第8课时——正、余弦定理的应用(2)(教、学案)
《正弦定理和余弦定理的实际运用举例》教学设计
《正弦定理和余弦定理的实际运用举例》教学设计正弦定理和余弦定理的实际运用举例教学设计简介本教学设计旨在教授正弦定理和余弦定理的实际运用方法。
通过实例演示和练题的形式，帮助学生理解和掌握这两个几何定理的应用场景。
教学目标- 理解正弦定理和余弦定理的概念和原理- 掌握正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用方法- 进一步发展解决几何问题的能力教学内容正弦定理- 介绍正弦定理的概念和公式（a/sinA = b/sinB = c/sinC）- 解释正弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用正弦定理求解未知变量余弦定理- 介绍余弦定理的概念和公式（c² = a² + b² - 2abcosC）- 解释余弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用余弦定理求解未知变量实际运用举例- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分步引导学生运用正弦定理和余弦定理解决这些问题- 给予学生充足的练机会，以加深对定理应用的理解和熟练度教学步骤1. 引入：复三角形的基本概念和知识点2. 正弦定理：- 介绍正弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用正弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题3. 余弦定理：- 介绍余弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用余弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题4. 实际运用举例：- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分组或个人完成案例分析和解决过程- 学生通过小组或个人报告展示解决思路和结果5. 总结与讨论：- 综合讨论学生的解决思路和方法的优劣- 引导学生总结出正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的重要性和应用价值教学评估1. 参与度评估：观察学生在课堂中的积极参与程度和问题解答能力2. 练成绩评估：通过练题的完成情况和准确度，进行学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用评估3. 案例分析评估：评估学生在实际问题解决中的思考能力和解决方法的合理性参考资源1. 《高中数学教材》2. 互动教学软件和课件3. 个人和小组练习题。
正余弦定理的应用举例教案
正余弦定理的应用举例教案一、教学目标1. 理解正余弦定理的概念及其在几何中的应用。
2. 学会运用正余弦定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
二、教学内容1. 正余弦定理的定义及公式。
2. 正余弦定理在直角三角形中的应用。
3. 正余弦定理在非直角三角形中的应用。
4. 正余弦定理解决实际问题举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：正余弦定理的定义及公式，正余弦定理在几何中的应用。
2. 教学难点：正余弦定理在非直角三角形中的应用，解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解正余弦定理的定义及公式。
2. 利用案例分析法讲解正余弦定理在直角三角形和非直角三角形中的应用。
3. 利用小组讨论法解决实际问题。
五、教学过程1. 引入：通过讲解正弦、余弦的概念，引导学生理解正余弦定理的背景。
2. 讲解：详细讲解正余弦定理的定义及公式，结合实际例子，让学生理解并掌握定理的应用。
3. 练习：布置练习题，让学生运用正余弦定理解决直角三角形和非直角三角形的问题。
4. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用正余弦定理进行解决，培养学生的解决问题的能力。
5. 小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的解题思路和方法，培养学生的团队协作能力。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调正余弦定理在几何中的应用及其重要性。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，了解学生对正余弦定理的理解和应用情况。
2. 课后作业：布置有关正余弦定理应用的作业，收集并批改，分析学生的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和问题解决能力。
七、教学反思1. 教师应根据学生的反馈，及时调整教学方法和进度。
2. 对于学生的共性问题，应加强讲解和辅导。
3. 鼓励学生积极参与课堂和课后实践，提高他们的实际应用能力。
八、拓展与延伸1. 引导学生思考正余弦定理在其他领域的应用。
中学数学余弦定理的应用教案
中学数学余弦定理的应用教案【教案】一、教学目标通过本节课的学习，学生能够掌握余弦定理的概念和求解方法，并能够熟练运用余弦定理解决实际问题。
二、教学内容本节课的教学内容是余弦定理的应用。
三、教学重点与难点教学重点：理解余弦定理的概念和求解方法。
教学难点：能够熟练运用余弦定理解决实际问题。
四、教学过程1. 引入（5分钟）1.1 教师简要介绍余弦定理的概念和作用，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解（20分钟）2.1 通过一个具体的实例，引出余弦定理，并解释其原理和公式。
2.2 讲解如何根据已知条件运用余弦定理求解未知边长或角度的方法。
3. 模型训练（25分钟）3.1 给出若干实际问题，要求学生根据已知条件运用余弦定理解决，并在板书上展示解题过程。
3.2 分组训练，学生进行合作探究，在小组内相互讨论、解决问题。
4. 练习与巩固（25分钟）4.1 课堂练习：教师提供一些简单的练习题，学生个人完成。
4.2 完成课堂练习后，学生将自己的答案进行互评，并与教师讨论解题方法和答案是否正确。
5. 总结与拓展（10分钟）5.1 教师进行本节课的总结，强调余弦定理的应用和作用。
5.2 提出拓展问题，激发学生对余弦定理的深入思考，并鼓励学生自主学习和拓展。
五、教学资源教学用具：黑板、粉笔、练习题。
六、教学反思通过本节课的教学，学生对余弦定理的概念和求解方法有了初步的了解，并能够在实际问题中灵活运用。
学生在小组合作讨论的过程中，积极参与，并能够相互启发、相互提醒。
在练习过程中，学生也发现了自己在应用余弦定理解决问题时的一些常见错误，并通过讨论和互评相互纠正。
通过本节课的教学，学生的数学解题能力和合作能力得到了一定的提高。
初中数学教案余弦定理与正弦定理的应用
初中数学教案余弦定理与正弦定理的应用初中数学教案余弦定理与正弦定理的应用一、引言在初中数学学习中，我们经常会遇到利用几何知识解决实际问题的情况。
而余弦定理和正弦定理作为几何知识的重要部分，具有广泛的应用价值。
本教案旨在通过具体的例子，让学生理解并能够熟练应用余弦定理和正弦定理。
二、教学目标1. 掌握余弦定理和正弦定理的概念和公式；2. 理解余弦定理和正弦定理的应用场景；3. 能够灵活运用余弦定理和正弦定理解决实际问题。
三、教学内容1. 余弦定理的应用余弦定理是用来求解三角形边长或角度的定理，其公式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos∠C示例题目1：已知三角形ABC，边长分别为a=5cm，b=7cm，∠C=60°，求边c的长度。
解答思路：根据余弦定理的公式，将已知的数值代入计算，有：c^2 = 5^2 + 7^2 - 2*5*7*cos60°c^2 = 25 + 49 - 70*cos60°c^2 = 74 - 70*0.5c^2 = 74 - 35c^2 = 39因此，c≈6.24cm示例题目2：已知三角形ABC，边长分别为a=8cm，b=9cm，c=10cm，求∠A的大小。
解答思路：根据余弦定理的公式，将已知的数值代入计算，有：8^2 = 9^2 + 10^2 - 2*9*10*cos∠A64 = 81 + 100 - 180*cos∠A180*cos∠A = 181 - 64cos∠A = 117/180∠A ≈ 51.32°2. 正弦定理的应用正弦定理是用来求解三角形边长或角度的定理，其公式为：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C示例题目3：已知三角形ABC，∠A=45°，∠B=60°，AC=8cm，求边AB与BC的长度。
解答思路：根据正弦定理的公式，将已知的数值代入计算，有：AB/sin45° = 8/sin60°AB = 8*sin45°/sin60°AB ≈ 8*0.7071/0.8660 ≈ 6.928cmBC/sin60° = 8/sin45°AB = 8*sin60°/sin45°AB ≈ 8*0.8660/0.7071 ≈ 9.398cm四、教学方法1. 结合实际生活进行示例分析，增加学生的兴趣；2. 组织学生小组合作，共同解决问题，培养合作意识；3. 引导学生总结规律，归纳定理应用方法。
正弦定理和余弦定理的运用教案
正弦定理和余弦定理的运用教案正文：正弦定理和余弦定理的运用教案一、教学目标1. 理解正弦定理和余弦定理的含义和基本公式；2. 掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形相关问题中的应用方法；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点1. 正弦定理的推导和应用；2. 余弦定理的推导和应用。
三、教学难点1. 正弦定理和余弦定理的理解和记忆；2. 通过具体问题实际运用，使学生深入理解定理的应用方法。
四、教学准备1. 教材：三角函数学科教材；2. 工具：投影仪、黑板、粉笔、直尺、量角器。
五、教学过程Ⅰ. 导入（10分钟）1. 教师简要复习三角比的概念和计算方法；2. 教师引导学生思考：在已知某一角的情况下，如何确定三角形的边长呢？Ⅱ. 正弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示正弦定理的基本公式：a/sinA = b/sinB =c/sinC；2. 教师讲解正弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用正弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。
Ⅲ. 余弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示余弦定理的基本公式：c² = a² + b² - 2abcosC；2. 教师讲解余弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用余弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。
Ⅳ. 正弦定理和余弦定理的综合应用（25分钟）1. 教师给出一些复合问题，要求学生结合正弦定理和余弦定理解决问题；2. 学生分组讨论、解答问题，并在黑板上展示解题过程；3. 教师组织学生展示解题思路和方法，并针对不同解题方法进行及时点评。
Ⅴ. 拓展应用（15分钟）1. 教师布置一些拓展性应用题，要求学生在课后完成；2. 学生自主学习拓展内容，并在下节课讲解时与教师进行互动讨论。
Ⅵ. 总结与作业（10分钟）1. 教师对本节课的要点进行总结，并强调正弦定理和余弦定理的重要性；2. 布置作业：完成课后习题，复习和巩固所学知识。
正余弦定理的应用举例教案
正余弦定理的应用举例教案第一章：正弦定理的应用1.1 概述介绍正弦定理的概念和基本公式解释正弦定理在几何图形中的应用1.2 三角形内角和定理证明三角形内角和定理运用正弦定理计算三角形的内角和1.3 三角形面积计算介绍三角形面积计算公式运用正弦定理计算三角形的面积第二章：余弦定理的应用2.1 概述介绍余弦定理的概念和基本公式解释余弦定理在几何图形中的应用2.2 三角形边长计算运用余弦定理计算三角形的边长举例说明余弦定理在实际问题中的应用2.3 三角形角度计算运用余弦定理计算三角形的角度举例说明余弦定理在实际问题中的应用第三章：正弦定理与余弦定理的综合应用3.1 概述介绍正弦定理与余弦定理的综合应用解释正弦定理与余弦定理在几何图形中的应用3.2 三角形全等的证明运用正弦定理与余弦定理证明三角形全等举例说明正弦定理与余弦定理在三角形全等问题中的应用3.3 三角形相似的证明运用正弦定理与余弦定理证明三角形相似举例说明正弦定理与余弦定理在三角形相似问题中的应用第四章：正弦定理与余弦定理在实际问题中的应用4.1 概述介绍正弦定理与余弦定理在实际问题中的应用解释正弦定理与余弦定理在实际问题中的重要性4.2 测量问题中的应用运用正弦定理与余弦定理解决测量问题举例说明正弦定理与余弦定理在测量问题中的应用4.3 几何问题中的应用运用正弦定理与余弦定理解决几何问题举例说明正弦定理与余弦定理在几何问题中的应用第五章：正弦定理与余弦定理的拓展与应用5.1 概述介绍正弦定理与余弦定理的拓展与应用解释正弦定理与余弦定理在其他领域中的应用5.2 在物理学中的应用介绍正弦定理与余弦定理在物理学中的应用举例说明正弦定理与余弦定理在振动、波动等问题中的应用5.3 在工程学中的应用介绍正弦定理与余弦定理在工程学中的应用举例说明正弦定理与余弦定理在建筑、航空航天等领域中的应用第六章：正弦定理与余弦定理在三角形中的应用举例6.1 概述回顾正弦定理与余弦定理的基本概念和公式。
2012年金版新学案新编高三总复习第三章 第8课时
第三章
三角函数
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2．若点 A 在点 B 的北偏西 30°，则 B 点在 A ． ， 点的( ) 点的 A．西偏北 30° B．西偏北 60° ． ． C．南偏东 30° D．东偏南 30° ． ． 解析： 如图， 解析： 如图，可知 B 在点 A 的南偏东 30°或东 或东 偏南 60°.
答案： 答案： 70
第三章
三角函数
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5.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两 如图，为了测量河的宽度， 如图 的宽度 B 测得∠ 点 A， 望对岸的标记物 C， ， ， 测得∠CAB＝30°， ＝ ， ∠CBA＝75°， ＝120 m， ＝ ，AB＝ ， 则这条河的宽度为 ________m.
第三章 三角函数
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4．轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 ． O，两船航行方向的夹角为 120°，两船的航行 ， ， 速度分别为 25 n mile/h、15 n mile/h，则下午 2 、 ， 时两船之间的距离是________n mile. 时两船之间的距离是
第三章
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第8课时
正弦定理和余弦定理的应用
第三章
三角函数
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1．仰角和俯角 ． 在视线和水平线所成的角中， 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 _____的角叫仰角，在水平线 下方 的角叫俯 的角叫仰角， 上方 的角叫仰角 在水平线_____的角叫俯 如图① 角(如图①)． 如图 ．
第三章
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第三章 三角函数
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解析： 方法一： 解析： 方法一：选择水平基线 BC，在 BC 的延 ， 长线上取一点 D， D 点测得仰角∠BDA＝β， ，在 点测得仰角∠ ＝ ， 同 时测得 CD 的长度为 a. 在△ADC 中∠DAC＝α－β， ＝ － ， 在△ADC 中，由正弦定理 AC DC sin β＝sin(α－β)， ( － ) asin β . ∴AC＝ ＝ sin(α－β) ( － ) asin β sin α. 在 Rt△ACB 中，AB＝AC·sin α＝ △ ＝ ＝ sin(α－β) ( － )
高中数学正余弦定理的应用学案2新人教A版必修
如有你有帮助，请购买下载，谢谢！- 1 -页 高一数学导学案必修5 第六课时 正弦定理、余弦定理的应用(2)一、学习目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.二、学习重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。
三、自主预习四、自主探究：在平面几何中，平行四边形的四边的平方和等于两条对角线长的平方和。
你能用余弦定理加以证明吗？五．能力技能交流活动一、解三角形在几何中的应用：【总结】例2．作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向，【总结】活动三、计算平面图形的面积例3．如图1-3-4，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？【总结】【回顾反思】【课时作业】8．已知ABC ∆的两边,b c 是方程2400x kx -+=的两个根，的面积是2cm ，周长是20cm ，试求A 及k 的值；9．如图，AB BC ⊥，33CD =，30ACB ∠=，75BCD ∠= ，45BDC ∠=， 求AB 的长.10.1,.(1)ABCD AD AB BAD BCD ABCD θθθ==∠=∆如图所示，在平面四边形中，，而是正三角形将四边形的面积S表示为的函数；(2)求S的最大值及此时角的值. 第9题 A B C D。
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第8课时正、余弦定理的应用（2） 【学习导航】
知识网络
⎪⎩
⎪⎨⎧数学问题航海
测量学正、余弦定理的应用 学习要求
1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。
2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。
【课堂互动】
自学评价
运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：
①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；
②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解；
④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
【精典范例】
【例1】作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向（精确到0.1）.
【解】3F 应和12,F F 合力F 平衡，所以3F 和F 在同一直线上，
并且大小相等，方向相反.
如图1-3-3，在1OF F ∆中，由余弦定理，得
()70F N ==再由正弦定理，得
1
50sin1205sin 70FOF ∠==， 所以138.2FOF ∠≈，从而13141.8FOF ∠≈. 答 3F 为70N ，3F 与1F 之间的夹角是141.8.
【例2】半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB
为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？
分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积.
【解】设AOB α∠=.在AOB ∆中，由余弦定理，得22212212cos 54cos AB αα=+-⨯⨯=-.
于是，四边形OACB 的面积为
AOB ABC S S S ∆∆=+21sin 2OA OB AB α=⋅+
)121sin 54cos 2αα=⨯⨯⨯+-
sin αα=-
2sin 3πα⎛⎫=- ⎪⎝
⎭因为0απ<<，所以当32ππα-
=时，56απ=，即56
AOB π∠=时，四边形OACB 的面积最大. 追踪训练一
1. 如图，用两根绳子牵引重为Ｆ１＝１００Ｎ的物体，两根绳子拉力分别为Ｆ２，Ｆ３，保持平衡．如果Ｆ２＝８０Ｎ，Ｆ２与Ｆ３夹角α＝１３５°．
（１）求Ｆ３的大小（精确到１Ｎ）；
（２）求Ｆ３与Ｆ１的夹角β的值
（精确到０.１°）．
答案：（１）)(13945sin 6.100sin 1000
3N F ≈= （２）06.145=β
2. 从２００ｍ高的电视塔顶Ａ测得地面上某两点Ｂ，Ｃ的俯角分别为３０°和
４５°，∠ＢＡＣ＝４５°，求这两个点之间的距离．
答案：8.2822200≈
3．在△ABC 中，若1=a ，B=450，△ABC 的面积为2，那么，△ABC 的外接圆直径为25
【选修延伸】
【例3】ABC ∆中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，
① 求最大角的余弦值；
② 求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.
【解】①设三边1,,1+==-=k c k b k a ， *∈N k 且1>k ，
∵C 为钝角，
∴2224cos 022(1)
a b c k C ab k +--==<-， 解得41<<k ，
∵*∈N k ， ∴2=k 或3，但2=k 时不能构成三角形应舍去，
当3=k 时，12,3,4,cos 4
a b c C ====-
； ②设夹C 角的两边为y x ,，4=+y x ，
所以，2sin (4)(4)S xy C x x x x ==--+，当2=x
时，max S 追踪训练二
1．我国潜艇外出执行任务，在向正东方向航行时，测得某国的雷达站在潜艇的东偏北300方向的100n mile 处，已知该国的雷达扫描半径为70n mile ，若我国潜艇不改变航向，则行驶多少路程后会有暴露目标？（ B ）
A 50
B )225(310-
C 620
D 350
2．在△ABC 中，若B A >，则A sin 与B sin 的大小关系是 （ A ）
A 大于
B 大于等于
C 小于
D 小于等于
解：2sin A B a b r A >⇔>⇔ 2sin sin sin r B A B >⇔>
3．两艘快艇在水面上一前一后前进，后一艘快艇的速度是前一艘的两倍，前一艘快艇突然
向与原前进方向成300角行驶，若后一快艇需想在最短的时间内赶上前艇，则它行驶的方向
应与原方向的夹角为 41arcsin
【师生互动】。