余弦定理及其应用

【教学目标】

【知识与技能目标】

(1)了解并掌握余弦定理及其推导过程．

(2)会利用余弦定理来求解简单的斜三角形中有关边、角方面的问题． (3)能利用计算器进行简单的计算（反三角）．【过程与能力目标】

(1)用向量的方法证明余弦定理，不仅可以体现向量的工具性，更能加深对向量知识应用的认识．

(2)通过引导、启发、诱导学生发现并且顺利推导出余弦定理的过程，培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力．【情感与态度目标】

通过三角函数、余弦定理、向量数量积等知识间的联系，来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．

【教学重点】

余弦定理的证明及应用．

【教学难点】

(1)用向量知识证明余弦定理时的思路分析与探索． (2)余弦定理在解三角形时的应用思路．

【教学过程】一、引入

问：在R t △ABC 中，若C=090，三边之间满足什么关系？答：222b a c +=

问：若C ≠0

90，三边之间是否还满足上述关系？答：应该不会有了！问：何以见得？

答：假如b a ,不变，将A 、B 往里压缩，则C ＜090，且222b a c +<；同理，假如b a ,不变，将A 、B 往外拉伸，则C ＞090，且222b a c +>．师：非常正确！那么，这样的变化有没有什么规律呢？答：规律肯定会有，否则，您就不会拿它来说事了．问：仔细观察，然后想想，到底会有什么规律呢？答：有点象向量的加法或减法，→

→

+=a c b 或→

→

-=c b a ．

b c

【探求】

设△ABC 的三边长分别为c b a ,,，由于→

→

+=BC AB AC

ac c a b a B ac c BC

B B

C AB AB b BC BC BC AB AB AB AC BC AB BC AB AC AC cos 2cos 2)180cos(22)()(2222

-+=+-=+-+=∴?+?+?=+?+=?∴→

→

→→

→

即即

问：仔细观察这个式子，你能否找出它的内在特点？答：能！式子中有三边一角，具体包括如下三个方面：

第一、左边是什么边，右边就是什么角；第二、左边有什么边，右边就没有什么边；第三、边是平方和，乘积那里是“减号”．

师：很好！那么，你能否仿照这个形式写出类似的另外两个？

答：可以！它们是：A bc c b a cos 2222-+=和C abc b a c cos 2222-+=．【总结】这就是我们今天要讲的余弦定理，现在，让我们来继续研究它的结构特点以及其应用问题．

板书课题余弦定理及其应用二、新课

（一）余弦定理的文字表述：

三角形的任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

（二）余弦定理的另一种表述形式：

bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab

c b a C 2cos 2

22-+=

（三）归纳

1. 熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等；

2. 每个式子中都有四个量，知道其中的三个就可以求另外的一个；

3. 当夹角为0

90（即三角形为直角三角形）时即为勾股定理 (特例)．

b c

（四）余弦定理的适用范围 1. 已知三边求角；

2. 已知两边及其夹角求第三边．

三、应用

例1．在△ABC 中，已知3,5,7===c b a ，求这个三角形的最大内角．

【分析】根据大边对大角的原则，知：A 为最大．解：C B A c b a >>?>>由，

352499252cos 222-=??-+=-+=bc a c b A ，∴A =0120，

即该三角形的最大内角等于0120．

练习1．已知△ABC 的三边长分别是37,4,3===c b a ，求三角形的最大内角．

答案：0

120．

思考：？形状，如何判断该三角形的，，的三边长为已知 c b a ABC ?

提示：求出与最大边相对应的角的余弦值，再与0进行比较，判定标准如下：

①若＞0，则为锐角三角形； ②若=0，则为直角三角形； ③若＜0，则为钝角三角形．

例2．在△ABC 中，,4

,26,32π

=+==B c a 求b 及A ．

【分析】已知两边夹角，可以用公式B ac c a b cos 2222-+=直接求出b ；然后

用公式bc a c b A 2cos 2

22-+=即可求出角A ．

解：由B ac c a b cos 2222-+=得：

,84

cos

)26(322)26()32(222=+??-++=π

b 解得22=b ；

又∵bc a c b A 2cos 222-+=21

)26(222)32()26()22(222=+??-++=，

∴A=

．

例3．已知△ABC 中，)13(:6:2::+=c b a ，解此三角形．

【分析】知道边的比值，可以设其公约数为k,因为，在后面的运算中又可以同时约分将其约掉，原则上一般先求最小的角；当然，也可以先求最大的角．解法一：设其三边的公约数为k ，则k c k b k a )13(,6,2+===，

由bc a c b A 2cos 222-+=得22

)13(62)2(])13[()6(cos 222=+??-++=k

k k k k A

∴045=A ；

由ac b c a B 2cos 2

22-+=得21)13(22)6(])13[()2(cos 222=+??-++=

k k k k B ， ∴B=0

60；因此C=0000075)6045(180)(180=+-=+-B A ．

解法二：设其三边的公约数为k ，则k c k b k a )13(,6,2+===，

由ab c b a C 2cos 2

22-+=得k

k k k k C 622])13[()6()2(cos 222??+-+=

即426cos -=

C ，（此时可用计算器的第二功能求4

6-的反余弦） 0

00000075cos )3045cos(30sin 45sin 30cos 45cos 2

1222322426=+=-=?-?=-又因为

∴C=075；

由ac b c a B 2cos 2

22-+=得21)13(22)6(])13[()2(cos 222=+??-++=

k k k k B ， ∴B=0

60；∴A=0

000045)7560(180)(180=+-=+-C B ．

例4．已知△ABC 中，

B c b c b a A 及求,,8,7,1200

=+==．【分析】这种题型一般都要归结为解方程组．

解：由A bc c b a cos 2222-+=得0222120cos 27bc c b -+=，

即4922=++bc c b 1549849)(22=-=?=-+?bc bc c b ，

由??

?==???==???

?==+5

35158c b c b bc c b 或，分类讨论如下：

⑴当5=b 时，3,7==c a ，由ac b c a B 2cos 2

22-+=得：

372537cos 222=??-+=B 02.38=?B

⑵当3=b 时，5,7==c a ，由ac b c a B 2cos 2

22-+=得：

572357cos 222=??-+=B 08.21=?B

即02.38,3,5===B c b 或08.21,5,3===B c b

练习2．在△ABC 中，15,8,2==+=+ac c a B C A ，求b ．

提示：∵0

60=B ,193)(cos 22222=-+=-+=ac c a B ac c a b ,∴19=b ．

练习3．在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别为11B A 与1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )

(10

10)

)

(D C B A

提示:取1CC AB 、中点F E 、,连F B E B 11和,则2

,2511===EF F B E B ；答案：(D)

四、课堂小结：略五、反思略六、课后练习略

七、实践活动参阅《解三角形》

B 1

(练习3图) A 1

C 1

D 1

高考第32课正弦定理与余弦定理的综合应用.docx

第32课正弦定理与余弦定理的综合应用【自主学习】第32课正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b2= 3bc，sin C3sin B，则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C3sin B得c3b，代入a2-b23bc得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a7b，所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 2，所以角A= π 6. 3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为n mile/h.

(第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7 改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin C-2a sin C=b sin B，则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c2-2ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B= 2 2，因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c 成等比数列，则角B的取值范围为. 【答案】 π0 3?? ???，【解析】因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，所以cos B= 222 - 2 a c b ac + = 22- 2 a c ac ac + ≥1 2，因为0

正弦定理、余弦定理在生活中的应用

正弦定理、余弦定理在生活中的应用正弦定理、余弦定理是解三角形得重要工具，解三角形在经济生活和工程测量中的重要应用，使高考考查的热点和重点之一，本文将正弦定理、余弦定理在生活中的应用作以简单介绍，供同学们学习时参考. 一、在不可到达物体高度测量中的应用例1 如图，在河的对岸有一电线铁塔AB ，某人在测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测量点C 与D ，现测得 BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶 A 的仰角为θ，求塔高A B ．分析：本题是一个高度测量问题，在?BCD 中，先求出CBD ∠，用正弦定理求出BC ，再在ABC Rt △中求出塔高AB. 解析：在BCD △中，CBD ∠=παβ--．由正弦定理得 sin BC BDC ∠=sin CD CBD ∠．所以BC =sin sin CD BDC CBD ∠∠=sin sin()s βαβ+·．在ABC Rt △中，AB =tan BC ACB ∠= tan sin sin()s θβαβ+·. 点评：对不可到达的物体的高度测量问题，可先在与物体底部在同一平面内找两点，测出这两点间的距离，再测出这两点分别与物体底部所在点连线和这两点连线所成的角，利用正弦定理或余弦定理求出其中一点到物体底部的距离，在这一点测得物体顶部的仰角，通过解直角三角形，求得物体的高. 二、在测量不可到达的两点间距离中的应用例2某工程队在修筑公路时，遇到一个小山包，需要打一条隧道，设山两侧隧道口分别为A 、B ，为了测得隧道的长度，在小山的一侧选取相距3km 的C 、D 两点高，测得∠ACB=750， ∠BCD=450 ， ∠ADC=300，∠ADC=450（A 、B 、C 、D ），试求隧道的长度. 分析：根据题意作出平面示意图，在四边形 ABCD 中，需要由已知条件求出AB 的长，由图可知，在?ACD 和?BCD 中，利用正弦定理可求得AC 与BC ，然后再在?ABC 中，由余弦定理求出AB. 解析：在?ACD 中，∵∠ADC=300，∠ACD=1200，∴∠CAD=300，∴AC=CD=3. 在?BCD 中，∠CBD==600 由正弦定理可得，BC=003sin 75sin 60=26)2 +

公开课教学设计(正余弦定理及其应用)

解三角形教学设计四川泸县二中吴超教学目标 1.知识与技能掌握正、余弦定理，能运用正、余弦定理解三角形，并能够解决与实际问题有关的问题。 2.过程与方法通过小组讨论，学生展示，熟悉正、余弦定理的应用。 3.情感态度价值观培养转化与化归的数学思想。教学重、难点重点：正、余弦定理的应用难点: 正、余弦定理的实际问题应用拟解决的主要问题这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。重点突出三类问题：（1）是围绕利用正、余弦定理解三角形展开的简单应用（2）是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用（3）是围绕解三角形在实际问题中的应用展开教学流程

教学过程一、知识方法整合 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 = = = 2、三角形面积公式：C S ?AB = = = 3、余弦定理：C ?AB 中2a = 2b = 2c = 4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语 5、思想与能力：代数运算能力，分类整合，方程思想、化归与转化思想等二、典例探究例1 [2012·四川卷]（小组讨论，熟悉定理公式的应用）如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE=1，连接EC 、ED 则sin∠CED=_______（尝试多法）解3：等面积法解4：观察角的关系，两角和正切公式解5：向量数量积定义练1：在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.? ????0，π6 B.??????π6，π C.? ????0，π3 D.???? ??π3，π 解1：由正弦定理a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知bc ≤b 2＋c 2－a 2=2bc cos A ，即1C D E C D E C D =?==1解：中，， 222210EC ED CD EC ED +-∠?∴=cos CED 10∴∠sin CED 021135CD E C E D C ==∠=解：， sin sin CD EC CED EDC =∠∴∠ sin 10CD EDC EC ?∠∴∠=sin CED

正余弦定理的综合应用

正余弦定理的综合应用教学设计课题名称正余弦定理的综合应用科目数学（高三）授课人耿向娜一、教学内容分析本节课为高三一轮复习中的解三角形部分的习题课。解三角形的知识在历年的高考中与三角函数向量等知识相结合，频繁出现在选择、填空和17题的位置，是学生们的重要得分点之一。本节课对2013年中出现的解三角形问题的分析解答，强化学生对解三角形的理解和巩固，同时消除他们对高考的畏惧感，提升其自信心。二、教学目标 1、知识目标：熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式、边角关系互化，同时熟练结合三角函数知识求相关函数的最值等。 2、能力目标：培养学生分析解决问题的能力，提高学生的化简计算能力 3、情感目标：让学生在直接面对高考真题的过程中，体会解决问题的快乐，提升他们的自信心，提高他们的备战能力！三、学情分析我所任课的班级是高三22班是文科普通班，他们的数学基础整体上很薄弱，计算能力有待提高。通过三个多月的一轮复习，越来越多的学生对数学产生了兴趣，同时也品尝到数学成绩提高带来的喜悦，具有了一定的函数知识和解决问题的能力。四、教学重点难点重点正余弦定理的应用难点公式的转化和计算

五、教法分析本节课我利用多媒体辅助教学，采用的是教师引导下的学生自主探究式学习法。六、教学过程教学环节教学内容设计意图一、基础知识回顾回顾正弦定理：k C c B b A a = = = sin sin sin ; C k c B k b A k a sin , sin , sin= = = 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 三角形面积公式：A bc B ac C ab S sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = 通过对公式的回顾，为本节课解答问题提供工具。二、例题讲解类型一：判定三角形形状 1、设在ABC ?中，若B b A a cos cos=,判定该三角形的形状。该题的设置目的在于训练学生对边角混合式的转化。此题可以边化角，也可角化边，让学生体会正余弦定理的应用和边角转化的魅力。形直角三角形或等腰三角或法二：（角化边）角形为等腰三角形或直角三，或）解析：法一：（边化角 ? = = + ? = - - + ? - = - ? - + = - + ? - + = - + ? = + = + = ? = ? = b a c b a o b a c b a c b a b a b c a b a c b a ac b c a b bc a c b a B A B A B A B A B A A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 2 . 2 2 2 2 sin 2 1 2 sin 2 1 sinBcos cos sin π π

正弦定理与余弦定理地综合应用

正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b23bc，sin C3B，则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C 3B得c3b，代入a2-b23得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a7b，所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 ，所以角A= π 6.

3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为n mile/h. (第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin C2sin C=b sin B，则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c22ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B=2 ，因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值围为. 【答案】 π0 3?? ???，

正余弦定理的综合应用及答案

正余弦定理的综合应用 1.【河北省唐山一中2018届二练】在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且 ()()3,cos sin sin cos 0b A B c A A C =+-+=．（1）求角B 的大小；（2）若ABC ?的面积为 3 2 ，求sin sin A C +的值． 2.【北京市海淀区2018届高三第一学期期末】如图，在ABC ?中，点D 在AC 边上，且 3AD DC =，7AB =，3 ADB π ∠=，6 C π ∠= . （Ⅰ）求DC 的值；（Ⅱ）求tan ABC ∠的值. 【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系. 3.【海南省2018届二模】已知在ABC ?中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且 3cos sin cos b A a A C +sin cos 0c A A +=. （1）求角A 的大小；（2）若3a =，12 B π = ，求ABC ?的面积. 4.【湖北省天门等三市2018届联考】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos cos 3sin cos C A B A B +=．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若1a c +=，求b 的取值范围． 5.【山东省淄博市2018届高三3月模拟】在中，角对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积． 6.【福建省南平市2018届第一次质检】在中, 分别为角的对边，且 . （1）若，求及；（2）若在线段上，且，求的长. 7.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，16】在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ， C 的对边， cos 2cos C a c B b -=，且2a c +=．

正弦定理和余弦定理的应用

第二节应用举例题型一测量距离问题 A 、 B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C ，测出 AC 的距离是55m, 51=∠BAC , 75=∠ACB .求A 、B 两点间的距离（精确到1.0m ）. 分析所求的边AB 的对角是已知的，又已知三角形的一边AC ，根据三角形内角和定理可计算出AC 的对角，根据正弦定理，可以计算出边AB . 解答根据正弦定理，得 ABC AC ACB AB ∠= ∠sin sin ABC ACB ABC ACB AC AB ∠∠= ∠∠=sin sin 55sin sin 76554 sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55?≈=--= (m) 点拨本题是测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决。本题型的解题关键在于明确：（1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决。（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化 A B C

为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题。衍生1★★ 如图所示，客轮以速度v 2由A 至B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发，以速度V 沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知BC AB ⊥，且50=-BC AB 海里。若两船同时启航出发，则两船相遇之处距C 点海里。（结果精确到小数点后1位）解析 AB DB 2< ∴两船相遇点在BC 上，可设为E ，设x CE =，则 V BE AB DE 22+= 故 V x x 45cos 2252)225(22??-+V x 2)50(50-+= 得 3 5000 2= x ，∴8.40≈x 答案 8.40 点拨本题考查了测量距离问题。衍生2★★★如图所示，B A ,两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量B A , 两点间距离的方法。分析可以先计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离，再测 A B C D α β A γ δ

新人教A版版高考数学一轮复习三角函数解三角形正弦定理余弦定理及其应用教学案理解析版

[考纲传真] １．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.２．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．１．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容错误!＝错误!＝错误!＝２R. a２＝b２＋c２—２bc cos_A； b２＝c２＋a２—２ca cos_B； c２＝a２＋b２—２ab cos_C. 变形（１）a＝２R sin A，b＝２R sin B，c＝２R sin C；（２）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；（３）错误!＝错误!＝２R. cos A＝错误!； cos B＝错误!； cos C＝错误!. （１）S＝错误!a·h a（h a表示边a上的高）；（２）S＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B＝错误!bc sin A；（３）S＝错误!r（a＋b＋c）（r为内切圆半径）．３．实际问题中的常用角（１）仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角（如图１）．（２）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东３0°、北偏西４５°、西偏北60°等．（３）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α（如图２）．（４）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． [常用结论]

１．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B. ２．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B； b＝a cos C＋c cos A； c＝b cos A＋a cos B. ３．内角和公式的变形（１）sin（A＋B）＝sin C；（２）cos（A＋B）＝—cos C. ４．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形或直角三角形． [基础自测] １．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．（）（２）在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.（）（３）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．（）（４）当b２＋c２—a２＞0时，△ABC为锐角三角形；当b２＋c２—a２＝0时，△ABC为直角三角形；当b ２＋c２—a２＜0时，△ABC为钝角三角形． [答案] （１）×（２）√（３）×（４）× ２．（教材改编）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝错误!，B＝错误!，a＝１，则b＝（）Ａ．２Ｂ．１Ｃ．错误!Ｄ．错误! D [由错误!＝错误!得b＝错误!＝错误!＝错误!×２＝错误!.] ３．（教材改编）在△ABC中，若a＝１8，b＝２４，A＝４５°，则此三角形有（）Ａ．无解Ｂ．两解Ｃ．一解Ｄ．解的个数不确定 B [∵b sin A＝２４sin ４５°＝１２错误!， ∴１２错误!＜１8＜２４，即b sin A＜a＜b.

正余弦定理在实际生活中的应用

正余弦定理在实际生活中的应用正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题. 求解此类问题的大概步骤为：（1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等；（2）根据题意画出图形；（3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答. 1.测量中正、余弦定理的应用例1 某观测站C 在目标A 南偏西25?方向，从A 出发有一条南偏东35?走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在D 处距A 还有多少千米？分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解CBD ?，求角B .再解ABC ?，求出AC ，再求出AB ，从而求出AD （即为所求）. 解：由图知，60CAD ∠=?. 22222231202123 cos 22312031BD BC CD B BC BD +-+-===???， 3 s i n B =. 在ABC ?中，sin 24sin BC B AC A ?= =. 由余弦定理，得222 2cos BC AC AB AC AB A =+-??. 即2223124224cos60AB AB =+-????. 整理，得2243850AB AB --=，解得35AB =或11AB =-（舍）. 故15AD AB BD =-=（千米）. 答：此人所在D 处距A 还有15千米. 评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理. 2.航海中正、余弦定理的应用例2 在海岸A 处，发现北偏东45?方向，距A 1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75?方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以/小时 A C D 31 21 20 35? 25? 东北

正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)

正弦定理和余弦定理的应用举例考点梳理 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). (2)方向角：相对于某正方向的水平角,如南偏东３0°，北偏西45°,西偏北６0°等； (3）方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．(4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数. 【助学·微博】解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力. (２)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．（４)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．解三角形应用题常有以下两种情形（1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时

需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解．考点自测 1．(2０１2·江苏金陵中学)已知△ＡB Ｃ的一个内角为12０°,并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于__＿_____．解析记三角形三边长为ａ－4，a ，a ＋4,则(ａ+4)２＝（a －4)2+ａ2－2a (ａ-４） co ｓ 120°,解得a ＝1０，故S ＝12×1０×6×s ｉn 1２０°＝15错误!. 答案 1５错误! ２．若海上有A ，B ,C 三个小岛,测得A ,B 两岛相距10海里,∠BAC =60°,∠ABC ＝75°,则B ，Ｃ间的距离是_＿____＿_海里．解析由正弦定理,知 B Ｃsi ｎ 60° ＝错误!.解得BC =5错误!(海里)．答案 5错误! 3．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行,上午１0时到达一座灯塔P 的南偏西７5°距塔６8海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为_＿＿_____海里/时．解析由正弦定理,得MN =68si ｎ 120°si ｎ 45° =34＼r(6)（海里)，船的航行速度为错误!＝错误!(海里／时). 答案错误! 4.在△ABC 中,若2错误!ａｂs ｉn C =a ２＋b 2+c 2,则△ABC 的形状是_＿__＿＿＿_. 解析由2３ab sin C =ａ２＋b 2＋c 2,a 2+ｂ2－c 2＝2ａb cos C 相加,得a ２＋b ２=2ab sin 错误!.又ａ2＋b ２≥2ab ，所以ｓin 错误!≥1,从而s ｉn 错误!＝1,且a =ｂ，C =错误!时等号成立,所以△ＡBC 是等边三角形. 答案等边三角形５.（2０10·江苏卷)在锐角△A ＢＣ中，角Ａ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ｃ.

正弦定理、余弦定理综合应用典型例题

正弦定理、余弦定理综合应用例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ，由ABC △为锐角三角形得π6B = ．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<，所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，．例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ，所以60C =o ．例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值；解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==且 75A ∠=o ，则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=

(完整word版)余弦定理及其应用

余弦定理及其应用【教学目标】【知识与技能目标】 (1)了解并掌握余弦定理及其推导过程． (2)会利用余弦定理来求解简单的斜三角形中有关边、角方面的问题． (3)能利用计算器进行简单的计算（反三角）．【过程与能力目标】 (1)用向量的方法证明余弦定理，不仅可以体现向量的工具性，更能加深对向量知识应用的认识． (2)通过引导、启发、诱导学生发现并且顺利推导出余弦定理的过程，培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力．【情感与态度目标】通过三角函数、余弦定理、向量数量积等知识间的联系，来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．【教学重点】余弦定理的证明及应用．【教学难点】 (1)用向量知识证明余弦定理时的思路分析与探索． (2)余弦定理在解三角形时的应用思路．【教学过程】一、引入问：在R t △ABC 中，若C=090，三边之间满足什么关系？答：222b a c += 问：若C ≠090，三边之间是否还满足上述关系？答：应该不会有了！问：何以见得？答：假如b a ,不变，将A 、B 往里压缩，则C ＜090，且222b a c +<；同理，假如b a ,不变，将A 、B 往外拉伸，则C ＞090，且222b a c +>．师：非常正确！那么，这样的变化有没有什么规律呢？答：规律肯定会有，否则，您就不会拿它来说事了．问：仔细观察，然后想想，到底会有什么规律呢？答：有点象向量的加法或减法，→→→+=a c b 或→→→-=c b a ． A C B a b c A C B a b c

【探求】设△ABC 的三边长分别为c b a ,,，由于→→→+=BC AB AC B ac c a b a B ac c BC B B C AB AB b BC BC BC AB AB AB AC BC AB BC AB AC AC cos 2cos 2)180cos(22) ()(2222 220222-+=+-=+-+=∴?+?+?=+?+=?∴→→→→→→→→→→→→→→→→→即即问：仔细观察这个式子，你能否找出它的内在特点？答：能！式子中有三边一角，具体包括如下三个方面：第一、左边是什么边，右边就是什么角；第二、左边有什么边，右边就没有什么边；第三、边是平方和，乘积那里是“减号”．师：很好！那么，你能否仿照这个形式写出类似的另外两个？答：可以！它们是：A bc c b a cos 2222-+=和C abc b a c cos 2222-+=．【总结】这就是我们今天要讲的余弦定理，现在，让我们来继续研究它的结构特点以及其应用问题．板书课题余弦定理及其应用二、新课（一）余弦定理的文字表述：三角形的任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （二）余弦定理的另一种表述形式： bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab c b a C 2cos 2 22-+= （三）归纳 1. 熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等； 2. 每个式子中都有四个量，知道其中的三个就可以求另外的一个； 3. 当夹角为090（即三角形为直角三角形）时即为勾股定理 (特例)． A C B a b c

三余弦定理及其应用举例

三余弦定理及其应用举例一、三余弦定理（又叫最小角定理）如图所示，设A为面α上一点，过A的斜线AO在面α上的射影为 AB， AC为面α内的一条直线，那么∠OAC,∠OAB,∠BAC三角的余弦关系为： OAB BAC OAC∠ ? ∠ = ∠cos cos cos(∠BAC和∠OAB只能是锐角）不难验证：cosθ=cosθ1×cosθ2．特别地，当∠BAC为零角时，由于1 cos0=， ∴斜线与射影所成的角是斜线与平面内的任何直线所成的角中的最小的角．二、应用练习在ABC Rt?中,4 ,3 , 2 = = = ∠AC AB π A,PA是面ABC的斜线, 3 π PAC PAB = ∠ = ∠． (1)求PA与面ABC所成的角的大小； (2)当PA的长度等于多少的时候，点P在平面ABC内的射影恰好落在边BC上？图（1）图（2）图（3）解：(1)依题意，斜线PA在面ABC上的射影必在∠BAC的角平分线上，设垂足为O，连结AO,并延长AO∩BC=D,设θ PAO= ∠,则θ即为斜线PA与面ABC所成的角, 因此 2 2 2 2 2 1 4 cos 3 cos cos= = = π π θ,∴ 4 π θ=,即斜线PA与面ABC所成的角为 4 π ； B

∵直角三角形ABC 的直角平分线长AD=7 212， ∴当延长AP 到/p 时，AD 成为斜线/Ap 的射影，垂足D 恰好落在边BC 上， ∴7 2472122/=?=Ap ，即当PA 的长度等于 724的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上．辅助例题.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影必在这个角的平分线上．已知：,,,,AC PF AB PE αP αBAC ⊥⊥??∠ αPO PF PE ⊥=,，求证：OAC OAB ∠=∠．证明：连OA 、OE 、OF ， ∵PF PE αOF OE αPO =?⊥,,、， ∴OPE Rt ?≌OPF Rt ?，故OE=OF ；由??? ???==⊥⊥PA PA PF PE AC PF AB PE ,PAE Rt ?≌PAF Rt ?，故AE=AF ；由??? ???===AO AO AF AE OF OE OAE Rt ?≌OAF Rt ?，故OAC OAB ∠=∠．说明：此结论可以作为定理来用．

正余弦定理综合应用

正余弦定理综合应用学校: __________ 姓_名： ________ 班_级： _________ 考_号： ____________ 一、解答题 1 ．已知的内切圆面积为，角所对的边分别为，若 1）求角； 2）当的值最小时，求的面积 . 2 ．设的内角，，所对的边分别为，，，且（ 1）求的值； 3）若，求面积的最大值，求的值；

1）求； 2）若，求

4 ．已知向量，，角，，为的内角，其所对的边分别为，，. 1）当取得最大值时，求角的大小； 2）在（1）成立的条件下，当时，求的取值范围 5．在△ ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且．（1）判断△ ABC 的形状；（2）若，求的取值范围．

6 ．如图：在中，，点在线段上，且．求的长； Ⅱ）若，求△ DBC 的面积最大值． 7 ．在中，角的对边分别为，（1）求角的大小； 2）若的外接圆直径为2，求的取值范围

8 ．在锐角三角形中，角所对的边分别为，已知（1）求角的大小；（2）求的取值范围。 42 9．设函数 f x cos 2x 2cos2 x. 3 （1）求 f x 的最大值，并写出使 f x 取最大值时x 的集合； 3 （2）已知ABC 中,角A,B,C 的边分别为a, b, c ，若 f B C 2,b c 2，求 a 的最小

值. 2 10．在ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，且ACB 3 . 3 （1）若a, b,c依次成等差数列，且公差为 2 ，求c的值；（2）若 c 3, ABC ，试用表示ABC的周长，并求周长的最大值

(完整版)正弦定理余弦定理应用实例练习含答案

课时作业3应用举例时间：45分钟满分：100分课堂训练 1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是() A．103海里B．106海里 C．52海里D．56海里【答案】 D 【解析】如图，∠A＝60°，∠B＝75°，则∠C＝45°，由正弦定理得： BC＝AB·sin A sin C ＝10×sin60° sin45° ＝5 6. 2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()

A ．502m B ．503m C ．252m D.2522m 【答案】 A 【解析】因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即50sin30°＝AB sin45°，解得AB ＝502m ，选A. 3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是________m. 【答案】 521 【解析】如图所示，塔高为OC ，则∠OAC ＝60°，∠AOB ＝180°－30°＝150°，∠CBO ＝45°，AB ＝35，

设电视塔高度为h m，则OA＝3 3h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即352＝(3 2＋h2－2×33h×h×(－32) 3h) 解得h＝521. 4．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可．

专题正余弦定理的应用

正余弦定理的应用 1、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 2、【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若 45BDC ∠=?，则BD =___________，cos ABD ∠=___________． 3、【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =2 3 ，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2 B π +的值． 4、【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥 AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 5、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2 A C a b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．

2020_2021学年高考数学一轮复习专题4.7正弦定理和余弦定理及其应用知识点讲解理科版含解析

专题4.7 正弦定理和余弦定理及其应用【考情分析】１．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．【重点知识梳理】 1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．图①图② 2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． 4．坡度(又称坡比) 坡面的垂直高度与水平长度之比．【典型题分析】高频考点一解三角形中的实际问题例１．（2020·河南省鹤壁市一中模拟）如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为________米．【答案】40013 【解析】在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝ 180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得 BD sin∠DAB ＝ AD sin∠ABD ，所以 400 sin 30° ＝ AD sin 120° ，得AD＝ 4003(米)．在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC

＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002 ×13，解得AC ＝40013(米)．故索道AC 的长为40013米．【方法技巧】利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤 (1)分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图． (2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型． (3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解． (4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．【变式探究】（2020·山东省淄博市八中模拟）如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________．【答案】 21 14 【解析】在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2 ＝AB 2 ＋AC 2 －2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，得BC ＝207. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，即sin ∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝21 7 . 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝27 7 . 由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝21 14 . 高频考点二平面几何中的解三角形问题例２．【2020·全国Ⅰ卷】如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD == AB ⊥AC ， AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.