正余弦定理学案
正弦、余弦定理教案
A
1200 C B
例 2 如图， 在三角形 ABC 中， 已知 a=3,b=2,c= 19 ,求此三角形各个角的大小及其面积。 （精确到 0.1） 。 A
C
B
例 3 已知 ABC 的顶点为 A(6,5),B(-2,8)和 C(4,1)，求 A (精确到 0.1 )
四、课堂练习： 已知 ABC 的三个角 A，B, C 所对的边分别为 a,b,c，根据下列条件，分别解三角形（保留根号 或精确到 0.01）
三．三角形中正弦定理的证明： 法 1：从特殊到一般，穷举法： 直角三角形中特性： 锐角三角形中有无特性？ 钝角三角形如何？ C B
A
法 2：在三角形的外接圆中论证：
分学习小组探讨，教师适当点拨。
四、 定理应用： 例 1：已知Δ ABC 中， 0 （1）a=20 , A=30 , （2）a=20 , b=40 , （3）a=20 , b=40 , （4）a=20 , b=30 , （5）a=20 , b=25 , （6）a=20 , b=15 ,
a ,sinB=____________,sinc=___________。 2R
（3）a:b:c=__________________________. (4)Δ ABC 面积 S=_______________=_______________=________________。 二、公式应用： （30 分钟） 1．在△ABC 中，若 sin A sin B ，则 A 与 B 的大小关系为（ A. A B B. A B C. A ≥ B ） ）
0 0 0 0
学生完成后，教师订正答案
六、课后作业：见作业 1。
七、课后反思
第 2 课时 知识与技能
第17课时 正弦定理、余弦定理导学案导学案(4)
第17课时 正弦定理、余弦定理导学案导学案（4）
1、学习目标
正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；
2、新知导读
（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水
平视线下方的角叫俯角
（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．
3、范例点睛
例1.如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的C 、D 两处，测得
烟囱的仰角分别是45α=︒和60β=︒，CD 间的距离是12m.已知测角仪器高 1.5m,求烟囱的高。
例2、某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东0
60的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西060的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？
4、达标检测
（1）某人朝正东方走x km 后，向左转1500，然后朝新方向走3km ，结果它离出发点恰好3km ，那么x 等于 ____________________________
（2）甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为0
30，则甲、乙两楼的高分别是_______________________________
（3）练习册P81考点5的对应演练 5、学后反思。
正弦定理和余弦定理补偏学案
解三角形学案一、“我学习，我主动，我参与，我收获！”1、正弦定理（1）在一个三角形中，各边和它所对角的_______________的比相等，即在ABC ∆中,___________=__________=____________=2R (其中R 为外接圆半径)（2）a ：b ：c=____________________2、三角形常用面积公式：11sin sin ____________22ABC S ab C ac B ∆=== 3、余弦定理： a 2＝__ ______ b 2＝_ _______ c 2＝___ _____余弦定理的推论：cosA=____ ___ _ cosB=___ ____ cosC ＝__ _____二、“我探究，我分析，我思考，我提高！”1、已知两角及一边解三角形典型例题1：已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆变式训练：在△ABC 中，b B A c 求边,60,45,3 ===2、已知两边及其中一边的对角解三角形典型例题2：根据已知条件解三角形 60,65,10===C c b 。
变式训练：已知在△ABC 中，,45,2,3 ===B b a 求A 及c3、求三角形面积典型例题3：在ABC ∆中，已知2=a ，3=b ，︒=150C ，求ABC S ∆；变式训练：在ABC ∆中，已知30,ABC B AB ∆∠==面积S 试求BC 。
4、已知两边及其夹角求第三边典型例题4：已知060,1,3===A c b ，求a ；5、已知三边求角典型例题4：已知6,5,4===c b a ，求A基础自测：1、在ABC ∆中，已知14=a ，7=b ，︒=30B ，则=A _________.2、在ABC ∆中，已知6=a ，︒=45A ，︒=75B ，则=c _________.3、已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c =4、在ABC ∆中，若6:2:1::=c b a ，则最大角的余弦值等于________________5、在ABC ∆中，已知3=b ，33=c ， 30=B ，则=a __________________6、在ABC ∆中，已知222a b ab c ++=，求C 的大小。
正弦定理教案优秀5篇
正弦定理教案优秀5篇《正弦定理、余弦定理》教学设计篇一一、教学内容：本节课主要通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用数学实验猜想发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。
二、教材分析：1、教材地位与作用：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书。
数学必修5》（A 版）第一章中，是在高二学生学习了三角等知识之后安排的，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证实，感受“类比--猜想--证实”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
2、教学重点和难点：重点是正弦定理的发现和证实；难点是三角形外接圆法证实。
三、教学目标：1、知识目标：把握正弦定理，理解证实过程。
2、能力目标：（1）通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
（2）增强学生的协作能力和数学交流能力。
（3）发展学生的创新意识和创新能力。
3、情感态度与价值观：（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的爱好。
（2）通过实例的社会意义，培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。
四、教学设想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己→←所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。
让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。
正弦定理和余弦定理的运用教案
正弦定理和余弦定理的运用教案正文：正弦定理和余弦定理的运用教案一、教学目标1. 理解正弦定理和余弦定理的含义和基本公式；2. 掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形相关问题中的应用方法；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点1. 正弦定理的推导和应用；2. 余弦定理的推导和应用。
三、教学难点1. 正弦定理和余弦定理的理解和记忆；2. 通过具体问题实际运用，使学生深入理解定理的应用方法。
四、教学准备1. 教材：三角函数学科教材；2. 工具：投影仪、黑板、粉笔、直尺、量角器。
五、教学过程Ⅰ. 导入（10分钟）1. 教师简要复习三角比的概念和计算方法；2. 教师引导学生思考：在已知某一角的情况下，如何确定三角形的边长呢？Ⅱ. 正弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示正弦定理的基本公式：a/sinA = b/sinB =c/sinC；2. 教师讲解正弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用正弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。
Ⅲ. 余弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示余弦定理的基本公式：c² = a² + b² - 2abcosC；2. 教师讲解余弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用余弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。
Ⅳ. 正弦定理和余弦定理的综合应用（25分钟）1. 教师给出一些复合问题，要求学生结合正弦定理和余弦定理解决问题；2. 学生分组讨论、解答问题，并在黑板上展示解题过程；3. 教师组织学生展示解题思路和方法，并针对不同解题方法进行及时点评。
Ⅴ. 拓展应用（15分钟）1. 教师布置一些拓展性应用题，要求学生在课后完成；2. 学生自主学习拓展内容，并在下节课讲解时与教师进行互动讨论。
Ⅵ. 总结与作业（10分钟）1. 教师对本节课的要点进行总结，并强调正弦定理和余弦定理的重要性；2. 布置作业：完成课后习题，复习和巩固所学知识。
高中数学正余弦定理教案模板(精选7篇)-最新
高中数学正余弦定理教案模板（精选7篇）作为一位杰出的老师，时常要开展教案准备工作，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。
如何把教案做到重点突出呢？这里给大家分享一些关于高中数学余弦定理教案，方便大家学习。
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余弦定理教案篇一今天我说课的内容是余弦定理，本节内容共分3课时，今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。
下面我分别从教材分析。
教学目标的确定。
教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。
一、教材分析本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理。
平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。
本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。
在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。
二、教学目标的确定基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者。
引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、三、教学方法的选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。
正、余弦定理导学案
§1.1.1 正弦定理（第一课时）课型：新授课 编写：张利平 尚辉 袁长涛 陈晓倩 校审：高一数学组 时间： 年 月ABC ∆中，三个内角C B A ,,有什么关系？三个边长c b a ,,有什么关系？边长c b a ,,和对角C B A ,,有什么关系？2．阅读教材第2-3页，根据直角ABC ∆中的边角关系Cc Bb Aa sin sin sin ==，能否在任意ABC ∆中，推到出边角的关系？3．如图，设锐角ABC ∆的外接圆圆心为点O ，半径为R ， 证明正弦定理等式R CcB b A a 2sin sin sin ===是否成立？若ABC ∆是直角三角形或者钝角三角形时，能否用上述方法给出证明？通过正弦弦定理RCc Bb Aa 2sinsin sin ===能否推导出变形公式？4.解三角形是如何定义的？正弦定理实用解那些已知条件的三角形？ 1.在ABC ∆中，下列等式一定成立的是 （ ）． A .sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C .sin sin a B b A = D .cos cos a B b A =2.在ABC ∆中，若045=A ，060=B ，4=a ，则边长b 的值为 （ ）A.2B.24C.22D.623.在ABC ∆中，若30A=，105C =，8b =，则=a （ ） A.4 B.AB Ca bc4.在ABC ∆中，已知4=a ，34=b ，030=A ，则角B 等于 ( ) A.︒30 B.︒30或︒150 C.︒60 D.︒60或︒1205.在ABC ∆中，若3=a ，2=b ，060=A ，则角B 等于 （ ） A.︒30 B.︒45 C.︒135 D.︒45或︒1356.在ABC ∆中，已知︒===301025A c a ，，，则角B 等于 （ ） A.︒105 B.︒60 C.︒15 D.︒105或︒157.在ABC ∆中，已知3=b ，33=c ，︒=∠30B ，则a 等于 （ ） A.3或9 B.6或9 C.3或6 D.6 8.在ABC ∆中，已知3π=A ，3=a ，1=b ，则边长c 等于 （ ）A.2B.23 C.13- D.39.在ABC ∆中，已知下列条件，解三角形①.22=c ,030=B ,045=C ； ②.5=a , 045=B ,0105=C ； ③.ο30,3,1===A b a ；二、选做题：1.在ABC ∆中，若045=B ，060=C ，1=c ，则最短边的边长等于 （ ） A.36 B.26 C.21 D.232.在ABC ∆中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于 （ ） A.1 B.1- C.32 D.32-3.在ABC ∆中，已知a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B = ．4.已知在△ABC 中，c =10，∠A=45°，∠C=30°，则b=___________.5.在ABC ∆中，已知下列条件，解三角形①.310=a ,10=b ,060=A ； ②.2=a ,2=b ,045=A ； ③.34=a ,24=b , 060=A ；学习报告（学生）； 教学反思（教师）§1.1.1 正弦定理（第二课时）课型：习题课 编写：张利平 尚辉 袁长涛 陈晓倩 校审：高一数学组 时间： 年 月1.在ABC ∆中，已知45A =，60B =，4=a cm ，解三角形．2.在ABC ∆中，若B A sin sin >，则角A 与B 的大小关系为 （ ） A.B A > B.B A < C.B A ≥ D.角A 与B 的大小关系不能确定3.在ABC ∆中，若角度比值3:2:1::=C B A ，则边长比值c b a ::等于 （ ） A.1∶2∶3 B.3∶2∶1 C.1∶3∶2 D.2∶3∶14.在ABC ∆中，若o A 60=，3=a ，则CB A cb a sin sin sin -+-+的值是 （ ）A.2B.21C.3D.23 5.若ABC ∆的周长为12+，且C B A sin 2sin sin =+，则AB 的值为 （ ） A.1 B.2 C.2 D.2-6.在ABC ∆中，若A b a sin 23=， 则角B 为 （ ） A.︒60 B.︒30 C.︒60或︒120 D.︒30或︒1507.在ABC ∆中，若B A 2=，则=a （ ） A.A b sin 2 B.A b cos 2 C.B b sin 2 D.B b cos 28.在ABC ∆中，已知a b 2=，060+=A B ,则角A 的值为 （ ） A.︒15 B.︒30 C.︒45 D.︒60 9.在ABC ∆中，若220=a ，320=c ，︒=60C ，则=A10.在ABC ∆中，若3=a ,3=b ,030=A ，则C ∠的大小是__________二、选做题：1.在ABC ∆中，BC b c cos cos =，则此三角形为 （ ）A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形2.在ABC ∆中，若22tan tan b a B A =，则ABC ∆的形状是 （ ） A.直角三角形 B.等腰或直角三角形 C.不能确定 D.等腰三角形3.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若10=a ，b =045=A ，则B 等于 _____4.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若︒=120A ，5=AB ，7=BC ，则sin C =________5.在ABC ∆中，若21cos ,3-==A a ，则ABC ∆的外接圆的半径为__________6.在ABC ∆中，若1=a ,3=b ,B C A 2=+，则=A sin ___________7.在ABC ∆中，若CcB b A a cos cos cos ==，则ABC ∆形状是___________ 8.在ABC ∆中，已知5:3:4::=c b a ，则=-C BA sin sin sin ___________9.在ABC ∆中，已知2=b ,3=a ,54cos -=A ①.求B sin 的值； ②.求)62sin(π+B 的值10.在ABC ∆中，已知C a A c cos sin ⋅=⋅①.求角C 的大小； ②.求函数)4cos(sin 3π+-=B A y 的最大值及取得最大值时的角B 的值11.在ABC ∆中，已知下列条件，试判断ABC ∆的形状①.A b B a tan tan 22⋅=⋅;②.B b A a cos cos ⋅=⋅;③.C B A 222sin sin sin +=且C B A cos sin 2sin ⋅=;学习报告（学生）；教学反思（教师）§1.1.2 余弦定理（第一课时）课型：新授课 编写：张利平 尚辉 袁长涛 陈晓倩 校审：高一数学组 时间： 年 月1．如图，在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若BC a = ，AC b = ,AB c =，能否用学过的向量知识证明下列等式？A bc c b a cos 2222⋅-+=；B ac c a b cos 2222⋅-+=；C ab b a c cos 2222⋅-+=2.余弦定理的定义如何复述？已知三角形三边能否，能否求出三角的内角？如何表示？3.余弦定理试用的题型有哪些？1.在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形．2.在△ABC 中，已知a =2c =，150B =，求b ．CABc ab3.在△ABC 中，已知a =b =，45B =，求c ．4.在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，c =，求三角形的最大内角．二、选做题：1.在△ABC 中,a c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为 （ ）.D. 13 2.已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为 （ ）.A ．60B ．75C ．120D ．1503.在△ABC 中，若AB ，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝_______ 4.在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足222b ac ab +-=，则∠C 等于 ．5.在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB －AC |＝________．6.在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．7.在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求最大角的余弦值．8.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC ⋅ 的值.学习报告（学生）； 教学反思（教师）§1.1.2 余弦定理（第二课时）编写：张利平 尚辉 袁长涛 陈晓倩 校审：高一数学组 时间： 年 月1.在ABC ∆中，若3=a ，7=b ，2=c ，则角B 的值是 （ ） A.︒30 B.︒45 C.︒60 D.︒1202.在ABC ∆中，已知a =2c =，030B =，则b = （ ） A.1 B.2 C.3 D.43.已知ABC ∆的三边AB=2，BC=3，AC=4 ，则此三角形是 （ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形4.在ABC ∆中，已知4:2:3::=c b a ，则C cos 的值为 （ ） A.41- B.41 C.32- D.325.若ABC ∆的内角,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B = （ ）B.34D.11166.若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆是 （ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形或者是钝角三角形7.边长为875、、的三角形的最大角与最小角的和是 （ ） A.︒90 B.︒120 C.︒135 D.︒1508.在ABC ∆中，若13-=AB ，13+=BC ，6=AC ，则角B 的值是 （ ） A.︒30 B.︒45 C.︒60 D.︒120 9.在ABC ∆中，若5=a ，3=b ，o C 120=，则A sin 的值为__________ 10.在ABC ∆中，若5=AB ，5=AC ，且109cos =C ，则=BC _______11.在ABC ∆中，已知7=a ，8=b ，1413cos =C ，则最大角的余弦值是_______12.已知在ABC ∆中，已知7=a ，3=b ，5=c ，求ABC ∆中最大角的值和C sin 的值二、选做题： 1.在ABC ∆中，若ab c b a =-+222，则角C 的大小为 （ ） A.︒60 B.︒︒13545或 C.︒120 D.︒302.在ABC ∆中，若bc a c b =-+222，则角A 的值为 （ ） A.︒30 B.︒60 C.︒120 D.01503.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若ab b a c ++=222，则ABC ∆是 ( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形4.在ABC ∆中，若222c <+b a ，则ABC ∆是 （ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角或直角三角形5.在ABC ∆中，若bc b c a c a +=-⋅+2)()(，则角A 的值是 （ ） A.030 B.060 C.0120 D.01506.在ABC ∆中，若)())((c b b c a c a +=-+，则角A 等于 （ ） A.060 B.090 C.0120 D.01507.在ABC ∆中，已知a =2,b =4,c =3,则cosB= __________8. 在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则AC=__________9.在ABC 中,222sin A sin B+sinBsinC+sin C =,则角A= __________ 10.已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，且ABC S∆＝2224a b c +-，那么角C ＝_______ 11.在ABC ∆中，222222222,,a c b b c a c b a >+>+>+，则∆ABC 是 _________ 三角形。
解三角形 正弦定理和余弦定理复习学案教师版
第 1 页解三角形正弦定理和余弦定理复习学案一、正、余弦定理解三角形的基本问题例1 在△ABC 中，(1)已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A 、C 、c ；(2)已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．点拨 (1)已知两边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角A ，再求其余的量． (2)先由sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ，求出a ∶b ∶c ，再由余弦定理求出最大角．解 (1)由正弦定理及已知条件有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32，∵a >b ，∴A >B ＝45°，∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22，当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22(2)根据正弦定理可知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10， ∴边c 最大，即角C 最大．设a ＝(3＋1)k ，b ＝(3－1)k ，c ＝10k ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3＋1)2＋(3－1)2－(10)22(3＋1)(3－1)＝－12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3回顾归纳 已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．►变式训练1 (1)△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠C ＝30°，求△ABC 的面积；(2)已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，b ＝5，S ＝53，求c 的长度．解 (1)1sin 30°＝3sin B ，∴sin B ＝32，∴B ＝60°或120°，当B ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32.当B ＝120°时，A ＝30°，∴S △ABC ＝12×3×1×sin 30°＝34.综上，△ABC 的面积为32或34.(2)∵S ＝12ab sin C ，∴sin C ＝32，于是C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝21，∴c ＝21；当C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ＝61， ∴c ＝61.∴c 的长度为21或61. 二、正、余弦定理在三角形中的应用例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长．已知b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc .第 2 页(1)求∠A 的大；(2)求b sin Bc 的值．点拨 (1)利用cos A ＝b 2＋c 2－a22bc 求解；(2)利用正弦定理对代数式b sin Bc进行转化．解 (1)∵b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc ，∴a 2－c 2＝b 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)方法一 在△ABC 中，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ，∵b 2＝ac ，∴b a ＝cb.∴sin B ＝b sin A a ＝c ·sin A b ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.方法二 在△ABC 中，由面积公式得：12bc sin A ＝12ac sin B∵b 2＝ac ，∴bc sin A ＝b 2sin B ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.回顾归纳 (1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系．(2)要注意利用△ABC 中A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得的一些基本关系式：sin(B ＋C )＝sinA ，cos(B ＋C )＝－cos A ，tan(B ＋C )＝－tan A ，sin B ＋C 2＝cos A2等，进行三角变换的运算．►变式训练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求∠A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．解 (1)∵B ＋C ＝180°－A ，∴B ＋C 2＝90°－A2.由4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72，得4cos 2A 2－cos 2A ＝72，即2(1＋cos A )－(2cos 2 A －1)＝72.整理得4cos 2A －4cos A ＋1＝0.∴cos A ＝120°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∵a ＝3，∴b 2＋c 2－bc ＝3.又b ＋c ＝3，∴b 2＋c 2＋2bc ＝9，∴bc ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3bc ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝1. 三、正、余弦定理在实际问题中的应用例3 A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，A 见塔在东北方向，B 见塔在正东方向，C 见塔在南偏东60°方向．求塔到直路的距离．解如图所示，过C、B、P分别作CM⊥l，BN⊥l，PQ⊥l，垂足分别为M、N 、Q.设BN=x，则PQ=x，PA=2x.∵AB=BC，∴CM=2BN=2x，PC=2x.在△PAC中，由余弦定理得AC2=PA2+PC2-2PA·PC·cos 75°，即4=2x2+4x2-42x2·624-，解得x2=2(43)13+，过P作PD⊥AC，垂足为D，则线段PD的长为塔到直路的距离．在△PAC中，由于12AC·PD=12PA·PC·sin 75°，得PD020sin7522sin752P A P C xAC⋅⋅⋅==，=2(43)62753213413+++⋅⋅=(km)．答塔到直路的距离为75313+km.回顾归纳(1)解斜三角形应用题的程序是：①准确地理解题意；②正确地作出图形(或准确地理解图形)；③把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；④根据实际意义和精确度的要求给出答案．(2)利用解斜三角形解决有关测量的问题时，其关键在于透彻理解题目中的有关测量术语．►变式训练3如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，设乙船按方位角为θ的方向沿直线前往B处救援，求sin θ的值．解在△ABC中，AB=20，AC=10，∠BAC=120°，由余弦定理知：BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=202+102-2×20×10×12⎛⎫-⎪⎝⎭=700.∴BC=107第3 页第 4 页由正弦定理得sin sin A B B C A C B B A C=∠∠，∴sin ∠ACB=A B B C·sin ∠BAC=·sin 120°=7.∴cos ∠ACB=7.∴sin θ=sin(∠ACB+30°)=sin ∠ACB ·cos 30°+cos ∠ACB ·sin 30°=7×2+7×12=14，.课堂小结：1．正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系，因此，可解决两类问题： (1)已知两角和其中任一边，求其他两边和一角，此时有一组解． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他解，其解不确定． 2．余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两个问题：(1)已知三边，求其他三角，其解是唯一的．(2)已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有一解．3．正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生了联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆)提供了理论基础，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．课后作业一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对答案 C 解析 sin B ＝b ·sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 答案 C 解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0，∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．(2008·福建)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D 解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.4．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25 B ．51 C ．49 3 D ．49第 5 页答案 D 解析 S △ABC ＝12AC ×AB ×sin 60°＝12×16×AB ×32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos 60°＝552＋162－2×16×55×12＝2 401∴BC ＝49.5．(2012·广东东莞模拟)△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A 解析 ①由a 2>b 2＋c 2知A 为钝角，①正确；②由a 2＝b 2＋c 2＋bc 知A ＝120°，②错；③由a 2＋b 2>c 2，仅能判断C 为锐角，A 、B 未知，③错；④由A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，知A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2，④错．所以仅①正确．二、填空题6．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________．答案 6 cm 2解析 由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2.∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－35得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6 (cm 2)．7．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A＝______.答案 2393.解析 由S ＝12sin A ＝121×c ×32＝3，∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13.∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 8．一艘船以20 km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________．解析 如图所示，sin 45sin 30BCAC =，∴BC=sin 30A C ×sin 45°=20122⨯， (km)．9．(2012·广东广州一模)已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，第 6 页cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×3517，∴b ＝17.10．在△ABC 中，已知AB ＝463，cos B ＝66，AC 上的中线BD ＝5，求sin A 的值．解 设E 为BC 的中点．连接DE ，则DE ∥AB ，且DE ＝12AB ＝263，设BE ＝x .在△BDE 中利用余弦定理可得：BD 2＝BE 2＋ED 2－2BE ·ED cos ∠BED ，5＝x 2＋83＋2×263×66x ，解得x ＝1，x ＝－73(舍去)．故BC ＝2，从而AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝283AC ＝2213.又sin B ＝306，故2sin A ＝2213306，sin A ＝7014.11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin 2A ＋B2－cos 2C ＝72.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)∵A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，得4cos 2C 2－cos 2C ＝72， ∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72，整理，得4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即7＝a 2＋b 2－ab ，∴7＝(a ＋b )2－3ab ， 由条件a ＋b ＝5，得7＝25－3ab ，ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.。
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1．1 ．1 正弦定理1．初中我们学过解直角三角形，回忆一下直角三角形中的边角关系边： ； 角： 边角关系： 即：2．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比 ，即 3．正弦定理的变形：（1） （2） （3） 4．正弦定理的作用：① ； ② 。
5．解三角形：一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的 的过程叫作解三角形。
6．三角形面积公式为：课堂互动一、已知两角及一边解三角形例1：已知⊿ABC 中，c=10,A=45°C=30°求b,∆S ；二、已知两边及一边的对角解三角形例2：C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆探究：解的情况（1）⊿ABC 中，∵π<<A 0，故由sinA 的值，一般可有 ; （2）已知a,b 及A 作三角形，其解的情况如下：①A 为锐角时:②A 为直角或钝角: [练习]：判断⊿ABC 的解的个数(1)a=5,b=4,A=120°,求B （ 解）;(2)a=5,b=4,A=90°,求B （ 解） (3)a=5,b=3310,A=60°,求B （ ）;(4)a=20,b=28,A=40°,求B （ 解） 学后反思：课堂检测1．已知⊿ABC 中，a=100,c=350,A=45°,求C 2．⊿ABC 中， 已知a=4,b=24,B=45°，求A3．⊿ABC 中，()132,60,45+=︒=︒=a C B ，求⊿ABC 的面积S 及边b （不要近似计算） 4．求边长为a 的等边三角形的面积。
5．已知b=12,A=30°B=120°,求∆S6．已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c7．（2010湖北理）在中，a=15,b=10,A=60°，则为A －B C － D8．已知∆ABC 中，一定成立的等式是( )1．1 ．2 余弦定理1．正余弦定理： 2．正弦定理的变形：（1） （2） （3） 3．三角形面积公式为：4．余弦定理 ： ⇔⇔ ⇔5．对公式的认识：（1） 是余弦定理的特例 （2）余弦定理主要作用：（1） ；（2） 6．三角形形状的判定：（1）若A 为直角，则 （2）若A 为锐角，则 （3）若A 为钝角，则课堂互动一、已知两边及夹角解三角形ABC ∆cosB3333B b A a A sin sin .= B b A a B cos cos .= A b B a C sin sin .= Ab B a D cos cos .= 例1 在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=3π，求BC 的长二、已知三边解三角形例2 已知⊿ABC 中，a:b:c=3:5:7，求⊿ABC 中最大角和C sin变式训练：（1）在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A变式训练：（2）已知:a=7,b=8,c=3,试判断此三角形的形状.三、正弦定理、余弦定理的应用比较例3 ABC ∆中，已知030,33,3===B c b ，求角A ，角C 和边a ；变式训练：（3）ABC ∆中，已知045,2,3===B b a ，求角A 、C 和边c学后反思：课堂检测1．已知:a=7,b=8,c=3,求A.2．⊿ABC 中，B ,2,7,3求===c b a3．已知：()C b a c b a 则角,lg 2lg 22lg lg 2222++=-+ 4．已知：a=8,b=7,c=5,求∆S5． 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C =3∶2∶4，那么cos C 的值为（ ）A ．－41 B ．41 C ．－ 32 D ．32 6．在△ ABC 中，已知a=7,b=8, cosC=1413，求最大角的余弦值7．（1）已知⊿ABC 中，a=20,b=29,c=21,求B （2）⊿ABC 中，a B c b 求,60,338,8︒=== 8．知⊿ABC 中,a=3,b=3,cosA=63-，求c 边长 9．一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ） A 、1，2，3 B 、2，3，4 C 、3，4，5 D 、4，5，610．（2010上海文）若△的三个内角满足，则△ （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.1．1 正、余弦定理的综合应用1．三角形中角关系：（1）三角形内角和等于_________(2) sin(A+B)=_______; cos(A+B)=_______；tan(A+B)=_______；sin(2B A +)=_____;cos(2B A +)=________;tan (2BA +)=________2．三角形中边关系：(1) 三角形中任意两边之和___第三边；（2）直角三角形中勾股定理 3．三角形中边角关系：（1）三角形中大边对_______,大角对____； （2）正弦定理：正弦定理的变形：a=__ ___；sinA=___ _；sinA:sinB:sinC= _ (3)余弦定理及其变形形式：2a =________ _________；cosA=____ ______4．三角形面积公式 ：课堂互动ABC sin :sin :sin 5:11:13A B C =ABC一、正余弦定理的综合应用例1 ⊿ABC 中，43cos ,10,2==+=A c a A C ，求b变式（1）⊿ABC 中，,150,350,300===c b B 求a二、判断三角形的形状例2 ⊿ABC 中，若C B A cos sin 2sin =，C B A 222sin sin sin +=，试判断⊿ABC 的形状。
变式（2）⊿ABC 中，C a cos b 2=，则⊿ABC 为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形变式（3）⊿ABC 中，若B b A a cos cos =，求证：⊿ABC 是等腰三角形或直角三角形。
三、综合应用例3 如图，已知在四边形ABCD 中，00135,60,14,10,=∠=∠==⊥BCD BDA AB AD CD AD求BC 的长。
变式（4）如图，四边形ABCD 中，已知,1200=∠A 7,33,3,900====∠BD BC AD ABC ，求（1）AB 的长；（2）CD 的长。
例2：（2010天津理）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若，，则A= （A ） （B ） （C ） （D ）学后反思：课堂检测1．（1）⊿ABC 中，b c B a 求,2,150,33=︒== （2）⊿ABC 中，A c b a 求角,13,2,2+===（3）⊿ABC 中， c A B C b a 和边求角,,15,22,2︒===2．在ABC ∆中，30B ∠=，AB =2AC =，则ABC ∆的面积为 ． 3．在ABC ∆中，已知6b =，10c =，30B =，则解此三角形的结果有 （ ）()A 无解 ()B 一解 ()C 两解 ()D 一解或两解4．在ABC ∆中，若ab c b a c b a 3))((=-+++且B A C cos sin 2sin =，则AB C ∆是 ． 5．在ΔABC 中，若sinBsinC=cos 22A，则下面等式一定成立的是 （ ） A ．A=B B ．A=C C ．B =C D ．A=B=C 6．⊿ABC 中︒===30,3,1A b a ，求B7．在△ABC 中，已知a=3，c=3 3 ，∠A=30°，求∠C 及b 8． △中, 12cos 2sin22=++C BA ， （1）求角C 的大小。
（2）若3,522==+c b a ，求a 、b 的值。
22a b -=sin C B =03006001200150ABC铅垂线 A9．在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cosA=31.(1)求： sin 22CB ++ cos2A 的值（2）若a=3,求bc 的最大值10．已知a 、b 、c 是ΔABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是ΔABC 的面积．若a=4，b=5，S=53，求c 的长度．11．在△中，,22cos sin =+A A AC=2，AB=3求△的面积 。
12．设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．1．2 应用举例1．解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把 ，建立一个解斜三角形的数学模型。
（3）求解：利用 有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 2．仰角与俯角： 3．方向角：4．方位角：一、测量距离问题例1 如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所ABC ABC在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是a m ，∠BAC=α，∠ACB=β。
求A 、B 两点的距离。
例2 如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），在岸边选取距离相距km 3的C ，D 两边，并测得000075,45,30,45====δγβα，（A 、B 、C 、D 在同一平面内），求A ，B 之间的距离。
二、测量高度问题例3 AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。
三、测量角度问题例4 某巡逻艇在A 处发现北偏东45°相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？例5 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高。
学后反思：课堂检测1．（2010陕西文数）在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.2．甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的报警后，测得甲船是沿着东偏北1050的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以什么速度、向何方向航行？3．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东200，灯塔B在观察站C的南偏东400，求灯塔A与灯塔B的距离。