立体几何复习专题(空间角)(学生卷)
专题一:空间角
一、基础梳理
1.两条异面直线所成的角
(1)异面直线所成的角的范围:(0,
]2
π
。
(2)异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直。两条异面直线,a b 垂直,记作a b ⊥。
(3)求异面直线所成的角的方法:
(1)通过平移,在一条直线上(或空间)找一点,过该点作另一(或两条)直线的平行线; (2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有:平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 2.直线和平面所成的角(简称“线面角”) (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面,所成的角是直角;一直线平行于平面或在平面内,所成角为0?角。 直线和平面所成角范围:[0,
2
π]。 (2)最小角定理:斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
(3)公式:已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角, 且a 上的射影c 与b 相交成?2角,
则有θ??cos cos cos 21= 。
内的射影所成角,是这条斜线和这个平面内的任一条直
线所成角中最小的角。
3.二面角
(1)二面角的概念:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面。若棱为l ,两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--。 (2)二面角的平面角: 过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内...... 作棱的两条垂线,OA OB ,则AOB ∠叫做二面角
l αβ--的平面角。
说明:①二面角的平面角范围是[]0,π,因此二面
角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。
②二面角的平面角为直角时,则称为直二面角, 组成直二面角的两个平面互相垂直。
(3)二面角的求法:(一)直接法:作二面角的平面角的作法:①定义法;②棱的垂面法;③三垂线定理或逆定理法;(注意一些常见模型的二面角的平面角的作法) (二)间接法:面积射影定理的方法。 (4)面积射影定理:
面积射影定理:已知ABC ?的边BC 在平面α内,顶点A α?。设ABC ?的面积为S ,它在平
?2?1c b a
θP
αO A
B l B'
O'
A'
B O A βα
面α内的射影面积为1S ,且平面α与ABC ?所在平面所成的二面角为00
(090)θθ<<,则
1
cos S S
θ=
。 注:①面积射影定理反映了斜面面积、射影面积 和这两个平面所成二面角的平面角间的关系; ABC ?可以推广到任意的多边形。
②在二面角的平面角不易作时,经常采用 “面积射影定理法”。
二、能力巩固
考点一:异面直线所成的角
例1. 如图所示,111A B C ABC -是直三棱柱,
90BCA ∠=,点11D F 、分别是11A B 和11A C 的中点,若1BC CA CC ==,求1BD 与1AF 所
成角的余弦值。
(答案:10
)
变式训练1:
三棱柱111B A O OAB -,平面11O OBB ⊥平面OAB ,
90,601=∠=∠AOB OB O ,且12,OB OO ==
OA =B A 1与1AO 所成角的余弦。
考点二:直线和平面所成的角
例2. 如图,在三棱柱ABC A B C '''-中,四 边形A ABB ''是菱形,四边形BCC B ''是矩形,
C B AB ''⊥,02,4,60C B AB ABB '''==∠=, 求AC '与平面BCC B ''所成角的正切。
变式训练2:
(1)在0
120的二面角P a Q --的两个面P 与Q 内分别有两点A B 、,已知点A 和点B 到棱的距离分别为2,4cm cm ,且线段10AB cm =。求:
A B
C
D
1A θ
S
1
S αA
B
1F
C
1A
1B
1C
1D A
B
O
1A
1B
1O
A
C
A '
B '
C '
①直线AB 和棱a 所成角的正弦值;②直线AB 和平面Q 所成角的正弦值。 (2)(08全国Ⅰ11)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) A .13
B
.
3
C
.
3
D .
23
(3)如图,在矩形ABCD
中,3AB BC ==,沿对角线BD 将BCD ?折起,使点C 移到
C '点,且C '点在平面AB
D 上的射影O 恰在AB 上。求直线AB 与平面BC D '所成角的大小。
(4)①AB 为平面β的斜线,则平面β内过A 点的直线l 与AB 所成的最小角为_____________, 最大角为__________________。平面内过A 点的 直线l 与AB 所成角θ的范围为_______________。
②AB 与平面β内不过A 点的直线所成的角的范围 为_______________________。
③直线1l 与平面α所成的角为0
30,直线2l 与1l 所成角为0
60,则2l 与平面α所成角的取值范围是______________________。
④(08四川卷9)设直线l ?平面α,过平面α外一点A 与,l α都成0
30角的直线有且只有 ( )
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
⑤过正方体的顶点A 作截面,使正方体的12条棱所在直线与截面
所成的角皆相等。试写出满足条件的一个截面________________________(注:只须任意写出一个),并证明。 考点三:平面和平面所成的角——二面角的求法 例3.(07全国Ⅱ)如图,在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为 正方形,侧棱SD ⊥底面ABCD E F ,,分别为AB SC ,的中点。
?
A
B
()C C '
D
O
C
(1)证明EF ∥平面SAD ;
(2)设2SD DC =,求二面角A EF D --的大小。
变式训练3:
(2008海淀区高三年级第一学期期末练习)如图所示, 在直三棱柱111ABC A B C -中,0
90,1,ACB CB ∠==
1CA AA ==M 为侧棱1CC 上一点, 1AM BA ⊥。
(1)求证:1AM A BC ⊥平面; (2)求二面角B AM C --的大小; (3)求点C 到平面ABM 的距离。
变式训练4: (1)(08全国Ⅰ18)四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为矩形,侧面
ABC ⊥底面BCDE ,2BC =
,CD =AB AC =。 ①证明:AD CE ⊥;
②设CE 与平面ABE 所成的角为45,求二面角C AD E --的大小。
(2)S 为直角梯形ABCD 所在平面外一点0
,90,ABC SA ∠=⊥
面,ABCD SA AB BC ===1,1
2
AD =,求平面SCD 与平面
A B
M
C
1A 1B
1C
C
D
E
A
B S
B
SAB 所成二面角的大小。
(3)(08全国Ⅰ16)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ,二面角C AB D --的
余弦值为
3
,M N ,分别是AC BC ,的中点,则EM AN ,所成角的余弦值等于 。
(4)三棱锥A BCD -中,,,AC BD AD BC AB CD ===,三个侧面与底面所成的二面角分别为αβγ、、,则cos cos cos αβγ++=____________________。
例4.如图所示,已知平行六面体 1111ABCD A B C D -的底面ABCD
是矩形,且侧面11
ABB A ⊥底面
ABCD ,11,3,AB BB AN NB ==
M 、E 分别是1B C 、AB 的中点,
F 是EC
的中点,4,AB MN ==,
侧棱与底面ABCD 成0
45的角。 (1)求证:MF ⊥底面ABCD ; (2)求二面角M AB C --的大小;
(3)求MN 与平面1B CE 所成角的大小。
课后作业(一):
1.(1)已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,A 1B ⊥CB 1,则
A B
C
1A
1B
1C
E
D
1D M
F
N A
B
A 1
B 与A
C 1所成的角为( ) (A )450 (B )600 (C )900 (
D )1200
(2)(08全国Ⅱ10)已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE SD ,所成的角的余弦值为( )
A .
13 B
.3 C
D .2
3
(3)Rt ABC ?的斜边在平面α内,顶点A 在α外,BAC ∠在平面α内的射影是BA C '∠,则BA C '∠的范围是________________。
(4)从平面α外一点P 向平面α引垂线和斜线,A 为垂足,B 为斜足,射线BC α?,这时
PBC ∠为钝角,设,PBC x ABC y ∠=∠=,则( )
A.x y >
B.x y =
C.x y <
D.,x y 的大小关系不确定
(5)相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°,那么这两条直线在平面α内的
射影所成的角是( )
A .30°
B .45°
C .60°
D .90°
(6)一条与平面相交的线段,其长度为10cm ,两端点到平面的距离分别是2cm ,3cm ,这条线
段与平面α所成的角是 ;若一条线段与平面不相交,两端点到平面的距离分别是2cm ,3cm ,则线段所在直线与平面α所成的角是 。
(7)PA 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线,每两条夹角都是60°,那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是( )
A .
2
1
B .
22 C .36
D .33
(8)如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,
,M N 分别是1,A A AB 上的点,若0190NMC ∠=,
那么1NMB ∠的大小是( ) A.大于0
90 B.小于0
90
C. 0
90 D.不能确定
(9)已知SO ABC ⊥?所在平面于O 点,且S 到,,A B C 三点等距离,若ABC ?中,有
cos cos sin sin A B A B >,则O 点( )
A.必在ABC ?的某一边上
B.必在ABC ?外部(不含边界)
C.必在ABC ?内部(不含边界)
D.以上都不对
(10)如果直角三角形的斜边与平面α平行,两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为 21θθ和,则( )
A .1sin sin 2212≥+θθ
B .1sin sin 2212≤+θθ
C .1sin sin 2212>+θθ
D .1sin sin 2212<+θθ (11)(08陕西卷9)如图,l A B αβαβαβ⊥=∈∈,,,,
A B ,到l 的距离分别是a 和b ,AB 与αβ,所成的角分别 是θ和?,AB 在αβ,内的射影分别是m 和n ,若a b >,
A B C
D
1A 1
B 1
C 1
D M
N
A B a b
l
α
β
则( )
A .m n θ?>>,
B .m n θ?><,
C .m n θ?<<,
D .m n θ?<>,
(12)与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________。
2.已知直三棱柱111,,ABC A B C AB AC F -=为1BB 上一点,12,BF BC a FB a ===。 (1)若D 为BC 的中点,E 为AD 上不同于A D 、的任意一点,证明:1EF FC ⊥; (2)若113A B a =,求1FC 与平面11AA B B 所成角的正弦值。
3.已知直角三角形ABC 的两直角边2,3AC BC ==,P 为斜边AB 上的一点,现沿CP 将ACP ?折起,使A 点到A '点,且A '在面BCP 内的射影在CP 上。当7A B '=时,求二面角 P A C B '--的大小。
4.如图正三棱柱111ABC A B C -中,底面边长为a ,侧棱
长为
2
2
a ,若经过对角线1AB 且与对角线1BC 平行的平
\面交上底面于1DB 。(1)试确定D 点的位置,并证明你 的结论;(2)求平面1AB D 与侧面1AB 所成的角及平面
1AB D 与底面所成的角;(3)求1A 到平面1AB D 的
距离。
5.如图, 在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =
A B
F
C E
1A 1B 1C D
?
A
B C P 2 3
()A A '
B
C P
G
F E D C 1
B 1
A 1
C
B
A
AD =2,DC =23,AA 1=3,AD ⊥DC ,AC ⊥BD, 垂足为E 。 (I )求证:BD ⊥A 1C ;
(II )求二面角A 1-BD -C 1的大小;
(III )求异面直线 AD 与 BC 1所成角的大小。
6.(08四川卷19)如图,平面ABEF ⊥平面ABCD ,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,
90BAD FAB ∠=∠=,12BC AD
∥,12
BE AF ∥。 (Ⅰ)证明:C D F E ,,,四点共面;
(Ⅱ)设AB BC BE ==,求二面角A ED B --的大小。
7.(08江西20)如图,正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA OB OC ,,两两垂直,且长度均为 2。E F ,分别是AB AC ,的中点,H 是EF 的中点,过EF 的一个平面与侧棱OA OB OC ,,或其延长线分别相交于111A B C ,,,已知132
OA =。 (1)证明:11B C ⊥平面OAH ; (2)求二面角111O A B C --的大小。
8.如图,已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面为正方形,1O 、O 分别为上、下底面的中心,且1A 在底面ABCD 上的射影是O 。
F
A
B
C
D
E A
B C H F
O
C 1
A 1 E
B 1
(1)求证:平面1O DC ⊥平面ABCD ;
(2)若点,E F 分别在棱1,AA BC 上,且12AE EA =,问点F 在何处时,EF AD ⊥? (3)若0
160A AB ∠=,求二面角1C AA B --的大小(用反三角函数表示)。
9.如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -,侧棱长为3,底面边长为2,是棱的中点。 (1)求证:1//BD 平面1C DE ; (2)求二面角1C DE C --的大小;
(3)在侧棱1BB 上是否存在点P ,使得CP ⊥平面1C DE ?证明你的结论。
10.(08山东卷20)如图,已知四棱锥P-ABCD ,底面ABCD 为菱形,PA ⊥平面ABCD ,60ABC ∠=?,E ,F 分别是BC, PC 的中点。
(Ⅰ)证明:AE ⊥PD ;
(Ⅱ)若H 为PD 上的动点,EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为6
,求二面角E —AF —C 的余弦值。
课后作业(一)答案:
D 1 O A 1 B D A B 1 C 1 1O E
F D 1
A 1
B
D A
B 1
C
C 1
E
1.(1)C ; (2)C ; (3)00
(90,180]; (4)C ; (5)D ; (6)略; (7)D ; (8)C ; (9)B ; (10)B ; (11)D ; (12)解:如图中,截面ACD 1和截面ACB 1均符 合题意要求,这样的截面共有8个。
2.(1)转证线面垂直;(2
)sin θ=
。
3.
(或)。 4.(1)D 为11A C 的中点;(2
)0
45;(3
。 5.(1)三垂线定理;(2)0
90;(3
)。 6.解:(Ⅰ)延长DC 交AB 的延长线于点G ,由1
2
BC AD
∥得 1
2GB GC BC GA GD AD ===,延长FE 交交AB 的延长线于点G ', 同理可得12G E G B BE G F G A AF ''===''.故G B GB G A GA
'=',即G '与G 重合, 因此直线CD EF ,相交于点G ,即C D F E ,,,四点共面。
(Ⅱ)设1AB =,则1BC BE ==,2AD =.取AE 中点M ,则BM AE ⊥,又由已知得,AD ⊥平面ABEF ,故AD BM ⊥,BM 与平面ADE 内两相交直线AD AE ,都垂直, 所以BM ⊥平面ADE ,作MN DE ⊥,垂足为N ,连结BN ,由三垂线定理知BN ED ⊥,
BNM ∠为二面角A ED B --
的平面角,1223
AD AE BM MN DE ?
===, 故tan 2BM BNM
MN ∠==,所以二面角A DE B --的大小为arctan 2
7.解:(1)依题设,EF 是ABC △的中位线,所以EF BC ∥,则EF ∥平面OBC ,所以11EF B C ∥.又H 是EF 的中点,所以AH EF ⊥, 则11AH B C ⊥.因为OA OB ⊥,OA OC ⊥, 所以OA ⊥平面OBC ,则11OA B C ⊥, 因此11B C ⊥平面OAH 。 (2)作11ON A B ⊥于N ,连1C N .因为1OC ⊥平面11OA B , 根据三垂线定理知,111C N A B ⊥,1ONC ∠就是二面角 111O A B C --的平面角,作1EM OB ⊥于M ,则EM OA ∥,则M 是OB 的中点,则
1EM OM ==,设1OB x =,由111OB OA MB EM =
得3
12
x x =-,解得3x =,
1
A
B
C H F
O C 1 A 1 E
1 N M F
A B C E G (')
M N
即113OB OC ==,在11Rt OA B △中,22
11113
52A B OA OB =+=
,
则11115
OA OB ON A B ==, 所以1
1tan 5OC ONC ON
∠=
=,故二面角111O A B C --的大小为arctan 5。 8.(1)略;(2)F 为BC 棱上靠近B 的三等分点时满足;(3)6
arcsin 。
9.(1)略;(2)35
arctan ;(3)不存在这样的点P 。
10.解:(Ⅰ)证明:由四边形ABCD 为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC 为正三角形。因E 为BC 的中点,所以AE ⊥BC 。
又BC ∥AD ,因此AE ⊥AD 。因为PA ⊥平面ABCD ,AE ?平面ABCD ,所以PA ⊥AE 。而PA ?平面PAD ,AD ?平面PAD 且PA ∩AD=A ,所以AE ⊥平面PAD ,又PD ?平面PAD ,所以AE ⊥PD 。
(Ⅱ)解:设AB=2,H 为PD 上任意一点,连接AH ,EH. 由(Ⅰ)知AE ⊥平面PAD ,则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角,在Rt △EAH 中,AE=3,所以当AH 最短时, ∠EHA 最大,即当AH ⊥PD 时,∠EHA 最大, 此时tan ∠EHA=
36
,AE AH ==因此AH=2, 又AD=2,所以∠ADH=45°,所以PA=2.因为PA ⊥平面ABCD ,PA ?平面PAC ,
所以平面PAC ⊥平面ABCD ,过E 作EO ⊥AC 于O ,则EO ⊥平面PAC ,过O 作OS ⊥AF 于S ,连接ES ,则∠ESO 为二面角E-AF-C 的平面角,
在Rt △AOE 中,EO=AE ·sin30°=
3,AO=AE ·cos30°=3
2
,又F 是PC 的中点,在Rt △ASO 中,SO=AO ·sin45°=324
,又22
3830,49SE EO SO =+=
+= 在Rt △ESO 中,cos ∠ESO=32
15
4,530
SO SE ==即所求二面角的余弦值为155。
立体几何空间角
D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1:异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2:如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角,我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3:在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角 (1)一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角 (2)一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0 ?的角 (3)直线和平面所成角的范围是[0?,90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则 叫做二面角的平面角. 注:①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究: 1、如图:表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-, 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中,2 AD BC ==,,E F分别是, AB CD的中点,3 EF=, 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中,试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中,求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1
立体几何中用传统法求空间角
-立体几何中的传统法求空间角 知识点: 一.异面直线所成角:平移法 二.线面角 1.定义法:此法中最难的是找到平面的垂线.1.)求证面垂线,2).图形中是否有 面面垂直的结构,找到交线,作交线的垂线即可。 2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA 三.求二面角的方法 1、直接用定义找,暂不做任何辅助线; 2、三垂线法找二面角的平面角. 例一:如图,在正方体错误!未找到引用源。中,错误!未找到 引用源。、错误!未找到引用源。分别是错误!未找到引用 源。、错误!未找到引用源。的中点,则异面直线错误!未 找到引用源。与错误!未找到引用源。所成的角的大小是 ______90______. 考向二线面角 例二、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩 形,AD⊥PD,BC=1, ,PD=CD=2. (I)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(II)证明平面PDC⊥平面ABCD; (III)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。 N A 1
练 习 : 如图 , 在 三棱锥 P ABC -中, PA ⊥底面 ,, 60,A B C P A A B A B C B C A ?? =∠=∠=, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BC (Ⅰ)求证:BC ⊥平面PAC ; (Ⅱ)当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值; (Ⅰ)∵PA ⊥底面ABC ,∴PA ⊥BC . 又90BCA ? ∠=,∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC . (Ⅱ)∵D 为PB 的中点,DE//BC ,
∴1 2 DE BC = , 又由(Ⅰ)知,BC ⊥平面PAC , ∴DE ⊥平面PAC ,垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角, ∵PA ⊥底面ABC ,∴PA ⊥AB ,又PA=A B , ∴△ABP 为等腰直角三角形,∴ AD AB = , ∴在Rt △ABC 中,60ABC ? ∠=,∴1 2 BC AB = . ∴在Rt △ADE 中,sin 24 DE BC DAE AD AD ∠= ==, 考向三: 二面角问题 在图中做出下面例题中二面角 例三:.定义法(2011广东理18) 如图5.在椎体P-ABCD 中,ABCD 是边长为1的棱形, 且∠DAB=60?,PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明:AD ⊥平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值. 法一:(1)证明:取AD 中点G ,连接PG ,BG ,BD 。 因PA=PD ,有PG AD ⊥,在ABD ?中,1,60AB AD DAB ==∠=?,有ABD ?为 等边三角形,因此,BG AD BG PG G ⊥?=,所以AD ⊥平面 PBG ,.AD PB AD GB ?⊥⊥ 又PB//EF ,得AD EF ⊥,而DE//GB 得AD ⊥DE ,又FE DE E ?=,所以AD ⊥ 平面DEF 。
高考数学复习-第十二讲--立体几何之空间角
第十二讲 立体几何之空间角 一、基本知识回顾 空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1) 异面直线所成角 1.022.π??? ? ???????????范围:,平移相交(找平行线替换)求法:向量法??? ??20π, 2) 直线与平面所成角 1.π???????????????? 范围0,2定义2.求法向量法?? ? ? ??2,0π n m n m ??=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α?a 若n m //则α⊥a 3) 二面角[]1.0.2.π??? ?????? ?? ???? ???? ?????? 范围:定义法(即垂面法)作二面角平面角的方法:三垂线定理及逆定理垂线法 直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法 θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面 角) 当θ为锐角时,n m n m ??=arccos θ 当θ为锐角时,n m n m ??-=arccos πθ
二、例题讲解 1.在正三棱柱 111 ABC A B C -中,若 1 2, AB BB =求 1 AB与B C 1 所成的角的大小。 解:法一:如图一所示, 设O为C B 1 、B C 1 的交点,D AC 为的中点,则所求角是DOB ∠。 设 1 ,2 BB a AB a == 则,于是在DOB ?中, 1 222 1 1336 ,2, 2222 13 ,, 2 OB BC a BD a a OD AB a BD OB OD ==== ===+ 即90, DOB ∠=?∴? = ∠90 DOB 法二:取 11 A B的中点O为坐标原点,如图建立空间直角坐标系, xyz O-AB 2 1 的长度单位,则由
文科立体几何面角二面角专题-带答案
文科立体几何线面角二面角专题 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、解答题 1.如图,在三棱锥中,,,为的中点.(1)证明:平面; (2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值. 2.如图,在三棱锥中,,,为的中点.(1)证明:平面; (2)若点在棱上,且,求点到平面的距离. 3.(2018年浙江卷)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(Ⅰ)证明:AB1⊥平面A1B1C1; (Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. 4.如图,在三棱柱中,点P,G分别是,的中点,已知⊥平面 ABC,==3,==2. (I)求异面直线与AB所成角的余弦值; (II)求证:⊥平面; (III)求直线与平面所成角的正弦值. 5.如图,四棱锥,底面是正方形,,,,分别是,的中点.
(1)求证; (2)求二面角的余弦值. 6.如图,三棱柱中,侧棱底面,且各棱长均相等.,,分别为棱,,的中点. (1)证明:平面; (2)证明:平面平面; (3)求直线与直线所成角的正弦值. 7.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠AB D=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF. (Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面BDEF; (Ⅱ)若二面角C BF D的大小为60°,求CF与平面ABCD所成角的正弦值. 8.如图,在四棱锥中,平面,,,
,点是与的交点,点在线段上,且. (1)证明:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 9.在多面体中,底面是梯形,四边形是正方形,,,,, (1)求证:平面平面; (2)设为线段上一点,,求二面角的平面角的余弦值. 10.如图,在多面体中,四边形为等腰梯形,,已知,,,四边形为直角梯形,,. (1)证明:平面,平面平面;
立体几何之空间角(经典)
中小学1对1课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象 冯芷茜 授课教师 徐江鸣 授课时间 2013-9-19 授课题目 立体几何中的空间角 课 型 复习课 使用教具 讲义、纸、笔 教学目标 熟悉高考中立体几何题型的一般解法 教学重点和难点 重点:运用空间直角坐标系的方法解决立体几何问题 难点:二面角,线面角的空间想象能力 参考教材 人教版高中教材 高考考纲 历年高考真题 教学流程及授课详案 【知识讲解】 空间角的求法:(所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是直角三角形) (1)异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围:o o 900≤<α; 注意:若异面直线中一条直线是三角形的一边,则平移时可找三角形的中位线。有的还可以 通过补形,如:将三棱柱补成四棱柱;将正方体再加上三个同样的正方体,补成一个底面是正方形的长方体。 (2)线面所成的角:①线面平行或直线在平面内:线面所成的角为o 0; ②线面垂直:线面所成的角为o 90; ③斜线与平面所成的角:范围o o 900<<α;即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。 (3)二面角:关键是找出二面角的平面角。方法有:①定义法;②三垂线定理法;③垂面法; 注意:还可以用射影法:S S ' cos =θ;其中θ为二面角βα--l 的大小,S 为α内的一个封 闭几何图形的面积;'S 为α内的一个封闭几何图形在β内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。 时 间 分 配 及 备 注
【题海拾贝】 例1在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点. EF平面P AD; (1)求证:// (2)当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时, EF平面PCD? 直线 例2已知多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC = AD = CD = DE = 2a,AB = a, F为CD的中点. (Ⅰ)求证:AF⊥平面CDE; (Ⅱ)求异面直线AC,BE所成角余弦值; (Ⅲ)求面ACD和面BCE所成二面角的大小.
建立空间直角坐标系-解立体几何题
建立空间直角坐标系,解立体几何高考题 立体几何重点、热点: 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等. 常用公式: 1 、求线段的长度: 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离: PN = ,(N 为垂足,M 为斜足,为平面α的法向量) 3、求直线l 与平面α所成的角:|||||sin |n PM ?= θ,(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角:cos = θ 5、求二面角的平面角θ:|||||cos |21n n ?= θ,( 1n ,2n 为二面角的两个面的法向量) 6、求二面角的平面角θ:S S 射影 = θ cos ,(射影面积法) 7、求法向量:①找;②求:设, 为平面α内的任意两个向量,)1,,(y x =为α的法向量, 则由方程组?????=?=?0 n b n a ,可求得法向量.