初中数学_图形运动问题_动点问题
专题11运动问题(动点、动直线、动线段)
专题十一：运动问题（动点、动直线、动线段）题型特征：1.动点问题是动态问题的一种，主要体现在题目中有一点或一条直线是不断发生变化的，而且这些点和直线都有一个固定的运动轨迹和运动范围。
2.这些动态问题常常与相似问题，面积问题，函数问题结合在一起来综合设题。
3.动态问题主要出在最后一道压轴题中，有时也出现在填空、选择中。
解题策略：1.求最大值问题主要方法是将几何问题转化为代数中的函数问题，这是指导我们思路的灵魂。
为了实现这种转化，就要把静止转化为运动，把位置关系转化为数量关系，得出函数的解析式。
2.面积问题的解决有两种途径：a 规则图形求面积主要是公式法（寻找所需线段的长〔利用相似，勾股定理等等），带入公式即可）b 不规则图形求面积主要是应用割补法，也就是把图形分成几个规则且易求变长的图形，然后相加或将图形补上一部分，然后用整体减去部分即可。
3.存在性问题：动点问题往往与存在性问题结合在一起来考察，主要方法是先假设存在，再根据已知求解若出现矛盾则说明结论不存在。
一、动点问题角度一：[从寻找满足条件的点的位置角度] 例1：（2006湖南长沙卷）如图1，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于A B ，两点．（1）求AB ，两点的坐标； （2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．[解] （1）解：依题意得216412y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解之得12126432x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩图2图1(63)(42)A B ∴--，，，（2）作AB 的垂直平分线交x 轴，y 轴于C D ，两点，交AB 于M （如图1） 由（1）可知：OA OB ==AB ∴=12OM AB OB ∴=- 过B 作BE x ⊥轴，E 为垂足由BEO OCM △∽△，得：54OC OM OC OBOE=∴=，，同理：55500242OD C D ⎛⎫⎛⎫=∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，设CD 的解析式为(0)y kx b k =+≠ 52045522k k b b b ⎧==+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩ AB ∴的垂直平分线的解析式为：522y x =-． （3）若存在点P 使APB △的面积最大，则点P 在与直线AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线12y x m =-+上，并设该直线与x 轴，y 轴交于G H ，两点（如图2）．212164y x m y x ⎧=-+⎪⎪∴⎨⎪=-+⎪⎩ 2116042x x m ∴-+-= 抛物线与直线只有一个交点，2114(6)024m ⎛⎫∴--⨯-= ⎪⎝⎭， 2523144m P ⎛⎫∴=∴ ⎪⎝⎭， 在直线12524GH y x =-+：中，25250024G H ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，GH ∴= 设O 到GH 的距离为d ，图2图111221125252224GH d OG OH d AB GH ∴=∴=⨯⨯∴=，∥P ∴到AB 的距离等于O 到GH 的距离d ．例2：(2006浙江临安) 如图，△OAB是边长为2+的等边三角形，其中O 是坐标原点，顶点B 在y 轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A 落在边OB 上，记为A′，折痕为EF. （1）当A′E//x 轴时，求点A′和E 的坐标； （2）当A′E//x 轴，且抛物线216y x bx c =-++经过点A′和E 时，求抛物线与x 轴的交点的坐标； （3）当点A′在OB 上运动，但不与点O、B 重合时，能否使△A′EF 成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.解：（1）由已知可得∠A ，OE=60o , A ，E=AE由A′E//x 轴,得△OA ，E 是直角三角形，设A ，的坐标为（0，b） AE=A ，,OE=2b22b +=所以b=1，A ，、E，1） --------3分（1） 因为A ，、E在抛物线上，所以21116c c =⎧⎪⎨=-+⎪⎩所以1c b =⎧⎪⎨⎪⎩21166y x x =-++由21106x -+=得12x x ==与x轴的两个交点坐标分别是（--------6分（2） 不可能使△A′EF 成为直角三角形。
【初中数学】【动点问题专题】
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NGPOAB图1x y∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠AEDCB 图2A3(2)3(1)ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 动点三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. ABCO 图8HC动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
你知道初中动点问题的公式和答题思路以及过程吗
你知道初中动点问题的公式和答题思路以及过程吗
动点问题一直是近几年中考的高频考点，也是中考试题中的难点。
图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
现在数学测试卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．
常见方法
1.特殊探究，一般推证。
2.动手实践，操作确认。
3.建立联系，计算说明。
解题关键：动中求静。
初中数学动点问题解题思路
∵P、Q同时同速出 ∴AP=BQ
设AP=BQ= x ，则PC=6- x ， QC=6+ x
即6-x= 1（6+x）解得x=2 2
∴AP的长是2.
②用含30°角的直角三角形的性质及 等边三角形性质进行解答（在
Rt△QCP中）
∵△ABC是边长为6的等边 三角形，
∴AC=BC=6，∠C=60° 又∵∠BQD=30° ∴△QCP是含有30°角的Rt△ ∴CQ=2PC ∵P、Q同时同速出发， ∴AP=BQ ∵AP+PC+BC=2AC=12
而△APF是等边三角形， PE⊥AF,
∴AE=EF ∴BD+AE=FD+EF 又(FD+EF)+(BD+AE)=AB
=6, 即ED+ED=6
∴ ED=3为定值，即ED的 长不变
(2) 解法二：构造三角形与 △APE全等
过点Q作QF⊥AB的延长 线于点F
先证△APE≌△BQF ∴AE=BF，PE=QF 又∵∠QDF=∠PDE 再证△QDF≌△PDE ∴FD=DE ∵AB=AE+DE+BD=BF+
二、问题引入 遵义市2012年中考第26题：
• 26．如图，△ABC是边长 为6的等边三角形，P 是 AC边上一动点，由A向C 运动（与A、C不重
• 合），Q是CB延长线上一 动点，与点P同时以相同 的速度由B向CB延长线方 向运动（Q不与B重合） ，过P作PE⊥AB于E，连 接PQ交AB于D.
• （1）当∠BQD=30°时， 求AP的长；
又∵∠A=∠C=60° ∴△APE∽△CQE
利用 AE AP 即 PC CQ
x
1
x 2
x
初中数学-动点问题教法解析
PB y
D
C
P
OP
Ax
函数关系式之动点轨迹方程
例13、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y
3 (x2 bx c) 5
过点A(1，0)，B(0，
)，这条3 抛物线的对称轴与x轴交于点C，点P为射线CB上一个动点（不与点C重
合），点D为此抛物线对称轴上一点，且∠CPD=60°．
（1）求抛物线的解析式；（解：y
7
求t值问题--图形形状
例15、如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60º．
（1）求⊙O的直径；（解：AB=4cm）
（2）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的 速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0<t<2)，连结EF，当t为何值 时，△BEF为直角三角形．
A
B
C
D
答案：D 解析：P运动到C点的正下方的时候才开始缩小，此 时的x=12，故排除A,C。前段部分△APQ的底和高都 在增加，它的变化趋势B,D都正确；后段部分则底 在增加，高在减小，但总面积是减小的趋势，满足 刚才分类的第三种情况，故选D
轨迹问题---多观察
例9、如右图，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（ 3 ，1），点B是x轴 上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC. 当C(x,y)在第一象限内时，下列图象 中，可以表示y与x的函数关系的是（ ）
大致是（ ）
y
y
y
y
3
3
3
3
2
2
2
2
O
6.5 x
O
6.5 x
O
6.5 x
O
6.5 x
初中数学动点问题及练习题附参考答案
初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。
初中数学动点问题(北师大版)
初中数学动点问题(北师大版)1. 引言初中数学动点问题是数学中经常出现的一个考点，它涉及到点在平面内移动的问题。
通过解决这类问题，可以帮助学生理解和掌握坐标系、图形变换等数学概念。
本文将重点介绍北师大版初中数学教材中关于动点问题的内容。
2. 动点问题的基本概念动点问题是指一个点在平面内以一定的规律进行移动的情况。
这个点可以在平面内的不同位置上，可以沿直线、曲线等路径运动。
学生需要根据提供的条件，确定点的运动轨迹、速度、方向等。
解决动点问题需要运用坐标系、直线方程、参数方程等知识。
3. 动点问题的解决方法解决动点问题的方法有多种，下面介绍几种常见的方法：- 使用坐标系：通过建立合适的坐标系，将点的位置用坐标表示，便于进行计算和分析。
- 利用直线方程：当点在直线上运动时，可以通过直线方程来确定点的位置，进而求解相关问题。
- 应用参数方程：对于复杂的轨迹，可以使用参数方程来描述点的位置，通过确定参数值来求解问题。
- 运用速度概念：当点的位置随时间变化时，可以利用速度概念来描述点的运动，并解决相关问题。
4. 例题分析下面通过例题来具体说明解决动点问题的步骤和方法。
例题：一条船以每小时12公里的速度顺水航行，沿江下游行驶，下游距离为96公里。
一条狗站在江边，见船过去需0.5小时，它就跳入江中追船，每小时游5公里。
试问，狗游完全程需要多少时间？一条船以每小时12公里的速度顺水航行，沿江下游行驶，下游距离为96公里。
一条狗站在江边，见船过去需0.5小时，它就跳入江中追船，每小时游5公里。
试问，狗游完全程需要多少时间？解答：首先，设狗追船的时间为$t$小时，则船运动的时间为$t+0.5$小时。
根据题意可得：船的位移 = 船的速度 ×船的时间狗的位移 = 狗的速度 ×狗的时间根据题目中给出的数据，可列出方程组：$$12 \times (t+0.5) = 96$$$$5 \times t = 96$$解方程可得：$t=\frac{192}{17}$因此，狗游完全程需要$\frac{192}{17}$小时。
初一数学下册动点问题
∠APC=∠A+∠C。从而求得∠C的度数。
点P在线段EF上运动时（注意：关键词是线段），∠A、∠APC与∠C之间的关系就是：∠APC=∠A+∠C。证明方法参考（1）.
当点P在FE延长线上运动时，过点P作AB的平行线，根据平行线的性质可以证得
分析：（1）根据角平分线的性质结合∠ADC=70°即可求得结果；
（2）过点E作EF∥AB，即可得到AB∥CD∥EF，从而可得∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，再根据角平分线的性质可得∠ABE= ∠ABC= n°，∠CDE= ∠ADC=35°，即可求得结果；
（3）过点E作EF∥AB，根据角平分线的性质可得∠ABE= ∠ABC= n°，∠CDE= ∠ADC=35°，再根据平行线的性质可得∠BEF的度数，从而求得结果.
（5）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：
解析：（1）根据平移规律：左右平移横变化，左减右加；上下平移纵变化，上加下减。
A（－1，0），向上平移2个单位后得到坐标为：（-1,2），再向右平移1个单位，得到点C（0,2）；
B的坐标分别为（3，0），向上平移2个单位后得到坐标现（3,2），再向右平移1个单位得到点D（4,2）。
S△DOQ=1212OQ•xD=1212×2t×1=t，
∵S△ODP=S△ODQ，∴2-t=t，
∴解得：t=1，
∵∠2+∠3=90°，
又∵∠1=∠2，∠3=∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO=180°，
∴OG∥AC，
∴∠1=∠CAO，
∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
G BD
图②
F
C
E
如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC， BC=4 2，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的 底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上， 且G、F分别是AB、AC的中点。
运动的时间为t（秒）
（2）当t= ＿2
秒或
＿6
秒时，MN=
1
2
AC
y
m
（0,3）
C
N
（4，3）
B
N M
（4,0） E
O
M
A
x
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形， 点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原 点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动， 设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m 运动的时间为t（秒）
,点C的坐标是
（2）当t= ＿
秒或
＿
秒时，MN=
1
2
AC
（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
y
（4）:（3）中得到的函数 S有没有最大值？若 m
C
（4，3）
B
有求出最大值；若
N
没有，要说明理由。
OM
A
x
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形， 点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原 点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动， 设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m 运动的时间为t（秒）
③由动点P和点A、点D形成的△APD的
形状发生怎样的变化？面积呢？
D
C
P
A
B
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，
现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，
沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时
间为t秒。
（2）设△APD的面积为S，求S关于t的
函数关系式，并写出t 的取值范围；
D
CD
且G、F分别是AB、AC的中点。
探究1：在运动过程中，四边形BDG’G能否是菱形？若
能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由。
A
当BD=BG=x=2 时
四边形BDG’G是菱形
GG′
F
B
D
图②
C E
如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC， BC=4 2，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的 底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上， 且G、F分别是AB、AC的中点。
（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
y
m
C NN NN NNNN NN BM MM M MM MM
MM
O
A
x
y
y
C
B
CN
N
O
y CN
O
MA x
O
0≤t≤4
y
B
C
M
E
A
x
O
4＜t≤8
B
M
A
x
NB
M
A
x
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形， 点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原 点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动， 设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m 运动的时间为t（秒）
P P PP
D
A
B Q EQ
C Q FQ
解运动问题的一般步骤：求运动时间型。
• 1.读题找出已知条件和未知条件。 • 2.确定运动元素有几个，确定每个运动元素
的起点、终点、速度、时间和路程。 • 3.从问题入手，思考符合问题的情况有几种
，画出图形。 • 4.找出每种情况的等量关系，通常是线段的
等量关系，有时周长、面积等也可作为等量 关系。 • 5.设运动时间为未知数，并用这个未知数表 示等量关系中的每一个量。 • 6.根据等量关系列出方程并解方程求出运动 时间。
变化的量。有时会用到勾股定理、三角函数、相似的相关 知识。 • 6.根据等量关系列出函数关系式，注意一般动点每经过一 条线段就有一个函数解析式，另外要写清自变量的取值范 围。
解决图形运动问题
策略是：
“以静制动”，把动态问题，变为静态问题, 抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。
关键是：
明确运动路径、运动速度、起始点、终点，从而确 定自变量的取值范围，画出相应的图形。
现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，
沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时
间为t秒。
（4）当t为何值时，S等于正方形ABCD面积
的八分之一。
D
CD
CD
C
P
A
P
0≤t≤2
S=4t
P
BA
2＜t≤4
S=8
BA
B
4＜t≤6
S= 4t+24
如图，在组合图形ABCDEF中，AB垂直BC，BC垂直
CD
C
P
A
P
0≤t≤2
S=4t
P
BA
2＜t≤4
S=8
BA
B
4＜t≤6
S= 4t+24
（3）以下能大致反映S与t的函数图象的是（ A ）
0 24 6 0246 0 24 6 0 2 4 6
D
CD
CD
C
P
A
P
0≤t≤2
S=4t
P
BA
2＜t≤4
S=8
BA
B
4＜t≤6
S= 4t+24
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，
沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时
间为t秒。
②点P在运动过程中到边AD的距离发生怎样
的变化？
D
C
P
AP
PB
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度， 沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时 间为t秒。
③由动点P和点A、点D形成的△APD的
0≤x＜ 2 2
G
F
C
E
B
AD C
E
2 2≤x≤ 4 2
G
F
B
DC
E
如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC， BC=4 2，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的 底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，
（1）点A的坐标是 （4，0） ,点C的坐标是 （0，3）
y C （0，3）
（4，3）
B
（4，0）
O
A
x
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，
点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原
点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，
设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m
探究1：在运动过程中，四边形BDG’G能否
是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，
A
请说明理由。
探究2：设在运动过程中△ABC 与等腰
G
梯形DEFG重叠部分的面积为y,求y与x
的函数关系式。
B（D） 图①
F （E）C
如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC， BC=4 2，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的 底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上， 且G、F分别是AB、AC的中点。
（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式； y
0≤t≤4
C
B
S=
3 8
t2
N
O
MA
x
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形， 点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原 点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动， 设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m 运动的时间为t（秒）
（1）求等腰梯形DEFG的面积；
A
G
B（D）
图①
F
S梯形DEFG=6
C （E）
如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC， BC=4 2，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的 底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，
且G、F分别是AB、AC的中点。
（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，
沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时
间为t秒。
（1）P点在运动过程中
①动点P到点A、点D的距离AP、PD的长度发生怎样
的变化？
D
C
P
AP
B
P
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，
找出一个基本关系式，把相关的量用一个自 变量的表达式表达出来。
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形， 点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原 点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动， 设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m 运动的时间为t（秒）
（1）点A的坐标是
CD，CD垂直DE，DE垂直EF，EF垂直AF，动点Q沿A至B
至C至D至E至F运动，到F停止运动，速度为2个单位每
秒，已知AF=6，EF=8，AB=4，BC=3，设运动时间为x
秒，三角形AQF的面Q积为S，Q求SQ与x的函数关系式。
DQ
E Q