高斯投影及高斯平面坐标系
高斯投影及高斯平面直角坐标
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所 对应的椭球面上的弧长相同。
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
dq MdB N cosB
q为等量纬度，计算公式为
q B MdB dB ln tg( B ) e . (1 esin B)
0 N cos B
4 2 2 (1 e sin B)
F mBmL N 2 cos2 B cos
EG
12
3.1.2 地图投影变形及其表述
代入长度比公式，得：
m2 mL2 cos2 A mBmL cos sin 2A mB2 sin2 A
若使：d dA
(m2
)
mL2
sin
2
A0
2mBmL
cos
c os2 A0
mB2
sin
2 A0
P1x1, y1
椭球面上
投影面上
x1 ax y1 by,
x2 y2 1
x12 a2
y12 b2
1
m
x12 y12
a2x2 b2 y2
a2 cos 2 b2 sin 2
x2 y2
x2 y2
16
3.1.2 地图投影变形及其表述
3、方向变形与角度变形
A
G
s in 2
A
9
3.1.2 地图投影变形及其表述
当A=0°或180 °，得经线方向长度比：
mL
N
E cos B
G 当A = 90°或270 °，得纬线方向长度比： mB N cos B
要使长度比与方向无关，只要：F = 0, E = G， 则长度比可表示为：
高斯投影及计算
x y y 2 - 1= y
C
2dδ
ε 2
2dδ
δ21
dξ
B
dδ dσ
DA
Tδ12
1
y
x B′
y A′
B dδ
A dδ
η
椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
• 二、方向改正计算 • 方向改正——正形投影后，椭球面上大地线投影
到平面上仍为曲线，化为直线方向所加的改正δ。 • 适用于三、四等三角测量的方向改正计算公式
2、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投影平面， 然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角，在平面上进 行平差计算，求解各点的平面直角坐标。
高斯投影计算内容
归算
解算
椭球面
大地坐标
高斯投影 坐标公式
两
种
地面观测数据
方
高斯直角 平面坐标
法
归算
椭球面
高斯平面
归算
解算平面三角形
平差计算
高斯投影计பைடு நூலகம்内容
Vy 2 项。
项y，4m
西(Cauchy)—黎曼(Riemann)条件，式中，f代 表任意解析函数。
x iy f (q il)
高斯投影坐标计算
• 高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x， y）
• 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B， L）
高斯投影坐标计算
大地经度L是从起始子午面开始起算的 起始子午线作为投影的中央子午线
上式的计算精度为0.1″。
椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
• 三、距离改正计算
• 距离改正——椭球面上大地线长S改换为平面上投
影曲线两端点间的弦长D，要加距离改正△S。
高斯直角坐标系简介
高斯直角坐标系简介高斯直角坐标系简介1. 什么是高斯直角坐标系？高斯直角坐标系是一种在数学和物理学中常用的坐标系。
它由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在19世纪初提出，用于描述平面和空间中的几何问题。
与传统的笛卡尔坐标系不同，高斯直角坐标系是利用参考点和参考方向来构建坐标系的。
2. 高斯直角坐标系的构建方式利用高斯直角坐标系，我们可以用一组有序的数来表示空间中的点。
该坐标系的构建方式如下：- 选择一个参考点作为坐标系的原点，通常选择地球表面的某一点作为参考点。
- 选择参考方向。
在二维情况下，参考方向可以是正北或正东；在三维情况下，参考方向可以是正北、正东和竖直向上。
这些参考方向构成了坐标系的三个轴。
- 以参考点为原点，根据参考方向确定坐标轴的正方向。
这些坐标轴与参考方向垂直，并形成直角关系，因此得名高斯直角坐标系。
3. 高斯直角坐标系的应用领域高斯直角坐标系在测量学、地理学和地震学等领域被广泛应用。
在这些领域中，通过使用高斯直角坐标系，可以更方便地描述和计算地球表面或空间中的位置、距离、方向等物理量。
4. 高斯投影坐标系高斯直角坐标系的一种特殊形式是高斯投影坐标系。
高斯投影坐标系通过投影方式将地球表面上的经纬度位置投影到平面坐标系中。
在地图制作中，高斯投影坐标系常被用于绘制区域或国家的精确地图。
5. 高斯直角坐标系的优点和局限性高斯直角坐标系的优点是能够通过简单的数学计算得到点的位置、距离和方向，适用于各种几何计算。
然而，由于坐标轴的选择和原点的位置没有统一标准，不同地区和不同学科可能会采用不同的高斯直角坐标系，导致坐标值不可通用。
总结与回顾：通过本文，我们了解了高斯直角坐标系的基本概念和构建方式。
高斯直角坐标系在数学和物理学中具有广泛的应用，尤其在测量学、地理学和地震学等领域涉及到位置、距离和方向的计算时被频繁使用。
我们还了解到高斯投影坐标系作为高斯直角坐标系的一种特殊形式，常被用于地图制作。
高斯投影
高斯坐标即高斯-克吕格坐标系（1）高斯-克吕格投影性质高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichGauss，1777一1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于1912年对投影公式加以补充，故名。
该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。
投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。
设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。
将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。
取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。
高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。
由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。
（2）高斯-克吕格投影分带按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。
分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。
通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。
六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第1、2…60带。
三度带是在六度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分带，带号依次编为三度带第1、2…120带。
高斯投影高斯坐标系与大地坐标系的关系-资料
6.3 高斯—克吕格投影
Gauss — Kruger projection 3、分带的方法
三度带：在六度带基础上，其奇数带中央子午线 与六度带中央子午线一致；偶数带与六度带中央分 带子午线重合。
6.3 高斯—克吕格投影
Gauss — Kruger projection
Gauss — Kruger projection
一、高斯-克吕格投影概念 高斯投影三条件 正形条件 中央子午线投影为一直线 中央子午线投影后长度不变
x F1(B, L)
y
F2
(B,
L)
6.3 高斯—克吕格投影
Gauss — Kruger projection
二、高斯投影的分带（belt dispartion ） 1、为什么要分带
x y
F1(B, L) F2(B, L)
x
y
f1(q, l) f2 (q,l)
中央子午线
dq M dB r dl dL,(l L L0)
N
l
L0 P(B, L)
如何求f1，f2的
具体形式？
S 赤道
一、高斯投影正算公式
以弧度为单位
1、公式推导
的最大量级？
推导思路：级数展开，应
x（中央子午线 L 0 )
用高斯投影三个条件，待 定系数法求解。
x
y
f1(q, l) f2 (q,l)
近似值（q，0）
l LL0
y
P(B, L)
x
xm0m 1lm2l2m3l3m4l4..... o yn0n1ln2l2n3l3n4l4......
（赤道) y
一、高斯投影正算公式 n1ddm 0 q,n21 2d dm 1q,n31 3ddm 2 q,n41 4ddm 3 q,
高斯平面直角坐标系
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
（4）反算公式
当l＜3.5°时，上式换算精度达0.0001″。 欲使换算精确至0.01″，可对上式简化成：
大测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
平 时 作 业 用编程进行高斯投影正反算。 已知
B 51 3843.9023 L 111 0213.1360
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
即有：
在数学上，F1为 l 的偶函数，F2为 l 的奇函数。 因为在每带中，l/ρ˝不大，是一个微小量，可展成幂级 数。
m０，ｍ１，ｍ２，…，是待定系数，它们都是纬度B的函 数。
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
大地测量学基础
4.9 高斯平面 直角坐标系
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
三、高斯投影坐标正反算公式 1、高斯投影坐标正反算的定义 （1）高斯投影正算： 已知椭球面上某点的大地坐标B、L，求其 该点在高斯平面直角坐标系中的坐标x、y的工作 叫高斯投影正算。 （2）高斯投影反算： 已知椭球面上某点在高斯平面直角坐标系中 的坐标x、y，求其该点的大地坐标B、L的工作 叫高斯投影反算。
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
（3）反算公式推导思路： 和正算公式基本一样，也是根据高斯投影的3个条件来 推导的。 ①由对称条件，同样可得： 把B、l 展成y的幂级数，而φ1为y的偶函数， φ2为y的奇 函数。
式中 n ０ ，ｎ １ ，ｎ ２ … 是待定系数，它们都是纵坐标 x 的函数 ,与y无关。
高斯投影与高斯平面直角坐标系概述课件
适用于小范围投影，保持地图的形状和方向准确，常用于地形图、工程图等需要 保持地图方向准确的领域。
PART 03
高斯投影与高斯平面直角 坐标系的应用
在地图制作中的应用
地图投影转换
高斯投影是地图制作中常用的投影方 法，它可以将地理坐标转换为平面直 角坐标，使得地图上的图形和距离更 加准确。
地理信息整合
在工程测量和建筑中的应用
施工放样与监测
在工程建设中，高斯平面直角坐标系用于施工放样和施工过程中的监测，确保工程按照设计要求进行 。
大型设施布局
对于大型设施的布局，如机场、港口等，高斯平面直角坐标系提供了准确的定位方法，有助于设施的 合理布局和规划。
PART 04
高斯投影与高斯平面直角 坐标系的优缺点
缺点
变形
由于地球是一个近似于椭球的球体，因此投影过程中难免 会产生一定的变形，尤其是在远离中央经线的地方，变形 更为明显。
中央经线附近区域扩大
在中央经线附近区域，投影导致的面积扩大现象较为显著 ，可能会影响地图的精度。
计算参数复杂
高斯投影与高斯平面直角坐标系需要使用一系列复杂的计 算参数，如地球椭球体长半轴、地球赤道半径、地球极半 径等，增加了使用难度。
PART 05
高斯投影与高斯平面直角 坐标系的发展趋势和未来
展望
应用领域的拓展
随着地理信息科学和工程领域的发展，高斯投影与高斯平面直角 坐标系的应用越来越广泛，不仅局限于传统的地图制作和地理数 据分析，还涉及到导航系统、城市规划、环境监测等多个领域。
投影方式的优化
为了更好地满足各种应用需求，研究者们不断探索和改进高斯投影的算法和参数设置，以提高投影的精度和效率。同时，也出 现了多种新型的高斯投影方式，以适应不同地区的地理特点和数据需求。
建筑工程测量：高斯坐标系
《建筑工程测量》高斯坐标系一、高斯坐标系测量工作的基本任务是确定地面点的空间位置。
在工程测量中确定地面点的空间位置，通常需用三个量，即该点在一定坐标系下的三维坐标，或该点的二维球面坐标或投影到平面上的二维平面坐标，以及该点到大地水准面的铅垂距离（高程）。
为此，我们必须研究测量中所使用的坐标系。
地面点的坐标，可根据实际情况选用不同的坐标系，下面介绍几种用以确定地面点位的坐标系。
1.大地坐标系用大地经度L和大地纬度B表示地面点投影到旋转椭球面上位置的坐标，称为大地坐标系，亦称为大地地理坐标系。
该坐标系是以参考椭球面和法线作为基准面和基准线。
如图1-2所示，NS为椭球的旋转轴，N表示北极，S表示南极，O为椭球中心。
通过椭球心O与椭球旋转轴NS正交的平面称为赤道平面。
赤道平面与球面相交的纬线称为赤道。
过F点的法线（与旋转椭球面垂直的线）与赤道面的夹角，称为F点的大地纬度。
在赤道以北者为北纬或写成0°～90°N，在赤道以南者为南纬或写成0°～90°S。
过地面任一点与椭球旋转轴NS所组成的平面称为该点的子午面。
子午面与球面的交线称为子午线或经线。
国际公认通过英国格林尼治（Greenwich）天文台的子午面，是计算经度的起算面，称为首子午面。
过F点的子午面NFKSON与首子午面NGMSON所成的两面角，称为F点的大地经度。
它自首子午线向东或向西由0°起算至180°，在首子午线以东者为东经或写成0°～180°E，以西者为西经或写成0°～180°W。
大地坐标是由大地经度L、大地纬度B和大地高H三个量组成。
用以表示地面点的空间位置。
用大地坐标表示的地面点，统称大地点。
建国初期，我国采用的大地坐标系为“1954年北京坐标系”，亦称“北京—54坐标系”（简称P54。
该坐标系采用了原苏联的克拉索夫斯基椭球体，其参数是：长半轴a=6378.245km；扁率α=1/298.3；坐标原点位于原苏联的普尔科沃。
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高斯投影 及其计算
蔡跃辉
2013.9.28 衡阳师范学院资旅系
衡阳师范学院资旅系
1
问题的提出
衡阳师范学院在地球上的 位置是多少？ 问题：地球表面点的位置的 确定？
衡阳师范学院资旅系
2
地球表面两点的距离计算
已知北京的位置约 为东经116度，北 纬40度， 衡阳的位置约为东 经112度，北纬26 度， 求两个城市之间的 距离。（结果精确 到1千米）
衡阳师范学院资旅系
8
高斯投影的分带
为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。
L0 3° 9° 75° 81° 87° 93° 99° 105° 111° 117° 123° 129° 135°
N L 0° n
1 6° 1
2
13 12° 72° 25
14
15
16
17
18
19
20
21
22
（先去掉带号，原来横坐标y＝367622.380—500000＝-132377.620m，在西侧）
（4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？
（距中央子午线132377.620m，距赤道3102467.280m）
衡阳师范学院资旅系
13
衡阳师范学院资旅系
10
高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y）
高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
衡阳师范学院资旅系
11
高斯平面直角坐标系
坐标系的建立：
x轴 — 中央子午线的投影
x
高斯自 然坐标
P （X，Y）
y轴 — 赤道的投影
原点O — 两轴的交点
注：X轴向北为正，
赤道 O y
y轴向东为正。
衡阳师范学院资旅系
中央子午线
12
例：
有一国家控制点的坐标: x=3102467.280m ,y=19367622.380m， （1）该点位于6˚ 带的第几带？
（第19带）
（2）该带中央子午线经度是多少？ （L。=6º ×19-3º=111˚） （3）该点在中央子午线的哪一侧？
A
O1
B
O D C
衡阳师范学院资旅系
3
数学投影
数学投影——是数学的投影，建立椭球面大地坐 标（B、L）与投影平面上对应的坐标（x、y）之 间的函数关系。
衡阳师范学院资旅系
4
高斯投影的概念
高斯投影是一种等角投影。它是由德国数 学家高斯(Gauss，1777~1855)提出，后经德 国大地测量学家克吕格(Kruger，1857～1923) 加以补充完善，故又称“高斯—克吕格投
影”，简称“高斯投影”。在有些资料中也
称横轴墨卡托(Transverse Mercator, TM)
投影
衡阳师范学院资旅系
5
高斯投影方法1
N
O
S
衡阳师范学院资旅系
6
高斯投影方法2
投影
剪开
衡阳师范学院资旅系
展平
7
高斯投影的规律： (1) 中央子午线的投影为一条直线，且投影 之后的长度无变形；其余子午线的投影均为凹向 中央子午线的曲线，且以中央子午线为对称轴， 离对称轴越远，其长度变形也就越大； (2) 赤道的投影为直线，其余纬线的投影为 凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴； (3) 经纬线投影后仍保持相互正交的关系， 即投影后无角度变形； (4) 中央子午线和赤道的投影相互垂直。
23
78° 84° 90° 96° 102° 108° 114° 120° 126° 132° 138° 27 29 31 33 35 37 39 4
高斯投影的分带2
按照6º 带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º ，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=6º N－3º （N为6º 带的带号） 例：20带中央子午线的经度为 L。＝6º 20－3º × ＝117 º 按照3º 带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º ，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=3º n （n为3º 带的带号） 例：120带中央子午线的经度为 L。＝3º 120＝360 º ×