1正余弦定理及应用教案(精简版)

卓越个性化教案 GFJW0901
学生姓名 年级 授课时间 教师姓名 课时
课题
解三角形
教学目标 1掌握正余弦定理及应用2 掌握三角形面积公式3解三角形 重 点 正弦定理余弦定理综合应用，解三角形 难 点
正弦定理余弦定理综合应用，解三角形
【知识点梳理】 1．内角和定理：
在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -
面积公式:111
sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B
∆===
在三角形中大边对大角，反之亦然.
2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)
形式二：⎪⎩
⎪
⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)
形式三：::sin :sin :sin a b c A B C =
形式四：
sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R =
==
3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..
形式一：
222
2cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具)
2222cos c a b ab C =+-
形式二：
222cos 2b c a A bc +-=
222
cos 2a c b B ac +-=
222
cos 2a b c C ab +-=
二、方法归纳
(1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c
A B C ==
，可求出角C ，再求b 、c .
(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2
=b 2
+c 2
-2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C .
(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b
A B =
，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b
A B =
求B 时，可能出一解，两解或无解的情况。

作业
【典型例题分析】
【问题一：利用正弦定理解三角形 例1】在ABC ∆中，若5b =，4B π∠=,1
sin 3
A =，则a = .
【例2】在△ABC 中，已知a =3,b =2,B=45°,求A 、C 和c .
变式训练1.（1）△ABC 中，a =8,B=60°,C=75°,求b ;
（2）△ABC 中，B=30°, b =4,c=8,求C 、A 、a.
问题二：利用余弦定理解三角形
【例3】设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，4
1cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.
【例4】（2010重庆文数）
设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且32b +32c -32
a 2
b
c .
(Ⅰ) 求sinA 的值；
(Ⅱ)求
2sin()sin()
441cos 2A B C A
ππ
+++-的值.
变式训练 2在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C
B cos cos =-c
a b
+2. （1）求角B 的大小；
（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积.
问题三：正弦定理余弦定理综合应用 【例5】（2011山东文数）
在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知
cos A-2cos C 2c-a
=
cos B b
． （I ）求sin sin C
A
的值； （II ）若cosB=1
4
，∆ABC 的周长为5，求b 的长。

【例6】（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2
2
2a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b
变式训练3．
在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且8 sin 2
2
B C
+－2 cos 2A ＝7． （1）求角A 的大小；
（2）若a 3b ＋c ＝3，求b 和c 的值．
问题五：判断三角形形状
【例7】在△ABC 中，在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，bcosA ＝a cosB ，试判断ABC
∆三角形的形状.
【例8】. 在△ABC 中，在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若cosA cosB ＝b
a ，
试判断ABC ∆三角形的形状.
变式训练5.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）
A .等腰直角三角形
B .直角三角形
C .等腰三角形
D .等边三角形
6.在△ABC 中a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2
+b 2
）sin （A -B ）=（a 2
-b 2
）sin （A +B ）判断三角形的形状.
问题六：与其他知识综合
【例9】已知向量(,),(,),0a c b a c b a =+=--⋅=且m n m n ，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角，
a ,
b ,
c 分别是角A ，B ，C 的对边.
（1）求角C 的大小；
（2）求sin sin A B +的取值范围.
变式训练6（2009浙江文）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25
cos
2A =
，3AB AC ⋅=．
（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值．
问题7：三角实际应用
【例10】 要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB =75°，∠BCD =45°，∠ADC =30°，∠ADB =45°，求A 、B 之间的距离.
【例11】．（2007山东）如图,甲船以每小时302海里
A处的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于
1
B处,此时两船相距20海里.当甲时,乙船位于甲船的北偏西105︒的方向
1
A处时,乙船航行到甲船的北偏西120︒方船航行20分钟到达
2
B处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里?
向的
2
变式训练
8.如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上
的两座灯塔的塔顶。

测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为0
75，0
60，AC＝0.1km。

30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为0
试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离
（计算结果精确到0.01km，2≈1.414，6≈2.449）
【课堂练习】
1、不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）
A.
30,14,7===A b a ，有两解 B.
150,25,30===A b a ,有一解 C.
45,9,6===A b a ，有两解 D.
60,10,9===A c b ，无解 2、在ABC ∆中， 60=A ,3=a ，则
=++++C
B A c
b a sin sin sin （ ）
A.
338 B. 3392 C. 3
3
26 D. 32 3．在ABC ∆中，bc c b a ++=2
2
2
，则角A 等于（ ） A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 5．已知在ABC ∆中，a BC =，c AB =，且b
b
c B A
-=2tan tan ，求A 的值．
6 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知50AB m =，
120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深
110CF m =，求∠DEF 的余弦值。

．。