高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题及解析

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人教A版高中数学必修五同步练测：1.1正弦定理和余弦定理

1.1正弦定理和余弦定理（人教实验A版必修5）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC中，下列各式中符合余弦定理的是（）（1）c2＝a2＋b2－2ab cos C；（2）c2＝a2－b2－2bc cos A；（3）b2＝a2－c2－2bc cos A；（4）cos C＝a2＋b2＋c2－2ab.A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)2.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B=（）A.B.C.D.3.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的长是（）A.B.C.2D.24.已知锐角A是△ABC的一个内角，a,b,c是三角形中各内角的对应边，若sin2A－cos2A＝12，则下列各式正确的是（）（1）b＋c＝2a；（2）b＋c2a；（3）b＋c≤2a；（4）b＋c≥2a.A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)5.在△ABC中，D点为BC上一点，BD＝12DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC ＝（）A.30°B.60°C.45°D.90°6.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A.B.C.D.7.在△ABC中，已知2sin A cos B=sin C，那么△ABC的形状是（）三角形.A.锐角B.直角C.等边D.等腰二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上）8.如图，在四边形ABCD中，已知AD CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60︒，∠BCD=135︒，则BC= .9.如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝1A1B1.若△AOB的外接2圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为_______．10.在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，则△ABC的形状是．(填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)11.在△ABC中，下列关系式：①a sin B＝b sin A；②a＝b cos C＋c cos B；③a2＋b2－c2＝2ab cos C；④b＝c sin A＋a sin C，一定成立的个数是 .12.△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c= .三、解答题（共47分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.（11分）在△ABC中，b＝a sin C，c＝a cos B，试判断△ABC的形状．14.（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin B=b．（1）求角A的大小；（2）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．15.（12分）在△ABC中，sin cosA A+=，2AC=，3AB=，求tan A的值和△ABC的面积.16.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=．（1）求角A ；（2）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，试求|m +n |的最小值．1.1正弦定理和余弦定理（人教实验A 版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题8． 9． 10． 11． 12．三、解答题 13.14.15.16.1.1正弦定理和余弦定理（人教实验A 版必修5）参考答案1.A 解析：注意余弦定理的形式，特别是正负号问题．2.A 解析：依题意得0°60°，由正弦定理得sin sin a b A B=得sin B ＝sin b A a ＝33，cos B ＝＝63，故选A. 3.D 解析：根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos120°＝76，所以c ＝故选D.4.C 解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos2A ＝－12，又因为A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°.所以2b c a+＝sin sin 2sin B C A+2sincos B C B C +-cos2B C -≤1，即b ＋c ≤2a .故选C.5.B 解析：由∠ADB ＝120°，知∠ADC ＝60°.又因为AD ＝2，所以S △ADC ＝12AD ·DC ·sin60°＝3－3，所以DC ＝2(3－1).又因为BD ＝12DC ，所以BD ＝3－1.过A 点作AE ⊥BC 于E 点，则S △ADC ＝12DC ·AE ＝3－3，所以AE ＝ 3.又在直角三角形AED 中，DE ＝1，所以BE ＝ 3.在直角三角形ABE 中，BE ＝AE ，所以△ABE 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°. 在直角三角形AEC 中，EC ＝23－3，所以tan ∠ACE ＝AE EC ＝323－3＝2＋3，所以∠ACE ＝75°，所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°.故选B.6.C 解析：设等腰三角形的底边长为a ，则由题意知等腰三角形的腰长为2a ，故顶角的余弦值为22244222··a a a a a＋－＝78.故选C. 7.D 解析：由2=，知2=， ∴+，即=0. ∴0，∴.故选D.8.ABD 中，设BD =x ，则2222cos BA BD AD BD AD BDA =+-⋅⋅∠，即ο60cos 1021014222⋅⋅-+=x x ，整理得096102=--x x ，解得161=x ，62-=x （舍去）. ∵∠ADC =90°，∠BDA =60°，∴∠CDB =30°.由正弦定理得BCD BDCDB BC ∠=∠sin sin ， ∴2830sin 135sin 16=⋅=οοBC . 9.2解析：在△AOB 中，由正弦定理得＝1，∴sin ∠AOB ＝AB . ∵∠AOB =∠，∴.在△A 1OB 1中，由正弦定理得2R ＝＝＝2.10.锐角三角形解析一：根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴2a c +⎛⎫⎪⎝⎭2＝a 2＋c 2－2ac cos60°，整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c .∴△ABC 是正三角形．∴△ABC 是锐角三角形．解析二：根据正弦定理得，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C . 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，∴C ＝120°－A ，∴2sin60°＝sin A ＋sin(120°－A )，整理得sin(A ＋30°)＝1， ∴A ＝60°，C ＝60°.∴△ABC 是正三角形．∴△ABC 是锐角三角形． 11.3解析：由正、余弦定理知①③一定成立．对于②，由正弦定理知sin A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )，显然成立．对于④，由正弦定理知sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，不一定成立．12.2解析：∵B =2A ，a =1，b =，∴由正弦定理=得： ===， ∴cos A =.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，即1=3+c 2-3c ，解得c =2或c =1（经检验不合题意，舍去），则c =2．故填2.13.解：由余弦定理知cos B ＝2222a c b ac＋－，将c ＝a cos B 代入，得c ＝2222a c b ac ＋－，∴c 2＋b 2＝a 2，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a •ca，∴b ＝c ， ∴△ABC 是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形． 14.解：（1）由2a sin B =b ，利用正弦定理得：2sin A sin B =sin B .∵sin B ≠0，∴sin A =. 又A 为锐角，∴A =.（2）由余弦定理得：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，即36=b 2+c 2-bc =（b +c ）2-3bc =64-3bc ，∴bc =. 又sin A =，则=bc sin A =．15.解法一：先解三角方程，求出角A 的值..21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+οοΘA A A A又0180οο<<A ,4560,105.A A ∴-==oootan tan(4560)2A ∴=+=-o o .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+==οοοοοοοA )62(434623221sin 21+=+⨯⨯⨯=•=∴∆A AB AC S ABC . 解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin A -cos A 的值. 22cos sin =+A A Θ，①.0cos ,0sin ,1800.21cos sin 2.21)cos (sin 2<>∴<<-=∴=+∴A A A A A A A οοΘ又23cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A Θ, 26cos sin =-∴A A .② ①+②，得sin A =+264. ①－②，得cos A =-264.从而sin tan 2cos A A A ===-以下解法同解法一.16.解：（1）由正弦定理得，tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=，即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=， ∴sin()2sin sin cos sin A B CB A B+=， ∴1cos 2A =．∵0πA <<，∴π3A =．（2）∵m +n 2cos ,2cos1(cos ,cos )2C B B C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∴|m +n |222222π1πcos cos cos cos 1sin 2326B C B B B ⎛⎫⎛⎫=+=+-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵π3A =，∴2π3B C +=， ∴2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．从而ππ7π2666B -<-<． ∴当πsin 26B ⎛⎫-⎪⎝⎭＝1，即π3B =时，|m +n |2取得最小值12． ∴|m +n|min =。

正弦定理和余弦定理专题试题及答案

正弦定理和余弦定理专题试题及答案1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，若ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12 B ．1 C.3 D ．24．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且bsin A ＝3ɑcos B ．则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19B .13C ．1D .726．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1B . 2C . 3D ．37.在△ABC 中,若A=,B=,BC=3,则AC=( )A. B. C.2D.48.在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,则△ABC 的形状是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定9.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且=,则B= ( ) A.B. C. D.10.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则 ( )A.a>bB.a<bC.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定11．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC ＝的面积为________．12．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．13.△ABC 中,点D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. (1)求.(2)若∠BAC=60°,求B.14.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB. (1)求cosB 的值. (2)若·=2,且b=2,求a 和c 的值.15．如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4.(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是332，求sin ∠BAP .16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是ɑ，b ，c ，且b 2＝ɑc ＝ɑ2－c 2＋bc. (1)求bsin Bc的值； (2)试判断△ABC 的形状，并说明理由．正弦定理和余弦定理专题试题及答案1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案：C2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C，∴sin B ＝bsin Cc＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．答案：C3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，若ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12B ．1 C. 3 D ．2 解析：∵ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bcsin A ＝3，故选C.答案：C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且bsin A ＝3ɑcos B ．则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：根据题意结合正弦定理，得sin Bsin A ＝3sin Acos B. 因为sin A ≠0，所以sin B ＝3cos B ，即sin B cos B ＝tan B ＝3，所以B ＝π3. 答案：C5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( )A ．－19B .13C ．1D .72解析：由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinB sin A 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72。

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°）＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。

2021_2022学年高中数学第一章正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理作业1新人教A版必修5

1.1.2余弦定理基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．10[答案] A[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＝52＋(53)2－2×5×53×cos30°， ∴a 2＝25，∴a ＝5.2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于( ) A ．π3B ．π6C ．2π3D ．π3或2π3[答案] C[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－12，又∵0<A <π，∴A ＝2π3.3．(2014·全国新课标Ⅱ理，4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×1×sin B ＝12，∴sin B ＝22， ∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．当B ＝3π4时，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B ．4．(2014·江西理，4)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3[答案] C[解析] 本题考查正弦、余弦定理及三角形的面积公式．由题设条件得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.选C ．5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( ) A ．14 B ．34 C ．24D ．23[答案] B[解析] 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝34.6．(2015·广东文，5)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝2，c ＝23， cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D ． 3[答案] C[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝b 2＋12－6b ，即b 2－6b ＋8＝0， ∴b ＝2或b ＝4. 又∵b <c ，∴b ＝2.二、填空题7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角) [答案] 锐角[解析] 由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cos α＝16＋25－362×4×5＝18>0，因此0°<α<90°. 8．若2、3、x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为________． [答案] (5，13)[解析] 长为3的边所对的角为锐角时，x 2＋4－9>0，∴x >5，长为x 的边所对的角为锐角时，4＋9－x 2>0，∴x <13， ∴5<x <13.三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .[解析] 解法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°.a ＋c ＝8，ac ＝15，则a 、c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根．解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19.∴b ＝19.解法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，已知sin C ＝12，a ＝23，b ＝2，求边c .[解析] ∵sin C ＝12，且0<C <π，∴C 为π6或5π6.当C ＝π6时，cos C ＝32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2. 当C ＝5π6时，cos C ＝－32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27.能力提升一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A ．322B ．332C ．32D ．3 3[答案] B[解析] 由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－1322×3×4＝12，所以sin A ＝32. 则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332，故选B ． 2．在△ABC 中，∠B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形[答案] B[解析] 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12，则(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又∠B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．3．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 在△ABC 中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则cos B ＝49＋25－362×5×7＝1935.又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B ) ＝－|AB →|·|BC →|cos B ＝－7×5×1935＝－19.4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3[答案] B[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.二、填空题5．(2015·重庆文，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. [答案] 4[解析] ∵3sin A ＝2sin B ， ∴3a ＝2b ，又∵a ＝2，∴b ＝3. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×(－14)＝16，∴c ＝4.6．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________.[答案] －83[解析] 由余弦定理，得BC 2＝22＋12－2×2×1×(－12)＝7，∴BC ＝7，∴cos B ＝4＋7－12×2×7＝5714.∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC →＝AB →·BC →＋BD →·BC → ＝－2×7×5714＋73×7×1＝－83.三、解答题7．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积． [解析] 如图，连结AC ．∵B ＋D ＝180°，∴sin B ＝sin D ．S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB ·BC ·sin B ＋12AD ·DC ·sin D ＝14sin B ．由余弦定理，得AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ，即40－24cos B ＝32－32cos D ．又cos B ＝－cos D ， ∴56cos B ＝8，cos B ＝17.∵0°<B <180°，∴sin B ＝1－cos 2B ＝437. ∴S 四边形ABCD ＝14sin B ＝8 3.8．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a 、c 的值； (2)求sin(A －B )的值．[解析] (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9.由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝429. 由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝223，∵a ＝c ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13.∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c 且a ＝3，C ＝60°，△ABC 的面积为332，求边长b 和c .[解析] ∵S △ABC ＝12ab sin C ，∴332＝12×3b ×sin60°＝12×3b ×32， ∴b ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×cos60° ＝9＋4－2×3×2×12＝7，∴c ＝7.。

高三数学余弦定理试题答案及解析

高三数学余弦定理试题答案及解析1.在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为 .【答案】.【解析】∵，由正弦定理可知，，又∵，∴，∴.【考点】正余弦定理解三角形.2.在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（）A．3B．C．D．【答案】C【解析】因为所以由余弦定理得：，即，因此的面积为选C.【考点】余弦定理3.在中，，，，则； .【答案】2,【解析】由余弦定理得：==4，故；因为=，所以=.【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正余弦定理，三角函数的基本关系式等基础知识，属中低档题.4.设的内角所对边的长分别是，且，的面积为，求与的值.【答案】，或.【解析】根据三角形面积公式可以求出，利用可以解出，对进行分类讨论，通过余弦定理即可求出的值.由三角形面积公式，得，故.∵，∴.当时，由余弦定理得，，所以；当时，由余弦定理得，，所以.【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理.5.已知为双曲线的左右焦点，点在上，，则( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，，，即，，又，所以．【考点】双曲线的定义与性质，余弦定理．6.在中，,,，则边上的高等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，在△ABC中，由余弦定理知，即，，即，又，设BC边上的高等于，由三角形面积公式，知，解得.故选【考点】余弦定理；三角形面积公式.7.在△ABC中，BC=，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当变化时，线段CD长的最大值为．【答案】3【解析】设，，则在三角形BCD中，由余弦定理可知，在三角形ABC中，由余弦定理可知，可得，所以，令，则，当时等号成立．【考点】解三角形8.△各角的对应边分别为，满足，则角的范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由得：，化简得：，同除以得，，即，所以，故选．【考点】余弦定理.9.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】由得，，所以，所以,即三角形为钝角三角形，故选A.10.已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a，b，c，若3a2+2ab+3b2－3c2=0，则sinC 的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵3a2+2ab+3b2－3c2=0，∴a2+b2－c2=ab由余弦定理知cosC==－又sin2C+cos2C=1∴sinC=11.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若C＝120°，c＝a，则( ) A．a>bB．a<bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定【答案】A【解析】方法一：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，∴b2＋ab－a2＝0，即()2＋－1＝0＝<1，故b<a．方法二：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，∴b2＋ab－a2＝0，即b2＝a2－ab＝a(a－b)>0，∴a>b．12.在中，角所对的边的长度分别为，且，则 .【答案】【解析】由余弦定理知，所以，，．【考点】余弦定理．13.在中，角A，B，C所对边分别为a,b,c，且，面积，则等于( ) A．B．5C．D．25【答案】B【解析】∵，∴，由余弦定理得，∴，故选B.【考点】余弦定理的应用14.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解：由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝absinC＝×4×sin＝.15.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.【答案】10(m)【解析】如图，A为炮台，M、N为两条船的位置，∠AMO＝45°，∠ANO＝60°，OM＝AOtan45°＝30，ON＝AOtan30°＝×30＝10，由余弦定理，得MN＝＝10(m)．16.设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________．【答案】【解析】根据正弦定理，3sinA＝5sinB可化为3a＝5b，又b＋c＝2a，解得b＝，c＝.令a＝5t(t>0)，则b＝3t，c＝7t，在△ABC中，由余弦定理得cosC＝＝＝－，所以C＝17.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．【解析】∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3∴BD＝18.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】【思路点拨】利用正弦定理转化为边的关系,而后利用余弦定理判断.解:由sin2A+sin2B<sin2C得a2+b2<c2,即a2+b2-c2<0.又∵cosC=,故cosC<0.又∵0<C<π,故<C<π,所以△ABC是钝角三角形.【方法技巧】三角形形状判断技巧三角形形状的判断问题是解三角形部分的一个重要题型,也是高考的热点问题,因而正确快速地判断是解题的关键.其基本技巧就是利用正、余弦定理快速实现边角互化,常规是边化角,再利用三角恒等变换公式结合三角形中角的关系正确判断三角形的形状.19.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，则角A，B，C中最大角的余弦值为________．【答案】-【解析】根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角A最大，由余弦定理得cos A＝＝－20.已知a、b、c是△ABC的三边，且B＝120°，则a2＋ac＋c2－b2＝________.【解析】利用余弦定理，再变形即得答案．＝2，则b等21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC于________．【答案】5【解析】∵S＝ac sin B＝2，∴×1×c×sin 45°＝2.∴c＝4.∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×4×cos 45°.∴b2＝25，b＝522.如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BDC＝120°.BD＝CD＝10米．并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.【解析】在△BCD中，由余弦定理可得BC＝10，在直角△ABC中，AB＝BC tan 60°＝30.23.已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为________．【答案】2【解析】由三角形的面积公式得c2＝ab sin C⇒＝sin C，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C⇒＝＋2cos C＝sin C＋2cos C，所以＝2sin C＋2cos C＝2sin，最大值是224.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为()．A．B．C．D．－【答案】C【解析】∵cos C＝＝，又a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2，则cos C≥，即cos C的最小值为.25.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）B＝（2）＋1【解析】(1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝ac sin B＝ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.26.已知三角形内角A,B,C的对边分别为且满足，则_________.【答案】【解析】因为，所以可得.又因为在三角形中，由余弦定理可得.所以.又因为.所以.故填.本小题的关键是余弦定理的应用.【考点】1.余弦定理.2.三角函数方程的解法.27.在△中，已知，，且的面积为，则边长为．【答案】7【解析】由即得，再由余弦定理可得，所以.【考点】三角形面积公式和余弦定理.28.已知三角形的一边长为4，所对角为60°，则另两边长之积的最大值等于 .【答案】16【解析】设三角形的边长为其中,则，即，所以，即，当且仅当时取等号，所以两边长之积的最大值等于16.【考点】余弦定理的应用，基本不等式.29.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【答案】乙船每小时航行海里．【解析】连接，依题意可知，求得的值，推断出是等边三角形，进而求得，在中，利用余弦定理，可得，从而可求出的值，最终可求得乙船的速度．试题解析：如图，连结，由已知，，，又，是等边三角形，，由已知，，，在中，由余弦定理，．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．【考点】应用余弦定理解三角形．30.四棱锥P—ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为 .【答案】【解析】∵正方形ABCD中，CD∥AB，∴∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成的角，△PAB中，PA=PB=，AB=2，∴cos∠PAB=.【考点】1.余弦定理的应用；2.异面直线及其所成的角31.在中，，是的中点，若，在线段上运动，则下面结论正确的是____________.①是直角三角形；②的最小值为；③的最大值为；④存在使得【答案】①②④【解析】在中，，解得，因为,故，如图所示建立平面直角坐标系,则，设点（），所以=，故当时，最小值为，当时，最大值为12，由三点共线，故（）得，所以，令，故正确结论为①②④.【考点】1、余弦定理；2、二次函数的值域；3、平面向量基本定理.32.在中，，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，所以，由余弦定理可得，故，选C.【考点】1.向量的数量积；2.余弦定理；3.基本不等式33.△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若，则b= .【答案】3【解析】由余弦定理，所以，，又所以，，故答案为3.【考点】余弦定理的应用34.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足,且=60°,则的值为（）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】由得：，故由余弦定理知：，解得，故选C.【考点】余弦定理的应用35.在中，若，，，则 .【答案】【解析】设，由余弦定理得，即，整理得，由于，解得，即.【考点】余弦定理36.在中，分别是的对边，若，则的大小为 .【答案】＋1【解析】由，得，即，∵，∴，又∵，∴在中，由余弦定理得，解得.【考点】1.余弦定理；2.倍角公式.37.已知的三个内角、、的对边分别为、、，且．(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ)若，求周长的最大值．【答案】（1）（2）6【解析】解：（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2-bc，结合余弦定理知cos A=，∴A=，∴2sin B cos C-sin(B-C)= sin B cos C+cos B sin C=sin(B+C)=sin A= 6分(Ⅱ)由a=2，结合正弦定理，得b+c=sin B+sin C=sin B+sin(-B)=sin B+2cos B=4sin(B+)，可知周长的最大值为6 ． 12分【考点】三角函数的性质，解三角形点评：主要是考查了余弦定理和正弦定理的运用，属于基础题。

高中数学必修5：正弦定理与余弦定理知识点及经典例题(含答案)

正弦定理与余弦定理【知识概述】在△ABC 中，a , b, c 分别为内角A, B, C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径. 1. 正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === 定理变式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin = ,sin sin ,sin sin ,sin sin C b B c A c C a A b B a ===C B A c b a sin :sin :sin ::=2.余弦定理：C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2,cos 2,cos 2222222222-+=-+=-+=定理变式：,2cos ,2cos ,2cos 222222222abc b a C ac b c a B bc a c b A -+=-+=-+=3.射影定理：,cos cos ,cos cos ,cos cos A c C a c A c C a b B c C b a +=+=+=4.面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆【学前诊断】1．[难度] 易在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．[难度] 易在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或3．[难度] 易在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 且ba b a c -=-222，∠C = .【经典例题】例1．在△ABC 中，若 ,则△A =45°，a = 2,c ，则△B =_______, b =___________.例2．已知△ ABC 满足条件cos cos ,a A b B =判断△ ABC 的形状.例3．在△ABC 中，△A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且满足 cos3.25A AB AC =⋅= （1）求△ ABC 的面积；（2）若b + c =6，求a 的值．例4．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++ （1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.例5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是 a ，b ，c ，已知 c =2，C =π3．（1）若△ABC a ，b ；（2）若sin 2sin B A =，求△ABC 的面积．【本课总结】一、合理选择使用定理解三角形需要利用边角关系，正弦定理和余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理，如何恰当的选择公式则是解题的关键，一般来说，如果题目中含有边的一次式或角的正弦，可考虑选择正弦定理，如果题目中含有边的二次式或角的余弦，可考虑选择余弦定理.二、确定三角形的形状常用归一法在解三角形的题目中，条件中往往会同时涉及边和角，解题策略则是选择合适的公式把已知条件转化成只含有边或角的关系式.三、解三角形主要涉及的问题解三角形主要处理的是三角形中各边的长度、角的大小以及三角形面积等问题，在三角形中有六个基本元素，三条边、三个角，通常是给出三个独立条件，可求出其它的元素，如果是特殊三角形，如直角三角形，则给出两个条件就可以了.如，若已知两边a,b 和角A,则解的情况如下：（1）当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解. （2）当A 为锐角时，如果a≥b ，那么只有一解；如果a<b ，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若>sin a b A ，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解.【活学活用】1．[难度] 易在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，A =60°，a =3，b =1，则c 的值为（） A. 1 B. 2 C. 3－1 D. 32. [难度] 易△ABC 中，若a =2b cos C ，则△ABC 的形状一定为（） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形3. [难度] 中在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足c a )13(-=，tan 2tan B a cC c-=，求A 、B 、C 的大小.。

高二数学人教A必修5练习：1.1.2 余弦定理 Word版含解析

课时训练2 余弦定理一、利用余弦定理解三角形1.在△ABC 中,a=1,B=60°,c=2,则b 等于( )A.1B.√2C.√3D.3答案:C解析:b 2=a 2+c 2-2ac cos B=1+4-2×1×2×12=3,故b=√3. 2.在△ABC 中,c 2-a 2-b 2=√3ab ,则角C 为( ) A.60° B.45°或135° C.150° D.30°答案:C解析:∵cos C=a 2+b 2-c 2=-√3ab =-√3,∴C=150°.3.在△ABC 中,已知sin A ∶sin B ∶sin C=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于 . 答案:120°解析:由正弦定理可得a ∶b ∶c=3∶5∶7,不妨设a=3,b=5,c=7,则c 边最大,∴角C 最大.∴cos C=a 2+b 2-c 2=32+52-72=-1. ∵0°<C<180°,∴C=120°.4.(2015河南郑州高二期末,15)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sin A=√3sin C ,B=30°,b=2,则边c= . 答案:2解析:∵在△ABC 中,sin A=√3sin C ,∴a=√3c.又B=30°,由余弦定理,得cos B=cos 30°=√32=a 2+c 2-b22ac=22√3c 2,解得c=2.二、判断三角形形状5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b+c=2c cos 2A2,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形答案:A解析:∵b+c=2c cos 2A2,且2cos 2A2=1+cos A ,∴b+c=c (1+cos A ),即b=c cos A.由余弦定理得b=c ·b 2+c 2-a 22bc ,化简得a 2+b 2=c 2,∴△ABC 是直角三角形.6.在△ABC 中,若sin 2A+sin 2B<sin 2C ,则△ABC 的形状是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定答案:A解析:由sin 2A+sin 2B<sin 2C ,得a 2+b 2<c 2,所以cos C=a 2+b 2-c 2<0,所以∠C 为钝角, 即△ABC 为钝角三角形.7.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若a=2b cos C ,试判断△ABC 的形状.解法一:∵cos C=a 2+b 2-c 2,代入a=2b cos C ,得a=2b ·a 2+b 2-c 2,∴a 2=a 2+b 2-c 2,即b 2-c 2=0. ∴b=c.∴△ABC 为等腰三角形.解法二:根据正弦定理asinA =bsinB =csinC =2R ,得a=2R sin A ,b=2R sin B ,代入已知条件得2R sin A=4R sin B cos C , 即sin A=2sin B cos C ,∵A=π-(B+C ),∴sin A=sin(B+C ). ∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B cos C. ∴sin B cos C-cos B sin C=0.∴sin(B-C )=0.又-π<B-C<π,∴B-C=0,即B=C.∴△ABC 是等腰三角形.三、正弦定理、余弦定理的综合应用8.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c.已知b-c=14a ,2sin B=3sin C ,则cos A 的值为( ) A.-14 B.14C.12D.-13答案:A解析:∵2sin B=3sin C ,∴2b=3c.又b-c=a4,∴a=2c ,b=32c.∴cos A=b 2+c 2-a 22bc=94c 2+c 2-4c 22×32c×c=-14. 9.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a 2-b 2=√3bc ,sin C=2√3sin B ,则A= . 答案:π6解析:∵sin C=2√3sin B ,∴由正弦定理得c=2√3b. ∵a 2-b 2=√3bc ,∴cos A=b 2+c 2-a 2=c 2-√3bc=2√3bc -√3bc2bc=√32,∴A=π6.10.(2015山东威海高二期中,17)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c 且满足4a cos B-b cos C=c cos B.(1)求cos B 的值;(2)若ac=12,b=3√2,求a ,c.解:(1)已知等式4a cos B-b cos C=c cos B ,利用正弦定理,得4sin A cos B-sin B cos C=sin C cos B ,整理,得4sin A cos B=sin(B+C ), 即4sin A cos B=sin A ,∵sin A ≠0,∴cos B=14.(2)∵ac=12,b=3√2,cos B=14,∴由b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得a 2+c 2=24,联立a 2+c 2=24与ac=12,解得a=c=2√3.(建议用时:30分钟)1.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a=1,b=2,cos C=14 ,则sin B=( )A.15B.√15C.√15D.7答案:B解析:由已知根据余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=4,∴c=2,即B=C , ∴sin B=√1-116=√154.2.(2015河北邯郸三校联考,3)在△ABC 中,如果sin A ∶sin B ∶sin C=2∶3∶4,那么cos C 等于( ) A.23B.-23C.-13D.-14答案:D解析:由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C=a ∶b ∶c=2∶3∶4,可设a=2k ,b=3k ,c=4k (k>0), 由余弦定理可得cos C=a 2+b 2-c 2=4k 2+9k 2-16k 2=-1,故选D .3.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c.若C=120°,c=√2a ,则( ) A.a>b B.a<b C.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定答案:A解析:由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得2a 2=a 2+b 2+ab ,∴a 2-b 2=ab>0,∴a 2>b 2,∴a>b. 4.△ABC 的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.19 B.14 C.-18 D.-19答案:A解析:cos B=72+52-62=19,∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B=7×5×1935=19. 5.在不等边三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,其中a 为最大边,如果sin 2(B+C )<sin 2B+sin 2C ,则角A 的取值范围为( ) A.(0,π2)B.(π4,π2) C.(π6,π3) D.(π3,π2) 答案:D解析:由题意得sin 2A<sin 2B+sin 2C ,再由正弦定理得a 2<b 2+c 2,即b 2+c 2-a 2>0, 则cos A=b 2+c 2-a 22bc >0,∵0<A<π,∴0<A<π.又a 为最大边,∴A>π3.因此得角A 的取值范围是(π3,π2).6.已知在△ABC 中,2B=A+C ,b 2=ac ,则△ABC 的形状为 .答案:等边三角形解析:∵2B=A+C ,又A+B+C=180°,∴B=60°.又b 2=ac ,由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2-2ac cos 60°=a 2+c 2-ac ,∴有a 2+c 2-ac=ac ,从而(a-c )2=0, ∴a=c ,故△ABC 为等边三角形.7.(2015北京高考,12)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC = . 答案:1解析:在△ABC 中,由正弦定理知,sin2AsinC =2sinAcosA sinC =2cos A ·a c =2cos A×46=43cos A ,再根据余弦定理,得cos A=36+25-162×6×5=34,所以sin2A sinC=43×34=1.8.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cos A+ac cos B+ab cos C 的值为 . 答案:612解析:由余弦定理得bc cos A+ac cos B+ab cos C=b 2+c 2-a 22+a 2+c 2-b 22+a 2+b 2-c 22=a 2+b 2+c 22=32+42+622=612.9.在△ABC 中,已知(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,且2cos A sin B=sin C ,试判定△ABC 的形状. 解:由(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,得(a+b )2-c 2=3ab , 即a 2+b 2-c 2=ab.∴cos C=a 2+b 2-c 22ab=ab 2ab =12.∵0°<C<180°,∴C=60°. ∵A+B+C=180°, ∴sin C=sin(A+B ).又∵2cos A sin B=sin C ,∴2cos A sin B=sin A cos B+cos A sin B , ∴sin(A-B )=0.∵A ,B 均为△ABC 的内角,∴A=B.因此△ABC 为等边三角形.10.在△ABC 中,C=2A ,a+c=10,cos A=34,求b.解:由正弦定理得c a =sinC sinA=sin2AsinA=2cos A , ∴c a =32.又a+c=10,∴a=4,c=6. 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得b 2+20=3,∴b=4或b=5.当b=4时,∵a=4,∴A=B. 又C=2A ,且A+B+C=π,∴A=π4,与已知cos A=34矛盾,不合题意,舍去.当b=5时,满足题意,∴b=5.。

高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)

高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。

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高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题
一、选择题
1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )
A . π6
B . π3
C . π6或5π6
D . π3或2π3
2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为 ( )
A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
3．(2010·上海高考)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )
A ．一定是锐角三角形
B ．一定是直角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( )
A . 518
B . 34
C . 32
D . 78
5．(2010·湖南高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝
2a ，则 ( )
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a ＝b
D ．a 与b 大小不能确定
二、填空题
6．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，已知a ＝3，b ＝3，C ＝30°，则A ＝________.
7．(2010·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B
＝2，则角A 的大小为________．
8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为
________．
三、解答题
9．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .若a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求b .
10．在△ABC 中，已知a 2＋b 2＝c 2＋ab .
（1）求角C 的大小；
（2）又若sin A sin B ＝34
，判断△ABC 的形状．
11．(2010·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，
且S ＝34
(a 2＋b 2－c 2)．（1）求角C 的大小；
（2）求sin A ＋sin B 的最大值．
答案及解析
1．【解析】由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，由a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝32，又0＜B ＜π，∴B ＝π6
. 【答案】A
2．【解析】S △ABC ＝12×3×4sin C ＝33，∴sin C ＝32
. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝60°. 【答案】B
3．【解析】由sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，得a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，不妨令a ＝5，b ＝11，c ＝13.
∴c 2＞a 2＋b 2＝52＋112＝146，∴c 2＞a 2＋b 2，根据余弦定理，易知△ABC 为钝角三角形．
【答案】C
4．【解析】不妨设底面边长为1，则两腰长的和为4，一个腰长为2，由余弦定理得顶角的余弦值为
22＋22－122×2×2＝78. 【答案】D
5．【解析】∵∠C ＝120°，c ＝2a ，∴由余弦定理，得(2a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°，故ab ＝a 2－b 2＝
(a －b )(a ＋b )＞0，∴a －b ＞0，故a ＞b .
【答案】A
6．【解析】∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3，∴c ＝3，∴a ＝c ，则A ＝C ＝30°.
【答案】30°
7．【解析】∵sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，∴sin(B ＋π4)＝1，∴B ＝π4. 又a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝12
， A ＝π6
. 【答案】π6
8．【解析】∵A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，∴2B ＝A ＋C ，∴B ＝π3，又BD ＝12
BC ＝2， ∴在△ABD 中，AD ＝
AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝ 3.
【答案】 3
9．【解析】法一 ∵sin B ＝4cos A sin C ，由正弦定理，得b 2R ＝4cos A c 2R
，∴b ＝4c cos A ，由余弦定理得b ＝4c ·b 2＋c 2－a 2
2bc
，∴b 2＝2(b 2＋c 2－a 2)，∴b 2＝2(b 2－2b )，∴b ＝4. 法二由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A ，∵a 2－c 2＝2b ，b ≠0，∴b ＝2c cos A ＋2，① 由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，又由已知得，sin B sin C
＝4cos A ，∴b ＝4c cos A ．② 解①②得b ＝4.
10．【解析】(1)由题设得a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝
a 2＋
b 2－
c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π3
. (2)由(1)知A ＋B ＝23π，∴cos(A ＋B )＝－12，即cos A cos B －sin A sin B ＝－12. 又sin A sin B ＝34
， ∴cos A cos B ＝34－12＝14，从而cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝1，由A ，B ∈(0，π)，∴A －B ＝0，即A ＝B ，从而△ABC 为等边三角形．
11．【解析】(1)由题意可知12ab sin C ＝34·2ab cos C ，所以tan C ＝ 3. 因0＜C ＜π，故C ＝π3.
＝3sin(A ＋π6)，∵C ＝π3，∴0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，3sin(A ＋π6
) 取最大值 3. ∴sin A ＋sin B 的最大值为 3.。