2-2柯西定理
3.2 柯西积分定理
D
C1
Γ C2
复 变
在边界 C C1 C2 上连续，
函 G 为 D 内的一条“闭曲线”，
数
的 则 f (z)dz f (z)dz f (z)dz .
积
C1
C2
Γ
分
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在
区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。
11
§3.2 柯西积分定理
C1
ba
C2
ab
由 f (z)dz f (z)dz 0, f (z)dz f (z)dz 0,
ba
ab
C1
C2
f (z)dz 0 或 f (z)dz f (z)dz .
C
C1
C2
10
§3.2 柯西积分定理
二、闭路变形原理
第 三 闭路变形原理 P78
章 如图，设 f (z) 在 D 内解析，
的 积
(2) 定理中的条件还可以进一步减弱。
分 定理 设单连域 D的边界为C，函数 f (z)
P77 在 D内解析，在 D D C 上连续，
则有 C f (z)dz 0.
G
G
C D
9
§3.2 柯西积分定理
二、闭路变形原理
第
三 将柯西积分定理推广到二连域
D
章 定理 设二连域 D的边界为 C C1 C2 (如图)，
ÑC f (z)d z 0. 6
§3.2 柯西积分定理
第 1825年，柯西给出了“单连通域D内处处解析的 f(z) 在
三 章
D内沿任意一条闭曲线C的积分Ñc f (z)d z 0 ”。
—Cauchy 定理
复 变
当时，解析函数的定义为“ f’(z)存在，且在D内连续”。
柯西中值定理的几何意义
柯西中值定理的几何意义数学是人类智慧的结晶，它对我们大有裨益。
在数学中，有许多定理如芝麻开花——节节高，而中值定理就是其中之一。
一、基本情况介绍（一）柯西中值定理的几何意义，不是证明什么结论，而是用特殊形式揭示了该结论的某些重要性质。
它适用于所有的空间与平面，包括一般的几何、解析几何和微分几何。
例如：直线上各点的斜率乘积等于该点的切线与直线的夹角;两条相交直线与斜边的夹角，两个锐角平分线的距离等于它们的斜率的积的一半;两条直线相交，若斜边与一条直线垂直，则它们的交点的斜率等于它们的斜率之积。
再如：设曲线上有n个点，曲线的每一个曲线坐标为y，…， y=1、 2、 3…，那么它与x轴正半轴的交点（到原点的距离）的平方和的积，恰好等于它与x轴正半轴的交点（到原点的距离）的斜率的积的n倍。
（二）基本性质。
由于柯西中值定理是用特殊的几何图形来表达的，所以可用直观的方法得到一系列定理或性质。
1、（ n-1）/22、(n-1)/(n-1)3、（ n-1）/(n-1)4、 n-1/n5、（ n-1）/n6、 n/2=2n+1(n=0， 1， 2…)它是一个极限运算，当n趋向于无穷时，“ n/n”必然趋向于无穷。
因此，可将此式视为无穷小。
柯西中值定理具有非常重要的意义，它是一条非常重要的定理，即：当p+q=n时， p的绝对值趋向于1，且等于q的绝对值。
它也称为柯西收敛准则，即：当p+q=n时，若f/f(n)> 0，则f的增长趋于柯西。
二、适用范围（一）直线上各点的斜率乘积等于该点的切线与直线的夹角。
由于柯西中值定理仅仅是用来证明直线与x轴的夹角或平面与x轴的夹角的，但这些证明过程都比较复杂，可能读者朋友觉得这并不重要，但笔者认为这也是十分重要的，从中我们可以看出来它也适用于其他平面与x轴的夹角。
在证明时只要稍作改变，它就可以推广到更多的领域。
（二）证明1、直线与x轴的夹角的证明由于直线与x轴的夹角可用一条直线来表示，而这条直线的斜率就等于它的切线与直线的夹角，那么这条直线的斜率与该点的切线与直线的夹角的关系是：当直线与x轴的夹角的余弦为直线的斜率时，它的斜率也等于该点的切线与直线的夹角。
柯西积分定理
( z)
=
1 z2
在
z
=
1内.
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30
四、小结与思考
本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原
理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它
是本章的难点.
常用结论:
(z
1 − a)n+1
dz
=
2i, 0,
n=0 n 0.
33
思考题
复合闭路定理在积分计算中有什么用? 要 注意什么问题?
z2
dz −z
1
1
=
dz + z −1
z
dz
= 2 i + 2 i
= 4i.
y
C1
C2
o
•
•
1
x
25
例5 计算积分 ez dz , 为正向圆周 z = 2 和负
z
y
向圆周 z = 1 所组成.
C1
解 C1 和 C2 围成一个圆环域, 函数 ez 在此圆环域和其边界
z
C2 o1
2x
上处处解析, 圆环域的边界构成一条复合闭路,
︵
C
A A
D1
D
︵
B
C1
B
证明：作两段不相交的弧段 AA 和 BB,
为了讨论方便 , 添加字符 E, E, F , F ,
显然曲线 AEBBEAA,AAF BBFA均为封闭曲线 .
因为它们的内部全含于 D,
故 f (z)dz = 0, AEBBE A A
CF A A F
B
f (z)dz = 0.
并注意定理成立的条件.
28
思考题
应用柯西–古萨定理应注意什么?
柯西收敛定理
柯西收敛定理“柯西收敛原理”是数学分析中的一个重要定理之一，这一原理的提出为研究数列极限和函数极限提供了新的思路和方法。
在有了极限的定义之后，为了判断具体某一数列或函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。
在经过了许多数学家的不断努力之后，终于由法国数学家柯西（Cauchy）获得了完善的结果。
下面我们将以定理的形式来叙述它，这个定理称为“柯西收敛原理”。
定理叙述：数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立将柯西收敛原理推广到函数极限中则有：函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z 时，有|f(x)-f(y)|<ε成立此外柯西收敛原理还可推广到广义积分是否收敛，数项级数是否收敛的判别中，有较大的适用范围。
证明举例：证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限证：对于任意的m,n属于正整数，m>n|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |当m-n为奇数时|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m=（1/n-1/m）→0由柯西收敛原理得{xn}收敛当m-n为偶数时|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0由柯西收敛原理得{xn}收敛综上{xn}收敛，即{xn}存在极限。
柯西中值定理里面的
柯西中值定理是一种数学定理，它可以帮助研究者确定函数在规定范围内的极值。
柯西中值定理告诉我们，如果一个函数可以在[a, b]的范围内不连续，至少有一个极大值和一个极小值，则必定存在一个点c，使f(c) = (f(a) + f(b))/2。
来自中值定理的结论是一个十分重要的数学定理，在很多数学定理中都有使用。
柯西中值定理的本质是，一个函数在给定范围内存在极值，满足f(c) = (f(a) + f(b))/2的c叫做函数的中值，其中的c是a到b之间的某个值，称为中值点。
换句话说，中值点是[a, b]这个区间上函数f的中间那个点。
函数在这个点处的值一定大于它的左边的点的值，且小于它的右边的点的值。
因此，中值点就是函数在某个区间内存在的极值。
柯西中值定理和函数的连续性有很大的关系，它说明任何在某一区间内不连续的函数在该区间内至少有一个极值点存在。
所以说，如果对一个函数在某个区间内求解极值，只要知道此时函数的两个数值，就能够利用柯西中值定理来确定极值点c。
柯西中值定理在现在的数学研究中有着重要的作用，它的结果可以应用于求解最大值、最小值、最平衡值以及其他种种极值问题，在科学和工程领域也是比较主要的一种技术手段。
柯西中值定理的帮助，我们可以轻松地研究函数在[a,b]的范围内的极值，这是复杂函数求解中的一个十分重要的里程碑。
-柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
1 f (z)
f (z0 ) 2i
dz C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
2
例 设 C 是不通过z0 的简单正向闭曲线,
求 g(z0 )
z4 z2 C (z z0 )3 dz
的值。
解:
当
z0
在C
的 外 部 时,
z4 z2 (z z0 )3
在 C 内解析
由柯西积分定理, 有 g(z0 ) 0
当 z0 在 C 的内部时, 设 f (z) z4 z2 ,由高阶导数
二、 高阶求导公式
定理 设 f (z) 在 D内解析, 在 C D 连续, C 为简单 正向闭曲线, 则 f (n)(z) 在 D内仍解析, 且f(n)(z0 )
n!
2i
f (z) C (z z0 )n1 dz,
z0 D,
n 1,2,...
说明 : (1 ) C 可以是含于 D 内任何包含 z0 的简单正向闭曲线;
2i
2 0
f
(z0 re i re i
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
1 cos z
3z 1
(1)
柯西中值定理推导拉格朗日中值定理
柯西中值定理推导拉格朗日中值定理柯西中值定理推导拉格朗日中值定理1. 引言柯西中值定理和拉格朗日中值定理是微积分中的两个重要定理，它们分别描述了连续函数和可导函数的性质。
本文将介绍柯西中值定理，并推导出拉格朗日中值定理，以帮助读者更深入地理解这两个定理之间的联系和重要性。
2. 柯西中值定理的陈述柯西中值定理是关于连续函数的一个定理，它指出：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，并且g(x)不为零，则存在一个点c ∈ (a, b)，使得[f(f)−f(f)]f(f)=[f(f)−f(f)]f(f)。
3. 柯西中值定理的证明为了证明柯西中值定理，我们定义一个函数h(x) =[f(f)−f(f)]f(f)−[f(f)−f(f)]f(f)。
根据连续函数的性质，我们知道h(x)在闭区间[a, b]上也是连续的。
根据柯西中值定理的陈述，我们需要证明存在一个点c ∈ (a, b)，使得h(c) = 0。
假设h(x)在闭区间[a, b]上的最大值和最小值分别为M和m。
根据最大值和最小值定理，连续函数h(x)在闭区间[a, b]上必然取到最大值和最小值。
如果我们假设h(x)不恒为零，那么h(x)在闭区间[a, b]上要么恒大于零，要么恒小于零。
不失一般性，我们假设h(x)恒大于零。
这意味着h(a) > 0且h(b) > 0。
由于h(x)连续，根据介值定理，我们可以找到一个点c ∈ (a, b)，使得h(c) = 0。
这与我们的假设矛盾，因此假设错误。
所以我们得出结论：存在一个点c ∈ (a, b)，使得h(c) = 0。
4. 拉格朗日中值定理的推导现在我们使用柯西中值定理来推导拉格朗日中值定理。
假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且可导，则根据柯西中值定理的结论，我们可以找到一个点c ∈ (a, b)，使得[f(f)−f(f)]f'(f)=[f(f)−f(f)]f'(f)。
一、柯西（Cauchy）中值定理
B
A
D
F ( 2 )F ( b )
o
F ( a ) F ( 1 ) F ( x )
x
f (b) f (a ) ( x ) f ( x ) f (a ) [ F ( x ) F (a )]. F (b) F (a ) ( x ) 满足罗尔定理的条件 ,
则在(a , b)内至少存在一点 , 使得 () 0.
tan x x 求 lim 2 . x 0 x tan x
2 sec x 1 tan x x lim 原式 lim 3 x 0 x 0 3 x2 x
tan x 1 2 sec x tan x 1 lim . lim x 0 3 x 0 x 3 6x
2
关于 型的极限，有下述定理
这种极限称为未定式本节我们就利用cauchy中值定理来建立求未定式极限的lhospital法则利用这一法则可以直接求型未定式解法洛必达法则定义称为那末极限tanlimsinlnsinlnlimbxax那末或为无穷大存在都存在且定理定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式 极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求
,
0 和 这两种基本未定式的极限，也可间接求出 0
0 , ,00 , 0 ,1 等其它类型的未定式的极限
0 三、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0
定义 如果当x a (或x )时,两个函数f ( x )
及 F ( x ) 都存在且 F ( x ) 0; f ( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大); x a F ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 lim lim . x a F ( x ) x a F ( x )
二维的柯西不等式
二维形式的柯西不等式 例1.已知 已知a,b为实数，求证 为实数， 已知 为实数
(a +b )(a +b ) ≥ (a +b )
4 4 2 2 3
3 2
例2.设a,b是正实数，a+b=1,求证 设 是正实数， 求证 是正实数
练习： 练习：
1 1 + ≥4 a b
1. 证明 (x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)2 证明: 2. 已知 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值 的最小值.
------二维形式的柯西不等式
一般地，对于 、 一般地，对于a、b
2 2
a +b ≥ 2ab
当且仅当 a
R，我们有： ∈ ，我们有：
= b 时，等号成立。 等号成立。
我们是如何推导的？你能类比它的推导 我们是如何推导的？ 过程，研究一下关于(a 过程，研究一下关于 2+b2)(c2+d2)的 的 不等关系吗？ 不等关系吗？
二维形式的柯西不等式
定理1：若a,b,c,d都是实数，则 定理 ： 都是实数， 都是实数
2 2 2 2
(a +b )(c +d ) ≥ (ac +bd)
2 2 2 2
2
当且仅当ad=bc时，等号成立. 时 当且仅当 推论： 推论：
1.
a +b ⋅ c +d ≥| ac +bd |
2 +
2.(a +c)(b+d) ≥ ( ac + bd ) .(a,b, c, d ∈R ) (1,2当且仅当 当且仅当ad=bc时，等号成立.) 当且仅当 时 3. a2 +b2 ⋅ c2 +d2 ≥ ac | +| bd | | 当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立. 当且仅当 时
第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西积分.
2020/7/9
第二章
7
Cauchy定理二：在 l1 为外境界线、lk (k 2,3,, n)为内境界线
围成的闭复通域上单值解析的函数f(z),有
n
f (z)dz 0
k 0 lk
（积分沿约定的路径正向）
证明：如图作辅助线，将复通区域 单通通域,应用单通区域Cauchy定理
f (z)dz+ f (z)dz+ [ ] f (z)dz
2020/7/9
第二章
13
1 柯西公式
定理：设f(z)是闭单通区域上的解析函数，l为境界线，则对区域任一点z，有
f (z)
1
2i
l
f
(
) z
d
(积分沿约定正向）
证明： f (z) f (z) 1 1 d 1 f (z) d
2i l z
2i l z
1
2iห้องสมุดไป่ตู้
l
f
( ) d
z
1
2i
l
f
注意1)该公式亦适用于复通域，l理解为所有境界线，积分沿境界线的约定正向； 2)应用该公式时，要切记适用条件.
2020/7/9
第二章
14
2 柯西公式的推论
2.1导数公式
f (n) (z) n!
2i
l
(
f ( )
z)n1
d
（n=1,2,…）
l l1
证明从略(P28～29).
[例]计算积分
z
5
z2
(z) f ( z
) d
f(z)- f()在l包围区域上解析，Cauchy定理推论3,
l
ρ可任意小，则
c: z
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f ( z)dz
即：
l
l1
f ( z )dz f ( z )dz 0
l2
f ( z)dz
i 1 n l i 1 n
n
li
f ( z )dz 0
li-为内境界线负 向即逆时针方向
或者
f ( z )dz f ( z )dz
li i 1 li
f ( z )dz 0
l
复连通区域的柯西定理：
若f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数，则
f ( z)dz
l i 1
n
li
f ( z )dz 0
其中l是区域外境界线， li是区域内境界线，积分 均沿境界线的正方向。 所谓复连通区域，即函数在区域中某些点处并不 解析（不可导、无意义等），这些点称为奇点， 做一些适当的闭合曲线将这些奇点挖去，形成带 “孔”的复连通区域。 境界线正方向：沿该方向前进时，区域总在观察 者的左边。
推论①： 积分起点、终点不变时，当l连续形 变，只要不跳过奇点，积分值不变； 推论②： 对闭路积分，l形变，只要不跳过孔， 积分值也不变。
C0
f ( z )dz f ( z )dz
i 1 Ci
n
一解析函数沿闭曲线的积分， 不随闭曲线在区域内作连续变 形而改变它的值，只要在变形 过程中，曲线不经过不解析点， 则积分值不变，此称为闭路变 形原理。
§2.2
柯西定理
讨论复变函数 l f ( z ) dz 积分值与路径的关系 单连通区域的柯西(Cauchy)定理：
若f(z)在闭单连通区域 B 上解析，l是 B 内任一 分段光滑的闭合曲线，则 证明： 复习
f ( z)dz udx vdy i vdx udy
l l l
f ( z )dz 0
实部
虚部
由C-R方程知，实部、虚部均满足
P Q y x
因此积分均与路径无关，得：
f ( z )dz 0
l
注：实际上，条件可以放宽至： (1) f(z)在单通区域B上解析； (2) f(z)在 B 上连续； l为 B 上任一分段光滑曲线。
Cauchy积分定理 （1825年Cauchy给出更弱条件下的结果） 设f(z)在单连通区域B上解析，l为B内任一条 围线，则：
l
对实积分 Pdx Qdy 在单连通域D上积 分与路径无关的充要条件是：
P Q y x
在D上处处成立，且P、Q有连续的一阶偏导数。
f ( z)dz udx vdy i vdx udy
l l l
P u Q v ， y y x x P v Q u ， y y x x
证明：
作割线连接内、外境界线， 复通区域→单通区域
f ( z)dz
l
l
AB
f ( z )dz f ( z )dz
l1 l2
BA
f ( z z f ( z )dz
DC
其中沿割线两边的积分值相互抵消，故：
f ( z)dz
l
f ( z )dz
柯西定理总结：
1）闭单通区域上的解析函数沿境界线或区域 内任一闭合曲线的积分为零； 2）闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界 线正方向（即外边界取逆时针方向，内边界取 顺时针方向）积分之和为零； 3）闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时 针方向积分等于沿所有内境界线逆时针积分之 和。