高中数学立体几何中的空间角公开课教学课件
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高中数学精品课件：空间角
图7-46-8
与平面ABCD所成的角,由已知得∠MBA=45°,则MA=MB,此时O为AB的中点.
连接OC,由∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2DC,得四边形AOCD为矩形,所以
OC⊥AB,所以CO⊥平面MAB,又MA⊂平面MAB,所以OC⊥MA.
图7-46-8
[总结反思] (1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到 二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角,作二面角的平面角最常用的方法是 利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理). (2)对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出 两个平面的法向量,并转化为求两个法向量的夹角来完成.
.
题组二 常错题 ◆索引:二面角取值范围出错;线面角范围出错;不能正确构建线面垂直及斜线 段在底面上的射影.
6.在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为
(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为
.
7.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为 45° .
图7-46-8
图7-46-8
方法二:二面角D-MA-C的大小即为二面角B-MA-D的大小与二面角B-MA-C大
小的差,由(1)可知二面角B-MA-D的大小为90°,
所以二面角D-MA-C的正弦值即为二面角B-MA-C的余弦值.
过M作MO⊥AB于O(图略),因为平面MAB⊥平面ABCD,平面 MAB∩平面ABCD=AB,所以MO⊥平面ABCD,∠MBO即为MB
A
证明:连接AC(图略),由题知△ACD为等边三角形,因为M为AD的中点,所以 CM⊥AD,又AD∥BC,所以CM⊥BC,因为平面ABCD⊥平面PBC,且平面 ABCD∩平面PBC=BC,CM⊂平面ABCD,所以CM⊥平面PBC,故CM⊥PB.
高考数学二轮复习专题二立体几何第3讲空间角课件
跟踪演练3 (2018·绍兴质检)已知四面体SABC中，二面角B－SA－C， A－SB－C，A－SC－B的平面角的大小分别为α，β，γ，则 A.π2<α＋β＋γ<π B.32π<α＋β＋γ<2π
√C.π<α＋β＋γ<3π
D.2π<α＋β＋γ<3π
解析
答案
真题押题精练
真题体验
1.(2017·全国Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角1形ABC的 直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列 结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最大值为60°. 其中正确的是_②__③___.(填写所有正确结论的编号)
板块三 专题突破 核心考点
专题二 立体几何
第3讲 空间角
[考情考向分析]
以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，热点为异 面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的求解，向量 法作为传统几何法的补充，为考生答题提供新的工具．
内容索引
热点分类突破 真题押题精练
热点分类突破
热点一 异面直线所成的角
尖子生好方法:听课时应该始终跟着老师的节奏，要善于抓住老师讲解中的关键词，构建自己的知识结构。利用老师讲课的间隙，猜想老师还会讲什么，会怎样讲， 怎样讲会更好，如果让我来讲，我会怎样讲。这种方法适合于听课容易分心的同学。
2019/6/29
精选最新中小学教学课件
61
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you!
2019/6/29
AB＝AC，O为BC的中点，动点P在线段OB上(不含端点)，记∠APC＝θ，
高考数学复习第十二讲立体几何之空间角
第十二讲立体几何之空间角一、基本知识回顾空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1.范围：0，1）异面直线所成角2）直线与平面所成角20，2.求法：平移相交（找平行线替换）2向量法1.范围0 ，20,定义22.求法向量法m narcsin若 m n 则 a //或a若m // n则a m n1.范围：0.定义法（即垂面法）3）二面角 2.作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法直接法3. 求二面角大小的方法射影面积法向量法S S cos( S为原斜面面积, S为射影面积 ,为斜面与射影所成锐二面角的平面角)m n当为锐角时，arccosm nm n当为锐角时，arccosm n二、例题讲解1.在正三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 中，若 AB 2 BB 1 , 求 AB 1 与 C 1 B 所成的角的大小。
解：法一：如图一所示，设 O 为 B 1 C 、 C 1 B 的交点， D 为 AC 的中点，则所求角是 DOB 。
设 BB 1a , 则 AB 2 a ，于是在DOB 中，O B1 3a , BD 3 2 a6BC 12a,2 22O D1 3 2222AB 1 a , BD OBOD,2即DOB90 ,DOB90法二： 取 A 1 B 1 的中点 O 为坐标原点， 如图建立空间直角坐标系1O xyz , AB 的长度单位，2则由AB2BB1有A 0,1,2,B0,1, 2 , B10,1, 0, C 13,0,0AB 10, 2, 2 ,C1B 3 ,1, 2 ,AB1 C1B 2 2 0, AB1 C 1 B2.如图二所示，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形，BAD90 ,AD // BC,AB BC a , AD 2 a , 且 PA底面 ABCD ，P D 与底面成 30角。
⑴若 AE PD , E 为垂足，求证：BE PD ；⑵求异面直线AE , CD 所成角的大小。
空间角-课件
在四边相等的空间四边形，所以必须证B′、E、D、
F四点共面. 第(3)小题应用了课本一道习题的结论， 才证明了AD在平面B′EDF内的射影在B′D上
返回
误解分析
1. 求异面直线所成的角，要注意角的范围是 0，
，π 2
，如能力·思维·方法3，平移后得AB1C，计
算得
cosAB1C
5 ，不能说两异面直线成角 5
(A)θ0θ0
(B)θ40θ50
(C)θ40θ90
(D)θ50θ90
5.如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°， 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA= CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( A )
(A) 30 10
(B) 1 2
(C) 30 15
(D) 为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、 F分别是BC、A′D′
(1)求证：四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角； (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角.
【解题回顾】对于第(1)小题，若仅由B′E=ED= DF=FB′就断定B′EDF是菱形，那是不对的，因存
设E、F分别为AB、PD的中点.
(1)求证：AF∥平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；
【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而 应首先由题设去分析，题目中是否已有.
3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，求平 面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.
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课前热身
1. 二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的 点(不在棱AB上)，D是C在平面β上的射影，E是棱 AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，则( A )
F四点共面. 第(3)小题应用了课本一道习题的结论， 才证明了AD在平面B′EDF内的射影在B′D上
返回
误解分析
1. 求异面直线所成的角，要注意角的范围是 0，
，π 2
，如能力·思维·方法3，平移后得AB1C，计
算得
cosAB1C
5 ，不能说两异面直线成角 5
(A)θ0θ0
(B)θ40θ50
(C)θ40θ90
(D)θ50θ90
5.如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°， 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA= CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( A )
(A) 30 10
(B) 1 2
(C) 30 15
(D) 为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、 F分别是BC、A′D′
(1)求证：四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角； (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角.
【解题回顾】对于第(1)小题，若仅由B′E=ED= DF=FB′就断定B′EDF是菱形，那是不对的，因存
设E、F分别为AB、PD的中点.
(1)求证：AF∥平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；
【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而 应首先由题设去分析，题目中是否已有.
3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，求平 面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.
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1. 二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的 点(不在棱AB上)，D是C在平面β上的射影，E是棱 AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，则( A )
第7章 第7节 空间角(共16张PPT)
利用向量计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐 (钝)二面角． (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以 垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
师生 共研
(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的 中点，以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF.
(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．
利用向量求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量 的夹角(或其补角)． (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐 角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
[训练] 如图，长方体 ABCD -A1B1C1D1 中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点 E， F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1E＝D1F＝4.过点 E，F 的平面 α 与此长方体的底面相交， 交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值．
解 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图： (2)作 EM⊥AB，垂足为 M，则 AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8. 因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH＝EF＝BC＝10. 于是 MH＝ EH2－EM2＝6，所以 AH＝10.以 D 为坐标原点，D→A的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D -xyz， 则 A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)， F→E＝(10,0,0)，H→E＝(0，－6,8)．
高三数学-第四讲空间角教师讲义手册课件(全国版)-文-新人教A版
∴∠AEO为异面直线AE与SD所成的角． 设正四棱锥的棱长与底面边长为a，则AE＝
总结评述：求异面直线所成的角，一般总是作其中一 条直线或两条直线的平行线，平移成相交，放在一个三角 形中去求．基本思想有时往往是解题的最佳思想，可以很 快的帮你找到解题思路.
【例2】 (2009·北京，16)如图，四棱锥P－ABCD的 底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
[分析] 可用平移法，构造三角形求解．
[解答] 解法一：如图，连结B1C交C1B于O，取AC中 点D，连结DO，BD，则DO∥AB1，∴∠BOD即为所求角 或其补角．
∵DO2＋BO2＝BD2， ∴DO⊥BO，即AB1⊥C1B. ∴AB1与C1B所成角的大小等于90°.
解法二：如图，分别延长正三棱柱ABC－A1B1C1三条 侧棱A1A、B1B、C1C至A2、B2、C2，使A1A＝AA2，B1B＝ BB2，C1C＝CC2，连结A2B2，B2C2，A2C2，则将原来的正 三 棱 柱 补 成 一 个 新 的 三 棱 柱 ， 连 结 A2B ， A2C1 ， 在 矩 形 A1A2B2B1中，A2B∥AB1，
已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与
底面所成角的余弦值等于
()
答案：A 解析：解法一：设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱 长为2a， ∵O为底面中心(OA为△ABC外切圆半径)，
∴侧棱与底面所成的角为∠SAO的余弦值为 故选A.
解法二：设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为 2a，
∵ O 为 底 面 中 心 ， ∴ ∠ SAO 为 SA 与 平 面 ABC 所 成 的 角．
【例3】 (2009·全国Ⅰ，19)如图，四棱锥S－ABCD 中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝，DC＝ SD＝2.点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°.
总结评述：求异面直线所成的角，一般总是作其中一 条直线或两条直线的平行线，平移成相交，放在一个三角 形中去求．基本思想有时往往是解题的最佳思想，可以很 快的帮你找到解题思路.
【例2】 (2009·北京，16)如图，四棱锥P－ABCD的 底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
[分析] 可用平移法，构造三角形求解．
[解答] 解法一：如图，连结B1C交C1B于O，取AC中 点D，连结DO，BD，则DO∥AB1，∴∠BOD即为所求角 或其补角．
∵DO2＋BO2＝BD2， ∴DO⊥BO，即AB1⊥C1B. ∴AB1与C1B所成角的大小等于90°.
解法二：如图，分别延长正三棱柱ABC－A1B1C1三条 侧棱A1A、B1B、C1C至A2、B2、C2，使A1A＝AA2，B1B＝ BB2，C1C＝CC2，连结A2B2，B2C2，A2C2，则将原来的正 三 棱 柱 补 成 一 个 新 的 三 棱 柱 ， 连 结 A2B ， A2C1 ， 在 矩 形 A1A2B2B1中，A2B∥AB1，
已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与
底面所成角的余弦值等于
()
答案：A 解析：解法一：设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱 长为2a， ∵O为底面中心(OA为△ABC外切圆半径)，
∴侧棱与底面所成的角为∠SAO的余弦值为 故选A.
解法二：设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为 2a，
∵ O 为 底 面 中 心 ， ∴ ∠ SAO 为 SA 与 平 面 ABC 所 成 的 角．
【例3】 (2009·全国Ⅰ，19)如图，四棱锥S－ABCD 中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝，DC＝ SD＝2.点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°.
高中数学空间向量与立体几何(公开课)(共8张PPT)
已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD 为菱形，PA⊥平面ABCD， ∠ABC=60°，E，F分别是BC， PC的中点． （1）证明：AE⊥PD； （2）若H为PD上的动点，EH与 平面PAD所成最大角的正切值为 求二面角E-AF-C的余弦值．
6 2
Z P
F
H x
B
A O E
y
D
C
已知四棱锥P-ABCD的底面为 直角梯形，AB//CD， ∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD， 且PA=AD=DC=1/2，AB=1，M 是PB的中点。 （Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角； （Ⅲ）求面AMC与面BMC所成 二面角的大小
空间向量与立体几何
考点分析
已知角度求点的位置关系 建立空间直角坐标系 用空间向量求解
第一题 线线平行 第二题 线线垂直 线面角 线面垂直 二面角 面面垂直
如图：在四面体中， CB=CD，AD⊥BD，点E、 F分别是AB、BD的中点． 求证： （1）直线EF平行于面 ACD
（2）面CEF⊥面BCD
O
Z
x
y
如图所示的多面体是由底面为 ABCD的长方体被AEC1F截面所截面 而得到的 其中 AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1 （Ⅰ）求BF的长； （Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中， AB⊥侧面BB1C1C，E为棱上C1C 上异于C1C的一点，EA⊥EB1， 已知AB= 2 ，BB1=2，BC=1， ∠BCC1=π/3 求：（Ⅰ）异面直线与的距离； （Ⅱ）二面角的
高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算0省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
2
S(0, 0,1)
B
C
易知面SBA的法向量n1 AD (0, 1 , 0) CD (1, 1 , 0), SD (0, 1 , 1) 2
x
A
Dy
设平面
2 SCD的法向量n2
2
n 方向朝面外，n 方向朝
(面x1,内y,，z)属, 于由“n2一进2 C一D出,”n2
SD, 得：
x y 2
中点, 则二面角E-BC-A大小是____4__5_0_
17/48
7.正三棱柱ABC A1B1C1中，D是AC中点，当 AB1 BC1时，求二面角D BC1 C余弦值。
8.已知正方体 ABCD A1B1C1D1边长为2， O为AC和BD交点，M为 DD中1 点
（1）求证： 直线B1O 面MAC; （2）求二面角 B1 MA C 余弦值.
5
8/48
练习：正方体 ABCD A1B1C1D1 棱长为1.
求B1C1与面AB1C所成的角. z
设正方体棱长为1，以 AB，AD，AA1为单 位正交基底，可得 A(0，0，0)，B1(1，0，1)，
A1
C (1，1，0)，C1(1，1，1)，则B1C1 (0，1，0)， B1
AB1 (1，0，1)，AC (1，1，0)
空间两条异面直线所成角可转化为两条相交
直线所成锐角或直角。故我们研究线线角时， 就主要求 范[0,围 ]内 角；
2
斜线与平面所成角是指斜线与它在面内射
影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在面内
这些特殊情况，线面角范围也是 ；[0, ]
2
两个平面所成角是用二面角平面角来度量。
它范围是
。 [0, ]
总之，空间角最终都能够转化为两相交直线所成角。所以 我们能够考虑经过两个向量夹角去求这些空间角。
S(0, 0,1)
B
C
易知面SBA的法向量n1 AD (0, 1 , 0) CD (1, 1 , 0), SD (0, 1 , 1) 2
x
A
Dy
设平面
2 SCD的法向量n2
2
n 方向朝面外，n 方向朝
(面x1,内y,，z)属, 于由“n2一进2 C一D出,”n2
SD, 得：
x y 2
中点, 则二面角E-BC-A大小是____4__5_0_
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7.正三棱柱ABC A1B1C1中，D是AC中点，当 AB1 BC1时，求二面角D BC1 C余弦值。
8.已知正方体 ABCD A1B1C1D1边长为2， O为AC和BD交点，M为 DD中1 点
（1）求证： 直线B1O 面MAC; （2）求二面角 B1 MA C 余弦值.
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练习：正方体 ABCD A1B1C1D1 棱长为1.
求B1C1与面AB1C所成的角. z
设正方体棱长为1，以 AB，AD，AA1为单 位正交基底，可得 A(0，0，0)，B1(1，0，1)，
A1
C (1，1，0)，C1(1，1，1)，则B1C1 (0，1，0)， B1
AB1 (1，0，1)，AC (1，1，0)
空间两条异面直线所成角可转化为两条相交
直线所成锐角或直角。故我们研究线线角时， 就主要求 范[0,围 ]内 角；
2
斜线与平面所成角是指斜线与它在面内射
影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在面内
这些特殊情况，线面角范围也是 ；[0, ]
2
两个平面所成角是用二面角平面角来度量。
它范围是
。 [0, ]
总之，空间角最终都能够转化为两相交直线所成角。所以 我们能够考虑经过两个向量夹角去求这些空间角。
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二 借力：立体几何 法3.等体积法
思路正确——4分
V V M A1BC1
B A1MC1
高正确——5分 结果——1分
求线面角方法小结：
①传统法： 一作二证三计算 ②等体积法： 体积好算 ③向量法： 坐标系好建
注意：计算的正确率，和
三 发力：立体几何板块复习思考
构建知识体系，理顺逻辑表征 锤炼常见方法，畅通思维推演 关注异类图形，活化问题视角
三 发力：立体几何空间角解题策略
18、如图，在三棱台 ABC-DEF 中，平面 BCFE⊥平面 ABC， z
∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.
（I）求证：BF⊥平面 ACFD；
（II）求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值.
cos 21
2016年浙江高考题（理）
C(3)二面角C-AB-D的平面角的余弦值_22____c_o_s.
B
2 1
特殊 一般 小题不大做
二 借力：立体几何
全市平均分 班级平均分 满分人数
满分率
9.7分 13分 27人 57.4%
（三角） （立体几何） （函数） （解析几何） （数列）
二 借力：立体几何
坐标求错
法向量求错
勤刷题保持敏感度！
二 借力：立体几何 计算要过硬！！！
sin cos
结果算错
概念错误
百花齐放的坐标系
考究的坐标系
法1.向量法
原则：要用的点更多落在 坐标轴或者坐标平面上！
二 借力：立体几何
作—证—算
证 线面角——4分 作
算
二 借力：立体几何
法2.传统法
线面角——4分
线段——2分 线段——2分 结果——1分
作茧自缚的决心、 破茧而出的勇气、 化蛹为蝶的信念.
最后蜕变成美丽的蝴蝶！
二面角求法
关键：将二面角问题转化为求其平面角的大小问题， 三种基本方法 ：
①直接利用定义，图(1)． ②利用三垂线定理及其逆定理(需要证明)，图(2)最常用． ③作棱的垂面，图(3)．
求角
1.异面直线角
0，
2
2.线面角
7
y x
17. (II)求二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值.
cos 3
4
课堂小结
知识与技能
1.异面直线角
0，
2
①传Hale Waihona Puke 法2.线面角0，2
方 ②等体积法 法
③向量法
①定义法（三垂线定理及其逆定理)
3.二面角
0，
方 法
②射影面积法 ③向量法
思想方法
特殊到一般 转化化归（空间问题平面化）
丑陋的小虫经历了：
0，2
求法：①一作二证三计算；②等体积法；
③向量法：
3.二面角 0，
求法：①一作二证三计算；②向量法：
二 借力：立体几何2017样卷19题探析
引例.下图为正方体，请回答下列问题：
D
D
C
C
A
B
A
B
(1)直线DA与BC所成角的余弦值_______. (2)直线DA与平面ABC所成角的余弦值______. (3)二面角C-AB-D的平面角的余弦值_______.
立体几何中的空间角
二 借力：立体几何热点问题 三 发力：立体几何板块复习
二 借力：立体几何
第（1）问6分
建系，坐标3分 法向量3分 计算2分 结果1分
引例:下图为正方体，请回答下列问题：
E A
D(1)直线DA与BC所成角的余弦值__3_3___c_o.s2
6
(2)直线DA与平面ABC所成角的余弦值_3___c_o_s.1