第120911号112余弦定理
人教A版高中数学必修一 11余弦定理
第十一讲 余弦定理一、教学目标1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法；2.熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题；3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系。
二、知识点梳理余弦定理三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即：余弦定理的变形公式： 222222222cos ,cos ,cos 222b c a a c b a b c A B C bc ac ab+-+-+-=== 要点三：利用余弦定理解三角形1.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；②已知三角形的三条边，求其三个角。
要点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.三、典型例题类型一：余弦定理的简单应用例1．已知ABC ∆中，3AB =、BC =4AC =，求ABC ∆中的最大角。
思路点拨：首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.总结升华1.ABC ∆中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.变式练习：1.已知ABC ∆中3a =, 5b =, 7c =, 求角C .2.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的三边长分别为,,a b c ，若::a b c =2:1），求ABC ∆的各角的大小．3.在ABC ∆中，若222a b c bc =++，则角A 等于（ ）. A.3π B. 6π C.23π D. 3π或23π 类型二：利用余弦定理判断三角形的形状例2．在△ABC 中， sin sin sin cos cos B C A B C+=+，判断这个三角形的形状. 思路点拨：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.总结升华恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键. 若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cos A =0.变式练习：1.在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状是______．2.三角形ABC 中满足下列条件1cos 1cos A a B b-=-；试判断三角形的形状。
1.1.2余弦定理资料
1. 1. 2 余弦定理I .知识归纳1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与他们夹角的余弦的积的 2倍，即：c 2a 2b 2 2ab cos Cb 2 a 2c 2 2ac cos Ba 2b 2c 2 2bc cos A2.理解定理：⑴从余弦定理的三个等式中，可得到它的变形，即余弦定理的推论:由余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的 角是钝角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角；由此可知, 余弦定理可以看作勾股定理的推广。
⑵余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具。
在一个三 角形中，如果知道了两边及其夹角的值，由余弦定理就可以求出第三边⑶余弦定理的每一个等式中包含四个不同的量，他们分别是三角形的三边和一个角，知 道其中三个量，便可求得第四个量。
由余弦定理的结构可知，应用余弦定理，我们可以利用 已知的两边和夹角，计算出三角形的第三边，在结合三角形的正弦定理及内角和定理，可求 出其他的角，即已知两边和他们的夹角，可求第三边和其他两个角。
由余弦定理的推论可 知，利用三角形的三边可以计算出三角形的三个角。
⑷余弦定理的推导应牢牢抓住勾股定理： c 2 a 2 b 2，并依此为思考线索得出结论(推导过程见课本)n .重难点知识讲解1 •余弦定理证明的其他方法 (1) 用坐标法证明余弦定理如图：以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A （0，0）、B （c ， 0）、C （bcosA ，bsinA ），1.1.2余弦定理cosA .2 2 2b c a2bccosB2 2 . 2a cb 2accosC由两点间距离公式得B C= b2cos2A—2bccosA+ c2+ b2sin 2A,即a2= b2+ c2—2bccosA.2 2 2 2 2 2同理可证：b = a + c —2accosB, c = a + b —2abcosC.(2) 用勾股定理证明余弦定理①当三角形为锐角三角形时，如图，AA bsinC ,BD= BC—CD= a—bcosC.在Rt△ ABD中，根据勾股定理AB= AD+ BD,2 2 2所以c = (bsinC) + (a —bcosC).整理得c2= a2+ b2—2abcosC.②当三角形为钝角三角形时，如图AD= bsinC，D BD= CD- BC= bcosC—a，在Rt△ ABD中，根据勾股定理，2 2 2整理得c = a + b —2abcosC.同理可证：a = b + c —2bccosA,.2 2 2b = a +c —2accosB.2.余弦定理与勾股定理之间的联系(1) 对于余弦定理c2= a2+ b2—2abcosC中，若C= 90°,则fe2= a2+ b2,此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况.(2) 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具.有A B=A D+B D,2 2 2即c = (bsinC) + (bcosC —a),①在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.②余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛.特别提示：在利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.3•解三角形问题的类型解三角形的问题可以分为以下四类：(1) 已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形.此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数.(2) 已知三角形的两角和任一边，解三角形.此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边•若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.(3) 已知两边和它们的夹角，解三角形.此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角.(4) 已知三角形的三边，解三角形.此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角.要解三角形，必须已知三角形的一边的长•若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解.川.例题分析题型一余弦定理的简单运用例1 .在ABC中，已知 a 2.3 , c 6 2 , B 600，求b 及A⑴解：I b2 a2 c2 2accosB =(2 3)2 ( 6 ,2)2 2 2 3( 6=12 ( 6 .2)2 4、3(. 3 1)=8 • b 2 2求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法二：•••sin A 壽E0,评述：解法二应注意确定A的取值范围。
余弦定理(55张PPT)
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第一章 1.1 1.1.2
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新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
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若a，b，c分别是△ABC的顶点A，B，C所对的边 长，则 a2＝__________________ b2＋c2－2bccosA ，
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变式训练3
如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，
4 3 AB:AC＝7:8，sinB＝ 7 ，求BC边上的高AD的长．
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解：在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x， 7x 8x 由正弦定理，得sinC＝sinB， 7xsinB 7 4 3 3 ∴sinC＝ 8x ＝8× 7 ＝ 2 . ∴C＝60° (C＝120° 舍去，由8x>7x，知B也为钝角，不 符合要求)．
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 __________________．
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思考感悟
1．已知三角形任意两边与一角，借助于正、余弦定理 是否能求出其他元素？
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变式训练1
已知在△ABC中，a:b:c＝2: 6:( 3＋1)，
苏教版必修第二册111余弦定理课件_1
在△ABC 中，若 a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 的最
大内角的余弦值． 解：因为 a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，
不妨设 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k，显然 a＜b＜c.
所以△ABC 的最大内角为 C，
则 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝4k2＋6k2－4 （6k23＋1）2k2
(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( )
(4)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角．( ) √ (5)在△ABC中，若b2＋c2＜a2，则△ABC为钝角三角√形．( )
√
2．在△ABC 中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b＝( )
A．4 3
B． 7
√C．7
D．5
3．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝4，b＝5，c
【解】 (1)证明：由余弦定理，得 a cos B＋b cos A＝a·a2＋2ca2c－b2＋ b·b2＋2cb2c－a2＝a2＋c2－b2＋2cb2＋c2－a2＝c，所以 a cos B＋b cos A＝c. (2)选①：因为2cco－s Bb＝coas A，所以 2c·cos A＝b cos A＋a cos B． 所以由(1)中所证结论可知，2c cos A＝c，即 cos A＝12， 因为 A∈(0，π)，所以 A＝π3.
＝ 61，则 C＝( )
√A．120°
C．60°
B．90° D．45°
解析：由余弦定理，得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝42＋522×－4（×561）2＝－12，
所以 C＝120°，故选 A．
4．在△ABC 中，a＝7，b＝5，c＝3，则此三角形中最大角的度数是________． 解析：在△ABC 中，cos A＝b2＋2cb2c－a2＝225×＋59×－349＝－3015＝－12， 因为 A∈(0，π)，所以 A＝23π. 答案：23π
2.1.2余弦定理课件ppt(
sin C＝c·sian A＝
6＋ 2
2·22＝ 2
6＋ 4
2，∴C＝75°，
由三角形内角和定理，得 B＝180°－75°－45°＝60°.
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当 c＝ 6－ 2时，由正弦定理，得
sin C＝c·sian A＝
6－ 2·22＝ 22
6－ 4
2，
∴C＝15°，∴B＝180°－15°－45°＝120°.
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当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形， ∴a＝3.
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规律方法 已知三角形的两边与一角解三角形，必须 先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边 的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第 三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定 理建立一元二次方程，解方程求出第三边互动
当 a＝6 时，由正弦定理得 sin A＝asibn B＝6×3 12＝1. ∴A＝90°，C＝60°. 法二 由 b<c，B＝30°，b>csin 30°＝3 3×12＝323知本题有两 解．由正弦定理得 sin C＝csibn B＝3 33×12＝ 23， ∴C＝60°或 120°，当 C＝60°时，A＝90°， 由勾股定理得 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，
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规律方法 已知三边解三角形的方法及注意事项： (1)由余弦定理的推论求三内角的余弦值，确定角的大小． (2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小； 由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角 对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确 定第三个角的大小． (3)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为 锐角，值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一．
1.1.2 余弦定理
1.1.2 余弦定理【选题明细表】基础达标1.(2014济南西城高二期末)在△ABC中,a2-c2+b2=错误!未找到引用源。
ab,则C等于( A )(A)30°(B)45°(C)60°(D)120°解析:cos C=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,∴C=30°.故选A.2.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是( A )(A)钝角三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)不能确定解析:由正弦定理及sin2A+sin2B<sin2C,可知a2+b2<c2,在△ABC中,cos C=错误!未找到引用源。
<0,所以C为钝角,三角形为钝角三角形.故选A.3.在△ABC中,a=4,b=4,C=30°,则c2等于( A )(A)32-16错误!未找到引用源。
(B)32+16错误!未找到引用源。
(C)16 (D)48解析:由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=42+42-2×4×4×错误!未找到引用源。
=32-16错误!未找到引用源。
.4.(2014新余高二期末)在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
等于( D ) (A)-错误!未找到引用源。
(B)-错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
解析:cos A=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,∴错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
=|错误!未找到引用源。
||错误!未找到引用源。
|·cos A=3×2×错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.故选D.5.(2014莱州高二期末)在△ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg错误!未找到引用源。
余弦定理证明过程(完整版)
余弦定理证明过程余弦定理证明过程=a，∠da=π-∠ba=π-，根据三角函数的定义知d点坐标是，asin)即d点坐标是,∴ad=而ad=b∴=∴asin=sina…………①-aos=osa-b……②由①得asina=sin，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=sin.由②得aos=b-osa，平方得：a2os2=b2-2bosa+2os2a，即a2-a2sin2=b2-2bosa+2-2sin2a.而由①可得a2sin2=2sin2a∴a2=b2+2-2bosa.同理可证b2=a2+2-2aosb，2=a2+b2-2abos.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
3△ab的三边分别为a,b,,边b,a,ab上的中线分别为ma.mb,m,应用余弦定理证明:mb=m=ma=√^2-a*osb)=√由b^2=a^2+^2-2a*osb得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^2，代入上述ma表达式：ma=√=√同理可得：mb=m=4ma=√^2-a*osb)=√由b^2=a^2+^2-2a*osb得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^2，代入上述ma表达式：ma=√=√证毕。
第五篇：余弦定理的多种证明余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．对于任意三角形三边为a,b, 三角为a,b, 满足性质a^2=b^2+^2-2*b**osab^2=a^2+^2-2*a**osb^2=a^2+b^2-2*a*b*osos=2abosb=2aosa=2b证明：如图：∵a=b-∴a^2=^2 （证明中前面所写的a,b,皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+^2-2b再拆开，得a^2=b^2+^2-2*b**osa同理可证其他，而下面的osa=2b就是将osa移到右边表示一下。
人教版数学必修五1.1.2 余弦定理 课件 (共17张PPT)
2tanα 1-tan2α
06:37:52
创设情境 兴趣导入
引例 2009年10月，内蒙古交通设计研究院有限责任公司在设
计丹锡高速赤峰二道井子段（K166+280～K166+570）时,为保护
夏家店文化文物，需要挖掘隧道，勘测人员将隧道口A和B定位在 山的两侧(如图）,在平地上选择适合测量的点C ，如果∠C=60°,
可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦 定理．
06:37:52
动脑思考 探索新知
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和 减去这两边的长与它们的夹角的余弦乘积的2倍. 即 2 2 2 a b c 2bc cos A
b a c 2ac cos B
c a b 2ab cos C
第一章
三角公式及应用
1.2.1 余弦定理
授课班级：14普教 授课教师：郭清山 2016年11月6日
06:37:52
知识积累 复习巩固
1、正弦二倍角公式 sin2α= 2sinαcosα
2、余弦二倍角公式 cos2α-sin2α cos2α= 2cos2α-1 1-2sin2α 3、正切二倍角公式 tan2α=
约为12.12m.
D B
A
06:37:52
归纳总结 理论升华
余弦定理的内容是什么？
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
夜半偶句
余弦定理考夹角，两边平方和求好； 减去倍乘抠塞角，三边平方见分晓。
分析 这是已知三角形 ∠A=44°25′， 的三边，求其它元 素的问题，可以直 ∠B=101°32′， 接应用余弦定理变 ∠C=180°-∠A-∠B=34°3′. 形公式1.22． 查表或计算器可得
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Ａ、钝角
Ｂ、直角
Ｃ、锐角
Ｄ、不能确定
那 a2 b2 c2呢?
8
提炼：设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形 a 2 b2 c 2 △ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
例4、 △ABC中，a 3, b 7 , c 2 求B，并判断 △ABC的形状。
10
练习；（1）在 ABC中，已知 b= 4 3 ，c= 2 3 ， A=1200 ，求 a.
（2）在 ABC中，已知 a= 2 6 ，b= 2 2 ， c= 6 2 ，求 A、B、C 的值。
11
解：（1） a 2 = b 2 + c 2 －2 b c ·cos A=84
a= 2 21
（2）解：
问题：
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程 技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山 脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即 线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
3
研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，BC=a，CA=b,
2ac cos C a 2 b 2 c 2
2ab
应用：已知三条边求角度．
7
例1、在△ABC中，已知 a 6, b 2, c 3 1
求角A、Ｂ、Ｃ。
例２、在△ABC中，已知 a 2 3, c 6 2, B 45O 求b及Ａ
例３、在△ABC中，a2 b2 c2 ，那么Ａ是（ ）
13
∵ BC AC AB
2
BC
( AC
AB)2
2
2
2
BC AC AB 2AC AB
| AC |2 | AB |2 2 | AC | | AB | cos A
即： a2 b2 c2 2bc cos A
4
由此可得：余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
9
小结： 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
c2 a2 b2 cos B
2ac cos C a 2 b 2 c 2
2ab
应用： １、已知两条边和一个夹角，求第三条边。 ２、已知三条边，求三个角。判断三角形的形状。
余弦定理
1
复习回顾
正弦定理： a b c
sin A sin B sin C
2R
变型：a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC
a : b : c sin A: sin B : sinC
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 （2）已知两边和一边的对角。
2
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
12 ( 3)2 21 3 1 7
2
22 4
BC 7 2
6
由余弦定理变型得： cos A b 2 c 2 a 2 2bc
a2 c2 b2 cos B
三角形任一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
应用：已知两边和一个夹角，求第三边．
5
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
cosΒιβλιοθήκη Ab2c2 2bc
a2
=
1 2
cos B
a2
c2 b2 2ac
=
2 2
A= 600 ，B= 450
则 C=1800 A B 750
12
作业： 在△ABC中，已知下列条件，解三角形：
(1）b=12.9cm,c=15.4cm,A=42.3°; (2)a=7cm,b=10cm,c=6cm.