柯西古萨定理
3-2柯西-古萨定理
c
f ( z )dz 0.
Cauchy 积分定理的证明:
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
由 f ( z )解析，u, v 在D上可微，且
u v u v . ， y x x y
由牛顿-莱布尼兹公式知,
0 z cos zdz [ zsinz cosz]
i sin i cos i 1
i
i 0
e 1 e e 1 e 1 e 1. i 1 2i 2
另解
0 z cos zdz 0 zd(sin z )
[ z sin z ] sin zdz
由改进的Green公式
( v ) u [ ]dxdy 0 C udx vdy x y D u v v d x u d y [ ]dxdy 0 C x y D
1 e 1 （ ） dz 例求 z3 z2 | z | 1
f ( z )dz 0.
c
并注意定理成立的条件.
2.本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原 理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点. 2i , n 0 1 常用结论: n1 dz (z a) n 0. 0, 3.本课介绍了原函数、不定积分的定义以及 牛顿—莱布尼兹公式. 在学习中应注意与《高等 数学》中相关内容相结合, 更好的理解本课内容.
§3.2 柯西-古萨基本定理
1、Cauchy-Goursat基本定理 2、 Cauchy-Goursat定理的推广 3、不定积分 4、小结与思考
首先回顾高等数学中的Green定理:
复变函数3-2柯西-古萨定理
便可确定D内的一个单值函数 F(z)
z
f ( )d .
z0
定理二
如果函数 f (z) 在单连通域 D 内处处解析,
那末函数 F (z) z f ( )d 必为D 内的一个解 z0
析函数, 并且 F (z) f (z).
此定理与微积分学中的对变上限积分的求导 定理完全类似.
C D
注意2 若曲线 C 是区域 D 的边界, 函数 f (z) 在D内解析, 在闭区域 D D C 上连续, 则
c f (z)dz 0.
Cauchy 积分定理的证明:
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
由 f (z)解析，u, v 在D上可微，且
AEBBEAA
AAF BBFA
f (z)dz f (z)dz ︵ f (z)dz ︵ f (z)dz
C
C1
AA
AA
CF
︵ f (z)dz ︵ f (z)dz 0,
BB
BB
A A F B
即 f (z)dz f (z)dz 0,
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
其中，L是D的取正向的边界曲线。
3
1、Cauchy积分定理
定理 柯西－古萨基本定理
设D为单连通域 ,如果函数 f (z) A(D)
则对 D 内的任何一条封闭曲线 C,有 c f (z)dz 0.
此定理常称为柯西积分定理.
注意1 定理中的 C 可以不是简单曲线.
CF A A F
B
f (z)dz 0.
D1 E C1 B
AAF BBFA
柯西古萨定理
柯西古萨定理柯西古萨定理是复分析的一个基本定理，它描述了复变函数的积分与其在一个闭曲线上的积分的关系。
柯西古萨定理最初由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于19世纪初提出，之后被意大利数学家拉莫尼·索法拉托·古萨证明，因此也被称为柯西-古萨定理。
要理解柯西古萨定理，先要了解复数函数和复积分的概念。
复数函数是定义在复数集合上的函数，与实数函数类似，它也可以用一个公式来表示。
复积分是对一个复变函数在一条曲线上的积分，它可以看作一个实变函数在两个实数之间的积分的推广。
∮C f(z) dz = 0其中，∮C表示沿曲线C的积分，dz表示路径方向上的微元，f(z)表示z处的函数值。
也就是说，如果f(z)在一个区域内解析，则对于任意可求积的闭合曲线，它沿曲线的积分都等于0。
这个定理有很多重要的推论。
首先，柯西古萨定理保证了解析函数的定义不依赖于路径，即无论是沿着哪条路径求积分，结果都是相同的。
其次，它保证了解析函数无法在其区域内围绕任何一个点集存在无限阶的零点，这是由于沿着包含这个点的小曲线的积分总为0。
这个结论被称为解析函数的孤立奇点定理。
柯西古萨定理还有一些重要的推广和应用。
例如，当C是一个简单闭曲线时，柯西古萨定理推广为柯西定理，它保证了在D中解析的函数可以无穷次求导。
还有一个重要的应用是利用高斯定理（也称为斯托克斯定理）可以计算高维空间中的积分，这些定理也可以通过类似的方法证明。
需要注意的是，柯西古萨定理只对解析函数成立。
如果不是解析的，那么曲线积分不一定为0，从而无法应用这个定理。
例如，如果一个函数在某个点处不解析，那么它在该点附近的某个小圆曲线上的积分就不为0，无法满足柯西古萨定理。
此外，要注意闭合曲线的方向，如果方向相反，积分结果会有相反的符号，这也需要在应用定理时注意。
总之，柯西古萨定理是复分析中的基本定理之一，它描述了解析函数的积分和它在一个闭曲线上的积分的关系。
柯西古萨基本定理
柯西古萨基本定理
柯西古萨基定理是数学中最重要的定理之一，它是著名数学家威廉·柯西古萨基于1836年发现的。
这个定理是说，一个函数f（z）具有一定的属性：如果f（z）是可导的，其泰勒展开式的系数只由其局部累积分决定。
这个定理用来描述某函数被积分一次或多次后的结果，又叫做泰勒定理，它具有极大的数学意义和学术价值。
它为函数的数值激素，可积分函数等问题的推导提供了有力的理论和技术支持，它还可以被广泛用于数学分析，微分方程，积分学等诸多学科中。
柯西古萨基定理的数学推导使我们不仅能理解函数的数学特性，而且能够在两个函数之间建立联系。
这个定理也有助于构建某类函数的通用模型，方便人们对函数所做的任何变化进行计算和观察。
如果没有柯西古萨基定理，极大地限制了数学家预测函数行为的能力，也可能影响到其它学科的研究和应用。
因此，柯西古萨基定理可以说是数学研究的基石，发掘它的奥秘，发现它的深刻意义是数学发展历程中令人敬佩的突破。
它对数学对理论启示极其重要，并且丰富了函数分析在实际应用中的发展。
§32—§33 柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理
f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz 0 .
C C 1
f (z)dz 0.
此为柯西-古萨定理推广-闭路变形定理
本定理直观意义：函数沿闭曲线积分, 闭曲线在区域内作连续变形而不 经过奇点，则积分值不变。
11
§3.3 复合闭路定理
二、 复合闭路变形原理
设C为简单闭曲线, Ci(i=1,2…n )是在C内部的简单闭曲线,互不 相交互不包含,C的内部与 诸Ci的外部围成绿色复连通区域D 称C+C1- +C2- +· · · +Cn-为复围线,记为Γ ,包围着 绿色复连通区域D. 如果 f(z)在D内解析,那么
C
例2 解
函数z在C内处处解析，根据柯西-古萨定理,有
zdz 0
C
6
§3.2
例3
解
柯西-古萨基本定理
1 计算积分 dz . 2 z 1 z i 1
1 1 1 1 , 2 z 1 2i i z i z
1 因 在 z i 1 解析, z i
L L
由于f(z)在区域 B 上解析，
推广：
3
§3.2
柯西-古萨基本定理
二、复通区域情形：当所研究的函数在区域B上非处处解析时(也就是在某些点或
者区域上不可导，即存在奇点，为了排除这些点，就要在区域上挖去这些点，形成 带孔的区域—所谓的复通区域.
柯西积分定理：如果函数f(z)在复通区域 B 上单值解析，则沿着区域内部任
根据柯西－古萨定理得
1 1 1 1 dz dz dz 2 2i i z i z 1 z z i 1 z i 1 z i 1
第二节柯西古萨定理
若c是 D 内的简单正向闭曲线 c，则有
f z dz udx vdy i vdx udy
c c c
根据格林公式
udx vdy v u d 0 x y c D
0
c
vdx udy D ( u x v y )d 0
第二节 柯西 - 古萨定理
设函数 f z u iv 在单连通域 D 内解析, 且 f z 在D 内连续。
由于 f z u x iv x v y iu y , 可知 u, v 在 D内 一阶偏导数连续，且u x v y，u y v x，以及
z z 解： (| z | e sin z ) dz | z | dz e c c c sin zdz
积分曲线为c： | z | a 0，则
e sin z在复平面内处处解析，由积分基本定理 z e c sin zdz 0
z
| z | dz
c
c
adz a c dz 0
z z (| z | e sin z ) dz | z | dz e c c c sin zdz 0
注：此题若用复积分计算公式，则很难算出结果。
c
f ( z )dz 0
例1、观察下列积分值, c 均为正向。
1 |z|1 z 2 dz 1 |z| 32 z 2 z 1 dz |z|1 z a dz(| a | 1) 1
解 : 考虑对于函数 f z ，c 所围成的区域是否为 单连通区域 ? 函数 f z 在此区域上是否解析? 1 对 积分 |z| 1 dz : z2
1 c z z dz 2 i 0
3-2柯西-古萨基本定理
B
如果函数f(z)在闭曲线C
C
为边界的单连域B内解析, 在C上连续,则必有
f z dz 0
意义：一个曲线的原积分难算，可找一个易算曲线（如圆周）的积分。则将难算 曲线上的积分转化成易算曲线上的积分。
C 2 C 3 C1
由此可见,积分的值与路线无关,或沿闭曲线的积分值为零的条 件,可能与被积函数的解析性和区域的单连通性有关.下面来得出 一般结果.
假设f(z)=u+iv在单连域B内处处解析,且f /(z)在B内连续.
由于f z u v v u u u v v i i ， 所 以 u, v , , , , 都在 x x y y x y x y
如果函数f(z)在单连域B内处处解析， 那末函数f(z)沿B内任何一条闭曲线C的积分为零: f z dz 0 注意定理的应用条件：
C
柯西-古萨基本定理
(1)B必须是单连域,不能是多连域. 1 dz 2 i 0 如上节例2的 C z z0 此时C:|z-z0|=r的内部不是单连域.
§2 柯西-古萨基本定理
上节例1的被积函数f(z)=z在复平面内处处解析,积分只与起点和 终点的 位置有关,而与路线无关,或沿闭曲线的积分为零. 1 例2中,当n=0时被积函数为 z z0 它在以z0为中心的圆周C的内部有一个奇点z0,其它点处处解析,而 1 dz 2 i 0 此时C的内部不是单连域. C z z0 例3中的被积函数在复平面内处处不解析,积分与路线有关,且沿 闭曲线的积分 zdz i 0.
柯西古萨定理证明
柯西古萨定理证明柯西古萨定理（Cauchy-Goursat Theorem）是一个基本的复变函数理论定理，它描述了可积的多连通域中解析函数的积分路径无关。
下面给出柯西古萨定理的一个简化版本的证明：假设函数f(z)在一个多连通域Ω内解析，并且C是Ω内的一个简单闭曲线。
我们要证明f(z)沿着C的积分值为0，即∮Cf(z)dz = 0。
证明分为两步：步骤1：首先，我们将C分成若干条小的线段和弧段，并用这些线段和弧段构成一条简单闭曲线L，在L内除了C上的点以外其他点都属于Ω。
然后，我们将C和L的积分进行比较。
我们有∮C f(z)dz = ∮L f(z)dz。
步骤2：然后，我们对f(z)进行洛必达定理（L'Hopital's rule）的推广。
洛必达定理表明，如果f(z)和g(z)在z=a处解析，并且满足f(a) = 0, g(a) = 0, g'(a) ≠ 0，则有lim(z→a) (f(z) / g(z)) =f'(a) / g'(a)。
考虑到f(z)在Ω内解析，我们可以将f(z)视为f(z) / (z - a)，其中a是Ω内的一个点。
我们选择一个足够小的圆盘D，以使a在D内，并且D完全在Ω中。
然后，我们将步骤1中的L替换为以D为核心的一个简单闭曲线C'，其内部没有C上的点。
根据洛必达定理的推广，我们有∮C' (f(z) / (z - a))dz = 2πif(a)，其中i是虚单位。
但是，由于f(z)在Ω内解析，f(a) = 0，因此我们有∮C' (f(z) / (z - a))dz = 0。
由于C和C'的路径都是可变的，我们可以将C和C'之间的距离取得足够接近，从而使得∮C f(z)dz = ∮C' f(z)dz。
因此，我们得到∮C f(z)dz = 0。
这就完成了柯西古萨定理的简化版本的证明。
注意，这仅适用于简单闭曲线C。
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§2 柯西——古萨定理及其应用一、引理与基本定理1.引理若()z f 在单连域D 内解析,且()z f '连续,则对任意简单闭曲线D C ⊂,有：()0=⎰C dzz f 。
证明 ()iv u z f += 解析,且()z f '连续，xvy u y v xu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂∴,且它们均连续。
从而，由格林公式，()⎰Cdz z f ivdy udxC +-=⎰⎰+C udy vdx000=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-=⎰⎰⎰⎰DDdxdy y v xu i dxdy y u x v 。
推论 若()z f 在一条简单闭曲线C 的内部及C 上解析，则()0=⎰Cdz z f 。
例1 计算⎰+Cizdz z e12，其中曲线C 为正向圆周：13=-i z 。
解 奇点i z ±=不在闭曲线C 内，∴在C 内，被积函数()z f 解析，从而， ⎰+Cizdz z e12=0。
2.柯西——古萨基本定理s G C '-定理 若()z f 在单连域D 内处处解析，则对任意闭曲线D C ⊂,有：()0=⎰C dzz f 。
二、原函数与不定积分1.存在性定理由基本定理及高等数学的知识知道，必有：若()z f 在单连域D 内解析，则积分()⎰C dzz f 与路径无关。
即此时,()⎰Cdz z f ()⎰=1z z dz z f ，其中称1z 为上限，0z 为下限。
积分()⎰zz dz z f 0称为上限z 的函数,记为()z F ，并有：定理1 若()z f 在单连域D 内处处解析,则()z F 为解析函数,且()()z f z F ='.证明 ()z F =()⎰zz dz z f 0()()()()⎰⎰+=++-=∆y x y x y x y x iV U udy vdx i vdy udx ,,,,0000,()vi u z f +=在单连域D 内解析，∴xvy u y v xu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,。
udy vdx dV vdy udx dU +=-=⇒,，即u yV v xV v yU u xU =∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂,;,。
从而，xV yU yV xU ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,，于是，()z F 为解析函数,且()()z f iv u xV ixU z F =+=∂∂+∂∂='.2.原函数概念与积分计算定义 若()()z f z F =',则称()z F 为()z f 的原函数或不定积分。
易见()⎰zz dz z f 0是()z f 的一个原函数，且任二原函数相差一常数。
类似牛顿——莱布尼兹定理的证明，有：定理2 若()z f 在单连域D 内解析, ()z F 为()z f 的原函数,则例2 计算⎰Czdz ,其中C 为从点0到点i -1的曲线段. 解 ()z z f = 处处解析, 从而,⎰C zdz()i i zzdz ii-=-===--⎰212210210.例3 求⎰+izdz 22cot ππ.解 ()z z f cot = 在π<<z D Re 0:内处处解析，且D i ∈+2,2ππ，从而，原式⎰++==iizdz zz 2222sin ln sin cos ππππ1cosh ln cos ln 2sin ln 2sin ln ==-⎪⎭⎫⎝⎛+=i i ππ.三、柯西——古萨定理的推广1.引理定义 两条曲线称为连续变形曲线，如果⑴开闭不变；⑵方向不变；⑶连续扫过其存在的解析区域.闭路变形原理 设()z f 在区域D 内解析，闭曲线1C 的任意连续变形曲线为2C ，则()()⎰⎰=21C C dz z f dz z f ，即闭曲线连续变形不改变解析函数的积分值.证明 如图：连b B a A --,,则由Th s G C '-知:()()()()()+=⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂⋂⋂aAbea Bb AEB AEBbeaAdzz f dz z f dz z f dzz f dzz f ()()()()+++=⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂⋂⋂BFAbB afb Aa AafbBFAf dzz f dzz f dzz f dzz f 二式相加,得()+⎰AEBFAdz z f ()0=⎰afbeadzz f ,即()+⎰1C dzz f ()02=⎰-C dzz f （*）⇒()=⎰1C dzz f ()⎰2C dz z f .例4 证明：i z z dz Cπ20=-⎰，其中C 为任意包含点0z 的闭曲线.证明 在C 的内部作圆周r z z C =-01:，则i z z dz C π21=-⎰。
()01z z z f -=只有一个奇点0z z =，1,C C ∴互为连续变形曲线，由原理知， =-⎰Cz z dz 0i z z dz C π21=-⎰.为任意包含点0z 的闭曲线。
注:由原理证明中的(*)式,若将-21,C C 视作一条复合闭路-+=Γ21C C ，其正向为外线逆时针,内线顺时针,则()0=⎰Γdz z f 。
进一步可由一般地：2.复合闭路定理定理3 设()z f 在多连域D 内解析,简单闭曲线D C C C C n ⊂,,,,21 ,且以其为边界(Γ---++++=n C C C C 21)的区域也属于D ,诸()n k C k ,,2,1 =互不相交，互不包含，但均在C 的内部，则⑴()0=⎰Γdz z f ；⑵()()∑⎰⎰==nk CCkdz z f dz z f 1。
注:定理3从理论上指明了闭路积分的计算方法：⑴若()z f 在闭曲线C 所围域内解析，则()0=⎰Cdz z f ；⑵若()z f 在闭曲线C 所围域内不解析，则()⎰Cdz z f 等于绕其内单个奇点的闭路积分之和。
例 5 计算()⎰+Czzdz 422，其中C 由正向圆周23=z 与负向圆周1=z 构成。
解 ()()4122+=z z z f 的奇点i z z 2,0±==即()z f 在C 内解析，()0422=+∴⎰Cz z dz.例6 计算⎰-Cz dz12，其中C 为正向圆周2=z 解 ()112-=z z f 在C 内有奇点1±=z ，如图在C 内作单独包含1,1-=z 的闭曲线21,C C ，于是，原式⎰-=112Cz dz⎰-+212Cz dz⎰--=11(21C z dz)11⎰+Cz dz⎰--+21(21C z dz 2⎰C()0022021=-+-=i i ππ.§3 柯西积分公式及其推广一、柯西积分公式1.定理与公式定理1 设()z f 在区域D 内解析，任意简单闭曲线D C ⊂，且D C I ⊂)(，对()C I z ∈∀0，有()()⎰-=Cdz z z z f iz f 0021π——柯西公式。
证明(思路) ()=-⎰Cdz z z z f 0()⎰+-Cdz z z z f 00()()⎰--Cdz z z z f z f 0()02z f i ⋅=π+()()⎰--Cdz z z z f z f 00,可以证明:()()000=--⎰Cdz z z z f z f .注：10.分析意义：()z f 在解析域内部的值可用其边界上的积分表示，即对D z ∈∀，有()()⎰∂=-=DC d z f iz f ζζζπ021——柯西型积分;20.计算意义：公式可用于求闭路积分2.应用举例例1 设C 为正向圆周2=z ，计算⎰+Cdz iz z icos 21π。
解 iz z +cos 在C 内有奇点i z -=，从而，由柯西公式，原式=()1cosh 2cos cos 1=+=-=--=e e i ziz 。
例2 计算⎰++Cdz zz z 212，其中C 为正向圆周4=z 。
解 zz z ++212 在C 内有奇点1,0-=z ，∴作21,C C 分别单包1,0-=z ，从而，原式=1121121221122121-==+++++++=++⎰⎰z z C zz C z z zz iz z idz z dz zππi i i πππ422=+=。
例3 设()⎰-=C d zez f ζζζπ2，其中C 为正向圆周2=ζ，试求()()i f i f 21,1-'+。
解 ()()zziez f iez f z 222,22ππππ='=<时， ，()()0,02='=>z f z f z 时，。
又221,221>-<=+i i ，从而，()()()021,221212=-'-==++i f e iei f i ππππ。
二、柯西积分公式的推广——导数公式1.定理与公式定理2 解析函数的导数仍为解析函数，且()()()()⎰+-=Cn n dz z z z f i n z f102!π，其中C 为()z f 的解析域D 内含D z ∈∀0的任一正向简单闭曲线，且D C I ⊂)(。
证明(思路) 应用数学归纳法，先证： ()()()zz f z z f z f z ∆-∆+='→∆0000lim()()⎰-=Cdz z z z f i 22!1π注：10.分析意义：解析函数任意阶可导;20.计算意义：公式可用于求闭路积分——化积分问题成微分问题2.应用举例 例4 计算()⎰+Czdz z e32，其中C 为正向圆周3=z 。
解 ()32+z ez在C 内有奇点2-=z ，从而，原式=()i eiee i z z222!22πππ=="--=。
例5 计算⎰=+-22-2344sin z dz zz z z 。
解 ()2232sin 44sin -=+-z z z zz z z在22=-z 内有一个奇点2=z ，从而，原式=()2222sin !122sin ==-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎰z z z z i dz z zzπi izzz z iz πππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-==22sin 2cos 42sin 2cos 22sin cos 222。