2015年中考数学总复习专题6 有关二次函数的综合题
∴点 A 的坐标为(1，0)， 点 B 的坐标为(3，0)．
令 x＝0，得 y＝3，
∴点 C 的坐标为(0，3)．
专题六
有关二次函数的综合题
(2)①对称轴为直线 x＝2， 或顶点的横坐标为 2，
或都经过点 A(1，0)，B(3，0)．
②存在实数 k，使△ABP 为等边三角形．
∵y＝kx2－4kx＋3k＝k(x－2)2－k，
专题六
有关二次函数的综合题
②存在经过点 A(2 ， 0) 的直线和所有抛物线都相交，且
被每一条抛物线截得的线段的长度都相等，此直线平行于直
线y＝x且过点A1(2，0)，其函数解析式为y＝x－2.
专题六
有关二次函数的综合题
例2 [2012·江西] 如图T6－2，已知二次函数L1：y＝x2－ 4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C. (1)写出点A，B，C的坐标． (2)二次函数L2：y＝kx2－4kx＋3k(k≠0)， 顶点为P. ①直接写出二次函数 L2 与二次函数 L1 有关图象的两条相同的性质． 图T6－2 ②是否存在实数 k，使△ABP为等边三角形，若存在，请求
专题六
有关二次函数的综合题
图T6－1
专题六
有关二次函数的综合题
考向互动探究
【点拨交流】
1．本题考查了哪些知识？
本题考查了二次函数的一般知识，求字母系数、函数解析 式、顶点坐标，字母表示数(符号意识) 、数形结合思想、规律 探究、合情推理、解题方法的灵活性等．
专题六
有关二次函数的综合题
2．怎样利用已知条件求a1 ,b1 的值及抛物线y2对应的函数 解析式？ 将A0坐标代入抛物线y1所对应的函数解析式可求得a1的值， 抛物线 y1 所对应的函数解析式也就确定了，已知抛物线就可求
2015年中考数学总复习
专题六 有关二次函数的综合题
江西瑞昌 梁先爱
专题六
有关二次函数的综合题
《课程标准》对二次函数这一知识点的学习要求比较高， 它最能体现初中代数的综合性和能力性，因此，二次函数在近 几年中考试卷中已形成必不可少的题型．江西省从2012年开始 对二次函数的考查角度有所调整，将二次函数的性质和特征作 为试题主体来考查，促使我们在复习中把二次函数作为最核心
的内容之一来学习．预计2015年仍会以二次函数的性质和特征
作为试题主体来考查．
专题六
有关二次函数的综合题
例 1 [2013·江西 ] 已知抛物线 yn ＝－ (x － an)2 ＋ an(n 为正
整数，且0<a1<a2<…<an)与x轴的交点为An－1(bn－1，0)和An(bn，
0)，当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为 A0(0，0)和A1(b1，0)，其他依此类推． (1)求a1，b1的值及抛物线y2所对应的函数解析式． (2)抛物线y3的顶点坐标为____________； 依此类推，第n条抛物线yn的顶点坐标为____________； 所有抛物线的顶点坐标满足的函数解析式是___________．
专题六
有关二次函数的综合题
∵抛物线y2＝－(x－a2)2＋a2与x轴交于点A1(2，0)，
∴－(2－a2)2＋a2＝0，
∴a2＝1 或 4. ∵a2 >a1， ∴a2＝4， ∴y2＝－(x－4)2＋4.
专题六
有关二次函数的综合题
(n2，n2) y＝x
(2)(9，9)
详解如下： 令y2 ＝0， 得－(x－4)2＋4＝0， ∴x1＝2，x2＝6， ∴抛物线y2与x轴交于点A1(2，0)，A2(6，0)． 又抛物线y3＝－(x－a3)2＋a3与x轴交于点A2(6，0)， ∴－(6－a3)2＋a3＝0，
出k的值；若不存在，请说明理由．
专题六
有关二次函数的综合题
③若直线 y＝8k与抛物线 L2 交于点 E， F，请问线段 EF 的
长度是否发生变化，如果不变，求 EF 的长度；如果变化，
说明理由．
图T6－2
专题六
有关二次函数的综合题
【点拨交流】 1．本题考查了哪些知识？
本题考查了平面直角坐标系、二次函数、一次函数、正三角形的 相关性质．
长度？
先求出点 E，F 的坐标，
而点 E，F 的坐标就是方程组
y＝8k， 的解， 2 y＝kx －4kx＋3k
所以 EF＝|x2－x1|.
专题六
有关二次函数的综合题
【解题思路】
专题六
有关二次函数的综合题
解：(1)令 y＝0，得 x2－4x＋3＝0，
解得 x1＝1，x2＝3.
∵点 A 在点 B 的左边，
2．如何求抛物线 y＝ x2－4x＋3与x轴的交点A，B的横坐 标，与y轴交点C的纵坐标？
抛物线 y＝x2－4x＋3 与 x 轴的交点 A，B 的横坐标就是当 y＝0 时，自变量 x 的值，与 y 轴交点 C 的纵坐标就是当 x＝0 时，函数 y
的值．
专题六
有关二次函数的综合题
3．二次函数L1：y＝x2－4x＋3与二次函数L2：y＝kx2－4kx ＋3k(k≠0)，从函数解析式看有什么异同？
专题六
有关二次函数的综合题 ∴A0A1＝2.
又∵yn＝－(x－n2)2＋n2， 令 yn＝0，得 －(x－n2)2＋n2＝0， ∴x1 ＝n2 ＋n，x2 ＝n2 －n， ∴An－1(n2－n，0)，An(n2＋n，0)， ∴即An－1An＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n.
(3)① ∵A0(0，0)，A1(2，0)，
即这两个函数的图象与 x 轴的交点相同，对称轴相同．
专题六
有关二次函数的综合题
4．使△ABP为等边三角形的条件是什么？
因为 A(1，0)，B(3，0)， 所以 AB＝2，
要使△ABP 为等边三角形，必满足
顶点 P 的纵坐标的 绝对 值为 3.
专题六
有关二次函数的综合题
5．直线y＝8k与抛物线L2交于点E，F，如何求线段EF的
依次类推，抛物线yn的顶点坐标为(n2，n2)．
专题六
有关二次函数的综合题
4．怎样求直线和抛物线的交点坐标？
直线和抛物线的交点坐标就是直线所对应的函数解析式和
抛物线所对应的函数解析式组成的方程组的解．
专题六
有关二次函数的综合题
【解题思路】
专题六
有关二次函数的综合题
解：(1)∵抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴交于点A0(0，0)， ∴－a12＋a1＝0， ∴a1＝0 或 a1＝ 1. 由已知可知 a1>0， ∴a1＝1， ∴ y1＝－(x－1)2＋1. 令y1＝0，得－(x－1)2＋1＝0， ∴x1＝0，x2＝2， ∴抛物线y1与x轴交于A0(0，0)，A1(2，0)， ∴b1＝2.
∴a3＝4或9.
∵a3>a2，∴a3＝9， ∴抛物线y3的顶点坐标为(9，9)．
专题六
有关二次函数的综合题
由抛物线y1的顶点坐标为(1，1)， 抛物线y2的顶点坐标为(4，4)， 抛物线y3的顶点坐标为(9，9)， 依次类推，抛物线yn的顶点坐标为(n2，n2)． ∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标， ∴顶点坐标满足的函数解析式是y＝x.
又∵抛物线y3＝－(x－a3)2＋a3与x轴交于点A2(6，0)，
∴ －(6－a3)2＋a3＝0，
解得a3＝4或9，但a3>a2，∴ a3＝9，
∴抛物线y3的顶点坐标为(9，9)．
由抛物线 y1 的顶点坐标为 (1 ， 1) ，抛物线 y2 的顶点坐标为
(4，4)，抛物线y3的顶点坐标为(9，9)，
专题六
有关二次函数的综合题
(3)探究下列结论： ①若用 An － 1An 表示第 n 条抛物线被 x 轴截得的线段长，直接
写出A0A1的值，并求出An－1An.
②是否存在经过点(2，0)的直线和所有抛物线都相交，且
被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出
直线所对应的函数解析式；若不存在，请说明理由．
出b1的值，再把(b1 ，0)代入抛物线y2所对应的函数解析式，可
求出a2，即得抛物线y2所对应的函数解析式．
专题六 有关二次函数的综合题 3．如何求抛物线 y1, y2，y3的顶点坐标，由此得到什么规律？
∵抛物线y2＝－(x－4)2＋4，令y2＝0，得－(x－4)2＋4＝0， ∴x1 ＝2 ，x 2＝6 ， ∴抛物线y2与x轴交于点A1(2，0)，A2(6，0)．
∴顶点 P 的坐标为(2，－k)．
∵A(1，0)，B(3，0)，
∴AB＝2.
要使△ABP 为等边三角形，
必满足|－k|＝ 3，
∴k＝± 3.
专题六
有关二次函数的综合题
③线段 EF 的长度不发生变化．
∵直线 y＝8k 与抛物线 L2 交于 E，F 两点，
∴kx2－4kx＋3k＝8k.
∵k≠0，
∴x2－4x－5＝0，
∴x1＝－1，x2＝5，
∴EF＝x2－x1＝6，
∴线段 EF 的长度不发生变化．
二次函数 L2：y＝kx －4kx＋3k(k≠0)可变形为
2
y＝k(x －4x＋3)(k≠0)，
当 k＝1 时，就是二次函数 L1：y＝x2－4x＋3，
因此，二次函数 L1：y＝x －4x＋3 是二次函数 L2：y＝kx －4kx ＋3k(k≠0)当 k＝1 时的特殊情形．
2 2
2
当 y＝0 时，二次函数 L1：y＝x2－4x＋3 与二次函数 L2：y＝kx2 －4kx＋3k(k≠0)所对应的一元二次方程的解相同，
二次函数综合题经典习题(含答案)
P B A CO xyQ图3二次函数综合题训练题1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上. （1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C.（1） 求这条抛物线的函数关系式.（2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S.① 求S 与t 的函数关系式；② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状；③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.E B A C P 图1 O xy D3、如图7，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .4、如图5，已知抛物线c x b x a y ++=2的顶点坐标为E （1,0），与y 轴的交点坐标为（0,1）. （1）求该抛物线的函数关系式.（2）A 、B 是x 轴上两个动点，且A 、B 间的距离为AB=4，A 在B 的左边，过A 作AD ⊥x 轴交抛物线于D ，过B 作BC ⊥x 轴交抛物线于C. 设A 点的坐标为（t ,0），四边形ABCD 的面积为S.① 求S 与t 之间的函数关系式.② 求四边形ABCD 的最小面积，此时四边形ABCD 是什么四边形？③ 当四边形ABCD 面积最小时，在对角线BD 上是否存在这样的点P ，使得△PAE 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及这时△PAE 的周长；若不存在，说明理由.xy D 图5 E B A CO 1xyE O 1 备用图 C A MyB Ox 图7C A My B O x 备用 CA MyBOx 备用5、如图6，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。
中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析
中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析一、二次函数1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-∴线段QD 长度的最大值为94.2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x 元,每星期的销售量为y 件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【解析】【分析】（1）根据售量与售价x （元/件）之间的关系列方程即可得到结论．（2）设每星期利润为W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x ）×10+100＝3×100，解得：x ＝40，60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w ，根据题意得，w ＝（x ﹣30）[（60﹣x ）×10+100]＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，(1,11-，(1,219--. 【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可．详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6）， ∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， 所以二次函数的解析式为：y =233642x x --+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =122x --， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，122m --）， ∴DF =233642m m --+﹣（122m --）=2384m m --+， ∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +12DF ×EH =12×DF ×AG +12×DF ×EH =12×4×DF =2×（2384m m --+） =23250233m -++（）， ∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503． （3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA 29n +PE 212n ++（）AE 16425+=，分三种情况讨论：当PA =PE 时，29n +=212n ++（），解得：n =1，此时P （﹣1，1）； 当PA =AE 时，29n +=16425+=，解得：n =11±，此时点P 坐标为（﹣1，11±）；当PE =AE 时，212n ++（）=16425+=，解得：n =﹣219±，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣219±）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，11±），（﹣1，﹣219±）．点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．4．二次函数y=x 2-2mx+3（m ＞）的图象与x 轴交于点A （a ，0）和点B （a+n ，0）（n ＞0且n 为整数），与y 轴交于C 点．（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC 的面积；（2）求证：a=m-；（3）线段AB （包括A 、B ）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a 的值．【答案】（1）y=x 2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=−．【解析】试题分析：（1）①首先根据a=1求得A 的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m 的值即可确定二次函数的解析式；②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m ，然后根据A 、B 两点关于x=m 对称得到a+n-m=m-a ，从而确定a 、m 、n 之间的关系；（3）根据a=m-得到A （m-，0）代入y=（x-m ）2-m 2+3得0=（m--m ）2-m 2+3，求得m 的值即可确定a 的值．试题解析：（1）①∵a=1，∴A （1，0），代入y=x 2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，∴y=x 2-4x+3；②在y=x 2-4x+3中，当y=0时，有x 2-4x+3=0可得x=1或x=3，∴A （1，0）、B （3，0），∴AB=2再根据解析式求出C 点坐标为（0，3），∴OC=3，△ABC 的面积=×2×3=3；（2）∵y=x 2-2mx+3=（x-m ）2-m 2+3，∴对称轴为直线x=m，∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B∴点A和点B关于直线x=m对称，∴a+n-m=m-a，∴a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）①当a为整数，因为n＞0且n为整数所以a+n是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=2，∴a=m-1，∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，∴m2-4=0，∴m=2，m=-2（舍去），∴a=2-1=1，②当a不是整数，因为n＞0且n为整数所以a+n不是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=3，∴a=m-∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，∴m2=，∴m=，m=-（舍去），∴a=−，综上所述：a=1或a=−．考点：二次函数综合题．5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【答案】（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）﹣3＜a≤0；【解析】【分析】（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；（2）图形M与线段AB恰有两个公共点，y＝a要在AB线段的上方，当函数经过点A时，AB与函数两个交点的临界点；【详解】解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）当函数经过点A时，a＝0，∵图形M与线段AB恰有两个公共点，∴y＝a要在AB线段的上方，∴a＞﹣3∴﹣3＜a≤0；【点睛】本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．6．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．考点：二次函数的综合题7．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M 与O 重合，因此抛物线向右平移了3个单位， 故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S △OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.8．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题-附带答案解析
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题-附带答案解析一、单选题(共12题；共24分)1．如图，△ABC是直角三角形，△A=90°，AB=8cm，AC=6cm。
点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是（）A．0cm2B．8cm2C．16cm2D．24 cm2 2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A．②④⑤⑥⑦B．①②③⑥⑦C．①③④⑤⑦D．①③④⑥⑦3．已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）A．B．C．或D．- 或4．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2B．有最大值0，有最小值﹣1 C．有最大值7，有最小值﹣1D．有最大值7，有最小值﹣25．二次函数y=−x2+6x−7，当x取值为t≤x≤t+2时有最大值t=2，则t的取值范围为（）A．t≤0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对6．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．√3cm2B．32√3cm2C．92√3cm2D．272√3cm27．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．x＞1时y随x的增大而减小C．顶点坐标是（1，2）D．函数有最大值28．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7 9．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时函数的最小值是0；⑤当x＝1时函数的最大值是4A．4B．3C．2D．110．设实数x＞0，y＞0，且x＋y－2x2y2＝4，则1x+1y的最小值为()A．4 √2B．3 √2C．2 √2D．√2 11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①因为a＞0，所以函数y有最大值；②该函数的图象关于直线x=-1对称；③当x=-2时函数y的值等于0；④当x=-3或x=1时函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4 12．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=1，交x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0，有下列5个结论：①abc＞0；②9a﹣3b+c＜0；③2c＜3b；④（a+c）2＜b2；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(共6题；共6分)13．已知二次函数y=ax2+4ax+a2−1，当−4≤x≤1时y的最大值为5，则实数a的值为.14．函数y=2x2-8x+1的最小值是.15．当-2≤x≤1时二次函数若y=−(x−m)2+m2+1有最大值4，则m的值为．16．如图，在△ABC中△B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始向B点以2cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从点B开始向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒四边形APQC的面积最小.17．一条抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），若点M，N的坐标分别为（－1，－2），（1，－2），抛物线顶点P在线段MN上移动．点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为．18．二次函数y=mx2+2x+m−4m2的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是三、综合题(共6题；共66分)19．如图，在平面直角坐标系中点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣√3），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长；（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．20．X市与W市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中.在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m与该列车每次拖挂车厢节数n的部分数据如下：车厢节数n4710往返次数m16104b（k，b为常数，k≠0）；②y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中选取一个合适的函数模型，求出的m关于n的函数关系式是m=（不写n的范围）；（2）结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时一天的设计运营人数Q最多（每节车厢载容量设定为常数p）.21．在平面直角坐标系xOy中抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）经过点A(1，−1)，与y轴交于点B．（1）直接写出点B的坐标；（2）点P(m，n)是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时n存在最大值N．①若N=2，求抛物线的表达式；②若−9<a<−2，结合函数图象，直接写出N的取值范围．22．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）当每件商品降价多少元时该商店每天销售利润为1600元？（2）当每件商品降价多少元时该商店每天销售利润最大？最大为多少元？23．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件.（1）求销售量y件与销售单价x(x>10)元之间的关系式；（2）当销售单价x定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？24．如图，已知直线y=﹣12x+2与抛物线y=a （x+2）2相交于A、B两点，点A在y 轴上，M为抛物线的顶点．（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l2与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】A 11．【答案】B 12．【答案】D13．【答案】2−√10 或1 14．【答案】-7 15．【答案】2或- √3 16．【答案】3 17．【答案】-3 18．【答案】（-4，-4）19．【答案】（1）解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）由抛物线的对称性知B 点坐标为（3，0） 依题意得： {a −b +c =09a +3b +c =0c =−√3解得： {a =√33b =−2√33c =−√3∴所求二次函数的解析式为 y =√33x 2−2√33x −√3（2）解：∵P 点的横坐标为m∴P 点的纵坐标为 √33m 2−2√33m −√3设直线BC 的解析式为y=kx+b （k≠0，k 、b 是常数） 依题意，得 {3k +b =0b =−√3∴{k=√33b=−√3故直线BC的解析式为y=√33x−√3∴点F的坐标为(m,√33m−√3)∴PF=−√33m2+√3n(0＜m＜3)（3）解：∵△PBC的面积S=S△CPF+S△BPF=12PF⋅BO=12×(−√33m2+√3m)×3=−√32(m−32)2+9√38∴当m=32时△PBC的最大面积为9√38把m=32代入y=√33x2−2√33x−√3得y=−5√34∴点P的坐标为(32,−5√3 4)20．【答案】（1）-2n+24（2）解：由题意得：Q=pmn=pn(−2n+24)=−2pn2+24pn ∵−2p<0∴Q有最大值∴当n=−24p2×(−2p)=6时Q有最大值此时答：一列火车每次挂6节车厢，一天往返12次时一天的设计运营人数最多. 21．【答案】（1）（0，2）（2）解：①依题意，当N=2时该抛物线的顶点为（0，2）.设抛物线的解析式为y=ax2+2.由抛物线过A（1，−1），得a+2=−1解得a=−3∴抛物线的表达式为y=−3x2+2．②2≤N<322．【答案】（1）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得(50-x)(20+2x)=1600 解得：x1=10，x2=30因要求每件盈利不少于25元，故x2=30应舍去……答：每件商品应减价10元，该商店每天销售利润为1600元.（2）解：设每件商品应降价x元，销售利润为W元。
备战中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题附详细答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．【答案】（1）y=-2x-3；（2）．【解析】试题分析：（1）把A,B两点坐标代入，求待定系数b,c，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE，点F是AE中点，H是AB中点，则FH为三角形ABE的中位线，求出BE的长，FH就知道了，先由抛物线解析式求出点E坐标，根据勾股定理可求BE，再根据三角形中位线定理求线段HF的长．试题解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴把A,B两点坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴把E点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E（2，﹣3），∴BE==．∵点F是AE中点，点H是抛物线的对称轴与x轴交点，即H为AB的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH=BE=×=．∴线段FH的长．考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q553）M （1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．【解析】【分析】(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.【详解】（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，∴A（﹣1，0），B（5，0）．（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，∴55∴Q55（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．①当MK=OA ，NK=OC=5时，四边形ACNM 是平行四边形． ∵此时点M 的横坐标为1， ∴y=8，∴M （1，8），N （2，13），②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形， 此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC 可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.3．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．()1求抛物线的表达式；()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；()3若AOC 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中AOC 与OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32或32+或32-；（3）13． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|43x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 16=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13． 【详解】（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx ，∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为：y 43=-x 2133+x ． （2）存在．设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 13=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|13x ﹣（43-x 2133+x ）|=|43x 2﹣4x |． 由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43x 2﹣4x |=3． 若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：x =或x = 若43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 32=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32． （3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13=x ． 如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上． 设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ； 设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，1133+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （43t ，0）． 联立y =3x ﹣4t 与y 13=x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，12t ）． 过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 12-OE •PG 12=（1+t ）（1133+t ）12-•43t •12t 16=-（t ﹣1）213+当t =1时，S 有最大值为13，∴S 的最大值为13．【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN =AC =3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S 的表达式，注意图形面积的计算方法．4．如图，直线y ＝-12x-3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx﹣3与x 轴的另一个交点为点B(2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，DC ．设点D 的横坐标为m ． (1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．【答案】(1)y ＝14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21). 【解析】 【分析】（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝32x+9，解方程组求出函数图像交点坐标. 【详解】解：(1)在y ＝﹣12x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F.∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC＝12DF•AE+12•DF•OE ＝12DF•OA ＝12×(﹣14m 2﹣32m)×6 ＝﹣34m 2﹣92m ＝﹣34(m+3)2+274，∵a ＝﹣34＜0， ∴抛物线开口向下，∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274， 又∵当m ＝﹣3时，14m 2+m ﹣3＝﹣154，∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)， 直线AD′的解析式为y ＝32x+9， 由2392134y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩，此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件， 综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.5．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=13x﹣43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y yQ P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】 （1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点，∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ． 又∵PE=3PF ， ∴PC PBPF PE=． ∴∠FPC=∠EPB ． ∵∠CPE+∠EPB=90°， ∴∠FPC+∠CPE=90°， ∴FP ⊥PE ．（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．∵CF=3BE=18﹣3a ， ∴OF=20﹣3a ． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y yQ P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）． ∴Q （﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18， ∴OF=3a ﹣20． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y yQ P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标； （3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （﹣3，0），C （0，3），D （﹣1，4）；（2）E （37-，0）；（3）P （2，﹣5）或（1，0）． 【解析】试题分析：（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x 的一元二次方程即可得出点A 、B 的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y 值即可得出点C 坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D 的坐标；（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，由点C 的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D 的解析式，令其y=0求出x 值，即可得出点E 的坐标；（3）根据点A 、C 的坐标利用待定系数法求出直线AC 的解析式，假设存在，设点F （m ，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A 、F 点的坐标找出点P 的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m 的一元二次方程，解方程求出m 值，再代入点P 坐标中即可得出结论．试题解析：（1）当223y x x =--+中y=0时，有2230x x --+=，解得：1x =﹣3，2x =1，∵A 在B 的左侧，∴A （﹣3，0），B （1，0）．当223y x x =--+中x=0时，则y=3，∴C （0，3）． ∵223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点D （﹣1，4）．（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，如图1所示．∵C （0，3），∴C′（0，﹣3）．设直线C′D 的解析式为y=kx+b ，则有：3{4b k b =--+=，解得：7{3k b =-=-，∴直线C′D 的解析式为y=﹣7x ﹣3，当y=﹣7x ﹣3中y=0时，x=37-，∴当△CDE 的周长最小，点E 的坐标为（37-，0）． （3）设直线AC 的解析式为y=ax+c ，则有：3{30c a c =-+=，解得：1{3a c ==，∴直线AC 的解析式为y=x+3．假设存在，设点F （m ，m+3），△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）： ①当∠PAF=90°时，P （m ，﹣m ﹣3），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴2323m m m --=--+，解得：m 1=﹣3（舍去），m 2=2，此时点P 的坐标为（2，﹣5）；②当∠AFP=90°时，P （2m+3，0）∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴20(23)2(23)3m m =-+-++，解得：m 3=﹣3（舍去），m 4=﹣1，此时点P 的坐标为（1，0）；③当∠APF=90°时，P （m ，0），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴2023m m =--+，解得：m 5=﹣3（舍去），m 6=1，此时点P 的坐标为（1，0）． 综上可知：在抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，点P 的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．考点：二次函数综合题；最值问题；存在型；分类讨论；综合题．7．如图1，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ． （1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为28，此时点P的坐标为（32，154）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=2232OB OC+=，∴P点到直线BC的距离的最大值为27292832⨯=，此时点P的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S 关于t 的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P 点到直线BC 的距离的最大值．8．已知函数()()22,1,222x nx n x n y n nx x x n ⎧-++≥⎪=⎨-++<⎪⎩（n 为常数） （1）当5n =，①点()4,P b 在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为()()2,24,2A B 、，当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4，求n 的取值范围．【答案】（1）①92b =②458；（2）1845n <≤，823n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n >或3142n ≤<． 【解析】 【分析】（1）①将()4,P b 代入2155222y x x =-++；②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x <时，当52x =时有最大值为458；故函数的最大值为458； （2）将点()4,2代入2y x nx n =-++中，得到185n =，所以1845n <≤时，图象与线段AB 只有一个交点；将点()2,2）代入2y x nx n =-++和21222n n y x x =-++中，得到82,3n n ==， 所以823n ≤<时图象与线段AB 只有一个交点； （3）当xn =时，42n >，得到8n >；当2n x =时，1482n +≤，得到312n ≥，当x n=时，22y n n n n =-++=，4n <． 【详解】解：（1）当5n =时，()()225551555222x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨-++<⎪⎩， ①将()4,P b 代入2155222y x x =-++， ∴92b =； ②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5； 当5x <时，当52x =时有最大值为458； ∴函数的最大值为458； （2）将点()4,2代入2y x nx n =-++中，∴185n =， ∴1845n <≤时，图象与线段AB 只有一个交点； 将点()2,2代入2y x nx n =-++中， ∴2n =， 将点()2,2代入21222n ny x x =-++中， ∴83n =， ∴823n ≤<时图象与线段AB 只有一个交点； 综上所述：1845n <≤，823n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点； （3）当xn =时，22112222n n y n n =-++=，42n>，∴8n >； 当2n x =时，182n y =+， 1482n +≤，∴312n ≥， 当xn =时，22y n n n n =-++=，4n <；∴函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，8n>或3142n≤<．【点睛】考核知识点：二次函数综合.数形结合分析问题是关键.9．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=12．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12x2+32x﹣2；（2）9；（3）点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．【解析】（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值．（3）如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF 的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，由实际问题列函数关系式，二次函数最值，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆的切线性质．10．已知二次函数y=﹣316x 2+bx+c 的图象经过A （0，3），B （﹣4，﹣92）两点． （1）求b ，c 的值． （2）二次函数y=﹣316x 2+bx+c 的图象与x 轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．【答案】（1）983b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．【解析】【分析】（1）把点A 、B 的坐标分别代入函数解析式求得b 、c 的值；（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x 轴有交点，由题意得到方程﹣239168x x ++3=0，通过解该方程求得x 的值即为抛物线与x 轴交点横坐标． 【详解】（1）把A （0，3），B （﹣4，﹣92）分别代入y=﹣316x 2+bx+c ，得339164162c b c =⎧⎪⎨-⨯-+=-⎪⎩，解得983b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣316x 2+98x+3， △=（98）2﹣4×（﹣316）×3=22564＞0， 所以二次函数y=﹣316x 2+bx+c 的图象与x 轴有公共点， ∵﹣316x 2+98x+3=0的解为：x 1=﹣2，x 2=8， ∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．。
2015二次函数中考真题卷高难度专项练习及答案
组卷二次函数难题1-30一、选择题（共12小题）1．（2011•包头）已知二次函数y=ax2+bx+c同时满足下列条件：对称轴是x=1；最值是15；二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15﹣a，则b的值是（）A．4或﹣30 B．﹣30 C．4D．6或﹣20 2．（2011•玉溪）如图，函数y=﹣x2+bx+c的部分图象与x轴、y轴的交点分别为A（1，0），B（0，3），对称轴是x=﹣1，在下列结论中，错误的是（）A．顶点坐标为（﹣1，4）B．函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0）3．（2010•钦州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论：①ac＞0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．其中错误的结论有（）A．②③B．②④C．①③D．①④4．（2010•柳州）抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法正确的个数是（）①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是x=1；④在对称轴左侧y随x增大而增大．A．1B．2C．3D．45．（2010•自贡）y=x2+（1﹣a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣5 B．a≥5 C．a=3 D．a≥36．（2010•十堰）方程x2+2x﹣1=0的根可看出是函数y=x+2与y=的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x3+x ﹣1=0的实根x所在范围为（）A．﹣B．C．D．17．（2010•西宁）下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点（）A．B．C．D．8．（2010•台州）如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（）A．﹣3 B．1C．5D．89．（2010•东营）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx﹣ac 与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．10．（2010•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b＜a+c；③2a+b=0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（2010•丽水）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD 的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y=B．y=C．y=D．y=12．（2011•兰州）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共12小题）（除非特别说明，请填准确值）13．（2009•黄石）若抛物线y=ax2+bx+3与y=﹣x2+3x+2的两交点关于原点对称，则a、b 分别为_________、_________．14．（2010•成都）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s 的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过_________秒，四边形APQC的面积最小．15．（2009•金华）如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x 轴于点H．在抛物线y=x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是_________．16．（2009•江津区）锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0），当x=_________，公共部分面积y最大，y最大值=_________．17．（2008•庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图所示），则6楼房子的价格为_________元/平方米．18．（2009•浙江）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则：（1）abc_________0（填“＞”或“＜”）；（2）a的取值范围是_________．19．（2009•包头）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是_________个．20．（2010•兰州）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_________米．21．（2008•黄石）若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是_________．22．（2009•包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是_________cm2．23．（2008•长春）将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线y=﹣2x2﹣4x+5，则原抛物线的顶点坐标是_________．24．（2009•兰州）二次函数y=x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2008在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2008在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2007B2008A2008都为等边三角形，请计算△A0B1A1的边长=_________；△A1B2A2的边长=_________；△A2007B2008A2008的边长=_________．三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）25．（2013•徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）请直接写出点D的坐标：_________；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．26．（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2013•烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．28．（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．29．（2013•宜宾）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．30．（2013•宜宾）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？【章节训练】第2章二次函数-3参考答案与试题解析一、选择题（共12小题）组卷二次函数难题61-90 难度 5 级1．（2011•包头）已知二次函数y=ax2+bx+c同时满足下列条件：对称轴是x=1；最值是15；二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15﹣a，则b的值是（）A．4或﹣30 B．﹣30 C．4D．6或﹣20抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的最值．专题：压轴题；函数思想．分析：由在x=1时取得最大值15，可设解析式为：y=a（x﹣1）2+15，只需求出a即可，又与x轴交点横坐标的平方和为15﹣a，可求出a，所以可求出解析式得到b的值．解答：解：解法一：∵x轴上点的纵坐标是0，∴由题可设抛物线与x轴的交点为（1﹣t，0），（1+t，0），其中t＞0，∵两个交点的横坐标的平方和等于15﹣a即：（1﹣t）2+（1+t）2=15﹣a，可得t=，由顶点为（1，15），可设解析式为：y=a（x﹣1）2+15，将（1﹣，0）代入可得a=﹣2或a=15（不合题意，舍去）∴y=﹣2（x﹣1）2+15=﹣2x2+4x+13，∴b=4；解法二：∵对称轴是x=1，最值是15，∴设y=ax2+bx+c=a（x﹣1）2+15，∴y=ax2﹣2ax+15+a，设方程ax2﹣2ax+15+a=0的两个根是x1，x2，则x1+x2=﹣=2，x1•x2=，∵二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15﹣a，（x1）2+（x2）2=（x1+x2）2﹣2x1x2=15﹣a，∴22﹣=15﹣a，a2﹣13a﹣30=0，a1=15（不合题意，舍去），a2=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+15=﹣2x2+4x+13；∴b=4．故选C．点评：本题考查了二次函数的最值及待定系数法求解析式，难度一般，关键算出a的值．组卷二次函数难题61-90 难度 4 级2．（2011•玉溪）如图，函数y=﹣x2+bx+c的部分图象与x轴、y轴的交点分别为A（1，0），B（0，3），对称轴是x=﹣1，在下列结论中，错误的是（）A．顶点坐标为（﹣1，4）B．函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0）考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．专题：计算题；压轴题．分析：由于y=﹣x2+bx+c的图象与x轴、y轴的交点分别为A（1，0），B（0，3），将交点代入解析式求出函数表达式，即可作出正确判断．解答：解：将A（1，0），B（0，3）分别代入解析式得，，解得，，则函数解析式为y=﹣x2﹣2x+3；将x=﹣1代入解析式可得其顶点坐标为（﹣1，4）；当y=0时可得，﹣x2﹣2x+3=0；解得，x1=﹣3，x2=1．可见，抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0）；由图可知，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．可见，C答案错误．故选C．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键，同时要注意数形结合．组卷二次函数难题61-90 难度 4 级3．（2010•钦州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论：①ac＞0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．其中错误的结论有（）A．②③B．②④C．①③D．①④考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：①由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口方向知道a＜0，与y轴交点知道c＞0，由此即可确定ac的符号；②由于当x=﹣1时，y=a﹣b+c，而根据图象知道当x=﹣1时y＜0，由此即可判定a﹣b+c的符号；③根据图象知道当x＜﹣1时抛物线在x轴的下方，由此即可判定此结论是否正确；④根据图象与x轴交点的情况即可判定是否正确．解答：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，∴a＜0，∵与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0；②∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c，而根据图象知道当x=﹣1时y＜0，∴a﹣b+c＜0；③根据图象知道当x＜﹣1时抛物线在x轴的下方，∴当x＜﹣1，y＜0；④从图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标都大于﹣1，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．故错误的有①③．故选C．点评：此题主要考查了利用图象求出a，b，c的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子，如：当x=1时，y＞0，a+b+c＞0；x=﹣1时，y＜0，a﹣b+c＜0．组卷二次函数难题61-90 难度4.5级4．（2010•柳州）抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法正确的个数是（）①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是x=1；④在对称轴左侧y随x增大而增大．A．1B．2C．3D．4考点：抛物线与x轴的交点．专题：压轴题；图表型．分析：从表中知道当x=﹣2时，y=0，当x=0时，y=6，由此可以得到抛物线与x轴的一个交点坐标和抛物线与y 轴的交点坐标，从表中还知道当x=﹣1和x=2时，y=4，由此可以得到抛物线的对称轴方程，同时也可以得到在对称轴左侧y随x增大而增大．解答：解：从表中知道：当x=﹣2时，y=0，当x=0时，y=6，∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），抛物线与y轴的交点为（0，6），从表中还知道：当x=﹣1和x=2时，y=4，∴抛物线的对称轴方程为x=（﹣1+2）=0.5，同时也可以得到在对称轴左侧y随x增大而增大．所以①②④正确．故选C．点评：此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性．组卷二次函数难题61-90 难度4.5 级5．（2010•自贡）y=x2+（1﹣a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣5 B．a≥5 C．a=3 D．a≥3考点：二次函数的最值．专题：压轴题．分析：由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在[1，3]和对称轴在[1，3]内两种情况进行解答．解答：解：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x≤3内时，此时，对称轴一定在1≤x≤3的右边，函数方能在这个区域取得最大值，x=＞3，即a＞7，第二种情况：当对称轴在1≤x≤3内时，对称轴一定是在区间1≤x≤3的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=3的地方取得最大值，即：x=≥，即a≥5（此处若a取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值）综合上所述a≥5．故选B．点评：本题考查了二次函数的最值确定与自变量x的取值范围的关系，难度较大．组卷二次函数难题61-90 难度 4 级6．（2010•十堰）方程x2+2x﹣1=0的根可看出是函数y=x+2与y=的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x3+x ﹣1=0的实根x所在范围为（）A．﹣B．C．D．1考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．专题：压轴题．分析：首先根据题意推断方程x3+x﹣1=0的实根是函数y=x2+1与y=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x3+x﹣1=0的实根x所在范围．解答：解：依题意得方程x3+x﹣1=0的实根是函数y=x2+1与y=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，∴它们的交点在第一象限，当x=1时，y=x2+1=2，y==1，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x=时，y=x2+1=1，y==2，此时反比例函数的图象在抛物线的上方；∴方程x3+x﹣1=0的实根x 所在范围为＜x＜1．故选C．点评：此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．组卷二次函数难题61-90 难度 4 级7．（2010•西宁）下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点（）A．B．C．D．考点：抛物线与x轴的交点．专题：计算题．分析：由题意得，令y=0，看是否解出x值，对A，B，C，D，一一验证从而得出答案．解答：解：A、令y=0得，，移项得，，方程无实根；B、令y=0得，，移项得，，方程无实根；C、令y=0得，，移项得，，方程无实根；D、令y=0得，，移项得，，方程有两个实根．故选D．点评：此题考查二次函数的性质及与一元二次方程根的关系．（利用开口方向和顶点坐标也可解答）组卷二次函数难题61-90 难度 4.5 级8．（2010•台州）如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（）A．﹣3 B．1C．5D．8考点：二次函数综合题．专题：压轴题；动点型．分析：当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．解答：解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8；故选D．点评：能够正确地判断出点C横坐标最小、点D横坐标最大时抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．组卷二次函数难题61-90 难度 4.5级9．（2010•东营）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx﹣ac 与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：压轴题．分析：先根据二次函数y=ax2+bx+c的图象判断出a、b、c、a﹣b+c的符号，再用排除法对四个答案进行逐一检验．解答：解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上可知，a＞0，因为图象与y轴的交点在y轴的负半轴，所以c＜0，根据函数图象的对称轴x=﹣＞0，可知b＜0，∵a＞0，b＜0，c＜0，ac＜0，∴一次函数y=bx﹣ac的图象过一、二、四象限，故可排除A、C；由函数图象可知，当x=﹣1时，y＞0，即y=a﹣b+c＞0，∴反比例函数的图象在一、三象限，可排除D选项，故选B．点评：此题比较复杂，综合考查了二次函数、一次函数及反比例函数图象的特点，锻炼了学生数形结合解题的思想方法．组卷二次函数难题61-90 难度4.5 级10．（2010•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b＜a+c；③2a+b=0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：①由抛物线开口向下a＜0，抛物线和y轴的正半轴相交，c＞0，﹣=1＞0，b＞0，②令x=﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，③﹣=1，即2a+b=0，④把x=m代入函数解析式中表示出对应的函数值，把x=1代入解析式得到对应的解析式，根据图形可知x=1时函数值最大，所以x=1对应的函数值大于x=m对应的函数值，化简得到不等式成立，故④正确．解答：解：①根据图象，a＜0，b＞0，c＞0，故①错误；②令x=﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，故②错误；③∵﹣=1，∴2a+b=0，故③正确；④x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=1对应的函数值为y=a+b+c，又x=1时函数取得最大值，∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm=m（am+b），故④正确．故选B．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．组卷二次函数难题61-90 难度 5 级11．（2010•丽水）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD 的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y=B．y=C．y=D．y=考点：根据实际问题列二次函数关系式．专题：压轴题．分析：四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．解答：解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE∴∠BAC=∠DAE又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°∴△ABC≌△ADE（AAS）∴BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，解得：a=，∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE =×（DE+AC）×DF=×（a+4a）×4a=10a2=x2．故选C．点评：本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．组卷二次函数难题61-90 难度4.5级12．（2011•兰州）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点：二次函数的应用；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：根据条件可知△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2，进而可求出函数解析式，求出答案．解答：解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2即s=x2+（1﹣x）2．s=2x2﹣2x+1，∴所求函数是一个开口向上，对称轴是直线x=．∴自变量的取值范围是大于0小于1．故选B．点评：本题需根据自变量的取值范围，并且可以考虑求出函数的解析式来解决．二、填空题（共12小题）（除非特别说明，请填准确值）组卷二次函数难题61-90 难度5 级13．（2009•黄石）若抛物线y=ax2+bx+3与y=﹣x2+3x+2的两交点关于原点对称，则a、b 分别为、3．考点：二次函数图象与几何变换；关于原点对称的点的坐标．专题：压轴题．分析：有交点，可让两个抛物线组成方程组．解答：解：由题意可得，两个函数有交点，则y相等，则有ax2+bx+3=﹣x2+3x+2，得：（a+1）x2+（b﹣3）x+1=0．∵两交点关于原点对称，那么两个横坐标的值互为相反数；两个纵坐标的值也互为相反数．则两根之和为：﹣=0，两根之积为＜0，解得b=3，a＜﹣1．设两个交点坐标为（x1，y1），（x2，y2）．这两个根都适合第二个函数解析式，那么y1+y2=﹣（x12+x 22）+3 （x 1+x2）+4=0，∵x1+x2=0，∴y1+y2=﹣（x1+x2）2+2x1x2+4=0，解得x1x 2=﹣2，代入两根之积得=﹣2，解得a=﹣，故a=﹣，b=3．另法：（若交点关于原点对称，那么在y=﹣x2+3x+2中，必定自身存在关于原点对称的两个点，设这两个点横坐标分别为k和﹣k，直接在y=﹣x2+3x+2代入k，然后相加两个式子﹣k2+3k+2=0与﹣k2﹣3k+2=0，可得出k为±，从而直接得到两个点，再待定系数法，将两点代入y=ax2+bx+3，直接可以得出a，b的值．点评：本题用到的知识点为：两个函数有交点，那么应让这两个函数图象组成方程组，而后根据根与系数的关系求解．组卷二次函数难题61-90 难度 4.5 级14．（2010•成都）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s 的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B 同时出发，那么经过3秒，四边形APQC的面积最小．考点：二次函数的应用．专题：计算题．分析：根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积﹣三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．解答：解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Smm2，则有：S=S△ABC﹣S△PBQ==4t2﹣24t+144=4（t﹣3）2+108．∵4＞0∴当t=3s时，S取得最小值．点评：本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法．组卷二次函数难题61-90 难度 5 级15．（2009•金华）如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x 轴于点H．在抛物线y=x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是（3，），（，），（2，2），（，）．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：在△AOH中，因为∠AOH=30°，所以A的纵坐标是横坐标的倍，若设A的坐标为（t，t），则Q、P 点坐标均可求出，然后根据全等三角形的判定，对应求解即可．解答：解：由题可得A的横坐标是纵坐标的倍，故设A的坐标为（t，t）；则Q的坐标为（0，2t）或（0，t）；可求得P点对应的坐标，解可得t的值有4个，为，，2，；故点A的坐标是（3，）、（，）、（2，2）、（，）．点评：本题考查二次函数的有关性质，涉及图象与点的坐标的求法．组卷二次函数难题61-90 难度 4 级16．（2009•江津区）锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0），当x=3，公共部分面积y最大，y最大值=6．考点：二次函数的应用．专题：压轴题；动点型．分析：公共部分分为三种情形：在三角形内；刚好一边在BC上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形．显然在内部时的面积比刚好在边上时要小，所以需比较后两种情形时的面积大小．为正方形时可求出面积的值，为矩形时需求面积表达式再求最大值．解答：解：公共部分分为三种情形：在三角形内；刚好一边在BC上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形．显然在内部时的面积比刚好在边上时要小，所以需比较后两种情形时的面积大小．（1）求公共部分是正方形时的面积，作AD⊥BC于D点，交MN于E点，∵BC=6，S△ABC=12，∴AD=4，∵MN∥BC，∴即，解得x=2.4，此时面积y=2.42=5.76．（2）当公共部分是矩形时如图所示：设DE=a，根据得=，所以a=4﹣x，公共部分的面积y=x（4﹣x）=﹣x2+4x，∵﹣＜0，∴y有最大值，当x=﹣=3时，y最大值==6．综上所述，当x=3时，公共部分的面积y最大，最大值为6．点评：此题需分类讨论，综合比较后得结论．组卷二次函数难题61-90 难度4 级17．（2008•庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图所示），则6楼房子的价格为2080元/平方米．考点：二次函数的应用．专题：操作型；函数思想．分析：从图象中找出顶点坐标、对称轴，利用对称性即可解答．解答：解：由图象可知（4，2200）是抛物线的顶点，∵x=4是对称轴，∴点（2，2080）关于直线x=4的对称点是（6，2080）．∴6楼房子的价格为2080元．点评：要求熟悉二次函数的对称性，并准确的找到所求的点与那个已知点是对称点，此题的关键是能找到顶点是（4，2200）．组卷二次函数难题61-90 难度 5 级18．（2009•浙江）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则：（1）abc＜0（填“＞”或“＜”）；（2）a的取值范围是≤a≤．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；动点型．分析：（1）观察图形发现，由抛物线的开口向下得到a＜0，顶点坐标在第一象限得到b＞0，抛物线与y轴的交点在y轴的上方推出c＞0，由此即可判定abc的符号；（2）顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C与D点重合，可以知道顶点坐标为（1，3）且抛物线过（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点为（3，0），由此可求出a；当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2）且抛物线过（﹣2，0），则它与x轴的另一个交点为（8，0），由此也可求a，然后由此可判断a的取值范围．解答：解：（1）观察图形发现，抛物线的开口向下，∴a＜0，∵顶点坐标在第一象限，∴﹣＞0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的上方，∴c＞0，∴abc ＜0；（2）顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C与D点重合，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y=a（x﹣1）2+3，由，解得﹣≤a≤﹣；当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y=a（x﹣3）2+2，由，解得﹣≤a≤﹣；∵顶点可以在矩形内部，∴﹣≤a≤﹣．点评：本题主要考查了抛物线的解析式y=ax2+bx+c中a、b、c对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定，充分利用了利用形数结合的方法，展开讨论，加以解决．组卷二次函数难题61-90 难度 5.5 级。
中考数学总复习《二次函数》专项测试卷-附参考答案
中考数学总复习《二次函数》专项测试卷-附参考答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共12题；共24分)1．二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（）A．﹣7＜y＜﹣4B．﹣7＜y≤﹣3C．﹣7≤y＜﹣3D．﹣4＜y≤﹣3 2．已知二次函数y=3(x−2)2+ℎ，当自变量x分别取-2，2，5时，对应的值分别为y1，y2和y 3则y1，y2和y3的大小关系正确的是()A．y3<y2<y1B．y1<y2<y3C．y2<y3<y1D．y3<y1<y23．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数ℎ=3.5t−4.9t2（的单位：秒，h的单位：米）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（）A．0.71B．0.70C．0.63D．0.364．对于二次函数y=−14(x+2)2−1，下列说法正确的是（）A．当x>−2时，y随x的增大而增大B．当x=−2时，y有最大值−1C．图象的顶点坐标为(2，−1)D．图象与x轴有两个交点5．抛物线y=2x2−12x+22的顶点是（）A．(3,−4)B．(−3,4)C．(3,4)D．(2,4)6．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0）下列结论：①ab＜0，②b2-4ac＞0，③a-b+c＜0，④c=1，⑤当x＞－1时，y＞0.其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④8．关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（）A．当x＞-2时，y随x增大而减小B．当x＞-2时，y随x增大而增大C．当x＞2时，y随x增大而减小D．当x＞2时，y随x增大而增大9．如图，双曲线y= k x经过抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点（﹣1，m）（m＞0），则下列结论中，正确的是（）A．a+b=k B．2a+b=0C．b＜k＜0D．k＜a＜010．如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于(−1，0)，(3，0)两点，则下列判断中，不正确的是（）A．图象的对称轴是直线x=1B．当x>2时，y随x的增大而减小C ．当−1<x <1时D ．一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根是−1和311．已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)在y =−x 2+2x +m 的图象上，下列说法错误的是（ ）A ．当m >0时，二次函数y =−x 2+2x +m 与x 轴总有两个交点B ．若x 2=2，且y 1>y 2，则0<x 1<2C ．若x 1+x 2>2，则y 1>y 2D ．当−1≤x ≤2时，y 的取值范围为m −3≤y ≤m12．从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式是：h ＝30t ﹣5t 2这个函数图象如图所示，则小球从第3s 到第5s 的运动路径长为（ ）A ．15mB ．20mC ．25mD ．30m二、填空题(共6题；共6分)13．在二次函数 y =−x 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则m 、n 的大小关系为 m n ．（填“＜”，“＝”或“＞”）14．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是 ．（只需写一个）15．二次函数 y =ax 2+bx +c 的图象与 x 轴相交于 (−1, 0) 和 (5, 0) 两点，则该抛物线的对称轴是 .16．函数y= {x 2+2x −3(x <0)x 2−4x −3(x ≥0) 的图象与直线y=﹣x+n 只有两个不同的公共点，则n 的取值为 ．17．已知二次函数y ＝﹣x 2+2mx+1，当﹣2≤x≤1时最大值为4，则m 的值为 ． 18．若函数y=（m ﹣2）x m 2−2+3是二次函数，则m=三、综合题(共6题；共70分)19．已知抛物线 y =a(x −4)2+2 经过点 (2,−2) ．（1）求a 的值；（2）若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<4)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．20．宁波地区最近雾霾天气频繁，使得空气净化器得以畅销，某商场代理销售某种空气净化器，其进价是500元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是1000元/台时，可售出50台，且售价每降低20元，就可多售出5台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于600元/台，代理销售商每月要完成不低于60台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？21．某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元.销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件.同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元.设销售单价为x元，平均月销售量为y件.（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？22．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯，把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中。
中考数学总复习之 二次函数综合
连接 BC，如图①，∵B(5,0)，C0，－52，∴设直线 BC 的解
析式为 y＝kx＋b(k≠0)，∴5bk＝＋－b2＝ 5，0，
解得k＝21， b＝－52，
∴直线 BC 的解析式为 y＝21x－52，当 x＝2 时，y＝1－52＝－23， ∴P2，－32.
(3)存在，如图②. ①当点 N 在 x 轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线 x＝2， C0，－52，∴N14，－52. ②当点 N 在 x 轴上方时，如图②，过点 N2 作 N2D⊥x 轴于点 D，
解：(1)已知抛物线 y＝21x2－32x－9，当 x＝0 时，y＝－9，则 C(0，－9)，当 y＝0 时，12x2－32x－9＝0，得 x1＝－3，x2＝6， 则 A(－3,0)，B(6,0)，∴AB＝9，OC＝9.
(2)∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，
∴SS△△AAEBDC＝AABE2，即12×S9×9＝m9 2，得 S＝21m2(0＜m＜9)．
2．如图，抛物线 y＝12x2－32x－9 与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于点 C ，连接 B C ，A C .
(1)求 AB 和 OC 的长； (2)点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动(点 E 与点 A，B 不重 合)，过点 E 作直线 l 平行于 BC，交 AC 于点 D.设 AE 的长为 m，△ADE 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并写出自 变量 m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，连接 CE，求△CDE 面积的最大值；此时， 求出以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆的面积(结果保留 π)．
在 △AN2D
与 △M2CO
∠N2AD＝∠CM2O， 中 ， A∠NA2N＝2CDM＝2∠，M2CO，
二次函数综合题--二次函数与三角形全等、相似(位似)有关的问题(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
二次函数综合题-中考数学重难点题型专题汇总二次函数与三角形全等、相似（位似）有关问题（专题训练）1.如图1，已知二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点()1,0A -、()2,0B ，与y轴交于点C ，且tan 2OAC ∠=．(1)求二次函数的解析式；(2)如图2，过点C 作CD x ∥轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB 、PC ，若PBC BCD S S =△△，求点P 的坐标；(3)如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQ OQ的最大值．2.如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是边长为3的正方形，其中顶点A ，C 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，抛物线2y x bx c =-++经过A ，C 两点，与x 轴交于另一个点D．(1)①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．3.如图，已知抛物线2=--交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿xy x x2轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．(1)写出图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y x b =-+与图象W 有三个交点，请结合图象，直接写出b 的值；(3)P 为x 轴正半轴上一动点，过点P 作PM y ∥轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，是否存在这样的点P ，使CMN △与OBC 相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4.已知抛物线228y x x =-++与x 轴交于点A 、B （其中A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点B 、C 的坐标；（2）设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似且PC 与PO 是对应边？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y 轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若MD =，求N 点的坐标．6.已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点(,0)N n 是x 轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n <，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ，交直线BC 于点G ．过点P 作PD BC ⊥于点D ，当n 为何值时，PDG BNG ≌；（3）如图2，将直线BC 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段OC 的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB ．①1tan BOB ∠=______；②当点N 关于直线1OB 的对称点1N 落在抛物线上时，求点N 的坐标．7.如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，与y 轴交于C （0，－3），对称轴为直线1x =-，直线y ＝－2x ＋m 经过点A ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，与对称轴交于点F ．（1）求抛物线的解析式和m 的值；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与△AOD 相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y ＝1上有M 、N 两点（M 在N 的左侧），且MN ＝2，若将线段MN 在直线y ＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN 的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：∠ACB=90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ．①求DE+BF 的最大值；②点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与 AOG 相似，求点D 的坐标．9.二次函数2()40y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，当2DPB BCO ∠=∠时，求直线BP 的表达式；（3）请判断：PQ QB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．10.如图，抛物线y ＝x 2+bx+c 经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，它的对称轴为直线l ．（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E 为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．11.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．。
中考数学全面突破(含详细答案)题型6 二次函数综合题
题型6 二次函数综合题题型解读1.考查类型：①二次函数与线段和差问题；②二次函数与图形面积问题；③二次函数与特殊三角形判定问题；④二次函数与特殊四边形判定问题；⑤二次函数与三角形相似、全等问题；2.考查内容：①中考查多与找点关于直线的对称点，再根据两点之间线段最短确定所求点有关；②中考查多与割补法求面积有关；③中考查多与特殊三角形的性质有关，直角三角形通常用到勾股定理计算，直角三角形与等腰三角形在判定时均应考虑分类讨论，以免漏解；④中考查多与特殊四边形的判定及性质有关，同样做题时要考虑各种情况，命题时常与分类讨论思想结合；⑤中考查多与三角形相似或全等的判定及性质有关；3.备考指导：在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，作出适当的辅助线，联系相应的判定或性质求解．类型一二次函数与线段和差问题1.如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC 上的E处，E点坐标为(6，8)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，A，E三点．(1)求此抛物线的解析式；(2)求AD的长；(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．2.如图，直线y ＝5x ＋5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A ，C 两点的二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 的图象交x 轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，点N 是线段BC 上的动点，作ND⊥x 轴交二次函数的图象于点D ，求线段ND 长度的最大值； (3)若点H 为二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x 轴，y 轴上分别找点F ，E ，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F ，E 的坐标．温馨提示：在直角坐标系中，若点P ，Q 的坐标分别为P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，当PQ 平行x 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ ＝|x 1－x 2|求出；当PQ 平行y 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ ＝|y 1－y 2|求出．3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2＋14与y 轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称．(1)填空，点B 的坐标是________；(2)过点B 的直线y ＝kx ＋b(其中k ＜0)与x 轴相交于点C ，过点C 作直线l 平行于y 轴，P 是直线l 上一点，且PB ＝PC.求线段PB 的长(用含k 的式子表示)，并判断点P 是否在抛物线上，说明理由；(3)在(2)的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点C ′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标．4.已知二次函数y ＝x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k(k ＞0)． (1)当k ＝12时，求这个二次函数的顶点坐标；(2)求证：关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0(k ＞0)有两个不相等的实根；(3)如图，该二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点的左侧)，与y 轴交于C 点，P 是y 轴负半轴上一点，且OP ＝1，直线AP 交BC 于点Q. 求证：1OA 2＋1AB 2＝1AQ2.类型二 二次函数与图形面积问题5.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)求a ，b 的值；(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)．写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．6.已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝kx 与抛物线交于A ，B 两点．(1)写出点C 的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点O 为线段AB 的中点时，求k 的值及A ，B 两点的坐标；(3)是否存在实数k 使得△ABC 的面积为3102？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．7.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于点A(－3，0)，B(1，0)，与y 轴交于点C.(1)直接写出抛物线的函数解析式；(2)以OC 为半径的⊙O 与y 轴的正半轴交于点E.若弦CD 过AB 的中点M ，试求出DC 的长；(3)将抛物线向上平移32个单位长度(如图②)，若动点P(x ，y)在平移后的抛物线上，且点P 在第三象限，请求出△PDE 的面积关于x 的函数关系式，并写出△PDE 面积的最大值．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x与二次函数y＝x2＋bx的图象相交于O、A两点，点A(3，3)，点M为抛物线的顶点．(1)求二次函数的表达式；(2)长度为22的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；(3)直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF＝S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．9.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(9，0)和C(0，4)，CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．(1)求出该二次函数的表达式以及点D的坐标；(2)若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；(3)若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度(0＜t≤6)得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S.求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．类型三二次函数与特殊三角形判定问题10.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．11.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3(a≠0)的顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且BO ＝OC ＝3AO ，直线y ＝－13x ＋1与y 轴交于点D.(1)求抛物线的解析式； (2)证明：△DBO∽△EBC；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．12.如图，抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B(3，0)两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C(0，3)，已知对称轴x ＝1. (1)求抛物线L 的解析式；(2)将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内(包括△OBC 的边界)，求h 的取值范围；(3)设点P 是抛物线L 上任一点，点Q 在直线l ：x ＝－3上，△PBQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．图①图②13.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；(3)在(2)的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接．．写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，抛物线y ＝－12x 2＋32x ＋2与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m ，0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q. (1)求点A ，点B ，点C 的坐标； (2)求直线BD 的解析式；(3)当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形； (4)在点P 的运动过程中，是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．类型四 二次函数与特殊四边形判定问题15.如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)，B(3，0)两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD. (1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式； (2)点P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，求点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，过点P 作PF⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．备用图16.如图，抛物线与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，5)．有一宽度为1，长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E和F.(1)求抛物线解析式．(2)当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF＝1010，求点Q的坐标．(3)在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．17.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.(1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．18.如图，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－52)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA ＋PC 的值最小，求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A 、C 、M 、N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝a(x ＋1)2－3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C(0，－83)，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ，过点H 的直线l 交抛物线于P 、Q 两点，点Q 在y 轴的右侧．(1)求a 的值及点A 、B 的坐标；(2)当直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3∶7的两部分时，求直线l 的函数表达式；(3)当点P 位于第二象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否成为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．类型五二次函数与三角形相似、全等问题20.如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．(1) 求抛物线的解析式及点C的坐标；(2) 求证：△ABC是直角三角形；(3) 若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．21.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F ，使△FOE≌△FCE，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB 与直线l 交于点Q.试探究：当m 为何值时，△OPQ 是等腰三角形．类型一 二次函数与线段和差问题1. 解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，B(10，8)， ∴A(10，0)，∵E(6，8)，O(0，0)，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(10，0)、E(6，8)和O(0，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＋c ＝062a ＋6b ＋c ＝8c ＝0，解得⎪⎨⎪⎧a ＝－13b ＝103，∴抛物线的解析式y ＝－13x 2＋103x.(2)由题意可知：AD ＝ED ，BE ＝|10－6|＝4，AB ＝8，设AD 为x ，则ED ＝x ，BD ＝AB －AD ＝8－x ， 在Rt △BDE 中， ED 2＝EB 2＋BD 2， 即x 2＝42＋(8－x)2， 解得x ＝5，即AD ＝5.(3)由(2)可知，D 点的坐标是(10，5)，∴△PAD 的周长l ＝PA ＋PD ＋AD ＝PA ＋PD ＋5，∵抛物线的对称轴是线段OA 的垂直平分线，点P 是抛物线对称轴上的一动点， ∴PO ＝PA ，因此，l ＝PA ＋PD ＋5＝PO ＋PD ＋5， ∴当PO ＋PD 最小时l 最小，∴当点P 移动到直线OD 与抛物线对称轴的交点处时PO ＋PD 最小， 设直线OD 的解析式为y ＝kx ，将D 点的坐标(10，5)代入得： 5＝10 k ，求得k ＝12，∴直线OD 的解析式为y ＝12x ，当x ＝5时，y ＝52，∴P 点的坐标是(5，52)．2. 解：(1)∵直线y ＝5x ＋5与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ， ∴A(－1，0)，C(0，5)．∵抛物线y ＝ax 2＋4x ＋c 过点A(－1，0)，C(0，5)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5a －4＋c ＝0， 解得c ＝5，a ＝－1，∴二次函数的表达式为y ＝－x 2＋4x ＋5.第2题解图①(2)如解图①，∵抛物线y ＝－x 2＋4x ＋5与x 轴交于A ，B 两点， ∴解－x 2＋4x ＋5＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝5. ∵点B 在x 轴正半轴， ∴B(5，0)．设过B(5，0), C(0，5)的直线BC 解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝0b ＝5， 解得k ＝－1，b ＝5，∴直线BC 表达式为y ＝－x ＋5. ∵DN ⊥x 轴，∴DN ∥y 轴．∵点N 在BC 上，点D 在抛物线上，设N(x ，y 1)，D(x ，y 2)， ∴N(x ，－x ＋5)，D(x ，－x 2＋4x ＋5)． ∴DN ＝－x 2＋4x ＋5－(－x ＋5)＝－x 2＋5x ＝－(x －52)2＋254.当x ＝52时，DN 有最大值254；(3)如解图②，作点H 关于y 轴的对称点H′，点M 关于x 轴的对称点M′，连接H′M′，分别交x 轴，y轴于点F 、E ，则四边形HEFM 的最小周长为HM ＋HE ＋EF ＋FM ＝HM ＋H′M′.∵y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9， ∴H(2，9)，第2题解图②∴H ′(－2，9)， 当x ＝4时，y ＝5， ∴M(4，5)， ∴M ′(4，－5)．设直线H′M′的解析式为y ＝k′x ＋b′，则⎩⎪⎨⎪⎧－2k′＋b′＝94k ′＋b′＝－5， 解得⎩⎨⎧k′＝－73b′＝133，∴直线H′M′的解析式为 y ＝－73x ＋133.当y ＝0时，x ＝137，13当x ＝0时，y ＝133， ∴E(0，133)．3. 解：(1)由y ＝x 2＋14得：A(0，14)∵B 、O 关于A 对称， ∴B(0，12)(2)如解图①，∵直线BC 过点B(0，12)，第3题解图①∴直线BC 解析式为 y ＝kx ＋12.∴C(－12k ，0)，又∵P 是直线l 上一点， ∴可设P(－12k，a)．过点P 作PN ⊥y 轴，垂足为N ，连接PB ，则在Rt △PNB 中，由勾股定理得： PB 2＝PN 2＋NB 2， ∵PB ＝PC ＝a ， ∴a 2＝(－12k )2＋(a －12)2，解得a ＝14k 2＋14，∴P 点坐标为(－12k ，14k 2＋14)，当x ＝－12k 时，y ＝14k 2＋14，第3题解图②(3)如解图②，由C′在y 轴上，可知∠CBP ＝∠C′BP ， ∵PB ＝PC ，∴∠CBP ＝∠PCB ， ∵PC ∥C ′B ，∴∠PCB ＝∠ABC ，∴∠C ′BP ＝∠CBP ＝∠ABC ＝60°， ∴△PBC 为等边三角形， ∵OB ＝12，∴BC ＝1，OC ＝32， ∴PC ＝1， ∴P(32，1)． 4. (1)解：当k ＝12时，y ＝x 2－2x ＋34，∵⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝－－22×1＝14ac －b 24a ＝4×1×34－（－2）24×1＝－14， ∴顶点坐标为(1，－14)，(2)证明：∵b 2－4ac ＝[－(2k ＋1)]2－4(k 2＋k) ＝4k 2＋4k ＋1－4k 2－4k ＝1， ∵1＞0，∴原方程一定有两个不相等的实根．(3)证明：由题意得，A(k ，0)，B(k ＋1，0)，C(0，k 2＋k)， 设PA 的解析式为：y ＝mx ＋n ，代入P(0，－1)，A(k ，0)， 解得m ＝1k ，n ＝－1，于是y ＝1kx －1，设BC 的解析式为：y ＝sx ＋t ，代入B(k ＋1，0)，C(0，k 2＋k)，解得s ＝－k ，t ＝k 2＋k ，于是y ＝－kx ＋k 2＋k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1k x －1y ＝－kx ＋k 2＋k ，解得Q 点坐标为(k ＋k 2k 2＋1，kk 2＋1)，运用勾股定理得AQ 2＝(k ＋k 2k 2＋1－k)2＋(k k 2＋1)2＝k 2k 2＋1，∵OA 2＝k 2，AB 2＝(k ＋1－k)2＝1 ∴1OA 2＋1AB 2＝k 2＋1k 2＝1AQ 2， ∴1OA 2＋1AB 2＝1AQ 2. 类型二 二次函数与图形面积问题∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝436a ＋6b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝3. (2)如解图①，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为点E ，点F ，设点C(x ，－12x 2＋3x)，则S △OAD ＝12OD·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4，S △BCD ＝12BD·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x)＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋(2x －4)＋(－x 2＋6x)＝－x 2＋8x.∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)． ∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.第5题解图①6. 解：(1)令x ＝0，得y ＝ax 2＋bx －3＝－3， ∴C(0，－3)，把(－1，0)和(3，0)代入y ＝ax 2＋bx －3中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝09a ＋3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x －3y ＝kx ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝k ＋2＋k 2＋4k ＋162y 1＝k 2＋2k ＋k k 2＋4k ＋162，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝k ＋2－k 2＋4k ＋162y 2＝k 2＋2k －k k 2＋4k ＋162，∵O 是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝0，即k ＋2＋k 2＋4k ＋162＋k ＋2－k 2＋4k ＋162＝0，解得k ＝－2，∴⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝－23 ， ⎩⎨⎧x 2＝－3y 2＝23，(3)不存在实数k 使得△ABC 的面积为3102.理由如下：假设存在实数k 使得△ABC 的面积为3102，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x －3y ＝kx ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝k ＋2＋k 2＋4k ＋162y 1＝k 2＋2k ＋k k 2＋4k ＋162，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝k ＋2－k 2＋4k ＋162y 2＝k 2＋2k －k k 2＋4k ＋162， 则A(k ＋2－k 2＋4k ＋162，k 2＋2k －k k 2＋4k ＋162)，B(k ＋2＋k 2＋4k ＋162，k 2＋2k ＋k k 2＋4k ＋162)，∴S △ABC ＝12OC(x B －x A )＝3102，∴3×k 2＋4k ＋16＝310，∴k 2＋4k ＋16＝10，即k 2＋4k ＋6＝0，∵b 2－4ac ＝16－24<0， ∴此方程无解，故不存在实数k 使得△ABC 的面积为3102.7. 解：(1)y ＝23x 2＋43x －2.【解法提示】∵抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于点A(－3，0)，B(1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b －2＝0a ＋b －2＝0，解得⎩⎨⎧a ＝23b ＝43，∴抛物线的函数解析式为y ＝23x 2＋43x －2，(2)由抛物线解析式知：C(0，－2)，∴E(0，2)，∵AB ＝4，M 为AB 中点， ∴OM ＝1，∴MC ＝OC 2＋OM 2＝5，∵∠EDC ＝∠MOC, ∠DCE ＝∠OCM ， ∴△CMO ∽△CED, ∴CD CO ＝CE CM ， ∴CD 2＝45，∴CD ＝855.(3)y ＝23x 2＋43x －2＝23(x ＋1)2－83，∵抛物线向上平移32个单位长度，∴平移后抛物线解析式为y ＝23(x ＋1)2－83＋32，即y ＝23(x ＋1)2－76，第7题解图如解图，过点D 作DH ⊥y 轴，过点P 作PG ⊥y 轴，连接PD ，PE ，设点P 的横坐标为x. ∵△CMO ∽△CDH, ∴CM CD ＝OM HD ＝CO CH ， 即5855＝1DH ＝2CH ， ∴DH ＝85，CH ＝165，∴OH ＝CH －CO ＝165－2＝65，∴EH ＝OE －OH ＝2－65＝45，∴S △PDE ＝S 梯形DPGH ＋S △DHE －S △PEG＝12(85－x)[65－23(x ＋1)2＋76] ＋12×85×45－12(－x)[2－23(x ＋1)2＋76] ＝－45[23(x ＋1)2－76]＋25x ＋85＝－815x 2－23x ＋2＝－815(x ＋58)2＋5324∵点P 位于平移后的抛物线上且位于第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧23（x ＋1）2－76＜0x ＜0，解得x 的取值范围为－1－72＜x ＜0. 即：S ＝－815(x ＋58)2＋5324(－1－72＜x ＜0)，∴当x ＝－58时，△PDE 的面积最大为5324.8. 解：(1)由题意知，A(3，3)在二次函数y ＝x 2＋bx 图象上，将x ＝3，y ＝3代入得9＋3b ＝3， 解得b ＝－2，∴二次函数表达式为y ＝x 2－2x.第8题解图①(2)如解图①所示，过点P 作PB ⊥QQ 1于点B ，∵PQ ＝22，且在直线y ＝x 上， ∴PB ＝QB ＝2 ，设P(a ，a)，则Q(a ＋2，a ＋2)，则P 1(a ，a 2－2a)，Q 1(a ＋2，(a ＋2)2－2(a ＋2))，即Q 1(a ＋2，a 2＋2a)，所以四边形PQQ 1P 1的面积为： S ＝2×（a －a 2＋2a ）＋（a ＋2－a 2－2a ）2＝－2a 2＋2a ＋2 ＝－2(a －12)2＋52，当Q 运动到点A 时，OP ＝OQ －PQ ＝2，a ＝1.∴a 的取值范围为0＜a ＜1.∴当a ＝12时，四边形PQQ 1P 1的面积最大，最大值为52.(3)存在，点E 的坐标为E 1(43，43)，E 2(143，143)，如解图②所示，连接OM ，∵点M 为抛物线顶点， ∴M(1，－1)，又∵OA 所在直线为y ＝x ， ∴OM ⊥OA ，即∠AOM ＝90°，在△AOF 和△AOM 中，以OA 为底，当面积相等时，则两三角形OA 边上的高相等，又∵OM ⊥OA ，且OM ＝2，∴可作两条与OA 互相平行且距离为2的直线，如解图②所示，在直线HD 、MC 上的点F 均满足S △AOF ＝S △AOM ，∴只需满足E 点的对称点F 在这两条直线上即可，如解图②，过点A 作AC ⊥MC 于点C ，易求四边形OACM 为矩形，AM 为该矩形的一条对角线，取AM 中点O′，过O′作AM 垂线，交OA 于点E 1，交MC 于点F 1，OA ＝32，∴AM ＝OA 2＋OM 2＝25，∴AO ′＝5，则△AO′E 1∽△AOM ， ∴AO′AO ＝AE 1AM ＝AO －OE 1AM ， ∴532＝32－OE 125，第8题解图②解得OE 1＝423，∵点E 1在y ＝x 上， ∴E 1(43，43)，同理可得HF 2＝GE 2＝423，又∵OG ＝2OA ＝62， ∴OE 2＝62－423＝1423，∴ E 2(143，143)．综上所述，符合条件的E 点的坐标为：E 1(43，43)、E 2(143，143)．9. 解：(1)把A(－3，0)，B(9，0)，C(0，4)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得 ⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝081a ＋9b ＋c ＝0c ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－427b ＝89c ＝4，∴二次函数的表达式为y ＝－427x 2＋89x ＋4，由题意得－427x 2＋89x ＋4＝4，解得x 1＝0，x 2＝6，∴点D 的坐标为(6，4)．(2)∵－b2a ＝－89－827＝3，4ac －b 24a ＝－6427－6481－1627＝163，∴顶点F 的坐标为(3，163)，如解图①易知FO 1＝OC ＝4，A 1O 1＝AO ＝3，FH ＝163－4＝43.第9题解图①∵GH ∥AE ，∴GH ∥A 1O 1， ∴GH A 1O 1＝FHFO 1， 即GH 3＝434， ∴GH ＝1，∴S 四边形A 1O 1HG ＝S △FA 1O 1－S △FGH ＝12×3×4－12×1×43＝163.(3)如解图②，当0＜t ≤3时，OO 2＝t ，△OO 2G ∽△OED ， ∴GO 2DE ＝OO 2OE ， ∴GO 24＝t6， ∴GO 2＝23t ，∴S ＝12×t ×23t ＝13t 2(0＜t ≤3)；第9题解图②第9题解图③如解图③，当3＜t ≤6时，设A 2C 2与OD 交于点M ，作MG ⊥CD ，延长GM 交x 轴于点H ，则GH ⊥x轴．易知△C 2MD ∽△A 2MO ，△DMG ∽△OMH ，△ODE ∽△ONO 2，C 2D ＝6－t ，OA 2＝t －3，O 2O ＝t ，GH ＝4，O 2E ＝6－t ，∴GM MH ＝DM OM ＝C 2D OA 2，NO 2DE ＝OO 2OE ， ∴4－MH MH ＝6－t t －3，NO 24＝t6， ∴MH ＝4（t －3）3，NO 2＝23t ，∴S 四边形A 2O 2NM ＝S △ODE －S △OA 2M －S 梯形NO 2ED ＝12－12(t －3)×4（t －3）3－（2t3＋4）（6－t ）2＝12－23t 2＋4t －6－2t ＋t 23－12＋2t＝－13t 2＋4t －6(3＜t ≤6)．综上所述，S 与t 之间的函数表达式为S ＝⎩⎨⎧13t 2（0＜t ≤3）－13t 2＋4t －6（3＜t ≤6）.类型三 二次函数与特殊三角形判定问题10. 解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝－1a ＋b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，第10题解图∴抛物线解析式为y ＝－x 2－2x ＋3. ∵对称轴为x ＝－1，抛物线经过 A(1，0)，∴B(－3，0)．把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y ＝mx ＋n 得，⎩⎪⎨⎪⎧－3m ＋n ＝0n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝3，∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3.(2)如解图，设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，连接AM ， ∵MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC ＝BC.∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点． 把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2. ∴点M(－1，2)．(3)设P(－1，t)，结合B(－3，0)，C(0，3)，得BC 2＝18， PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10. ①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2， 即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2； ②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2， 即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4； ③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18.解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172.综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．11. (1)解：当x ＝0时，y ＝ax 2＋bx －3＝－3， ∴C(0，－3)，即OC ＝3， ∵OB ＝OC ＝3OA ， ∴OB ＝3，OA ＝1， ∴A(－1，0)，B(3，0)，将点A(－1，0)，点B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx －3得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝09a ＋3b －3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)证明：由y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4可得E(1，－4)， 当x ＝0时，由直线y ＝－13x ＋1得y ＝1，∴D(0，1)，即OD ＝1， ∴BD ＝OD 2＋OB 2＝10， ∴CE ＝2，BE ＝25，BC ＝32， ∴在△ODB 和△CEB 中， 有DB EB ＝DO EC ＝BO BC ＝22， ∴△DBO ∽△EBC.(3)解：存在点P ，使得△PBC 是等腰三角形，点P 的坐标分别为：P 1(1，－1)，P 2(1，－3＋17)，P 3(1，－3－17)，P 4(1，14)，P 5(1，－14)．【解法提示】如解图，过点P 作PG ⊥y 轴于G ，设抛物线对称轴与x 轴的交点为M ，设P(1，a)， 则PG ＝1，GC ＝a ＋3，PM ＝a ，∴PC 2＝1＋(a ＋3)2，PB 2＝4＋a 2，CB 2＝3(2)2＝18， 当P 是等腰三角形顶点时，PC 2＝PB 2， 即1＋(a ＋3)2＝4＋a 2， 解得a ＝－1， ∴P 1(1，－1)；当C 是等腰三角形顶点时，PC 2＝CB 2， 即1＋(a ＋3)2＝18，第11题解图解得a 1＝－3＋17，a 2＝－3－17 ∴P 2(1，－3＋17)， P 3(1，－3－17)；当B 是等腰三角形顶点时，PB 2＝CB 2， 即4＋a 2＝18，解得a 1＝14，a 2＝－14， ∴P 4(1，14)，P 5(1，－14)．∴存在点P ，使得△PBC 是等腰三角形，点P 的坐标分别为：P 1(1，－1)，P 2(1，－3＋17)，P 3(1，－3－17)，P 4(1，14)，P 5(1，－14)．12. 解：(1)解法一：把C(0，3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得c ＝3， 把B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋3， 得9a ＋3b ＋3＝0，又∵－b2a ＝1，∴a ＝－1，b ＝2，∴抛物线L 的解析式是y ＝－x 2＋2x ＋3.解法二：设所求抛物线L 的解析式为：y ＝m(x －1)2＋n ，把B(3，0)，C(0，3)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋n ＝0m ＋n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝4，∴抛物线L 的解析式是y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)第12题解图①解法一：由y ＝－(x －1)2＋4得抛物线的顶点D(1，4)，如解图①，过点D 作y 轴的平行线分别交CB ，OB 于点E 、F ， 则EF OC ＝BFBO，∴EF ＝2， ∴4－2≤h ≤4，即2≤h ≤4.(3)能，设P(x ，－x 2＋2x ＋3)，如解图②，过点P 分别作x 轴、直线l 的垂线，第12题解图②垂足分别是点M ，N ， ∵∠PMB ＝∠PNQ ＝90°， ∵∠QPB ＝90°，∠BPM ＝∠QPN ，PB ＝PQ ， ∴△PMB ≌△PNQ(AAS )，∴PM ＝PN.①当点P 在x 轴上方时，－x 2＋2x ＋3＝x ＋3， 即x 2－x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1， ∴P 1(0，3)，P 2(1，4)；②当点P 在x 轴下方时，－x 2＋2x ＋3＝－(x ＋3)，即x 2－3x －6＝0，解得x ＝3±（－3）2－4×1×（－6）2＝3±332，∴P 3(3－332，－9－332)，P 4(3＋332，－9＋332)，∴满足条件的点P 有四个点，分别是P 1(0，3)，P 2(1，4)，P 3(3－332，－9－332)，P 4(3＋332，－9＋332)．13. 解：(1)把B(3，0)，C(0，3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋n(m ≠0)， 将点B(3，0)，C(0，3)分别代入得，⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝0n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3， 设M(a ，a 2－4a ＋3)，则N(a ，－a ＋3)， MN ＝－a ＋3－(a 2－4a ＋3) ＝－a ＋3－a 2＋4a －3 ＝－a 2＋3a ＝－(a －32)2＋94.对于y ＝x 2－4x ＋3，令y ＝0，则x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A(1，0)，B(3，0)，∵M 是抛物线在x 轴下方的动点， ∴1＜a ＜3， 又∵1＜32＜3，∴当a ＝32时，MN 的最大值为94.(3)存在，点P 的坐标分别为：P 1(2，32＋172)，P 2(2，32－172)，P 3(2，142)、P 4(2，－142)、P 5(2，12)．【解法提示】当线段MN 最长时，N(32，32)，设此时直线MN 与x 轴交于点D ，又点B(3，0)， 则BN 2＝DN 2＋DB 2＝(32)2＋(3－32)2＝92.(i )当BN 为腰长时，又分两种情形： ①当点N 为等腰三角形顶角的顶点时，以点N 为圆心，BN 的长为半径画圆，与抛物线的对称轴有两个交点P 1，P 2，如解图． 由抛物线y ＝x 2－4x ＋3知，其对称轴为直线x ＝2， ∴P 1E 2＋NE 2＝P 1N 2＝BN 2，即(2－32)2＋NE 2＝92，解得NE ＝172.∴此时P 1(2，32＋172)，P 2(2，32－172)；第13题解图②当点B 为等腰三角形顶角的顶点时，以点B 为圆心，BN 的长为半径画圆，与抛物线的对称轴也有两个交点P 3、P 4， 同理可得P 3(2，142)，P 4(2，－142)； (ii )当BN 为底边时，作线段BN 的中垂线与对称轴交于一点P 5，如解图． 由点N(32，32)，B(3，0)，得线段BN 的中点F(94，34)，设过点F ，且与BC 垂直的直线P 5F 的解析式为y ＝x ＋q ， 则94＋q ＝34，解得q ＝－32， ∴直线P 5F 的解析式为y ＝x －32，当x ＝2时，y ＝2－32＝12，∴点P 5(2，12)．综上所述，存在满足题意的点P 共有五个，即P 1(2，32＋172)，P 2(2，32－172)，P 3(2，142)，P 4(2，－142)，P 5(2，12)． 14. 解：(1)当y ＝0时，－12x 2＋32x ＋2＝0，解得x 1＝4，x 2＝－1，则A(－1，0)，B(4，0)，当x ＝0时，y ＝2，则C(0，2)．(2)依题意知点D 坐标为 (0，－2)，设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋b ，将D(0，－2)和B (4，0)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－24k ＋b ＝0 ，解得k ＝12，b ＝－2，∴直线BD 的解析式为y ＝12x －2.(3)易知CD ∥QM ，若CD ＝QM ，则四边形CQMD 为平行四边形． ∵P(m ，0)，∴y Q ＝－12m 2＋32m ＋2，y M ＝12m －2，则QM ＝(－12m 2＋32m ＋2)－(12m －2)，∵CD ＝4，∴(－12m 2＋32m ＋2)－(12m －2)＝4，解得m ＝2或m ＝0(舍去)，故当m ＝2时，四边形CQMD 为平行四边形． (4)存在，设点Q 的坐标为(m ，－12m 2＋32m ＋2)，则BQ 2＝(4－m)2＋(－12m 2＋32m ＋2)2，DQ 2＝m 2＋[(－12m 2＋32m ＋2)＋2]2, BD 2＝42＋22＝20.①当以点B 为直角三角形的直角顶点时，则有DQ 2＝BQ 2＋BD 2， ∴m 2＋[(－12m 2＋32m ＋2)＋2]2＝(4－m)2＋(－12m 2＋32m ＋2)2＋20，解得m 1＝3, m 2＝4.∴点Q 的坐标为(3，2)，(4，0)(舍去)；②当以点D 为直角三角形的直角顶点时，则有BQ 2＝DQ 2＋BD 2. ∴(4－m)2＋(－12m 2＋32m ＋2)2＝m 2＋[(－12m 2＋32m ＋2)＋2]2＋20，解得m 3＝－1, m 4＝8.∴点Q 的坐标为(－1，0)，(8，－18)，综上所述，所求点Q 的坐标为(3，2)，(－1，0)，(8，－18)． 类型四 二次函数与特殊四边形判定问题15. 解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)，B(3，0)两点，第15题解图①∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0－9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝3， ∴经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)如解图①，连接PC ，PE.对称轴x ＝－b 2a ＝－22×（－1）＝1，当x ＝1时，y ＝－1＋2＋3＝4，∴点D 的坐标为(1，4)，设直线BD 的解析式为：y ＝mx ＋n ，将B(3，0)、D(1，4)分别代入表达式，⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝0m ＋n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝6，则直线BD 的解析式为y ＝－2x＋6，设P 的坐标为(x 0，－2x 0＋6)，∴由勾股定理可得PC 2＝x 20＋[3－(－2x 0＋6)]2，PE 2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋6)2， ∵PC ＝PE ，∴x 20＋(3＋2x 0－6)2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋6)2， 解得x 0＝2，y 0＝－2×2＋6＝2， ∴P 的坐标为(2，2)．(也可证△DCB ，△DEB 为直角三角形，则P 为斜边BD 的中点，或先求CE 的垂直平分线的函数关系式，则点P 是CE 的垂直平分线与BD 的交点)(3)依题意设M 的坐标为(a ，0)，则G 坐标为(a ，－a 2＋2a ＋3)．第15题解图②如解图②，以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，必有FM ＝MG ， ∴|2－a|＝|－a 2＋2a ＋3|， ① 2－a ＝－(－a 2＋2a ＋3)， 解得a ＝1±212，② 2－a ＝－a 2＋2a ＋3， 解得a ＝3±132，∴M 点的坐标为(1－212，0)，(1＋212，0)，(3－132，0)，(3＋132，0)．16. 解：(1)根据题意得，A(－5，0)，B(3，0)在x 轴上， 设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋5)(x －3)． ∵抛物线过点(0，5)， ∴a ＝－13.∴抛物线的解析式为y ＝－13(x ＋5)(x －3)＝－13x 2－23x ＋5.(2)如解图，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，∵OA ＝5，OC ＝5， ∴∠CAO ＝45°.设AF 的长为m ，则DF ＝22m ，ME ＝AE ＝m ＋1. ∴sin ∠AMF ＝DFMF， ∴MF ＝DFsin ∠AMF＝10×22m 10＝5m. 在Rt △MEF 中，FM 2＝ME 2＋EF 2，∴(5m)2＝(m ＋1)2＋12，第16题解图解得m 1＝1，m 2＝－12(不符合题意，舍去)．∴AF ＝1，∴点Q 的横坐标为－4. 又∵点Q 在抛物线 y ＝－13x 2－23x ＋5上，∴Q(－4，73)．(3)设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋n(k ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－5k ＋n ＝0n ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1n ＝5，∴直线AC 的解析式为y ＝x ＋5.由题知，点Q ，N ，F 及点P ，M ，E 的横坐标分别相同． 设F(t ，0)，E(t ＋1，0)，点M ，N 均在直线y ＝x ＋5上， ∴N(t ，t ＋5)，M(t ＋1，t ＋6)，∵点P ，Q 在抛物线y ＝－13x 2－23x ＋5上，∴Q(t ，－13t 2－23t ＋5)，P(t ＋1，－13t 2－43t ＋4)，在矩形平移过程中，以P 、Q 、N 、M 为顶点的平行四边形有两种情况：①点Q 、P 在直线AC 的同侧时，QN ＝PM. ∴(－13t 2－23t ＋5)－(t ＋5)＝(－13t 2－43t ＋4)－(t ＋6)，解得t ＝－3. ∴M(－2，3)．②点Q ，P 在直线AC 的异侧时，QN ＝MP. ∴(－13t 2－23t ＋5)－(t ＋5)＝(t ＋6)－(－13t 2－43t ＋4)，解得t 1＝－3＋6，t 2＝－3－6，∴M(－2＋6，3＋6)或(－2－6，3－6)．∴符合条件的点M 是(－2，3)，(－2＋6，3＋6)或(－2－6，3－6)． 17. 解：(1)∵平行四边形ABOC 绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A 的坐标是(0，4)，∴点A′的坐标为(4，0)，设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将点A(0，4)， C(－1，0)，A ′(4，0)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0c ＝416a ＋4b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3c ＝4，∴此抛物线的解析式为y ＝－x 2＋3x ＋4.第17题解图①(2)如解图①，连接AA′，设直线AA′的解析式为y ＝kx ＋b ，将A(0，4)，A ′(4，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝44k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝4，∴直线AA′的解析式为y ＝－x ＋4，过M 作ME ⊥x 轴，交直线AA′于点E ，则E(x ，－x ＋4)， 设点M 的坐标为：(x ，－x 2＋3x ＋4)，则S △AMA ′＝S △AME ＋S △A ′ME ＝12ME·OA′＝12×4×[－x 2＋3x ＋4－(－x ＋4)]＝－2x 2＋8x ＝－2(x －2)2＋8，∴当x ＝2时，△AMA ′的面积最大，最大值S △AMA ′＝8，∴M 的坐标为(2，6)．(3)设点P 的坐标为(x ，－x 2＋3x ＋4)，当P ，N ，B ，Q 构成平行四边形时， ∵平行四边形ABOC 中，点A 、C 的坐标分别是(0，4)、(－1，0)， ∴点B 的坐标为(1，4)，∵点Q 坐标为(1，0)，P 为抛物线上一动点，N 为x 轴上的一动点，如解图②，第17题解图②①当BQ 为边时，PN ∥BQ ，PN ＝BQ ， ∵BQ ＝4，∴－x 2＋3x ＋4＝±4，当－x 2＋3x ＋4＝4时，解得 x 1＝0，x 2＝3，∴P 1(0，4)，P 2(3，4)当－x 2＋3x ＋4＝－4时，解得 x 3＝3＋412，x 4＝3－412，∴P 3(3＋412，－4)，P 4(3－412，－4)；②当PQ 为对角线时，BP ∥QN 即BP ∥x 轴，BP ＝QN ，此时P 与P 1，P 2重合． 当这个平行四边形为矩形时，即P 1(0，4)，P 2(3，4)时，N 1(0，0)，N 2(3，0)． 综上可得：点P 的坐标为：P 1(0，4)，P 2(3，4)，P 3(3＋412，－4)，P 4(3－412，－4)．当这个平行四边形为矩形时，点N 的坐标为(0，0)或(3，0)．18. 解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，将点A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－52)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝025a ＋5b ＋c ＝0c ＝－52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－2c ＝－52， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－2x －52.(2)由题意知，点A 关于抛物线对称轴的对称点为点B ，连接BC 交抛物线的对称轴于点P ，如解图，则P 点即为所求．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b 1(k ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b 1＝0b 1＝－52，解得⎩⎨⎧k ＝12b1＝－52，第18题解图∴直线BC 的解析式为 y ＝12x －52. ∵抛物线y ＝12x 2－2x －52的对称轴是x ＝2，∴当x ＝2时，y ＝12x －52＝12×2－52＝－32，∴点P 的坐标是(2，－32)．(3)存在．(i )当存在的点N 在x 轴的下方时，如解图所示， ∵四边形ACNM 是平行四边形， ∴CN ∥x 轴，∴点C 与点N 关于对称轴x ＝2对称， ∵C 点的坐标为(0，－52)，∴点N 的坐标为(4，－52)；(ii )当存在的点N′在x 轴上方时，如解图所示，作N′H ⊥x 轴于点H ， ∵四边形ACM′N′是平行四边形，∴AC ＝M′N′，∠N ′M ′H ＝∠CAO ，∠AOC ＝∠M′HN′， ∴Rt △CAO ≌Rt △N ′M ′H(AAS )， ∴N ′H ＝OC.∵点C 的坐标为(0，－52)，∴N ′H ＝52，即N′点的纵坐标为52，∴12x 2－2x －52＝52， 解得x 1＝2＋14，x 2＝2－14.∴点N′的坐标为(2－14，52)或(2＋14，52)．综上所述，满足题目条件的点N 共有三个，分别为 (4，－52)，(2＋14，52)，(2－14，52)．19. 解：(1)把点C(0，－83)代入y ＝a(x ＋1)2－3，得－83＝a －3，解得a ＝13，∴y ＝13(x ＋1)2－3，当y ＝0时，有13(x ＋1)2－3＝0，∴x 1＝2，x 2＝－4，第19题解图①∴A(－4，0)，B(2，0)． (2)如解图①，连接CH ， ∵A(－4，0)，B(2，0)， C(0，－83)，D(－1，－3)， H(－1，0)，∴S 四边形ABCD ＝S △AHD ＋S △HCD ＋S △BHC ＝12×3×3＋12×3×1＋12×3×83＝10，根据条件分析，直线l 只能与边AD 或边BC 相交，有以下两种情况： (i )如解图①，当直线l 与边AD 相交于点M 1时，则S △AHM 1＝310×10＝3，∴12×3×(－yM 1)＝3， ∴yM 1＝－2，∵A(－4，0)，D(－1，－3)，∴直线AD 的解析式为y ＝－x －4， ∴M 1(－2，－2)，过点H(－1，0)和M 1(－2，－2)的直线l 的解析式为y ＝2x ＋2；第19题解图②(ii )如解图②，当直线l 与边BC 相交与点M 2时，同理可得点M 2(12，－2)，过点H(－1，0)和M 2(12，－2)的直线l 的解析式为y ＝－43x －43.综上所述：直线l 的函数表达式为y ＝2x ＋2或y ＝－43x －43.(3)以DP 为对角线的四边形DMPN 能成为菱形．设P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)且过点H(－1，0)的直线PQ 的解析式为y ＝kx ＋b ， ∴－k ＋b ＝0， ∴b ＝k ， ∴y ＝kx ＋k. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k y ＝13x 2＋23x －83， 得13x 2＋(23－k)x －k －83＝0， ∴x 1＋x 2＝－2＋3k ，y 1＋y 2＝kx 1＋k ＋kx 2＋k ＝3k 2， ∵点M 是线段PQ 的中点，∴由中点坐标公式得点M(32k －1，32k 2)．第19题解图③假设存在这样的N 点如解图③，直线DN ∥PQ ，设直线DN 的解析式为y ＝kx ＋k －3， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k －3y ＝13x 2＋23x －83， 解得x 1＝－1(舍去)，x 2＝3k －1， ∴N(3k －1，3k 2－3)， ∵四边形DMPN 是菱形， ∴DN ＝DM ， ∴DN 2＝DM 2，即 (3k)2＋(3k 2)2 ＝(3k 2)2＋(32k 2＋3)2，整理得：3k 4－k 2－4＝0，即(k 2＋1)(3k 2－4)＝0， ∵k 2＋1＞0， ∴3k 2－4＝0， 解得k ＝±233，∵k ＜0， ∴k ＝－233，∴N(－23－1，1)，∴以DP 为对角线的四边形DMPN 能成为菱形，此时点N 的坐标为(－23－1，1)． 类型五 二次函数与三角形相似、全等问题20. (1)【思路分析】已知抛物线的顶点坐标，利用顶点式代入抛物线上的点O ，求出抛物线解析式，再与直线解析式联立得方程组，即可求得点C 的坐标．解：由题可知，抛物线的顶点为A(1，1)，设抛物线的解析式为y ＝a(x －1)2＋1(a ≠0)， ∵抛物线经过原点O(0，0)，∴将O(0，0)代入，得0＝a(0－1)2＋1， 解得a ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝－(x －1)2＋1＝－x 2＋2x. ∵直线y ＝x －2与抛物线交于B 、C 两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2y ＝－x 2＋2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3， ∴B(2，0)，C(－1，－3).(2)【思路分析】要证明△ABC 是直角三角形，分别计算三角形各边的长度，利用勾股定理的逆定理即可判断．证明：由(1)知，A(1，1)，B(2，0)，C(－1，－3)，第20题解图①如解图①，由两点距离公式，则AF ＝2，CF ＝4，CD ＝3，BD ＝3，BE ＝1，AE ＝1， 在Rt △ABE 中，AB ＝AE 2＋BE 2＝2， 在Rt △BCD 中，BC ＝BD 2＋CD 2＝32， 在Rt △ACF 中，AC ＝AF 2＋CF 2＝25， 在△ABC 中，AB 2＋BC 2＝(2)2＋(32)2＝20， AC 2＝(25)2＝20，第20题解图②∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形.(3)【思路分析】要求是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似，由题知，N 点在x 轴上，M 点在抛物线上，可设出N 点坐标，得到由未知数x 表示的M 点坐标，由(2)知△ABC 的边长，利用三角形相似，列出比例关系式求得N 点坐标．由于N 点的位置不定，需进行分类讨论．解：存在．设N(x ，0)，则M(x ，－x 2＋2x)， 由(2)知，AB ＝2，BC ＝32， 分两种情况讨论：①若点N 在点B 右侧，即x ＞2，x 与－x 2＋2x 异号，如解图③，△ONM 与△ABC 相似，则M 1N 1ON 1＝AB BC 或M 2N 2ON 2＝BC AB， 即x 2－2x x ＝232 或x 2－2x x ＝322，解两方程可得x 的值为x 1＝73，x 2＝5，x 3＝0(舍去)．∴N 的坐标为(73，0)或(5，0)；第20题解图③第20题解图④②若点N 在点B 左侧，即x ＜2，x 与－x 2＋2x 同号，如解图④，△ONM 与△ABC 相似，则M 3N 3ON 3＝AB BC 或 M 4N 4ON 4＝BC AB， 即－x 2＋2x x ＝232 或 x 2－2x －x ＝322，解两方程可得x 的值为x 1＝53，x 2＝－1，x 3＝0(舍去)，∴N 的坐标为(53，0)或(－1，0)．综上所述，存在满足条件的点N 的坐标为(73，0)或(5，0)或(53，0)或(－1，0)．21. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －8经过点A(－2，0)，D(6，－8)，将A 、D 两点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b －8＝036a ＋6b －8＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－3，∴抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－3x －8.∵y ＝12x 2－3x －8＝12(x －3)2－252， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝3，又∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为(－2，0)，∴点B 的坐标为(8，0)，设直线l 的函数表达式为y ＝kx ，∵点D(6，－8)在直线l 上，代入得6k ＝－8，解得k ＝－43， ∴直线l 的函数表达式为y ＝－43x. ∵点E 为直线l 和抛物线对称轴的交点，∴点E 的横坐标为3，纵坐标为－43×3＝－4， 即点E 的坐标为(3，－4)．(2)抛物线上存在点F ，使△FOE ≌△FCE.点F 的坐标为(3－17，－4)，(3＋17，－4)．【解法提示】假设存在，由全等的性质得FO ＝FC ，∴点F 的纵坐标y F ＝12y c ， 令抛物线的解析式y ＝12x 2－3x －8中x ＝0，则y ＝－8， ∴C(0，－8)，即y C ＝－8，∴y F ＝－4，将y F ＝－4代入抛物线解析式得12x 2－3x －8＝－4， 解得x 1＝3＋17，x 2＝3－17，∴F 坐标为(3＋17，－4)，(3－17，－4)，∴抛物线上存在点F 使得△FOE ≌△FCE.(3)需分两种情况进行讨论：①当OP ＝OQ 时，△OPQ 是等腰三角形，第21题解图①∵点E 的坐标为(3，－4)，∴OE ＝32＋（－4）2＝5，如解图①，过点E 作直线ME ∥PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ， 则OM OP ＝OE OQ， ∴OM ＝OE ＝5，∴点M 的坐标为(0，－5)，设直线ME 的函数表达式为y ＝k 1x －5，将点E(3，－4)代入得3k 1－5＝－4，解得k 1＝13， ∴直线ME 的函数表达式为y ＝13x －5， 令y ＝0，得13x －5＝0， 解得x ＝15，∴点H 的坐标为(15，0)．又OP OM ＝OB OH ， ∴－m 5＝815， ∴m ＝－83；第21题解图②②当QO ＝QP 时，△OPQ 是等腰三角形，延长CE ，交x 轴于点N ，如解图②，当x ＝0时，y ＝12x 2－3x －8＝－8， ∴点C 的坐标为(0，－8)，∴CE ＝32＋（8－4）2＝5，又∵OE ＝32＋42＝5，∴OE ＝CE ，∴∠1＝∠2，∵QO ＝QP ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE ∥PB ，。
2015中考二次函数的综合题与应用_答案
2015湖南中考复习二次函数的综合题及应用考点一：确定二次函数关系式例1 （1）如图，已知二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，-3） （1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标．思路分析：（1）利用待定系数法把A （1，0），C （0，-3）代入）二次函数y=x 2+bx+c 中，即可算出b 、c的值，进而得到函数解析式是y=x 2+2x-3；（2）首先求出A 、B 两点坐标，再算出AB 的长，再设P （m ，n ），根据△ABP 的面积为10可以计算出n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出m 的值即可得到P 点坐标．解：（1）∵二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，-3），∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴二次函数的解析式为y=x 2+2x-3；（2）∵当y=0时，x 2+2x-3=0，解得：x 1=-3，x 2=1；∴A （1，0），B （-3，0）， ∴AB=4，设P （m ，n ），∵△ABP 的面积为10， ∴12AB •|n|=10， 解得：n=±5，当n=5时，m 2+2m-3=5， 解得：m=-4或2，∴P （-4，5）（2，5）；当n=-5时，m 2+2m-3=-5， 方程无解，故P （-4，5）（2，5）；点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．（2）在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴的负半轴相交于点C ，如图3-3，点C 的坐标为（0，－3），且BO ＝CO （1） 求这个二次函数的解析式；（2） 设这个二次函数的图象的顶点为M ，求AM 的长.【考点要求】本题考查二次函数解析式的确定。
【思路点拨】由题目条件，可用待定系数法求解析式（1）(0,3),|3|3,3C OC c -=-=∴=-Q ，OC BO =Q 又，，9330,630,2b b b +-=+==-。