§32—§33 柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理
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3.2 柯西积分定理
D
C1
Γ C2
复 变
在边界 C C1 C2 上连续，
函 G 为 D 内的一条“闭曲线”，
数
的 则 f (z)dz f (z)dz f (z)dz .
积
C1
C2
Γ
分
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在
区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。
11
§3.2 柯西积分定理
C1
ba
C2
ab
由 f (z)dz f (z)dz 0, f (z)dz f (z)dz 0,
ba
ab
C1
C2
f (z)dz 0 或 f (z)dz f (z)dz .
C
C1
C2
10
§3.2 柯西积分定理
二、闭路变形原理
第 三 闭路变形原理 P78
章 如图，设 f (z) 在 D 内解析，
的 积
(2) 定理中的条件还可以进一步减弱。
分 定理 设单连域 D的边界为C，函数 f (z)
P77 在 D内解析，在 D D C 上连续，
则有 C f (z)dz 0.
G
G
C D
9
§3.2 柯西积分定理
二、闭路变形原理
第
三 将柯西积分定理推广到二连域
D
章 定理 设二连域 D的边界为 C C1 C2 (如图)，
ÑC f (z)d z 0. 6
§3.2 柯西积分定理
第 1825年，柯西给出了“单连通域D内处处解析的 f(z) 在
三 章
D内沿任意一条闭曲线C的积分Ñc f (z)d z 0 ”。
—Cauchy 定理
复 变
当时，解析函数的定义为“ f’(z)存在，且在D内连续”。
复变函数3-2柯西-古萨定理
便可确定D内的一个单值函数 F(z)
z
f ( )d .
z0
定理二
如果函数 f (z) 在单连通域 D 内处处解析,
那末函数 F (z) z f ( )d 必为D 内的一个解 z0
析函数, 并且 F (z) f (z).
此定理与微积分学中的对变上限积分的求导 定理完全类似.
C D
注意2 若曲线 C 是区域 D 的边界, 函数 f (z) 在D内解析, 在闭区域 D D C 上连续, 则
c f (z)dz 0.
Cauchy 积分定理的证明:
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
由 f (z)解析，u, v 在D上可微，且
AEBBEAA
AAF BBFA
f (z)dz f (z)dz ︵ f (z)dz ︵ f (z)dz
C
C1
AA
AA
CF
︵ f (z)dz ︵ f (z)dz 0,
BB
BB
A A F B
即 f (z)dz f (z)dz 0,
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
其中，L是D的取正向的边界曲线。
3
1、Cauchy积分定理
定理 柯西－古萨基本定理
设D为单连通域 ,如果函数 f (z) A(D)
则对 D 内的任何一条封闭曲线 C,有 c f (z)dz 0.
此定理常称为柯西积分定理.
注意1 定理中的 C 可以不是简单曲线.
CF A A F
B
f (z)dz 0.
D1 E C1 B
AAF BBFA
§32—§33 柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理
二、复通区域情形：当所研究的函数在区域B上非处处解析时(也就是在某些点或
者区域上不可导，即存在奇点，为了排除这些点，就要在区域上挖去这些点，形成 带孔的区域—所谓的复通区域.
柯西积分定理：如果函数f(z)在复通区域 B 上单值解析，则沿着区域内部任
一分段光滑闭合曲线L有：
L
z ) d z z ) d z0 f( f(
17
f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz 0 .
C C 1
f (z)dz 0.
此为柯西-古萨定理推广-闭路变形定理
本定理直观意义：函数沿闭曲线积分, 闭曲线在区域内作连续变形而不 经过奇点，则积分值不变。
11
§3.3 复合闭路定理
二、 复合闭路变形原理
ez dz 0 z
14
§ 3.3 复合闭路定理
三、 典型例题 例3 计算积分
(z - a)n1 dz,Γ为含a 的任一简单闭路,n为正整数.
1
解：因为a在曲线Γ 内部,故可取很小的正数 ,使 : z a 含在Γ内部. 1 1 ( z a ) n 1 在以Γ+ Γ1 为边界的复连通域内处处解析,由复合闭路定理得
设C为简单闭曲线, Ci(i=1,2…n )是在C内部的简单闭曲线,互不 相交互不包含,C的内部与 诸Ci的外部围成绿色复连通区域D 称C+C1- +C2- +· · · +Cn-为复围线,记为Γ ,包围着 绿色复连通区域D. 如果 f(z)在D内解析,那么
(1)
C
C1
C
n
C3
z ) dz ) dz 0 . 或 f( f(z f(z)dz f(z)dz
第三章 3.2-3.3 柯西积分定理及公式
补
记作
F ( z ) f ( z ) .
五、原函数
2. 由变上限积分构成的原函数 定理 若 G ( z ) H ( z ) c ,在单连域 D 内处处解析，
P63 定理 3.5
F(z) f()d,
z0 z
D
z,z0D,
令 则 在 D 内解析，且
证明 (略)
13
五、原函数
闭路变形原理
P62
D
C1
如图，设 f ( z) 在 D 内解析，
C C 在边界 C 上连续， 1 2
Γ C2
G 为 D 内的一条“闭曲线”，
则
f ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z . C C Γ
1 2
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。
Green公式
C R方程
v u u v ( ) d x d y i ( ) d x d y x y x y G G
0.
上述定理又称为柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理。
一、柯西基本定理
定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，
性质 函数 G ( z ) H ( z ) c ,的任何两个原函数相差一个常数。
z F ( z ) c .是 G ( z ) H ( z ) c ,的两个原函数，则 (z)c和 f(z)d 证明 设 F
z
0
z
其中，c 为任意常数。
G ( z ) H ( z ) c ,的原函数 F ( z ) 称为 定义 函数 G ( z ) H ( z ) c ,的不定积分，
记作
F ( z ) f ( z ) .
五、原函数
2. 由变上限积分构成的原函数 定理 若 G ( z ) H ( z ) c ,在单连域 D 内处处解析，
P63 定理 3.5
F(z) f()d,
z0 z
D
z,z0D,
令 则 在 D 内解析，且
证明 (略)
13
五、原函数
闭路变形原理
P62
D
C1
如图，设 f ( z) 在 D 内解析，
C C 在边界 C 上连续， 1 2
Γ C2
G 为 D 内的一条“闭曲线”，
则
f ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z . C C Γ
1 2
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。
Green公式
C R方程
v u u v ( ) d x d y i ( ) d x d y x y x y G G
0.
上述定理又称为柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理。
一、柯西基本定理
定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，
性质 函数 G ( z ) H ( z ) c ,的任何两个原函数相差一个常数。
z F ( z ) c .是 G ( z ) H ( z ) c ,的两个原函数，则 (z)c和 f(z)d 证明 设 F
z
0
z
其中，c 为任意常数。
G ( z ) H ( z ) c ,的原函数 F ( z ) 称为 定义 函数 G ( z ) H ( z ) c ,的不定积分，
复变函数 3.2 3.3 3.4
z0
z
一 原 数 个 函 .
f(z)的任何两个原函数相差一个常数. 设G(z) 和H(z)是f(z)的两个原函数, 则 [G(z)H(z)]'=G '(z)H '(z)=f(z)f(z)=0. 所以 G(z)H(z)=c, c为任意常数.
21
因此, 如果函数f(z)在区域B内有一个原函数 F(z), 则它就有无穷多个原函数, 而且具有一 般表达式F(z)+c, c为任意常数. 跟在微积分学中一样, 定义: f(z)的原函数的 一般形式F(z)+c(其中c为任意常数.)为f(z)的 不定积分, 记作
所 , 根据 路 形 以 闭 变 原理 对 包含 0的 , 于 z 任 一条 向 单 何 正 简 曲线 都 : Γ 有 dz = 2π i ∫ z z0 Γ
10
定理(复合闭路定理) 设C为多连通域D内的 一条简单闭曲线, C1,C2,...,Cn是在C内部的简 单闭曲线, 它们互不包含也互不相交, 并且以 C, C1, C2, ..., Cn为边界的区域全含于D. 如果 f(z)在D内解析, 则
f (z) d z = 0 ∫
C
2
作业 第三章习题
第99页 第6题 1),2),3),5)
3
§3 基本定理的推广
复合闭路定理
4
可将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的 情况. 设函数f(z)在多连通域D内解析, C为D 内的任意一条简单闭曲线, 当C的内部不完 全含于D时, 沿C的积分就不一定为零. 假设C及C1为D内任意两条(正向为逆时针方 向)简单闭曲线, C1在C内部, 而且以C及C1为 边界的区域D1全含于D. 作两条不相交的弧 线AA'及BB',其中A,B在C上, A'B'在C1上这样 构成两条全在D内的简单闭曲线 AEBB‘E’A‘AE及AA’F‘B’BFA.
z
一 原 数 个 函 .
f(z)的任何两个原函数相差一个常数. 设G(z) 和H(z)是f(z)的两个原函数, 则 [G(z)H(z)]'=G '(z)H '(z)=f(z)f(z)=0. 所以 G(z)H(z)=c, c为任意常数.
21
因此, 如果函数f(z)在区域B内有一个原函数 F(z), 则它就有无穷多个原函数, 而且具有一 般表达式F(z)+c, c为任意常数. 跟在微积分学中一样, 定义: f(z)的原函数的 一般形式F(z)+c(其中c为任意常数.)为f(z)的 不定积分, 记作
所 , 根据 路 形 以 闭 变 原理 对 包含 0的 , 于 z 任 一条 向 单 何 正 简 曲线 都 : Γ 有 dz = 2π i ∫ z z0 Γ
10
定理(复合闭路定理) 设C为多连通域D内的 一条简单闭曲线, C1,C2,...,Cn是在C内部的简 单闭曲线, 它们互不包含也互不相交, 并且以 C, C1, C2, ..., Cn为边界的区域全含于D. 如果 f(z)在D内解析, 则
f (z) d z = 0 ∫
C
2
作业 第三章习题
第99页 第6题 1),2),3),5)
3
§3 基本定理的推广
复合闭路定理
4
可将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的 情况. 设函数f(z)在多连通域D内解析, C为D 内的任意一条简单闭曲线, 当C的内部不完 全含于D时, 沿C的积分就不一定为零. 假设C及C1为D内任意两条(正向为逆时针方 向)简单闭曲线, C1在C内部, 而且以C及C1为 边界的区域D1全含于D. 作两条不相交的弧 线AA'及BB',其中A,B在C上, A'B'在C1上这样 构成两条全在D内的简单闭曲线 AEBB‘E’A‘AE及AA’F‘B’BFA.
柯西古萨基本定理
§2 柯西—古萨基本定理（积分基本定理）
定理 设G为复平面上的单连通区域，c为G内 的任一条围线，若f ( z ) 在G内解析，则
c
f ( z ) dz 0
黎曼证法（假设 设
f ( z )在B内连续）
z x iy, f ( z) u( x, y) iv( x, y)
故有
C
C1
又
C0
f ( z ) dz f ( z ) dz 0
C1
亦即
C0 C1
f ( z ) dz 0
C0
f ( z )dz f ( z )dz
k 1 Ck
n
典型例题
例 试证
C
2 i 1 dz n 1 ( z a) 0
n0
C k 1 Ck
n
C
C2
C1
Cn
其中C及Ck取正向.
D
证：不失一般性，往证
c0 c1
f ( z ) dz 0
(c0 C )
用辅助线短
连接 C0 与 C1
将G“割破”而形成一单连通区域，
由定理有
C0
f ( z ) dz f ( z ) dz
f ( z ) dz f ( z ) dz 0
f ( z )dz udx vdy i vdx udy
C C
由 f (z) ux ivy vy iu y
在G内连续，所以 u x , u y , vx , v y在由围线c
及其内部构成的闭区域 D 上连续，又因c为逐段 光滑的闭曲线，且u与v在c上连续是显然的，于是 ，由高等数学中的格林公式得
定理 设G为复平面上的单连通区域，c为G内 的任一条围线，若f ( z ) 在G内解析，则
c
f ( z ) dz 0
黎曼证法（假设 设
f ( z )在B内连续）
z x iy, f ( z) u( x, y) iv( x, y)
故有
C
C1
又
C0
f ( z ) dz f ( z ) dz 0
C1
亦即
C0 C1
f ( z ) dz 0
C0
f ( z )dz f ( z )dz
k 1 Ck
n
典型例题
例 试证
C
2 i 1 dz n 1 ( z a) 0
n0
C k 1 Ck
n
C
C2
C1
Cn
其中C及Ck取正向.
D
证：不失一般性，往证
c0 c1
f ( z ) dz 0
(c0 C )
用辅助线短
连接 C0 与 C1
将G“割破”而形成一单连通区域，
由定理有
C0
f ( z ) dz f ( z ) dz
f ( z ) dz f ( z ) dz 0
f ( z )dz udx vdy i vdx udy
C C
由 f (z) ux ivy vy iu y
在G内连续，所以 u x , u y , vx , v y在由围线c
及其内部构成的闭区域 D 上连续，又因c为逐段 光滑的闭曲线，且u与v在c上连续是显然的，于是 ，由高等数学中的格林公式得
柯西——古萨基本定理
1)
dz
2
zi
1
1 z
2
11 2zi
11 2z
i
dz
12
1dz 1
1 dz 1
1 dz
zi 1 z
2 zi 1 z i
2 zi 1 z i
2
2
2
0
1
1 dz 1 2i i.
2 zi 1 z i
19为边界的区域全含于并且以互不包含也互不相交它们内部的简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域按逆时针进行其方向是组成的复合闭路为由这里曲线在内的任何正向简单闭为包含圆周计算积分内有两个奇点在复平面因为函数依题意知不相交的正向圆周内作两个互不包含也互所组成向圆周为正向圆周计算积分上处处解析在此圆环域和其边界函数圆环域的边界构成一条复合闭路根据闭路复合定理为整数的任一简单闭路内部在曲线因为内部含在内处处解析为边界的复连通域25由复合闭路定理此结论非常重要用起来很方因为不必是圆a也不必是圆的圆心只要a在简单闭曲线内即可
C 无关. 由定理一可知:
解析函数在单连通域内的积分只与起点 和终点有关, (如下页图)
27
如果起点为 z0 , 终点为 z1,
B
C1
z0 C2
z1
B
C1
z0
z1
C2
f (z)dz f (z)dz z1 f (z)dz
C1
C2
z0
如果固定 z0, 让 z1 在 B内变动, 并令 z1 z,
c z z0
2
虽然在除去 z0 的 C 的内部函数处处解析, 但此区域已不是单连通域. 观察上节例3, 被积函数 f (z) z x iy, 由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内 处处不解析.
高校工程数学第2节柯西-古萨基本定理教学课件
于是 F ( z z ) F ( z ) z
z z
f ( )d ,
因为
z z
z
f ( z )d f ( z )
z z
z
d f ( z )z ,
F ( z z ) F ( z ) 所以 f (z) z 1 z z f ( )d f ( z ) z z 1 z z [ f ( ) f ( z )]d z z
因为线积分与路线无关和沿封闭曲线的积分为零是两
个等价的性质，所以定理一显然成立。
[定理3-2-1]
如果起点为z0 , 终点为 z1 ,
B B
z0
C1 C2
z1
C1
z0
C2
z1
f ( z )dz f ( z )dz z C C
1 2
z1
0
f ( z )dz
解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点 有关.
这里z0，z1为域B内的两点。 (类似于牛顿-莱布尼兹公式)
[定理3-2-3]证明
[证] 因为 f ( z )dz 也是 f ( z ) 的原函数,
z0 z
所以 f ( z )dz G ( z ) c ,
z0
z
当 z z0 时, 根据柯西-古萨基本定理, 得 c G( z0 ),
基本定理的引入
究竟关系如何，不妨假设f(z)=u+iv在单连域B内处处解析，
且f '(z)连续。由于f'(z)=ux+ivx=vy–iuy，所以u和v以及它们
的偏导数ux，uy，vx，vy都是连续的，并满足柯西-黎曼方 程 ux=vy，vx=–uy 根据(3.1.3)，有
z z
f ( )d ,
因为
z z
z
f ( z )d f ( z )
z z
z
d f ( z )z ,
F ( z z ) F ( z ) 所以 f (z) z 1 z z f ( )d f ( z ) z z 1 z z [ f ( ) f ( z )]d z z
因为线积分与路线无关和沿封闭曲线的积分为零是两
个等价的性质，所以定理一显然成立。
[定理3-2-1]
如果起点为z0 , 终点为 z1 ,
B B
z0
C1 C2
z1
C1
z0
C2
z1
f ( z )dz f ( z )dz z C C
1 2
z1
0
f ( z )dz
解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点 有关.
这里z0，z1为域B内的两点。 (类似于牛顿-莱布尼兹公式)
[定理3-2-3]证明
[证] 因为 f ( z )dz 也是 f ( z ) 的原函数,
z0 z
所以 f ( z )dz G ( z ) c ,
z0
z
当 z z0 时, 根据柯西-古萨基本定理, 得 c G( z0 ),
基本定理的引入
究竟关系如何，不妨假设f(z)=u+iv在单连域B内处处解析，
且f '(z)连续。由于f'(z)=ux+ivx=vy–iuy，所以u和v以及它们
的偏导数ux，uy，vx，vy都是连续的，并满足柯西-黎曼方 程 ux=vy，vx=–uy 根据(3.1.3)，有
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f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz 0 .
C C 1
f (z)dz 0.
此为柯西-古萨定理推广-闭路变形定理
本定理直观意义：函数沿闭曲线积分, 闭曲线在区域内作连续变形而不 经过奇点，则积分值不变。
11
§3.3 复合闭路定理
二、 复合闭路变形原理
设C为简单闭曲线, Ci(i=1,2…n )是在C内部的简单闭曲线,互不 相交互不包含,C的内部与 诸Ci的外部围成绿色复连通区域D 称C+C1- +C2- +· · · +Cn-为复围线,记为Γ ,包围着 绿色复连通区域D. 如果 f(z)在D内解析,那么
C
例2 解
函数z在C内处处解析，根据柯西-古萨定理,有
zdz 0
C
6
§3.2
例3
解
柯西-古萨基本定理
1 计算积分 dz . 2 z 1 z i 1
1 1 1 1 , 2 z 1 2i i z i z
1 因 在 z i 1 解析, z i
L L
由于f(z)在区域 B 上解析，
推广：
3
§3.2
柯西-古萨基本定理
二、复通区域情形：当所研究的函数在区域B上非处处解析时(也就是在某些点或
者区域上不可导，即存在奇点，为了排除这些点，就要在区域上挖去这些点，形成 带孔的区域—所谓的复通区域.
柯西积分定理：如果函数f(z)在复通区域 B 上单值解析，则沿着区域内部任
根据柯西－古萨定理得
1 1 1 1 dz dz dz 2 2i i z i z 1 z z i 1 z i 1 z i 1
2 1 1 i dz 0 π 2i i z z i 1 2i
由此希望将柯西-古萨积分基本定理推广到多连通域中。 一、闭路变形定理 设函数
域 内解析，灰色为奇点， 及
在多连通
为
内的任
在 全含
意两条简单闭曲线(正向为逆时针方向), 的内部，且以 于 . 及 为边界的区域
9
§3.3 复合闭路定理
做两条不相交的弧段 (如图所
示)，显然 A 形成两 A F B BFA 及 AEB B E A A
§3.2
柯西-古萨(CauchyGoursat)定理
本节讨论复变函数积分值与积分路径的关系, 主要绍复变函数积分的重要定理——柯西-古萨 (Cauchy-Goursat)基本定理(柯西积分定理)
1
§3.2
问题的提出
柯西-古萨基本定理
被积函数 f (z 在复平面内处处解析，此时积分与路线无关， )z 而被积函数 此时
f ( z ) dz f ( z ) dz ( z ) dz 0 f
CD l 2 D C
由于 即
n L
对消，于是有
l i
f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz 0
l l 1 l 2
z ) d z z ) d z0 f( f(
i 1
4
§3.2
柯西-古萨基本定理
柯西定理的意义：
5
§3.2
柯西-古萨基本定理
1 d z . 例1 计算积分 z 12 z 3
解
1 函数 在 z 1 内解析 , 2 z 3 1 d z0 . 根据柯西-古萨定理, 有 z 12 z3
计算 ,C : 平面上任意 闭 曲线 zdz
1 z z 0 ，在以
c
由此可知，积分是否与路线有关，可能决定 于被积函数的解析性及区域的连通性.
2
§3.2
柯西-古萨基本定理
一、单连通区域情形 柯西积分定理：如果函数f(z)在闭单通区域 B 上解析，则沿着区域上任
一分段光滑闭合曲线L有
证明：
0 f (z)dz
L
L
f ( z ) dz u ( x , y ) dx v ( x , y ) dy i v ( x , y ) dx u ( x , y ) dy
此区域已不是单连通域. 被积函数 f( ,由于不满足柯西-黎曼方程，故在复平 z ) z x iy 面内处处不解析，此时积分值 zdz 与路线有关.
1 czz 0
z 0 为中心的圆周 C的内部不是处处解析的， 内部函数处处解析，但 dz 2 i 0 .虽然在除去 z 0 的 C
A A
即
C
f(z ) dz 0 f(z)dz
C 1
或
C
f (z)dz f (z)dz
C 1
10
§ 3.3 复合闭路定理
如果把 C 和 C 两条闭曲线看成一条复 合闭曲线 ， 1
区域 D 的边界，方向为 C 正向与 C 负向 1 1
( 即沿 的正向进行时 , 的内部总在 的左手 ),
7
§3.3 基本定理的推广-复合闭路定理
当闭合曲线内部包围被积函数的奇点,该积分
通常不为零,但仍有一定的规律可以研究,由此把
柯西积分定理推广到多连通域讨论.本节讨论闭路
变形原理及复合闭路变形原理.
8
§ 3.3 复合闭路定理
问题的提出 计算
1 dz .因为 z 2 是包含 z 1在内的闭曲线 z 2 z 1 1 dz 2 i 由第一节讨论可知 z 2 z 1
一分段光滑闭合曲线L有：
L
z ) d z z ) d z0 f( f(
i 1 l i
n
B
积分均沿着边界线的正方向进行. 证明：由单连通区域柯西定理
f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz ( z ) dz f
l AB l 1 B A
条在 因而有 内的简单闭曲线，它们的内部全含于 ，
E A AEB B A
f (z)dz0
C 1
F BFA A A B
f (z)dz0
A A B B B B
C
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