余弦定理导学案
余弦定理(导学案)
1.1.2余弦定理（导学案）一、学习目标1、掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2、利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，二、本节重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.三、本节难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用四、知识储备1、回忆：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2、练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形. →变式3、思考：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？五、通过预习掌握的知识点余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac222cos 2+-=b a c C ba 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？六、知识运用1在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为；若a 2=b 2+c 2，则△ABC 为 ；若a 2＜b 2+c 2且b 2＜a 2+c 2且c 2＜a 2+b 2，则△ABC 为2在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为3在△ABC 中，BC =3，AB =2，且)16(52sin sin +=B C ，A = 七、重点概念总结余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边 判断三角形的类型.由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断结论：活用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ∆是锐角三角形ABC。
《余弦定理》导学案
余弦定理导学案1教学目标依据课程标准,结合学生的认知水平和年龄特点,确定本节课的教学目标如下:1.1知识与技能目标:能推导余弦定理及其推论,能运用余弦定理解已知“边,角,边”和“边,边,边”两类三角形。
1.2过程与方法目标:在探究学习的过程中,认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题,帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。
1.3情感与态度目标:培养学生的探索精神和创新意识;在运用余弦定理的过程中,让学生逐步养成实事求是,扎实严谨的科学态度,学习用数学的思维方式解决问题,认识世界;通过本节的运用实践,体会数学的科学价值,应用价值.2学情分析评论本课之前,学生已经学习了三角函数、向量基本知识有关内容,对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。
在此基础上利用向量方法探求余弦定理,学生已有一定的学习基础和学习兴趣。
总体上学生应用数学知识的意识不强,创造力较弱,看待与分析问题不深入,知识的系统性不完善,使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度,在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时,能够激发学生热爱数学的思想感情;从具体问题中抽象出数学的本质,应用方程的思想去审视,解决问题是学生学习的一大难点。
3重点难点评论本节课的教学重点是:余弦定理的证明过程和定理的简单应用。
突出重点方法:“抓三线、突重点”,即(一)知识技能线:问题情境→公式推导→公式运用;(二)过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→构造直角三角形等→转化、方程思想;(三)能力线:观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.本节课的教学难点是:利用向量的数量积证余弦定理的思路如何产生。
突破难点手段:“抓两点,破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点,激发他们的兴趣,鼓励学生大胆猜想、积极探索,及时地给以鼓励,使他们知难而进;二抓知识选择的切入点,从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手,教师在学生主体下给予适当的提示和指导.4教学过程4.1第一学时4.1.1教学活动活动1【导入】创设情境评论【PPT演示】某隧道施工队为了开凿一条山地隧道,需要测算隧道通过这座山的长度。
高一数学必修4《余弦定理》导学案设计
§1.1.2 余弦定理【学习目标】：1、记住余弦定理；2、掌握余弦定理的推导过程；3、知道余弦定理可以解哪几类三角形，并能利用余弦定理解三角形。
【课前导学】1、温故知新 已知向量,，且它们的夹角为θ，则它们的数量积等于什么？即=∙ =±2)(b a2、阅读课本P5—7页，思考下列问题：（1）请正确叙述余弦定理；（2）余弦定理是用什么方法证明的？（3）余弦定理的变式是怎样的？（4）余弦定理可用来解哪几类三角形？（5）余弦定理与勾股定理有什么关系？【知识应用】1、课本P7页例3（1）本题是解哪类三角形？（即已知什么，求什么？）（2）它的解题的步骤是怎样的？用到了几个定理？（3）此题解题中求出sin 0.5540C ≈后，为什么不直接写出角C 的度数而要先判断它是锐角？这一步去掉行不行？（4）本题还有没有其他解法？练习1：在三角形ABC 中，已知a ＝4，b ＝3，C ＝60°，求,sin sin c A B 与，并判断,A B 是锐角还是钝角。
2、课本P7页例4（1）本题是解哪类三角形？（2）它的解题的步骤是怎样的？（3）请回答P7页例4的旁注。
练习2：在三角形ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，解此三角形（角度精确到00.1，边长精确到0.1）。
（参考数据：000cos43.50.725,cos79.70.1786,cos36.20.8071≈≈≈）【课后作业】1．在ABC 中,（1）02,150a c B ===，则b =_________；(2) 2,1a b c ===，则A =________；2. 在△ABC 中,已知a=7,b=8,cos C=,则最大角的余弦值是 .3. 在△ABC 中,已知a=,b=1,∠A=30°,则c 等于( )A.1B.2C.-1 D. 4. 在△ABC 中,a 2+b 2-c 2=ab,求角C 的值等于( )A.150°B.30°C.120°D.60°5. 已知三角形三边之比是5∶7∶8,则最大角和最小角的和为多少度.6. 在△ABC 中,已知a=134.6 cm,b=87.8 cm,c=161.7 cm,解三角形. (提示:cos 56°20'=0.554 3,sin 56°20'=0.832 5,cos 32°53'=0.839 8)。
余弦定理(二)(优秀经典导学案)
1.1.2余弦定理（二） 教学目标1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
[复习引入] 余弦定理及基本作用①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C=+-②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba练习]在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A思考。
解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？求解三角形一定要知道一边吗？[探索研究]例1．在∆ABC 中，已知下列条件解三角形（1） 30=A ，10=a ，20=b （2） 30=A ，10=a ，6=b （3）30=A ，10=a ，15=b （4） 120=A ，10=a ，5=b （5） 120=A ，10=a ，15=b[随堂练习1]（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。
（2）在∆ABC 中，若1a =，12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。
（3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。
例2．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。
《余弦定理》教案、导学案、课后作业
《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教案第1课时余弦定理【教材分析】本节首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理，然后利用其初步解三角形.【教学目标与核心素养】课程目标1．掌握余弦定理的表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；2．培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.数学学科素养1.数学抽象：余弦定理及其推论；2.逻辑推理：余弦定理在边角互化中的应用；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：通过将三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间联系起来，体现了知识之间的辩证统一.【教学重点和难点】重点：余弦定理的发现和证明过程及基本运用；难点：余弦定理的探索及证明.【教学过程】一、情景导入问题:在三角形中,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边?已知三条边,怎么求出它的三个角呢?要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本42-44页，思考并完成以下问题1、什么是余弦定理？2、余弦定理有哪些变形？3、什么是解三角形？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 a 2=b 2+c 2−2bccosAb 2=a 2+c 2−2accosB c 2=a 2+b 2−2abcosC推论：2、解三角形一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3、应用从而知余弦定理及其推论的基本作用为：① 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ② 已知三角形的三条边就可以求出其它角。
余弦定理导学案
1.重点：掌握余弦定理及其推论.难点：掌握正、余弦定理的综合应用.2.易错点：能应用余弦定理判断三角形的形状.【自主学习】一、余弦定理1.三角形中任何一边的_____等于________________的和______这两边与它们的______的余弦的积的_______．即a2＝____________________，b2＝_____________________，c2＝_____________________.2．应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．(1)已知三边，求_______．(2)已知______和它们的_______，求第三边和其他两个角．二、余弦定理的变形1.余弦定理的变形cos A＝________________；cos B＝________________；cos C＝_________________.2．利用余弦定理的变形判定角在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为________；c2>a2＋b2⇔C为______；c2<a2＋b2⇔C为_______．【合作探究】例1.在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B ＝30°，求角A，角C和边a. 对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之说法正确吗？为什么？探究2在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝π2成立吗？反之若C＝π2，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？例2.在△ABC中，若(a－c·cos B)·sin B ＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状．【课堂练习】1．已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为()A．60°B．90°C．120°D．150°2.在△ABC中，若a＝2b cos C，则△ABC的形状为．【题后反思】沧州市颐和中学高一数学导学案2016—2017学年第二学期必修五第__2__号。
余弦定理导学案
§1.1.2.《余弦定理》导学案【学习目标】1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法；2.会运用余弦定理解决两类基本的三角形问题；【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本运用；【学习难点】利用向量的数量积证余弦定理的思路；一、复习回顾：1.正弦定理： ；2.正弦定理在解三角形当中能解决的两类问题： ；二、知识探索：问题1：在ABC ∆中，已知b CA a CB ==,,CB 与CA 的夹角为C ∠，求边C 。
能用正弦定理求吗？为什么？探究1：对上述问题，我们需要引入余弦定理来进行求解了，容易想到向量的 与向量夹角的余弦有关，并且边长可以用向量的 来进行表示，因此接下来用向量的方法来探讨上述问题。
将问题转化为如下的向量问题：如图，在ABC ∆中,若已知向量b CA a CB ==,,并且它们的夹角为C ∠，求AB 。
由向量减法的三角形法可以得： AB = 22AB CB CA ∴=- ===即2c = 同理还可以得到：2a = 2b = 归纳可得余弦定理的内容如下：1.余弦定理： ； ； ； 请大家用文字来描述一下余弦定理： ； 从上面三个等式可以看出，若已知三角形的两边及其夹角，可以求出第三边。
若已知的是三角形的三边，又该如何求解三角形的三个内角呢？易想到对上面三个式子进行变形得：2.余弦定理的变形： ； ； ；三、知识运用：类型一：已知两边及其夹角解三角形例1.在△ABC 中，已知AB=10km ，BC=4km ，∠B=︒120，求 A,C 两点间的距离。
A B C a b c变1：在ABC ∆中，已知 60,34,32===B c a ，求b 和角A 。
类型二：已知三边解三角形例2、在△ABC 中，已知13,2,6+===c b a, 解三角形。
变2：已知ABC ∆的三边分别为7，2,1，求这个三角形的最大内角，并判断这个三角形的形状。
变3：已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？如：在ABC ∆中，已知b=4,c=15 ,C=60°求边a.思考：1、变式2中若将条件改为三边的比值为1:2:7 ，该如何求解？ 2、在A B C ∆中，已知cc b A 22cos 2+=（a,b,c 分别为角A,B,C 的对边），判断ABC ∆的形状。
余弦定理导学案
高一（下）数学必修5 编号：SX-16-066《余弦定理》导学案小组：姓名：【学习目标】1. 掌握余弦定理的内容；2. 掌握余弦定理的证明方法；3. 会运用余弦定理解斜三角形的两类基本问题．【知识链接】1、正弦定理公式内容：2、可以解决两类有关三角形的问题：①______________________________________________②______________________________________________ 【学习过程】参考课本P5证明问题Cabbac cos2222-+=,请尝试证明Abccba cos2222-+=问题1、在△ABC中，已知边cb,和角A，请用cb,和角A表示边a同理=2b_____________________________（此式对任意三角形都成立吗？）综上可得余弦定理内容：如果已知三边求三个角的余弦，我们得到余弦定理的推论为：问题2、当角A 或B 或C 为直角时，此时余弦定理形式是怎样的？此时你发现余弦定理和勾股定理有何关系？问题3、通过余弦定理判断三角形的角如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是例1、在△ABC 中，已知 45,26,32=+==B c a ，求b 及A.例2、在△ABC 中，已知13,2,6+===c b a ，求角A 、B 、C 。
例3、在△ABC 中，已知222c b a +>，那么△ABC 是 【 】A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、锐角三角形D 、不能确定【课堂小结】1、余弦定理及其推论的内容是什么？2、余弦定理可以解决三角形中的哪两类问题？① ② 【当堂检测】1．6,22,2===c b a ，则=A cos ，=B cos ；=C cos .2. △ABC 中， 2,7,3===c b a ，求B ，并判断△ABC 的形状。
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课题：必修5第二章1、2余弦定理
学习目标：
1．掌握余弦定理及其推导过程，探索推导的多种方法；
2．能够利用余弦定理解决斜三角形的计算等相关问题
课时安排：一课时
教学过程：
一、复习引入：
1正弦定理：在任一个三角形中，和比相等，
即：（R为△ABC外接圆半径）
2正弦定理的应用：从理论上正弦定理可解决两类问题：
（1）．已知，求其它两边和一角；
（2）．已知，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（注意解的情况）3．已知：在三角形ABC中b=8.c=3.A＝600能求a吗？（用勾股定理来证明）
二、自主探究：
[问题]：思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？
已知：在三角形ABC中，AB=c,AC=b和A求a
阅读教材，探索讨论余弦定理及其推导过程：（用向量来证明）余弦定理：
_____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 即：_________________________________________________
推论：_______________________________________ [问题]1.你还能用其他的方法来推导余弦定理吗？
2、余弦定理与勾股定理有怎样的关系？
3、观察余弦定理及其推论，我们可以用它们来解决哪类有关三角形的问题。
试试：
（1）△ABC中，33
a=，2
c=，150
B=o，求b．
（2）△ABC中，2
a=，2
b=，31
c=+，求A．
三、展示点评
例1.在△ABC中，已知3
a=，2
b=，45
B=o，求,A C和c．
【思路探究】
例2.在ΔABC中，已知a＝7，b=3，c＝5,求最大角和sinC。
．
【思路探究】
四、总结提升
※学习小结
五、课后作业
.在△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cosAsinB=sinC,判断△ABC的形状。