112毕萨定理
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毕萨定律
Idl
c
Idl a
μ 0 Idl 水平向右 dB = 2 4π 2 R μ 0 Idl μ 0 Idl dB 总 = ⋅ 2= 2 2 4π 2 R 4 2πR
Y.L.Wang
叠加原理求磁场
例4、薄圆环内半径a，外半径b，可绕与环面垂 直的轴O以ω的角速度逆时针旋转。现给该圆环均匀 带电+Q，求环心o处的磁感应强度 解：将环分成无数同心小环， 任选其中一 个环，设其半径为 r, 环宽dr， 则环上带电量为：
Y.L.Wang
用矢量形式表示的毕奥—萨伐尔定律
I
ˆ μ Idl × r dB = 2 4π r
r
I
μ Idl × r = 3 4π r
α
dB Idl
r
dB 磁场叠加原理： 若磁场由数个运动电荷产生，各电荷单独存在时 产生的磁场分别为B1，B2，…，Bi，…，则：
B = ∑ i Bi
Y.L.Wang
dE
§8-3 毕奥-萨伐尔定律
+ dq
P
•
一、毕奥—萨伐尔定律
dq ˆ r dE = 2 4πε 0 r 1
方向 ： l × r d ˆ μ 0 = 4π × 10 −7 ( NA−2 ) 真空中的磁导率
ˆ μ 0 Idl × r dB = 2 4π r μ 0 Idl sin θ 大小： dB = 2 4π r
说 明 1）它只适用于稳恒电流 2）Ii 与所取环路成右手螺旋时为正,反之为负 3）B 是全空间电流的贡献,但只有Ii对环流有贡献 4） ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明磁场为非保守场，称为涡旋场
Y.L.Wang
例、均匀通电直长圆柱体的磁
例5
Y.L.Wang
11.2 毕萨定理
B= 2R
0I
2R
I I
0 (NI )
(3) 一段圆弧在圆心处产生的磁场
B=
0I φ
2R 2π
=
0Iφ
4πR
φ
如图， 点的磁感应强度。 例 如图，求O 点的磁感应强度。 解
dB =
2
O R
B =0 1
30I B2 = = 4πR 2 8R B3 = =
4π r3
I
0 Idl × r
1 3
0I 3π
dq
1
ω
b a
3
dq = λdl = λbdθ
dB = 1
v
=
dθ
4
r
O
0 dqv ×r
4π r
3
0 dqv
4π r
2
=
0 dq ωb
4π
π
0
b2
=
0λω
4π
dθ
2
B1 = ∫
0λω
1 dθ = 0λω 4π 4 1 B2 = 0λω 4
线段2： 线段 ： 同理
线段3 线段
dq = λdr
4π r 4πr
讨论
B=
0I
4πa
θ2
(cosθ1 cosθ2 )
I
(1) 无限长直导线
θ1 →0
θ2 →π
B
θ1
B=
0I
2πa
方向： 方向：右螺旋法则
(2) 任意形状直导线
B = B + B2 = 0 + 1
0I
4πa
2
P
I a
B
r
1
(3) 无限长载流平板
大学物理11.2 毕萨定理
推 广
(2) o (3)
I R
×
B0
0I
4R
I R
× o
B0
0I
8R
(4)
BA
0I
4πd
d
*A
B0
(5)
I
0I
4 R2
0I
4 R1
R1
R2
* o
0I
4 π R1
例 如图，求O 点的磁感应强度。 解
B1 0
2
3 2 3 0I 8R
B2
0I
4R
0I
2πa
I
B
I
X
B
B
电流与磁感强度成右手螺旋关系
2 圆形载流导线轴线上的磁场. 解 由对称性知 B dB 0
B Bx
d B s in
r
2
Id l
R
s in R
dB
r
2
R x
2
r
o
x
*p
dB
0 Id l
4π r
2
x
dBx
dB
ndl 匝
2
d I In d l
R
P
l
圆电流在
B
P
点的磁场
2
dB
3
0 R dI
2
dB
2
0 R In d l
r R csc
2r
3
0 R In d l
2
2r
B
3
2r
0
nI
l R cot
2.1,2毕萨定律
磁 场
电
流
磁
铁
3、磁场的本源
磁 场
运动电荷
安培分子电流假说:组成物质的最小单元(磁分子)相当 于一个环形电流.当环形电流定向排列时,显示出磁性.
磁场是由运动电荷产生
四、安培定律 ( Amp` re e
ˆ 0 I1I 2 dl2 (dl1 r12 ) dF12 2 4 r12
作用力的大 小:
电流元: I1dl1、I 2 dl2
law)
1 dl1
n dl 2
r12
2
dF12
0 I1I 2 dl2 dl1 sin 1 sin 2 dF12 2 4 r12 作用力的方 向: ˆ dF12在dl1和r12组成的平面内，并与 dl2垂直 ˆ 0 I1I 2 dl1 (dl2 r21 ) ① dF21 dF12 , 2 4 r21
N
S
分子电流观点: 磁分子相当于一个环形电流, 当分子电流定向排列时,显示磁性.
§2.2 毕奥－萨伐尔定律
一、毕奥－萨伐尔定律
毕奥－萨伐尔根据电流磁作用的实验 结果分析得出，电流元产生磁场的规 律称为毕奥－萨伐尔定律。
Idl
r
1、内容 电流元Idl在空间P点产生的磁场B为：
0 Idl r ˆ dB 2 4 r
3、磁感应线(lines of magnetic induction)
六、解释磁现象的两种观点
磁荷观点: 认为磁极上存在正、负磁荷,有净 余磁荷,就产生磁场. 点磁荷之间的作用力大小为:
q m1 q m 2 F 4 0 r 2
磁场强度大小为:
F qm H qm 0 4 0 r 2 H Um H dl 0
12-1 毕萨定律 磁场高斯 安培环路
l r0ctg
0 I B 4r0
r0 d dl 2 sin
r0 r sin
2
1
0 I (cos1 cos 2 ) sind 4r0
1
r0
+p
0 I 讨论： B 4r (cos 1 cos 2 ) 0
2
⑴ 无限长载流长直导线的磁场
en
m
m
en
I
S
注意：只有当圆形电流的面积S很小，或场点距圆 电流很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子。
3、 载流直螺线管的磁场 如图所示，有一长为l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
R
o * p
I
一、磁场线
磁场线的特征： 1）无头无尾的闭合曲线
2）与电流相互套合，服从右手螺旋定则 3）磁场线不相交
二 磁通量
磁场的高斯定理
1.磁场线的密度规定：
磁场中某点处垂直 B 矢量的单位面积上通过 的磁场线数目等于该点 B 的数值.
S B
N B S
n
2.磁通量（） 通过磁场中某一曲面的磁场线数。 均匀磁场的磁通量：
1 n SE dS o qi — 有源场 电场线不闭合 i 1 B dS 0 — 无源场 磁感应线闭合
S
6.单位：B的单位—特斯拉（Ｔ）
的单位—韦伯（Ｗｂ） 1Wb 1T 1m
2
例1. 如图载流长直导线的电流为I ,试求通过矩 形面积的磁通量. 解:
q
r
v
B
例题：设半径为R的带电薄圆盘的电荷面密度为 ， 并以角速率绕通过盘心垂直盘面的轴转动，求圆盘中 心处的磁感强度。 解： dq 2 rdr 0 dq v r0 r R dB 4 r2 o r R dr dr 0 R 0 B dB 0 2 2 2 方向：垂直于板面向外。 T
毕萨定律演示文稿
O l
x
θ
θ
1
⊗
P
µ0I = (cosθ1 −cosθ2) 4x π
I dl
r
讨论
µ0I B= (cosθ1 −cosθ2) 4x π
∞ （ x<<L) 0 θ2 π
θ2
1、无限长载流直导线 、
当 L θ1
比较无限长带电 直导线附近场强
λ E= 2πε 0 x
µ0I B= 2x π
l O
x
θ
I dl
y
设圆电流在yz平面内 设圆电流在 平面内
I z
R o
x.
P
x
y
Id l r 组成的平面
Idl r0 ˆ
I z R
o
r
dB
x
.
P
x
第一步： 解：第一步：在圆电流上任取一电流元 Idl 由毕－萨定律知其在场点P 由毕－萨定律知其在场点P产生的磁感强度
dB =
ˆ µ0 Idl × r 0 4πr
2
第二步： 第二步：分析各量关系 明确 dB的方向和大小
毕奥－ §11-2 毕奥－萨伐尔定律及其应用
要解决的问题是： 要解决的问题是： 真空中电流与其激发的磁场之间的定量关系 真空中电流与其激发的磁场之间的定量关系 电流与其激发的磁场 方法： 方法：将电流分割成无穷多电流元 Idl 求出电流元产生的磁感强度 应用叠加原理 可得到任一电流所激发的磁场
一 毕奥 – 萨伐尔定律
（4）通电均匀密绕螺线管轴线上 注意： 注意：a、分析B的对称性，建立坐标系，变矢量积分为标量 分析B的对称性，建立坐标系， 积分进行计算； 统一积分变量，给出正确的积分上下限。 积分进行计算；b、统一积分变量，给出正确的积分上下限。 5、用已知典型电流的磁场迭加求出未知磁场的分布
毕萨定律
p
真空磁导率 0 4 10 7 N / A2
0 Idl sin 磁感的 dB 大小: 4 r2
磁感的方向: 线电流：
分量式（直角坐标系）：
0 Idl r ˆ B dB r2 4
由I d l 转向 r 的右手螺旋方向。
B x d Bx , B y d B y , Bz d Bz
圆电流的 磁感线
通电螺线管的 磁感线
I
I
I
I
2、磁通量—穿过任意曲面的磁感线数（单位：韦伯）
S
B
B
B ds
（符号：Wb）
S
Байду номын сангаас n
B
B BS
B B S BS cos
S
ds
n
S
B
ds
n
B
B B ds B cos ds
α
Idl
B
dB
L
L
0 Idl r 4 r 3
（下一页）
• 运动电荷的磁场
导体中的电流是大量自由电子的定向运动。因 此，电流磁场的本质是这些运动电荷产生的磁 场的宏观表现。
dB的大小为
由毕 — 萨定律，电流元Idl 产生的磁感应强度
0 Idl sin Idl , r dB 2 4 r
3、磁场的高斯定理 穿过任意闭合曲面的磁通量如何?
B ds 0
比较
S
B
穿过任意闭合曲面的磁通量 等于零, 称为磁场的高斯定理
?
1 E ds qi s 0
2020年高中物理竞赛—磁学篇(进阶版)11-2 毕萨定律及应用(共21张PPT)
1 0 2
B 0I 2a
•半无限长载流直导线
I
1 2 2
B 0I 4a
讨 •直导线延长线上 论
1
B
a
P
B
0I 4a
(cos1
cos2 )
（下一页）
•无限长载流直导线
1 0 2
B 0I 2a
B
•半无限长载流直导线
I
讨
1 2 2
B 0I 4a
论 •直导线延长线上
a 0 1 2 0
1 r
a
dB
PX
写出分量式
B
dB
0 4
Idl sin
r2
（下一页）
统一积分变量
Y
l actg(π ) actg I 2
dl a csc2 d r a sin
dl
B
0 4
I sindl
r2
0 4
sin2
a2
I
sin
ad sin2
2
1
0 4a
I
sin d
0I 4a
(cos1
cos2 )
论
B 0IR2
2(R2 x2 )3 2
0 IR 2
2x3
I
B
O
X
R
I
定义： 平面载流线圈的磁矩
I
m Pm NISn S
则
B
0m 2x 3
n
大小：
B
2(
0 IR2
R2 x2
)3
2
方向： 右手螺旋法则
（下一页）
2.） 圆心处： x 0
B 0I
2R
B
0 IR2 2(R2 x2 )3
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B 0I 2a
B
2)直导线延长线上 B ?
dB
0 4
Idl sin
r2
I
0 dB 0 B 0
3) 半无限长载流直导线的磁场：
由B
0 I 4a
cos 1
cos2
I
1 , 2
B 0I (cos 1) 4a
1 2
B 0I 4a
P
a
2. 圆型电流轴线上的磁场
Y 已知:R、I，求轴线上P
B
0 4
I
sindl
r2
Y
I 2
0 4
sin2
a2
I
sin
ad sin2
dl
2
2
1
0 4a
I
sin
0I 4a
(cos1
d
cos
2
l
)
r
1
1
r0
B
0I 4a
|
cos1
cos 2
|
O
a
或：B
0I 4a
|
sin
2
sin
1
|
dB
P
X
B
0I 4a
(cos1
cos2 )
1)无限长载流直导线 1 0 2
1. 载流直导线的磁场
Y
已知:真空中I,1,2.Bp?
解:建立坐标系
OXY
a
I
任取电流元 Idl
dl
2
大小
dB 0 4
Idl sin
r2
方向 lˆ rˆ0
l
B
dB
0 4
Idl sin
r2
统一积分变量
O
r
1
r0
2
a
1
dB
P
X
l actg( ) actg
dl a csc2 d r a / sin( ) a sin
点的磁感应强度。
I
Idl
r0
建立坐标系OXY
OR
任取电流元 Idl
dB dB
p•
dBx
X
大小
dB
0 4
Idl r2
方向 lˆ rˆ0
分析对称性、写出分量式
B
dB 0
Bx
dB x
0 4
Idl sin
r2
统一积分变量
Y
sin R r
Bx
dB x
0 4
Idl sin
r2
I Idl
r0
OR
0 IR 4r 3
dl
0 IR 4r 3
2R
x
2(
0 IR2
R2 x2
)3
2
dB dB
p•
dBx
X
结论
大小：
B
2(
0 IR2
R2 x2
)3
2
方向： 右手螺旋法则
B
0 IR2
2(R2 x2 )3
2
1） x R B ?
B
0 IR2
2x3
2） x 0 B ?
载流圆环
B 0I
R
q
B 0I 0q 2R 4R
是半径为R圆周情况的2倍
q B
R
作业： 11.1，11.2，11.3
电流 电荷定向运动
电dB流元I0dlIdl
4 r
2
r0
其中
I
q v
S
dl
I qnvS
载流子 总数
dN nSdl 电荷
密度
速率
截面积
B dB
dN
dB
0
0
4 qv
qv
r
sin( v , r0 ) r2
运动电荷产生的
4 r3
磁场（与v垂直）
B
0 4
qv r
r3
若q 0, B与v r同向
§ 11-2毕奥 ---沙伐尔定律
I
电流元 Idl
dB
0 4
Idl sin
r2
.
Idl
dB
XP
r
0 4 107TmA1 : 真空磁导率
dB
0
4
Idl r2
(lˆ
rˆ)
比奥-萨伐尔定律
1）B与I成正比； 2）B与L成正比； 3）B呈-2次衰减；
5）B与环 境有关； 6） B L ,不是径向(r ) ；
已知：q、R、 圆盘绕轴线匀速旋转。
求圆心处的
B
dr
解：如图取半径为r,宽
为dr的环带。
元电流：
r•
R
dI dq dq dq
q
T 2 2
dq ds 2rdr
其中
q
R2
dI rdr
dB 0dI 0 rdr
2r 2r
B
dB
0dI
2r
0R
0
2r
rdr
dr
0R 0q
2
2R
r
B
而是切向
4）球面对点张的立体角磁场与电场的区别：与 为4π,在P点为1/ 4π ； v的关系，径向和切向
对一段载流导线
B
dB
0
4 L
Idl
r3
r
（矢量积分）
直接积分计算B比较困难！
下面通过B的计算，掌握微积分直接计算B的 方法；进而总结几种典型情况，(以后的相关 计算主要考查这些模型的叠加情况）
B
2 ( 0 nI sin )d
1
2
0
2
nI (cos
2
cos
1)
讨论：
B
0
2
nI
|
cos
2
cos
1
|
1) 若 R L 即无限长的螺线管，1 , 2 0
则有 B 0nI
2) 对长直螺线管的端点（上图中A1、A2点）
1
2
,
2
0
则有A1、A2点磁感应强度
B
1 2
0nI
B
O
L
4、运动电荷的磁场
2R
载流圆弧
圆心角 2 圆心角
B 0 I • 0 I 2R 2 4R
B
I
B
I
B与x关系的单调性(与电场相同？）
练
如图，求圆心O点的
B
习
I
O
•
R
B 0I
4R
I
R
O•
B 0I •
8R
RБайду номын сангаас
•O I
B 0I 0I 4R 2R
•
2 3 I
•R
O
B 0I 0I (1 3 )
6R R
2
μ 3.载流直螺线管内 部的磁场
S
l
. . . . . . . . . . . . . . . . l R cot
A1
p
A2
B
I
B
dB
0 R2Indl
2
(
R2
l
2
3
)2
dl R csc2 d
R2 l2 r2
sin 2
R2 r2
R2 l2 R2 R2 csc2 sin2
若q 0, B与v r反向
•B r
B
r
q v
q
v
例4、均匀带电圆环
已知：q、R、 圆环绕轴线匀速旋转。
求圆心处的 B
q B
解：带电体转动，形成运流电流。 R
I q q q T 2 2
B 0I 0q 2R 4R
重点是弄清电流与运动电荷的关系,然后套公式
例5、 均匀带电圆盘