《三垂线定理》教案
三垂线定理()教案 新人教A版必修
实用文档 精心整理1课题：2.2.3.6三垂线定理（2）课 型：新授课一、课题：三垂线定理（2）二、教学目标：1．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容；2．能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用．三、教学重、难点：三垂线定理的应用。
四、教学过程： （一）复习：1．三垂线定理及其逆定理的内容； 2．练习：已知：在正方体中，求证：（1）；（2）． （二）新课讲解：例1．点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证：．证明：连结， ∵，且 ∴（三垂线定理逆定理） 同理，∴为的垂心， ∴， 又∵， ∴（三垂线定理）【练习】：所在平面外的一点在平面内的射影为的垂心，求证：点在内的射影是的垂心．例2．已知：四面体中，是锐角三角形，是点在面上的射影，求证：不可能是的垂心．1AC 111BD AC ⊥11BD B C ⊥A BCD ∆O A BCD ,AC BD AD BC ⊥⊥AB CD ⊥,,OB OC OD AO BCD ⊥平面AC BD ⊥BD OC ⊥OD BC ⊥O ABC ∆OB CD ⊥AO BCD ⊥平面AB CD ⊥BCD ∆A BCD O BCD ∆B ACD ∆P ACD ∆S ABC -,SA ABC ABC ⊥∆平面H A SBC H SBC ∆DCBAD 1C 1B 1A 1O DCBA实用文档精心整理 2 证明：假设是的垂心，连结，则，∵∴是在平面内的射影，∴（三垂线定理）又∵，是在平面内的射影∴（三垂线定理的逆定理）∴是直角三角形，此与“是锐角三角形”矛盾∴假设不成立，所以，不可能是的垂心．例3．已知：如图，在正方体中，是的中点，是的交点，求证：．证明：，是在面上的射影又∵，∴取中点，连结，∵，∴为在面上的射影，又∵正方形中，分别为的中点，∴，∴（三垂线定理）又∵，∴．五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用．六、作业：1．已知是所在平面外一点，两两垂直，是的垂心，求证：平面．2．已知是所在平面外一点，两两垂直，H SBC∆BH BH SC⊥BH SBC⊥平面BH AB SBCSC AB⊥SA ABC⊥平面AC SC ABCAB AC⊥ABC∆ABC∆H SBC∆1111ABCD A B C D-E1CCF,AC BD1A F BED⊥平面1AA ABCD⊥平面AF1A F ABCDAC BD⊥1A F BD⊥BC G1,FG B G111111,A B BCC B FG BCC B⊥⊥平面平面,B G1A F11BCC B11BCC B,E G1,CC BC1BE B G⊥1A F BE⊥EB BD B=1A F BED⊥平面P ABC∆,,PA PB PC H ABC∆PH⊥ABCP ABC∆,,PA PB PCHCSBAGFED CBAD1C1B1A1。
三垂线定理教学设计
三垂线定理教学设计教学目标：1.掌握垂线的概念和性质。
2.理解三角形的三垂线及其关系。
3.学会运用三垂线定理解决相关问题。
教学重点：1.掌握三垂线的定义和性质。
2.理解三垂线定理的内容和证明过程。
教学难点：1.运用三垂线定理解决相关问题。
2.理解三垂线定理的证明过程。
教学准备：1. PowerPoint课件。
2.教学黑板、粉笔、橡皮等。
教学过程：一、导入（5分钟）1.引导学生回忆并复习垂线的概念和性质。
2.让学生讲解垂线的相关知识，对学生的回答逐一给予肯定和指导。
二、新知讲解（25分钟）1.展示幻灯片，讲解三垂线的概念和性质。
a.什么是三垂线？它们有哪些特征？b.三角形的三垂线有哪些重要性质？c.三垂线交于一点，该点叫什么名字？在三角形中的作用是什么？d.三垂线定理是什么？如何解释这个定理？2.通过具体实例演示三垂线定理的应用。
a.展示一个三角形，绘制三条垂线。
b.引导学生发现三垂线交于一点的特点。
c.解释三垂线交于一点的意义和作用。
三、练习与讨论（30分钟）1.分发练习册，让学生在课堂上独立完成相关练习。
2.提供一些思考问题，引导学生深入思考三垂线的相关性质和定理。
四、课堂展示（20分钟）1.随机抽几位同学上台展示他们的练习，并请他们解答一些问题。
2.学生之间互相评价，给出肯定和提出改进意见。
五、概念总结（10分钟）1.对本节课的内容进行总结，强调三垂线定理的重要性和应用价值。
2.确认学生是否达到了本节课的学习目标。
六、拓展延伸（10分钟）1.提供更复杂的问题，让学生思考如何应用三垂线定理解决。
2.引导学生思考三垂线定理的证明过程，并提供相关的参考材料。
七、课堂小结（5分钟）1.概括本节课的内容和要点。
2.引导学生对今天的学习进行反思，列出自己的问题和困惑。
八、课后作业：1.让学生继续完成练习册的相关题目。
2.要求学生思考三垂线定理的证明过程，并撰写一篇小论文。
三垂线定理教案
三垂线定理教案数统院2012级刘林玲一、素质教育目标（一）知识与技能目标：1、理解三垂线定理的证明，准确把握“空间三线”垂直关系的实质。
2、领会应用三垂线定理解题的一般步骤，初步学会应用定理解决相关问题。
（二）过程与方法目标：1、通过讨论空间直线与平面内直线垂直的问题让学生做好知识的铺垫和图形的准备。
2、通过搭建实物模型操作的方法来表示平面的斜线在平面内有垂线，直观引导学生进一步思考，从而发现定理。
（三）情感、态度、价值观目标：1、通过教学进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力,分析和论证问题的能力。
2、进行辨证唯物主义思想教育，提高学生学习数学的积极性。
二、教学内容：本节课的主要内容是三垂线定理的引出、证明和初步应用。
三、教学重点、难点及解决方法1．教学重点：领会三垂线定理的实质，正确认识“空间三线”的垂直关系；同时掌握“线面垂直法”研究空间直线关系的思想方法。
2、教学难点：准确把握“空间三线”垂直关系的实质，掌握应用三垂线定理的一般步骤。
3、解决方法：本节课的定理，涉及的直线较多，学生在认识和理解上都会存在困难，为了加深印象并说明复杂的直线位置关系，可以采用一些教具，不如三角板和铅笔，按照教师的要求摆放．在学生感性认识的基础上，进行理性的证明和记忆，有助于定理的掌握．四、教学材料：多媒体课件、直角三角板。
五、教学步骤（一）温故知新，引入课题师：我们已经学习了直线和平面的垂直关系，学新课之前，让我们作个简单的回顾：1．直线和平面垂直的定义？答：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则称直线与平面垂直2．直线和平面垂直的判定定理．答：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3．什么叫做平面的斜线、斜线在平面上的射影？答：如果一条直线l与平面相交于一点O，但又不垂直于这个平面，则称这条直线为这个平面的斜线，这个交点称为斜足。
过斜线上不属于平面的一点P，做该平面的垂线，垂足为A，则OA所在直线即为该斜线在这个平面内的射影。
三垂线定理教案
三垂线定理教案【课题】三垂线定理【教学目标】根据教学大纲的要求、本节课的特点和学生对空间图形的认知特点，本节课的教学目的确定如下：知识目标：理解并掌握三垂线定理及其证明，准确把握几个垂直关系的实质，初步学会应用三垂线定理解决相关问题。
能力目标：通过对三垂线定理的探索过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想，具体体现在线线垂直与线面垂直的辨证关系上：线⊥线判定线⊥面性质线⊥线情感目标：通过数学严密的逻辑推理教学，使学生感受数学的严谨性，体会数学的美。
【教学重点、难点】重点：三垂线定理的理解和应用。
难点：正确做出或找出射影，熟练掌握并运用三垂线定理【教学方法】讲授法【教学工具】三角板，多媒体。
本节课内容较多，又涉及到很多的空间图形，所以采用多媒体课件来教学有助于降低学生学习的难度，提高课堂学习效率，还准备一把三角尺，建立三垂线定理中几条直线的模型，帮助理解三垂线定理的实质。
【教学过程】（一）复习提问：1、线⊥线判定线⊥面性质线⊥线2、何为平面的斜线、何为斜线在平面上的射影？（二）新课讲授：练习：已知PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影. a ⊂α,a ⊥AO 。
求证a ⊥PO三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它就与这条斜线垂直。
（垂影则垂斜） 分析定理中的3个垂直关系： 1、PA ⊥α （线面垂直） 2、a ⊥AO （线影垂直） 3、a ⊥PO （线斜垂直） 分析定理中的4条直线：PA —垂线 PO —斜线 AO —射影 a —平面内的直线（三）定理应用例1、已知P 是平面ABC 外一点，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC,求证：PC ⊥BC (例1) (练习1) （选择这道例题的主要目的是直接应用定理）练习1：已知：PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。
求证：PO ⊥BD, PC ⊥BD练习2：已知: PA ⊥平面PBC ，M 是BC 的中点 ，且PB=PC 求证： BC ⊥ AM（练习题设计意图：深化对定理的理解） Aα aOPP A BC P A B CD OP A PAC例2、在正方体AC 1中，求证 ：A 1C ⊥BD ， A 1C ⊥BC 1（例题设计意图：培养学生在变换位置的形式下应用三垂线定理的能力）小结运用三垂线定理证明的一般步骤：一定（定平面）二找（ 找平面的垂线、斜线及其射影） 三证（证平面内一直线与斜线垂直）（ 解题回顾设计意图帮助学生理顺解题思路）练习3：填空：如图，ABCD 是矩形，PA ⊥平面AC,连接PB 、PC 、PD 。
三垂线定理示范课教案
三垂线定理示范课教案一、教学目标知识与技能：1. 让学生理解三垂线定理的内容及其实际应用。
2. 学会使用三垂线定理解决几何问题。
过程与方法：1. 通过观察模型，引导学生发现三垂线定理的规律。
2. 培养学生运用几何推理和证明的能力。
情感态度价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。
2. 培养学生勇于探索、合作学习的良好习惯。
二、教学重点与难点重点：三垂线定理的内容及其应用。
难点：三垂线定理的证明和运用。
三、教学准备教具：三角板、直尺、圆规、模型等。
学具：笔记本、笔、三角板、直尺等。
四、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对三垂线定理的思考。
2. 新课讲解：（1）引导学生观察模型，发现三垂线定理的规律。
（2）讲解三垂线定理的内容，让学生理解并掌握。
（3）举例说明三垂线定理的应用，让学生学会运用。
3. 课堂练习：（1）让学生独立完成一些有关三垂线定理的练习题。
（2）引导学生相互讨论，共同解决问题。
五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固三垂线定理的知识。
2. 选取一道有关三垂线定理的综合题，进行深入研究和思考。
3. 准备下一节课的相关内容。
六、教学评估1. 课堂练习环节，观察学生对三垂线定理的理解和运用情况。
2. 课后作业的完成情况，了解学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 对学生进行访谈，了解他们对三垂线定理的理解和兴趣。
七、教学反思课后，教师应反思本节课的教学效果，包括：1. 学生对三垂线定理的理解和掌握程度。
2. 教学方法和教学内容的适用性。
3. 学生的参与度和积极性。
八、拓展与延伸1. 引导学生探索三垂线定理在实际生活中的应用。
2. 介绍与三垂线定理相关的数学历史故事，激发学生的兴趣。
3. 鼓励学生参加数学竞赛或研究项目，提高他们的数学能力。
九、教学评价1. 学生对该节课的理解和兴趣。
2. 学生对三垂线定理的掌握程度。
3. 学生参与课堂活动和合作学习的情况。
十、教学计划本节课的教学计划如下：1. 导入：10分钟2. 新课讲解：20分钟3. 课堂练习：15分钟4. 课堂小结：5分钟5. 课后作业布置：5分钟教师应根据实际情况灵活调整教学计划，确保教学目标的实现。
《三垂线定理》教案
《三垂线定理》教案基本问题: 三垂线定理及逆定理内容是什么单元问题: 如何运用三垂线定理和逆定理解题内容问题: 运用三垂线定理及逆定理有哪些要素课程标准（本单元所针对的课程标准或内容大纲）：三垂线定理及其逆定理是现行立体几何教材中的两个十分重要的定理 .前者实际上是平面内一条直线和平面的一条斜线垂直的判定定理 ,后者实际上是平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直的性质定理 .这两个定理的实质是 :平面内的一条直线与平面的斜线及其在平面内的射影垂直的关系。
一、教学目标：立足学生现状，结合教学大纲，制定以下教学目标：1、知识与技能1）熟练掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并会证明。
2）会运用定理解简单题。
3）培养学生的识图能力及空间想象力，提高对知识的应用能力。
4）通过探索过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想，提高学生的多向思维能力。
2、过程与方法自主合作探究，指导法、讲练结合法3、情感态度价值观通过数学严密的逻辑推理教学使学生感受到数学的严谨性，体会数学美。
二、教学重难点：重点：熟练掌握并区分三垂线定理及其逆定理内容。
难点：真正弄清定理中复杂的线线关系。
三、教学用具：电脑、大屏幕、实物投影仪四、教学过程：（一）复习提问：我先用电脑结合大屏幕依次提出如下问题：（二）讲授新课1、三垂线定理的证明及简单应用。
1）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
（首先，通过问答法由学生说出命题的已知、求证，然后让学生思考证明过程，接着让学生互说证明过程，最后请一名同学讲出证明过程。
）已知：P A、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影。
a在平面α内，a⊥AO。
求证：a⊥PO命题正确得出这便是三垂线定理。
2)分析定理：①定理中元素：一面四线三垂直一面——平面α（基础平面）四线——PA(α的垂线)，PO（斜线），AO（射影），a(α内的直线)三垂直——PO⊥a ，A0⊥a ，PA⊥a (故称三垂线定理)，由一垂、二垂得出第三垂，并不是三垂都作为已知条件。
.2.3.5三垂线定理(1)教案新人教A版必修2
••• a 平面 POA , ••• a PA .课题：223.5三垂线定理(尖刀班)(1)课 型：新授课一、 课题：三垂线定理二、 教学目标：1 •掌握科学的概念，了解射影、斜线的定义；2 •掌握三垂线定理及其逆定理，利用三垂线定理及其逆定理解决有关线线 垂直问题。
三、 教学重、难点：三垂线定理及其逆定理； 三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系.四、 教学过程：(二)新课讲解：1 •射影的有关概念：(1 )点的射影：自一点P 向平面 引垂线，垂足P 叫做P 在平面 内的正射影(简称 射影)。
(2)图形的射影：如果图形F 上所有点在一个平面内的射影构成图形F ，则F 叫做F在这个平面内的射影.2 •斜线的有关概念：(1)斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做平面的斜线;(2)斜足：斜线和平面的交点；(3 )斜线段：斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段.由此，斜线段 AB 在平面内的射影仍为线段，即为线段A o B • 3 .三垂线定理：定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：PO, PA 分别是平面的垂线和斜线， OA 是PA 在平面 内的射影，a 且a OA求证：a PA ；证明：•••PO PO a ，又••• a OA, PO I OAP说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系;PO ,O(2)推理模式：PAI Aa , a OA4.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
（证明略）P0,0推理模式：PAI A a A0a ,a AP,CD AB于点D，请指出图形中的练习：Rt ABC 在平面内，C 90o, PC直角三角形。
Rt ABC, Rt ADC,Rt BDCRt PDA, Rt PDBRt PCA, Rt PCB, Rt PCD三.例题分析：例1.已知：点0是ABC的垂心，PO平面ABC，垂足为0 ,求证：PA BC .证明：•••点0是ABC的垂心，••• AD BC又••• P0 平面ABC，垂足为0 , PAI平面ABC所以，由三垂线定理知，PA BC .例2 .如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的角平分线上.已知：BAC在平面内，点PE,F,0,PE PF ,求证：BA0 CA0.证明：••• PE AB,PF AC,P0 ,• AB 0E, AC 0F （三垂线定理逆定理）•/ PE PF ,PA PA ,• Rt PAE Rt A0F ,••• AE AF，又••• AO AO, /. Rt AOE Rt AOF••• BAO CAO •例3 •如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔AB，高15m，只有量角器和A尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？解：在道路边取点C ,使BC与道路边所成的水平角等于90°, J再在道路边取一点D，使水平角CDB 45 , *测得C,D的距离等于20m ,•/ BC是AC在平面上的射影，且CD BC • CD AC (三垂线定理) 因此斜线段AC的长度就是塔顶与道路的距离，CDB 45o,CD BC,CD 20m, • BC 20m,在Rt ABC 中得|AC| 、AB2 BC2 1 52 2(f 25(m),答：电塔顶与道路距离是25m •四、课堂小结：1•射影和斜线的有关概念；2•三垂线定理及其逆定理.五、作业：1 .在正方体AC1中，求证：正方体的对角线A|C垂直于平面ABQ1•2 •如图，ABCD是矩形，PA 平面ABCD，点M , N分别是AB, PC的中点，求证：AB MN •3 .已知：如图若直角ABC的一边BC//平面，另一边AB和平面斜交于点A，求证：ABC在平面上的射影仍为直角。
三垂线定理教案
三垂线定理（人教版）一、设计理念本教学设计以师生互动教学为指导，以信息技术融入学科教学为手段，以课堂为依托来实现教学目标。
在教学过程中，注意与学生所学数据知识的衔接，突出三垂线定理的思想，强调三垂线定理的应用。
人人学习有价值的数学。
二、教材分析“三垂线定理”是在研究了空间直线和平面直线关系的基础上来研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。
它既是线面垂直关系的一个应用，又为后续学习奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新精神能力都有重要意义。
三、学情分析对处于该学习阶段的学生来说，空间观念才初步形成，学生在认识和理解的上都会存在困难，为了加深印象并说。
明复杂的直线位置关系，可以采用一些教具，或者让学生通过亲自动手操作，提高感性认识，进行理性的证明和记忆，有助于定理的掌握。
领会定理实质的关键是要认识到平面内一条直线与斜线及其在平面内的射影确定的平面垂直；应用定理的关键是要找到平面的垂线，射影就可以由垂足与斜足确定，问题便会迎刃而解。
四、教学目标1. 知识与技能1)理解、掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并能从口头上和书面上作出正确的表达。
2)掌握运用三垂线定理或逆定理解决数学问题。
2. 过程与方法通过探索三垂线定理及其证明，培养学生观察问题，发现问题的能力和空间想象能力，培养学生空间计算能力和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观激发学生学习兴趣，激发学生不断发现、探索新知的精神；渗透知识相互转化理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美、对称美，培养学生的审美意识。
五、教学重、难点重点：启发学生去发现三垂线定理,证明三垂线定理,正确运用三垂线定理及其逆定理去解决实际问题。
难点：理解三垂线定理及其逆定理的本质,掌握运用两个定理证题的一般思路和步骤。
真正弄清定理中复杂的线线关系。
六、教学方法与手段以老师的讲授法、学生的讨论法和师生之间的问答法相结合。
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《三垂线定理》教案
基本问题: 三垂线定理及逆定理内容是什么
单元问题: 如何运用三垂线定理和逆定理解题
内容问题: 运用三垂线定理及逆定理有哪些要素
课程标准（本单元所针对的课程标准或内容大纲）：三垂线定理及其逆定理是现行立体几何教材中的两个十分重要的定理 .前者实际上是平面内一条直线和平面的一条斜线垂直的判定定理 ,后者实际上是平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直的性质定理 .这两个定理的实质是 :平面内的一条直线与平面的斜线及其在平面内的射影垂直的关系。
一、教学目标：
立足学生现状，结合教学大纲，制定以下教学目标：
1、知识与技能
1）熟练掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并会证明。
2）会运用定理解简单题。
3）培养学生的识图能力及空间想象力，提高对知识的应用能力。
4）通过探索过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想，提高学生的多向思维能力。
2、过程与方法
自主合作探究，指导法、讲练结合法
3、情感态度价值观
通过数学严密的逻辑推理教学使学生感受到数学的严谨性，体会数学美。
二、教学重难点：
重点：熟练掌握并区分三垂线定理及其逆定理内容。
难点：真正弄清定理中复杂的线线关系。
三、教学用具：
电脑、大屏幕、实物投影仪
四、教学过程：
（一）复习提问：
我先用电脑结合大屏幕依次提出如下问题：
（二）讲授新课
1、三垂线定理的证明及简单应用。
1）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
（首先，通过问答法由学生说出命题的已知、求证，然后让学生思考证明过程，接着让学生互说证明过程，最后请一名同学讲出证明过程。
）
已知：P A、PO分别是平面α的垂线、斜线，
AO是PO在平面α上的射影。
a在平面α内，a⊥AO。
求证：a⊥PO
命题正确得出这便是三垂线定理。
2)分析定理：
①定理中元素：一面四线三垂直
一面——平面α（基础平面）
四线——PA(α的垂线)，PO（斜线），AO（射影），a(α内的直线)
三垂直——PO⊥a ，A0⊥a ，PA⊥a (故称三垂线定理)，由一垂、二垂得出第三垂，并不是三垂都作为已知条件。
②定理中“直线在平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立（课件中有说明）
③定理是判定空间两直线（尤其是异面直线）垂直的重要依据
④三垂线定理是“线与射影垂直推出线与斜线垂直”
即“垂影推出垂斜”。
（强化记忆）
2、三垂线定理的逆定理
1）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
（学生说出三垂线定理的逆命题，是否正确，由学生课下仿照定理证明过程自行解决）
2)回顾定理与逆定理得出它们是互逆定理
3、例题讲解：
（用问答法，引导学生说出证明过程，这是一道春考题，提醒学生注意到它的重要性）
2、解题回顾：
①定平面（基础平面）
②找四线（垂线、斜线、射影和平面内一条直线）
③证明
(三)课堂练习：
（四）课堂小结
（五）布置作业
1）必做课本P167第6题，以便巩固本节内容。
2）选做题：在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC
（有余力的同学做）（六）板书设计。