高斯平面直角坐标与大地坐标转换

高斯平面直角坐标系与大地坐标系

1 高斯投影坐标正算公式

（1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标()B L ,，求该点在高斯投影平面上的直角坐标()y x ,，即()),(,y x B L ⇒的坐标变换。 （2）投影变换必须满足的条件

● 中央子午线投影后为直线； ● 中央子午线投影后长度不变；

● 投影具有正形性质，即正形投影条件。 （3）投影过程

在椭球面上有对称于中央子午线的两点1P 和2P ,它们的大地坐标分别为（B L ,）及（B l ,），式中l 为椭球面上P 点的经度与中央子午线)(0L 的经度差：0L L l -=, P 点在中央子午线之东, l 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为),(1y x P '和),(2y x P -'。

（4）计算公式

⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫''+-''+''+-''+''''=''+-''+''''+

=54255

32234

223422)185(cos 120)1(6cos )95(cos sin 2sin 2l t t B N l t B N l B N y l t B B N l B N X x ρηρρηρρ

当要求转换精度精确至0.OOlm 时，用下式计算：

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫''-++-'

'+''+-''+''''=

''+-'

'+''++-''+''''+

=52224255

3223364256

4

422342

2)5814185(cos 720)1(cos 6cos )5861(cos sin 720)495(cos sin 24sin 2l t t t B N

l t B N

l B N y l t t B B N

l t B B N l B N X x ηηρηρρρηηρρ

2 高斯投影坐标反算公式

（1）高斯投影反算：已知某点的高斯投影平面上直角坐标()y x ,，求该点在椭球面上的大地坐标()B L ,，即()),(,B L y x ⇒的坐标变换。 （2）投影变换必须满足的条件

● x 坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴； ● x 轴上的长度投影保持不变；

● 投影具有正形性质，即正形投影条件。

（3）投影过程

根据x 计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度f B ，接着按f B 计算（B B f -）及经差l ，最后得到)(B B B B f f --=、l L L +=0。

（4）计算公式

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪

⎪

⎬⎫+++++++-=++--+++

-

=5

22242532236

4254222332)8624285(cos 1201)21(cos 61cos 1)459061(720)935(242y t t t B N y t B N y B N l y

t t N M t y t t N M t y N M t B B f f f f f f

f f f f

f f f f f f

f f

f f f f f

f f

f f f

f ηηηηη

当要求转换精度至10.0''时，可简化为下式：

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎪⎬⎫+++++-=-+++

-

=5

4253

2234

222232)24285(cos 1201)21(cos 61cos 1)935(242y

t t B N y t B N y B N l y t t N M t y N M t B B f f f f f

f f f f f f

f f f f f f

f f f

f ηηη

3 高斯投影相邻带的坐标换算

（1）产生换带的原因

高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用 3带、 5.1带或任意带，而国家控制点通常只有 6带坐标，这时就产生了 6带同 3带（或 5.1带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如图所示：

（2）应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算

● 计算过程

把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。首先把某投影带（比如Ⅰ带）内有关点的平面坐标I ),(y x ，利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标),(B l ，进而得到l L L +=I 0；然后再由大地坐标),(l B ，利用投影正算公式换算成相邻带的（第Ⅱ带）的平面坐标II ),(y x 。

在这一步计算时，要根据第Ⅱ带的中央子午线II 0L 来计算经差l ，亦即此时II

0L L l -=。

● 算例

在中央子午线 123I 0=L 的Ⅰ带中，有某一点的平面直角坐标m 726.57283741=x ，

m 193.2101981+=y ，现要求计算该点在中央子午线 129II 0=L 的第Ⅱ带的平面直角坐标。

● 计算步骤

①．根据1x ,1y 利用高斯反算公计算换算1B ,1L ，得到4902.4383511'''= B ，

2136.13201261'''= L 。

②．采用已求得的1B ,1L ，并顾及到第Ⅱ带的中央子午线

129II 0=L ，求得

486.46752'''-= l ，利用高斯正算公式计算第Ⅱ带的直角坐标II x ,II y

③．为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算

4 子午线收敛角公式

（1）子午线收敛角的概念

如图所示，p '、N p ''及Q p ''分别为椭球面p 点、过p 点的子午线pN 及平行圈pQ 在高斯平面上的描写。由图可知，所谓点p '子午线收敛角就是N p ''在p '上的切线 n p ''与t p ''坐标北之间的夹角，用γ表示。 在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于投影具有正形性质，因此它们的描写线N p ''及Q p ''也必正交，由图可见，平面子午线收敛角也就是等于Q p ''在p '点上的切线q p ''同平面坐标系横轴y 的倾角。

（2）由大地坐标),(B L 计算平面子午线收敛角γ公式

+-⋅+

++⋅+⋅=)2(cos sin 15

1

)231(cos sin 31sin 2544232t l B B l B B l B ηηγ

（3）由平面坐标),(y x 计算平面子午线收敛角γ的公式