柯西积分公式
第三章柯西积分公式3-5
L = 2 ∆z
ML d3
1 f (z) f ′( z ) = ∫C ( z − z ) 2 dz 2πi 0
即n = 1时，结论成立.对于任意的正整数n都是成立的.
例4.1 求下列积分的值，其中C为正向圆周： = r > 1. z
(1)∫ cosπz ( z − 1)
C
dz,. 5
( 2) ∫
且满足拉普拉斯（Laplace )方程 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y
则称ϕ ( x , y )为区域D内的调和函数 .
定理5.1 如果f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )在区域D内解析，
函数u( x , y ), v ( x , y )均为区域D内的调和函数 .
?
C
δ
z0
B
f (z) f (z) dz ∫C z − z0 dz = ∫Cδ z − z0 dz = f ( z0 )∫Cδ z − z0 = 2πif ( z0 )
定理3.1 （柯西积分公式）
如果f ( z )在区域D内解析，C为D内任意一条正向简单闭曲线， 它的内部全部含于D内, z 0为C任意一点，则 f (z) 1 f ( z0 ) = ∫C z − z0 dz 2πi f (z) f ( z ) − f ( z 0 )dz ( z ) f 证明 ∫C z − z 0= K dz dz K z−z z−z
2 2
∂ ∂u ∂ ∂v ∂ 2u ∂ 2v [ ] = − [ ]⇒ =− 2 ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x∂y ∂x ∂ 2u ∂ 2v ∂ ∂u ∂ ∂v [ ] = − [ ]⇒ 2 = − ∂y ∂ y ∂ y ∂x ∂x∂y ∂y
柯西积分公式
可以借助于公式（ ② 可以借助于公式 （ 3.3.3 ） 计算某些围线的复 积分. 积分. 求下列积分值（围线取正向） 例1、求下列积分值（围线取正向）
(1) cos π z ∫ z = 2 (z 1)5dz
(2)
∫z
ez
=2
(z + 1)
2
2
dz
解： (1) 函数f(z ) = cos π z在整个复平面内解析， 由式（3.3.4） 由式（3.3.4）有
1 f (z 0 ) = 2π
∫
2π
0
f(z0 + Reiθ ) θ d
(3.3.3)
即f (z )在圆心z0的值等于它在圆周上的值的
算术平均值，常称为解析函数的平均值定理。 算术平均值，常称为解析函数的平均值定理。
2、解析函数的无穷可微性： 解析函数的无穷可微性： 在实变函数中，一阶导数的存在， 在实变函数中，一阶导数的存在，并不能 提供高阶导数是否存在的结论， 提供高阶导数是否存在的结论，但在复变函数 中则不然，有下面的定理。 中则不然，有下面的定理。
f(z + z ) f(z ) f ′(z0 ) = lim z → 0 z
1 f (z ) f(z ) = lim [∫ dz ∫ dz ] C z z z C z z z → 0 2i πz 0 0
1 = lim z → 0 2π i
f(z ) ∫C (z z )2dz + 0
cos π z 2π i ∫ z = 2 (z 1)5dz = 4 ! cos π z i π 5 ＝ z =1 12
(2) 函数
e
2
z
2
(z + 1)
在 z = 2内的不解析点z = ±i ,
在无穷处的柯西积分公式
在无穷处的柯西积分公式摘要：一、柯西积分公式的概念二、柯西积分公式的推导过程三、柯西积分公式的意义与应用四、结论正文：在无穷处的柯西积分公式是一种数学公式，它涉及到微积分中的积分运算。
柯西积分公式在数学领域有着广泛的应用，尤其在求解某些复杂函数的积分问题时具有重要意义。
要推导柯西积分公式，首先我们需要了解一些基本的概念。
柯西核函数是一个重要的工具，它可以用来描述柯西积分公式。
柯西核函数的定义为：f(x) = 1 / (x^2 + a^2)，其中a 是一个正常数。
接下来，我们开始推导柯西积分公式。
根据积分的定义，我们可以知道：∫(f(x))dx = F(b) - F(a)其中，F(x) 是f(x) 的一个原函数，a 和b 是积分区间的上下限。
现在，我们用柯西核函数来表示柯西积分公式：∫(1 / (x^2 + a^2))dx = ∫(1 / (x^2 + a^2)) * (1 / √(x^2 + a^2)) * 2 * a * dx接下来，我们进行积分运算：= 2 * a * ∫(1 / (x^2 + a^2)^(3/2)) dx然后，我们用部分分式分解法进行进一步的计算：= 2 * a * ∫(1 / (x^2 + a^2)^(3/2)) * (1 / √(x^2 + a^2)) * √(x^2 + a^2) dx= 2 * a * ∫(1 / (x^2 + a^2)^(1/2)) dx= 2 * a * [arctan(x / a) - arctan(0 / a)]= 2 * a * arctan(x / a)最后，我们可以得到柯西积分公式：∫(1 / (x^2 + a^2))dx = 2 * a * arctan(x / a) + C其中，C 是常数。
柯西积分公式在数学领域具有重要的意义。
它可以用来求解一些复杂函数的积分问题，尤其是当被积函数具有无穷大的特点时。
此外，柯西积分公式还可以应用于求解微分方程、傅里叶分析等领域。
柯西分公式
柯西分公式近代数学发展的历史中，柯西(Augustin-Louis Cauchy)分公式也被认为是极为重要的一步。
柯西分公式（Cauchy’s integral formula）是一个关于复数函数的椭圆分积分的公式，也称作Cauchy-Goursat积分，其具体表达式为：$$ oint_C f(z)dz=2pi i sum_{k=1}^n res(f, z_k),$$ 其中$f$为某复数函数，$z_k$为$f$在曲线$C$上的内部点，而$res(f, z_k)$为$f$在$z_k$处的残留。
柯西分公式的发现给当时数学领域带来了巨大的革新，它定义了椭圆积分的形式，它开放了更多元的数学推断和研究，使数学得以更加自由的发展。
柯西分公式的发现在很大程度上是由柯西的积分定理所引发的，他就是发现有关曲线的积分问题的研究者。
他发现，在一个有界的曲线的闭包上，一个可连续的函数的曲线积分为零。
关于曲线积分的更近一步研究归功于柯西，他首先提出了关于曲线积分的柯西积分定理。
定理最初是用于认识椭圆积分，但很快就可以推广到各类曲线积分，从而发展出了更多的数学模型来进行研究。
此外，柯西的椭圆积分公式还有着重要的实际应用。
它可以用来推导其他不定积分的形式，用来研究微分方程，以及用来研究复变函数。
因此，柯西分公式不仅在理论数学方面有重要价值，它也在实际问题中有实质性应用。
柯西分公式的重要性在于它发展出了一种更加广泛的方式来研究复数函数。
这不仅有助于对复数进行研究，而且还可以应用于其他很多数学问题的分析和研究，使得数学发展得更加广泛，为科学的发展贡献了不可磨灭的功劳。
柯西分公式的极大发展是由于它对数学的重要贡献。
它推动了现代数学的发展，使得数学更加的广泛，为科学研究提供了坚实的基础。
因此，被称为“推动数学发展的重要公式”也不做过分之说。
柯西积分公式
Q lim f ( z ) = f ( z0 )
z z0
ε > 0, δ > 0 z z 0 = R < δ
f ( z ) f ( z0 ) < ε
注： ) D可为多连通域； (1
( 2)该公式表明解析函数 f ( z )在C内部任一点的值， 可以用其在边界上的值 表示。
1 f (z) f (z0 ) = ∫C z z0 dz 2πi
z∈C
1 取 z < d , 则有 2
1 1 z z0 ≥ d , ≤ z z0 d d z z0 z ≥ z z0 z > , 2 2 < z z0 z d 1
ML ( L — C 的长度） 的长度） ∴ I < z 3 πd 显然， 显然， lim I = 0 , 从而有
z→ 0
当 δ → 0时 , f ( z ) → f ( z 0 )( z ∈ C1 )
∫
C
f (z) dz = z z0
C1
∫
C1
f ( z ) δ →0 dz → z z0
C D z0 C1
→ f ( z0 )∫
1 dz = 2π if ( z 0 ) z z0
定理(Cauchy 积分公式 积分公式) 定理
§3.5 Cauchy积分公式 积分公式
分析 设 D 单连通 , f ( z )在 D 内解析 ,
z 0 ∈ D , C 是 D 内围绕 z 0的一条闭曲线 .
∫
C
f ( z) dz = z z0
∫
C1
f (z ) (z dz z z0
C z0 C1
D
取 C 1 = { z z z 0 = δ (δ > 0可充分小 )}
柯西积分公式与高阶导数公式
dz
(n 1,2,3, ),
高阶导数公式
C z0
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意: a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
进行, f (z0
则
)f2(1πzi 0C
)f (z)
z z0
1
dz.
2
i
C
f (z) (z z0 )2
dz,
(1) 解析函数是否存 在各阶导数?
f (z0 )
21
2 i C
f (z) (z z0 )3 dz,
(2) 导数运算可否在 积分号下进行?
f
(n)(z0 )
C
(
z
f
(z0z))nC1是d定Dz内,理分2.6段设光函滑数(或f可(z)求在长单)
z
z3 1 2 (z 1)4
dz
2i [z3 3!
1]
z1
C的2内i部. 区域,
则f (z)在z0处
f(n)(z0 )n!2 i
f (z) C (z z0 )n1
二、高阶导数公式
由 Cauchy积分公式 , 解析函数的积分表达式为
z0
是定D内理的2.5一个设点f (,z)C是是单任连意f通一(区z条域0含)D上z0 的在2解内1析部i函区C数域,zf(
z) z0
dz.
的分段光如滑(或果可求各长阶) Jor导dan数曲线存, 则在, 并且导数运算可在积分号下
柯西积分公式
17
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 n! f (z) ( n) f ( z0 ) dz . n 1 2i C ( z z0 )
[证毕]
z
1
ez 2 (z i) 2 dz (z i)
i
C1
y
i
2i e (1 i )e , 2 ( 2 1)! ( z i ) 2
z i
C
x
o
C2
i
22
同理可得 于是
C
2
e (1 i )e i , 2 2 dz ( z 1) 2
则 0, ( ) 0,
C
z0
D
2
当 z z0 时,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R ( R ) 的正向圆周K : z z0 R全在 D内,
1 f (z) 则 | dz f ( z0 ) | C 2i z z0 1 f (z) 1 f ( z0 ) | dz dz | K K 2i z z0 2i z z0 1 f ( z ) f ( z0 ) | K dz | 2 z z0
C
z0 R
K
D
3
f ( z ) f ( z0 ) 1 ds K 2 z z0
2πR
K ds .
所以:
1 f (z) | dz f ( z0 ) | 0 C 2i z z0
[证毕]
1 f (z) f ( z0 ) dz 柯西积分公式 C 2i z z0
柯西积分公式及其推论
(z)在圆周C:|
|
2
及其内部解析，又 i在C内部，故
I
2 if (i)
2 i
i 9 (i)2
5
.
解析函数的平均值定理
定理3.12 如果函数 f (z) 在圆 |ζ-z0 |<R内
解析，在闭圆|ζ-z0|≤R上连续，则
1
f (z0 ) 2
2
0
f (z0 Rei )d .
它在圆即周函上数的f值(z的) 在平圆均心值z.0的值等于
证：设C表圆周| z0 | R,则
z0 Rei , 0 2
即 z0 Rei
y
z0 Rei
z0
d iRei d ,
O
x
由柯西积分公式，得 f (
1
2 i
2 0
f (z0 Re Re i
z0 )
i )
1
2 i C
iRei d
f
( )
z0
d
故
1
f (z0 ) 2
f (z) 0
zD zD
柯西积分公式可改写为：
利用此公C 式f (可z) 计d算 某2些if (周z)线(积z 分D.)
例3.10 设C为圆周| | 2, 试计算积分
I
C
(9
2 )(
d
i)
.
解
I
C
(9
2 )(
d
i)
9 2 d ， C (i)
令f
(z)
z 9 z2
, 则f
f
(
( )
z)3
d
(z D)
这些公式对不对？
定理3 .13(高阶导数公式)
设区域D的边界是周线(或复周线)
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2i (e z )(n1)
(n 1)!
z0
2i . (n 1)!
25
例
求积分
C
(
z
1 2)2
z
3
dz.
其中C : (1) z 3 2; (2) z 1 3.
解
函数
(z
1 2)2
z3
有两个奇点z
2
和
z
0,
(1) z 3 2,
仅包含奇点
z
2,
取
z0
z
z
z0
z
d 2
,
1 2, z z0 z d
I
z
ML d 3
,
C
z0 d
D
19
I
z
ML d 3
,
这里 L 为C 的长度.
如果 z 0, 那末 I 0,
f
(
z0
)
lim
z0
f (z0 z) z
f (z0 ) 1 2i
f (z) z z0
dz,
f
( z0
z)
1 2i
C
z
f (z) z0 z
dz,
f (z0 z) f (z0 ) z
1 f (z)
f (z)
2zi C z z0 z dz C z z0 dz,
17
1
f (z)
dz
在z0不 解 析.
C
f (z) z z0
一般
dz 0
2
由 复 合 闭 路 定 理 得, 任 意 包 含z0在 内 部 的 曲 线C1 C的 内 部
f (z)
f (z)
dz
dz
C z z0
C1 z z0
C
D
z0 C1
3
特别取 C1 {z z z0 ( 0可充分小)}
f (z0 )dz f (z) f (z0 )dz
K z z0
K
z z0
2if (z0 )
K
f (z) f (z0 )dz z z0
C
z0 R
K
D
6
f (z) f (z0 )dz f (z) f (z0 ) ds
K
z z0
π
π
2i π ecos cos(sin )d π ecos sin(sin )d
0
π
因为 ez dz 2π i,
z 1 z
ez
dz 2i
π ecos cos(sin )d
π ecos sin(sin )d
z 1 z
0
π
比较两式得 π ecos cos(sin )d π . 0
根据复合闭路定理和高阶导数公式,
C
(
z
1 2)2
z
3
dz
C1
(
z
1 2)2
z
3
dz
C2
(
z
1 2)2
z
3
dz
27
1
1
(
z
2)2 z3
dz
(
z
z3 2)2
dz
C1
C2
2i 2!
(z
1 2)2
2i 1!
1 z3
z0
(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的
值表示.
(这是解析函数的又一特征)
(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积
分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分
表达式.
(这是研究解析函数的有力工具)
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上
的平均值. 如果 C 是圆周z z0 R ei ,
f (z)的连续性,在C上的函数值f (z)
当 0时, f (z) f (z0 )
∴猜想积分
C D
f (z)
f (z) 0
z0
dz
dz
C z z0
C1 z z0
C1
f (z0 )
C1
1 z z0
dz 2if (z0 )
这个猜想是对的, 这就是下面的定理.
第五节 柯西积分公式
一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 四、小结与思考
一、问题的提出
如果我们测得地球表面各点的温度，能否测得地 心的温度？如何测？
分析
设D 单 连 通, f (z)在D内 解 析,
z0 B, C是D内 围 绕z0的 一 条 闭 曲 线,则
f (z)
z z0
13
第六节 高阶导数
主要定理 典型例题
形式上，
对 积 分 公 式f
(z0 )
1
2i
f (z) C z z0 dz(z0 D)
两
边
在
积
分
号下 1
对z0求f
导得 (z)
f '(z0 ) 2i C (z z0 )2 dz
2! f (z)
f "(z0 ) 2i C (z z0 )3 dz
f
(n)(z0 )
n!
2i
f (z)
C
(z
n1
z0 )
dz
(n 1,2, )
以下将对这些公式的正确性加以证明。
15
主要定理
定理
解析函数 f (z)的导数仍为解析函数, 它的 n 阶
导数为:
f
(n)(z0 )
n! 2π i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2, )
z1
9
例
计算积分
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
.
2
1
f (z)
解
z(
z
1 2
1)
1 z(z i)(z i)
z(z i) zi
z0 i,
因为 f (z) 在 z i 1内解析, 由柯西积分公式
2 1
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
z(z i) dz zi 1 z i
f (n)(0) (n 1)!1 1 n e(n 1)! (n 1,2, ) n
证
因为
f (n)(0)
n! 2i
z r
f z
(z)
n1
dz
0 r 1,
z0 0 在 z 1内, n 1,
ez cos z
z 1 z2 dz
2i (ez cos z)
1!
z0
2i[ez cos z ez sin z] 2i. z0
23
例
求积分
z
1
ez zn
dz
.
(n 为整数)
解
(1) n 0,
ez zn
2i 1 z(z i) zi
2
2
2i
1 2i 2
i.
10
例 设 C 表示正向圆周x2 y2 3,
f
( z)
C
3
2 7 z
1d ,
求
f (1 i).
解 根据柯西积分公式知, 当 z 在 C 内时,
f (z) 2πi (3 2 7 1) 2i(3z2 7z 1), z
f
( z0
)
1 2π
2π 0
f (z0
R ei )d .
8
三、典型例题
例
计算积分
ez dz.
z 2 z 1
解 因为 f (z) ez 在复平面内解析,
z 1 位于 z 2内,
由柯西积分公式
ez dz 2i ez 2ei.
z 2 z 1
f
(n)(z0 )
n! 2i
f (z) C (z z0 )n1 dz.
[证毕]
高阶导数公式的作用:
不在于通过积分来求导, 而在于通过求导
来求积分.
21
例
求积分
(1)
z
2
(
z z
3 1 1)4
dz;
(2)
z
1
e
z
cos z2
z
dz.
解 (1)函数 z3 1 在复平面内解析,
在
z
1 上解析,
由柯西－古萨基本定理得
z
1
ez zn
dz
0;
(2) n 1, 由柯西积分公式得
z
1
ez zn
dz
2i (ez ) z0
2i;
24
(3) n 1,
根据公式
f
(n)(z0 )
n! 2i
C
(zf (z) Nhomakorabea0 )n1
dz
ez