以点M到AC的距离是．故选：A．【点评】本题考查图形的翻折，利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、平行线和相似三角形判定和性质求解．6．【分析】如图，取BC的中点T，连接AT，ET．首先证明∠CEB＝90°，求出AT，ET，根据AE≥AT﹣ET，可得结论．【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∵∠ABD＝∠BCE，∴∠CBD+∠BCE＝90°，∴∠CEB＝90°，∵CT＝TB＝BC＝4，∴ET＝BC＝4，AT＝＝＝5，∵AE≥AT﹣ET，∴AE≥1，∴AE的最小值为1，故选：D．【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出AT，ET的长，属于中考常考题型．二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分）7．【分析】根据算术平方根的定义计算即可．【解答】解：．故答案为：3．【点评】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的求法是解答本题的关键．8．【分析】等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是50°，则这个角可能是底角也可能是顶角．要分两种情况讨论．【解答】解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°．故答案为：50°或65°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；全面思考，分类讨论是正确解答本题的关键．9．【分析】直接利用勾股定理得出OB的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：OB＝＝＝，故弧与数轴的交点P表示的数为：﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出OB的长是解题关键．10．【分析】直接利用网格得出对应角∠1＝∠3，进而得出答案．【解答】解：如图所示：在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠1＝∠3，则∠1+∠2＝∠2+∠3＝45°．故答案为：45°．【点评】此题主要考查了全等图形，正确借助网格分析是解题关键．11．【分析】由DE是AC的垂直平分线，可得AD＝CD，AC＝2AE＝10cm，又由△ABD的周长为20cm，即可求得AB+BC＝20cm，继而求得答案．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，CE＝AE＝5cm，∴AC＝10cm，∵△ABD的周长为20cm，∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝20cm，∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝30cm．故答案为：30．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握数形结合思想的应用是解题关键．12．【分析】过P作PN⊥OB于N，由角平分线性质定理的逆定理推出PO平分∠AOB，得到∠COP＝∠NOP，由平行线的性质推出∠CPO＝∠NOP，得到∠COP＝∠CPO，因此OC ＝PC，由PC＝5﹣2＝3（cm），即可得到OC的长度是3cm．【解答】解：过P作PN⊥OB于N，由题意得：PM＝PN，∵PM⊥OA，∴PO平分∠AOB，∴∠COP＝∠NOP，∵PC∥OB，∴∠CPO＝∠NOP，∴∠COP＝∠CPO，∴OC＝PC，∵C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，∴PC＝5﹣2＝3（cm），∴OC的长度是3cm．故答案为：3cm．【点评】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，关键是角平分线性质定理的逆定理证明PO平分∠AOB．13．【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AC＝AD＝AE，由∠D＝60°，得到△ACD是等边三角形，那么∠ACD＝60°，∠ACF＝30°，再根据三角形外角的性质可得出答案．【解答】解；∵∠DCE＝90°，点A是DE的中点，∴AC＝AD＝AE，∵∠D＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠ACF＝∠DCE﹣∠ACD＝30°，∵∠FAC＝90°，∴∠BFC＝∠FAC+∠ACF＝90°+30°＝120°，故答案为：120．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△ACD是等边三角形是解题的关键．14．【分析】根据轴对称的性质1和性质2和全等三角形和平行四边形的一些性质，多方面考虑，对各项进行逐一分析．【解答】解：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC；∴△AOD≌△BOC；∴AD＝BC＝CD，OC＝AO，且四边形ABCD为平行四边形．故②④正确；∴③AC⊥BD，错误；又∵AD四边形ABCD是平行四边形；∴AB∥CD．故①正确．故答案为：①②④【点评】此题考查翻折问题，所包含的内容非常全面，也是平时测试中经常会遇到的．它包括了轴对称，全等三角形和平行四边形几方面的知识．15．【分析】过点A作AE⊥BC，垂足为E，先根据等腰三角形的三线合一性质可得BE＝CE ＝8cm，从而在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AE＝6cm，然后分两种情况：当DA⊥AC 时；当DA⊥AB时；分别利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵AB＝AC＝10cm，AE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝8（cm），∴AE＝＝＝6（cm），分两种情况：当DA⊥AC时，如图：在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，在Rt△ADC中，AD2＝CD2﹣AC2，∴AE2+DE2＝CD2﹣AC2，∴36+DE2＝（8+DE）2﹣100，解得：DE＝4.5，∴AD＝＝＝7.5（cm）；当DA⊥AB时，如图：在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，在Rt△ADB中，AD2＝BD2﹣AB2，∴AE2+DE2＝BD2﹣AB2，∴36+DE2＝（8+DE）2﹣100，解得：DE＝4.5，∴AD＝＝＝7.5（cm）；综上所述：当DA与腰垂直时，则AD＝7.5cm，故答案为：7.5．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．16．【分析】由“SAS”可证△ACE≌△BCF，可得AE＝BF＝2，由勾股定理可求解．【解答】解：连接BF，过点F作FD⊥BE于点D，∵△ABC和△CEF都为等边三角形，∠ACB＝∠ECF＝60°，∴AC＝BC，CE＝CF，∠CAB＝∠CBA＝60°，∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF＝2，∠A＝∠CBF＝60°，∴∠FBD＝60°，∴BD＝1，FD＝，∴ED＝＝，∴BE＝ED﹣BD＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．三、解答题（本题共10小题，共68分）17．【分析】根据平方根的定义得出2a﹣3+5﹣a＝0，进而求出a的值，即可得出x的值．【解答】解：∵一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，∴2a﹣3+5﹣a＝0，解得：a＝﹣2，∴x＝（﹣7）2＝49．【点评】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键．18．【分析】由“ASA”可证△ABO≌△DCO，可得结论．【解答】证明：∵∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，又∵∠OBC＝∠ABC﹣∠1，∠OCB＝∠DCB﹣∠2，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，在△ABO和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（ASA），∴AB＝DC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．19．【分析】（1）作一个底为2，高为3的三角形即可；（2）构造等腰直角三角形即可；（3）作等腰三角形ABE（BA＝BE）即可．【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，∠ADB即为所求；（3）如图3中，△ABE即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积，轴对称图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．【分析】（1）自变量x的小数点向右或向左每移动2位，因变量y向相应的方向仅移动一位，即可解答；（2）利用（1）的结论进行计算，即可解答．【解答】解：（1）由题意得：f（0.01）＝0.1，f（1）＝1，f（100）＝10，∴f（0.0001）＝0.01，f（10000）＝100，∴a＝0.01，b＝100，故答案为：0.01；100；（2）由（1）可得：若f（10）≈3.16，则f（1000）≈31.6；若f（3.68）≈1.918，则f（36800）≈191.8；故答案为：31.6，36800．【点评】本题考查了函数的概念，准确熟练地进行计算是解题的关键．21．【分析】关键是根据三角形内角和解答即可．【解答】已知：在△ABC中，点D是AB的中点，连接CD，且CD＝AB，求证：△ABC为直角三角形，证明：由条件可知，AD＝BD＝CD，则∠A＝∠DCA，∠B＝∠DCB，又∵∠A+∠DCA+∠B+∠DCB＝180°，∴∠DCA+∠DCB＝90°．【点评】此题考查直角三角形的性质，根据是根据三角形的内角和解答．22．【分析】（1）由折叠的性质得∠BAM＝∠CAM，所以∠MAC＝∠C＝∠MAB，然后根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题；（2）①根据勾股定理求出AC，设BM＝x，则DM＝x，CM＝16﹣x，然后再利用勾股定理求出x的值，进而可以解决问题；②直接根据三角形的面积公式即可解决问题．【解答】解：（1）∵AM＝MC，∴∠MAC＝∠C，由折叠的性质得：∠BAM＝∠CAM，∴∠MAC＝∠C＝∠MAB，∵∠MAC+∠C+∠MAB＝90°，∴∠C＝30°；（2）①Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝16．∴AC＝＝20，由折叠的性质得：BM＝DM，AB＝AD＝12，设BM＝x，则DM＝x，CM＝16﹣x，∴DC＝AC﹣AD＝20﹣2＝8，在Rt△DMC中，DM2+DC2＝MC2，即x2+82＝（16﹣x）2，解得x＝6，即BM的长为6；②由折叠的性质得：BM＝DM＝6，∠ADM＝90°，∴△AMC的面积＝AC•DM＝20×6＝60．故答案为：60．【点评】本题考查了翻折变换以及勾股定理的运用，解答本题的关键是掌握翻折变换的性质及运用勾股定理的表达式列出方程求解．23．【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．【解答】解：（1）11，60，61；（2）后两个数表示为和，∵，，∴．又∵n≥3，且n为奇数，∴由n，，三个数组成的数是勾股数．故答案为：11，60，61．【点评】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．24．【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△EFD；（2）由等腰直角三角形的性质可得EF＝FG，BG＝BC，由全等三角形的性质可得EF＝AB，DF＝BC，由线段垂直平分线的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵∠ABC＝90°，∠EFD＝90°，AC⊥ED，∴∠EFD＝∠ABC＝∠AMD，∠BAC+∠ACB＝90°＝∠BAC+∠EDF，∴∠ACB＝∠EDF，在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（AAS）；（2）∵∠G＝45°，EF⊥AG，∠ABC＝90°，∴∠G＝∠FEG＝45°＝∠BCG，∴EF＝FG，BG＝BC，∵△ABC≌△EFD，∴EF＝AB，DF＝BC，∴AB＝FG，∴AF＝BG＝BC＝DF，又∵∠EFD＝90°，∴EA＝ED．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．25．【分析】（1）①作线段AB＝a，作线段AB的垂直平分线交AB于D，在线段AB的垂直平分线上取DC＝h，连接AC，BC，△ABC即为所求；②作直线MN⊥PQ于E，在射线EM设取EA＝h，以A为圆心，a为半径作圆交PQ于B，在射线BP上取点C，使BC＝a，连接AC，△ABC即为所求；（2）分三种情况分别画出图形，设AB＝10米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，求出CD＝6（米），（Ⅰ）当AB为底边时，AD＝DB＝5（米）（如图1），可得AC＝BC＝＝（米）；（Ⅱ）当AB为腰且三角形为锐角三角形时（如图2），AB＝AC＝10（米），由勾股定理可得BC＝＝2（米）；（Ⅲ）当AB为腰且三角形为钝角三角形时（如图3），AB＝BC＝10（米），由勾股定理可得AC＝＝6（米）．【解答】解：（1）①作线段AB＝a，作线段AB的垂直平分线交AB于D，在线段AB 的垂直平分线上取DC＝h，连接AC，BC，如图：△ABC即为所求；②作直线MN⊥PQ于E，在射线EM设取EA＝h，以A为圆心，a为半径作圆交PQ于B，在射线BP上取点C，使BC＝a，连接AC，如图：△ABC即为所求；（2）分三种情况计算．不妨设AB＝10米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AB×CD＝30，即×10×CD＝30，CD＝6（米），（Ⅰ）当AB为底边时，AD＝DB＝5（米）（如图1），∴AC＝BC＝＝（米）；（Ⅱ）当AB为腰且三角形为锐角三角形时（如图2），AB＝AC＝10（米），AD＝＝8（米），BD＝2（米），BC＝＝2（米）；（Ⅲ）当AB为腰且三角形为钝角三角形时（如图3），AB＝BC＝10（米），BD＝＝8（米），AD＝10+8＝18（米），AC＝＝6（米）．∴另两边为米，米或10米，2米或10米，6米．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．26．【分析】（1）求出BC的长，由三角形中线的性质可得出答案；（2）根据题意可得△PAB为等腰三角形，然后分四种情况讨论：当AB＝BP＝13时；当AB＝AP＝13时，点P只能在线段CD上；当BP＝AP，且点P在线段CD上时；当BP ＝AP，且点P在线段AD上时，即可求解．（3）在DC是取点P，使BD＝DP，过点P作PF⊥AB于点F，交AD于点E，求出PF 的长，则可得出答案．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AD＝12，AB＝13，∴BD＝＝5，∴BC＝DC+BD＝14，∵AP平分△ABC的面积，∴P为BC的中点，∴CP＝BC＝7，∴t＝．故答案为：；（2）由△PAB为轴对称图形，得：△PAB是等腰三角形，如图，当AB＝BP＝13时，∴PC＝BC﹣BP＝14﹣13＝1，此时t＝；如图，当AB＝AP＝13时，点P只能在线段CD上，∵AD⊥BC，∴PD＝BD＝5，∴BP＝10，∴PC＝BC﹣BP＝4，∴t＝＝2；如图，当BP＝AP，且点P在线段CD上时，设DP＝a，则BP＝AP＝5+a，在Rt△ADP中，由勾股定理得：AP2＝AD2+DP2，∴（5+a）2＝122+a2，解得a＝，即DP＞DC，故此情况不成立；如图，当BP＝AP，且点P在线段AD上时，过点P作PM作PM⊥AB于点M，设PD＝m，则BP＝AP＝12﹣m，在Rt△BDP中，由勾股定理得：BP2＝BD2+DP2，∴（12﹣m）2＝52+m2，解得m＝，∴PD+CD＝9+＝，∴此时t＝；综上所述，当t为或2或时，△PAB为轴对称图形．（3）在DC是取点P，使BD＝DP，过点P作PF⊥AB于点F，交AD于点E，此时，BE+EF＝PE+EF＝PF，即为最小值．由（2）可知，BP＝10，∵，∴PF＝，∴BE+EF的最小值为，故答案为：．【点评】本题主要考查了勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质及分类讨论，熟练掌握相关知识是解题的关键．。
鼓楼区期中考试试卷数学初二
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. 0D. 12. 已知a > 0，则下列不等式中，正确的是（）A. a² > 0B. a³ < 0C. a < 0D. a > 03. 已知x² + 2x - 3 = 0，则x的值为（）A. 1B. -3C. 1 或 -3D. 2 或 -14. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点坐标为（）A. （2，-3）B. （-2，3）C. （2，-3）或（-2，3）D. （-2，-3）5. 下列函数中，y = 2x - 1的图象是一条（）A. 双曲线B. 抛物线C. 直线D. 椭圆6. 已知等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的面积为（）A. 24cm²B. 32cm²C. 36cm²D. 48cm²7. 已知一元二次方程x² - 5x + 6 = 0，则其判别式Δ的值为（）A. 0B. 1C. 4D. 98. 下列分式方程中，解为x = 2的是（）A. 2x + 1 = 5B. 2x - 1 = 5C. 2x + 1 = 0D. 2x - 1 = 09. 已知正方形的边长为4cm，则其对角线的长度为（）A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm10. 下列数中，最接近√49的是（）A. 7B. 8C. 9D. 10二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知x + 2 = 5，则x = ________。
12. 下列方程中，x = 2是它的解的是：x² - 4x + 4 = ________。
13. 在直角坐标系中，点B（-3，2）关于原点的对称点坐标为（_______，_______）。
14. 已知y = 3x - 1，当x = 2时，y = ________。
江苏省南京市鼓楼区2020-2021学年第一学期八年级 数学期中强化提优试卷
南京市鼓楼区2020-2021八年级（上）数学期中强化提优试卷时间：120分钟 分值：120分一、选择题（每小题2分，共12分）1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是 （ ）A B C D 2.如图，在数轴上点 A 表示的实数是（）A.1B.2C.3D.5（第2题图） （第3题图） （第4题图） （第5题图）3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5cm ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC ，连接CF ，使CF ＝AB ，若EF ＝12cm ，则下列结论不正确的是（ ） A ．∠F ＝∠BCFB ．AE ＝7cmC ．EF 平分ABD ．AB ⊥CF4.如图，ABC △中，D AC AB , 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交、AC 、AD AB 于点F O E 、、，连接OB OC 、，则图中全等三角形有（ ）A.1对B.2对C.3对D.4对5.如图，在△ABC 中，∠BAC ＞∠B ，∠C ＝50°，将∠B 折叠，使得点B 与点A 重合，折痕PD 分别交AB 、BC 于点D 、P ，当△APC 中有两个角相等时，∠B 的度数为（ ） A ．40°或25°B ．25°或32.5°C ．40°或25°或32.5°D ．65°或80°或50°6.如图，BE 和CE 分别为△ABC 的内角平分线和外角平分线，BE ⊥AC 于点H ，CF 平分∠ACB交BE 于点F 连接AE ．则下列结论正确的个数为（ ）①∠ECF ＝90°；②AE ＝CE ；③∠BFC ＝90°+∠BAC ； ④∠BAC ＝2∠BEC ；⑤∠AEH ＝∠BCF ． A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个 二、填空题（每题 3 分，共 30 分） 7.16的平方根是 ．8.等腰三角形一个内角的大小为50°，则其顶角的大小为 ．9.如图，AC AB ,点D E 、分别在AB AC 、上，要使ABE △≌ACD △，所添加的条件是 。