第二讲 柯西积分公式高阶导数
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柯西积分公式与高阶导数公式
dz
(n 1,2,3, ),
高阶导数公式
C z0
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意: a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
进行, f (z0
则
)f2(1πzi 0C
)f (z)
z z0
1
dz.
2
i
C
f (z) (z z0 )2
dz,
(1) 解析函数是否存 在各阶导数?
f (z0 )
21
2 i C
f (z) (z z0 )3 dz,
(2) 导数运算可否在 积分号下进行?
f
(n)(z0 )
C
(
z
f
(z0z))nC1是d定Dz内,理分2.6段设光函滑数(或f可(z)求在长单)
z
z3 1 2 (z 1)4
dz
2i [z3 3!
1]
z1
C的2内i部. 区域,
则f (z)在z0处
f(n)(z0 )n!2 i
f (z) C (z z0 )n1
二、高阶导数公式
由 Cauchy积分公式 , 解析函数的积分表达式为
z0
是定D内理的2.5一个设点f (,z)C是是单任连意f通一(区z条域0含)D上z0 的在2解内1析部i函区C数域,zf(
z) z0
dz.
的分段光如滑(或果可求各长阶) Jor导dan数曲线存, 则在, 并且导数运算可在积分号下
第二讲 柯西积分公式高阶导数
应用解析函数有任意阶导数，可以证明 柯西定理的逆定理， 莫勒拉定理：如果函数f(z)在区域D内连续， 并且对于 D 内的任一条简单闭曲线 C ，我们
有
C
f ( z )dz 0
那么f(z)在区域D内解析。
小结：本章五个定理都是为积分计 算服务
1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点 的积分。 2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个 奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式). 3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有 多个奇点的积分。 4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。
定理3.9 设f(z) 在以简单闭曲线C所围成的区域D
.
内解析. 在 阶导数，且
f
( n)
D D C上连续，则f(z)在D内有任意
n! (z) 2i
f ( ) ( z )
n1
C
d ( n 1,2,3,...)
1 (注：f ( z ) 2i
f ( ) d ) C z
1 2
2
0
f ( z0 Re )d
i
说明：一个解析函数在圆心处的值 等于它在圆周上的平均值.
推论2 设 f ( z ) 在由简单闭曲线 C 1、 C 2 围成的二连通
C2在C1 区域 D内解析， 并在曲线 C1、C2上连续，
z0为D内一点，则 的内部， 1 f (z) 1 f (z) f ( z0 ) dz dz 2i C z z0 2i C z z0
f ( z )不是常数， 则在区域 D内 f z 没有最大值。
推论1在区域 D内的解析函数， 若其模在区域
D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数.
复变函数第三章(2)柯西积分公式
f ( z0 )
zz 2i
c
1
f ( z)
0
dz
（或者，f ( z )
2i
1
f ( s) s z
ds 解析函数的积分表达式）
C
注：（1）对于解析函数，只要边界上的函数值给定，则区 域内的函数值也就完全确定；对于实变函数，无论函数怎 样，区间端点的函数值完全不能决定区间内部的函数值。
定理dz定理dz解析所围成的闭区域上处处在曲线外部在曲线解析所围成的闭区域上处处在曲线34解析函数的导数一个解析函数不仅有一阶导数而且有各高阶导数它的导数值也可用函数在边界上的值通过积分来表示
3.3 柯西积分公式
分析: 设 z 0 D , 若 f ( z ) 在简单正向闭曲线
C 及其所围成的 区域 D 内解析，则 f (z) dz 闭路变形定理 z z0
e
z
0 r 1
C
e
z
z ( z 1 )( z 2 )
dz
C
( z 1 )( z 2 ) z
dz
2 i
e
( z 1 )( z 2 )
i
z0
-1
0
2
1 r 2
C
e
z
z
z ( z 1 )( z 2 )
dz
定理 3 .2
C1
e
e
z
z ( z 1 )( z 2 )
e 在区域 D 边界处取得极值
（指数函数为单调函数）
调和函数 u ( x , y ) 在区域 D 边界处取得极值
(2)代数学基本定理
在复数范围内， 至少有一个根。 n 次多项式 p ( z ) a 0 z a 1 z
§3.4 柯西积分公式与高阶导数公式
闭路变形原理
1 f z z z0 f z 0 dz 2 2 i C z z0
2 i z z0 C
f z 解析 f z0
f z f z0 z z0
C D， f z dz 0 z, z0 D, F z f z dz
z C z0
F z f z ,即F z 解析
f z 解析.
证毕.
作业
C0
f z f z0 z z0
ds .
f z 在z0解析
f z f z0 z z0
局部有界,
f z f z0 M 0,当充分小时， M, z z0
1 2 i
Cf z 1 d Nhomakorabea f z0 z z0 2
下面证明n 1 的情形
1 2 i
dz
C
f z 1 dz f z0 dz 2 if z0 2 2 2 i C z z0 z z0
f z
f z z z0 f z0 1 dz 2 C0： z z0 int C 2 i z z0 C0
C
f z dz 柯西积分公式 z z0
1 2 i
C
f z 1 dz f z0 2 i z z0
C
f z 2 i dz f z0 z z0 2 i
C
f z0 1 f z dz dz dz z z0 C 2 i 2 i C z z0
1 f z z z0 f z 0 dz 2 2 i C z z0
2 i z z0 C
f z 解析 f z0
f z f z0 z z0
C D， f z dz 0 z, z0 D, F z f z dz
z C z0
F z f z ,即F z 解析
f z 解析.
证毕.
作业
C0
f z f z0 z z0
ds .
f z 在z0解析
f z f z0 z z0
局部有界,
f z f z0 M 0,当充分小时， M, z z0
1 2 i
Cf z 1 d Nhomakorabea f z0 z z0 2
下面证明n 1 的情形
1 2 i
dz
C
f z 1 dz f z0 dz 2 if z0 2 2 2 i C z z0 z z0
f z
f z z z0 f z0 1 dz 2 C0： z z0 int C 2 i z z0 C0
C
f z dz 柯西积分公式 z z0
1 2 i
C
f z 1 dz f z0 2 i z z0
C
f z 2 i dz f z0 z z0 2 i
C
f z0 1 f z dz dz dz z z0 C 2 i 2 i C z z0
-柯西积分公式
§3.4 柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
1 f (z)
f (z0 ) 2i
dz C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
2
例 设 C 是不通过z0 的简单正向闭曲线,
求 g(z0 )
z4 z2 C (z z0 )3 dz
的值。
解:
当
z0
在C
的 外 部 时,
z4 z2 (z z0 )3
在 C 内解析
由柯西积分定理, 有 g(z0 ) 0
当 z0 在 C 的内部时, 设 f (z) z4 z2 ,由高阶导数
二、 高阶求导公式
定理 设 f (z) 在 D内解析, 在 C D 连续, C 为简单 正向闭曲线, 则 f (n)(z) 在 D内仍解析, 且f(n)(z0 )
n!
2i
f (z) C (z z0 )n1 dz,
z0 D,
n 1,2,...
说明 : (1 ) C 可以是含于 D 内任何包含 z0 的简单正向闭曲线;
2i
2 0
f
(z0 re i re i
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
1 cos z
3z 1
(1)
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
1 f (z)
f (z0 ) 2i
dz C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
2
例 设 C 是不通过z0 的简单正向闭曲线,
求 g(z0 )
z4 z2 C (z z0 )3 dz
的值。
解:
当
z0
在C
的 外 部 时,
z4 z2 (z z0 )3
在 C 内解析
由柯西积分定理, 有 g(z0 ) 0
当 z0 在 C 的内部时, 设 f (z) z4 z2 ,由高阶导数
二、 高阶求导公式
定理 设 f (z) 在 D内解析, 在 C D 连续, C 为简单 正向闭曲线, 则 f (n)(z) 在 D内仍解析, 且f(n)(z0 )
n!
2i
f (z) C (z z0 )n1 dz,
z0 D,
n 1,2,...
说明 : (1 ) C 可以是含于 D 内任何包含 z0 的简单正向闭曲线;
2i
2 0
f
(z0 re i re i
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
1 cos z
3z 1
(1)
柯西积分公式 解析函数的高阶导数公式
曲线积分求得； 2）已知积分曲线：z x(t) iy(t) ， （ t ），则复变积
分可化为定积分来计算； 3）对于解析函数的积分，可通过牛顿—莱布尼兹公式计
算； 4）对于沿封闭曲线的积分，往往以柯西积分定理，复合
闭路定理、闭路变形公式、柯西积分公式、高阶导数公式等 为工具。
3.5柯西积分公式 3.6解析函数的高阶导数公式
一、柯西积分公式
定理 1：(柯西积分公式)如果 f (z) 在区域 E 内解析，C 为
E 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 E ，z 为
C 内的任一点，则
fБайду номын сангаас
(z)
1
2 i
C
f
( )d
z
。
证明：z C
，令 F( )
f ( ) z
1
1） 2i
sin z
z 4 z dz ，2）
z
2
ez dz z 1
。
例 4：计算 I
zi 1 2
1 dz z(z2 1)
。
sin z
例 5：计算 I C
z
2
4 1
dz
,其中：
1） C
:
z
1
1 2
，2） C
:
z
1
1 2
，3） C :
z
2.
二、高阶导数公式
d
注 1.解析函数的导数仍是解析函数。
注 2. 析不在于通过积分求导，而是通过
求导来求积分，即
C
(
z
f
(z z0
) )
n1
分可化为定积分来计算； 3）对于解析函数的积分，可通过牛顿—莱布尼兹公式计
算； 4）对于沿封闭曲线的积分，往往以柯西积分定理，复合
闭路定理、闭路变形公式、柯西积分公式、高阶导数公式等 为工具。
3.5柯西积分公式 3.6解析函数的高阶导数公式
一、柯西积分公式
定理 1：(柯西积分公式)如果 f (z) 在区域 E 内解析，C 为
E 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 E ，z 为
C 内的任一点，则
fБайду номын сангаас
(z)
1
2 i
C
f
( )d
z
。
证明：z C
，令 F( )
f ( ) z
1
1） 2i
sin z
z 4 z dz ，2）
z
2
ez dz z 1
。
例 4：计算 I
zi 1 2
1 dz z(z2 1)
。
sin z
例 5：计算 I C
z
2
4 1
dz
,其中：
1） C
:
z
1
1 2
，2） C
:
z
1
1 2
，3） C :
z
2.
二、高阶导数公式
d
注 1.解析函数的导数仍是解析函数。
注 2. 析不在于通过积分求导，而是通过
求导来求积分，即
C
(
z
f
(z z0
) )
n1
3-3柯西积分公式和解析函数的高阶导数精品文档
作简单 C 1和 C 闭 2分曲 别 0和 线 包 2, 含 C1和C2 互不包含且互不 , 相交 根据复合闭路原理和高阶导数公式,
C
(z
1 2)2
z3
dz
C 1(z1 2)2z3dzC 2(z1 2)2z3dz
40
1
1
C1(zz32)2dzC2(zz32)2dz
9
例1 求下列积分
(1)sizn dz; (2) 1 2dz.
z4 z
z4z1 z3
解 (1) sinzdz z 4 z
因为 f(z)sin z在复平面, 内解析
z0位z于 4内 , 由Cauchy积分公式
sin z dz
z 4 z
2isiznz0 0;
C为 D内围 z0的 绕闭. 曲线
根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C的变化而改变, 求这个值.
2
积分C 曲 取线 作 z0为 以中 ,半 心 径为很小 的正向 zz圆 0周 ,
由f(z)的连续, 性
在 C上函 f(z数 )的值将 的 随缩 着小而逐
接近于它 z0处 在的 ,圆值 心
定理2 设函f(数 z)的在单连D内 通解 区C 析 域 为D ， 内 围绕 z0的一条可求 Jo长 r曲 d的 a线 n正 而 ， 向且 的内D 部 ， 则 f(z全 )在 z0处 含 n 的 阶 于 导:数为
f(n)(z0)2nπ!iC(zfz(0z))n1dz
(n1,2,)
C z0 D
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.
16
推论： 若函数 f(z) u (x ,y ) v (x ,y )i在点 z 0 解析，则存
积分公式与高阶导数
2i ez (e z )( n1) z 0 dz 1 z n ( n 1)! z 2i . ( n 1)!
例 计算 I
ez
| z | 2
( z 1)
2
2
dz .
i
C1
C
2
解 (1) 令f ( z )
ez
( z 1)
2 2
ez
(z i) (z i)
zi
πi cos i
πi (e e 1 ) . 2
例 计算 解
| z | 1 z100 d z .
ez
2πi 2πi z 99 . dz (e ) z 0 99! 99!
ez
| z | 1 z100
ez 例 求积分 n dz . ( n 为整数) z z 1
C
cos z dz , 其中 C 为： z
0
C1 1 2
C2
(1) C1 : | z | 1; (2) C2 : | z 2 | 1 . 解 (1) I
cos z dz z
2π i cos z
C1
在 | z | 1 上解析
z0
(柯西积分公式)
2πi .
(2) I
C2
cos z dz z
cos z (函数 在 | z 2 | 1 上解析) z
0.
(柯西积分定理)
例 计算 I
C
2z 1 dz , 其中 C 如图所示。 2 z z
C
C1 0 1 C2 2
2z 1 2z 1 解 令 f (z) 2 , , 则 f (z) z( z 1) z z
f
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dz n 1 2i C ( z z0 )
定理表明 f ( z )在z平 面 上 D内 解 析 f ( z )在D内 具有各阶导数 ,即 在D内 解 析 无 穷 次 可 导 .
一个解析函数的导数仍为解析函数。
f (z) 2i ( n ) 用 途 : 可计算积分 dz f ( z0 ) n 1 C (z z ) n! 0
等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等 数学中函数泰勒级数里 (z-z0)n 的系数。
例3 求下列积分的值, C为正向圆周: | z |= r >1.
cos z e 1) d z; 2) 2 dz 5 2 ( z 1) ( z 1) C C
z
解 :1)
cos z 函数 ( z 1) 5
0
此经典例题是柯西积分公式的特例，f(z)=1
说明:
1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一 点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。 2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一， 可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质。 推论1（平均值公式）设 f ( z ) 在 | z z0 | R 内解析，
第二讲
§3.3 柯西积分公式 §3.4 解析函数的高阶导数
§3.3 柯西积分公式
（Cauchy integral formula）
分析
设D 单连通, f ( z )在D内解析, z0 D, C是D内围绕z0的一条闭曲线 ,则 f ( z) f ( z ) 一般 在z0不解析. dz 0 C zz z z0 0
在C :| z z0 | R上连续，则
1 2 i f ( z0 ) f ( z Re )d 0 2 0
证明
因 为C : z z0 Re 则
i
1 f (z) f ( z0 ) dz 2i C z z0 i 2 f ( z0 Re ) 1 i Rie d i 2i 0 Re
使得 z C, | f ( z) | M .
z0 C, (0,)
f(z)在 {z || z z0 | } 上解析. 由柯西公式，有| f ' ( z0 ) | M / 令 ，可见 z0 C, f ' ( z0 ) 0 从而f(z)在C上恒等于常数.
1
2
例1 求下列积分的值
sinz (1) dz; z 2 z z 2 z 2 dz. 2 (9 z )(z i )
sinz 解： (1) dz 2i sinz |z 0 0 z 2 z
z 2 z z 9 z ( 2) dz dz 2 i | 2 z i z 2 (9 z 2 )( z i ) z 2 z ( i ) 9 z 5
应用解析函数有任意阶导数，可以证明 柯西定理的逆定理， 莫勒拉定理：如果函数f(z)在区域D内连续， 并且对于 D 内的任一条简单闭曲线 C ，我们
有
C
f ( z )dz 0
那么f(z)在区域D内解析。
小结：本章五个定理都是为积分计 算服务
1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点 的积分。 2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个 奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式). 3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有 多个奇点的积分。 4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。
f ( z0 ) f ( z) dz 2 i n 1 C ( z z0 ) n!
第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函 数在 C 内有一个奇点 z0，该奇点在被积函数解 析式的分母。 高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积 分公式是高阶导数公式当 n=0 时的情形。
( n)
其中，n=1,2,…
说明:
（1）此不等式称为柯西不等式. （2）在C上解析的函数，我们称它为一个整 函数，例如
sin z , cos z , e z
都是整函数，关于整函数我们有下面重要 的刘维尔定理.
刘维尔定理 定理3.11 有界整函数一定恒等于常数. M (0,), 证明 由f(z)是有界整函数，即存在
(The higher order derivative of analytic function)
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各 高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通 过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在 这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高 阶导数存在了.
f ( z )不是常数， 则在区域 D内 f z 没有最大值。
推论1在区域 D内的解析函数， 若其模在区域
D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数.
在D 上 推论2设 f ( z ) 在有界区域 D内 解 析 ，
连续，则 f z 必在区域 D的边界上达到最大值。
§3.4 解析函数的高阶导数
形式上， 1 对积分公式 f ( z0 ) 2i
C
f (z) dz( z0 D) z z0
两边在积分号下对 z0求 导 得 1 f (z) f ' ( z0 ) dz 2 2i C ( z z0 )
2! f (z) f " ( z0 ) dz 3 2i C ( z z0 ) n! f (z) ( n) f ( z0 ) (n 1,2,) n1 dz 2i C ( z z0 )
1 2 求：（ ）dz z 1 z 3 z 4
解
1 2 ( )dz z 1 z 3 z 4
f ( z ) 1及 2
dz z 1 z 4
2 dz z 3 z 4
2i 1 2i 2 6i
例2
2z 1 求 2 dz C z z C为包含0,1在内的任意简单正向曲线.
定理3.9 设f(z) 在以简单闭曲线C所围成的区域D
.
内解析. 在 阶导数，且
f
( n)
D D C上连续，则f(z)在D内有任意
n! (z) 2i
f ( ) ( z )
n1
C
d ( n 1,2,3,...)
1 (注：f ( z ) 2i
f ( ) d ) C z
在C内的z 1处不解析, 但
cosz 在C内却是处处解析的.
5 cos z 2i i ( 4) dz (cos z ) | . 5 z 1 (5 1)! 12 ( z 1) C
e 2) 2 在z i处不解析.取C1 : z i 1 2 ( z 1) C2 : z i 2C1 , C2不相交且在C的内部
.
是D内任一点，则
1 f ( z0 ) 2i
C
f (z) dz z z0
其中曲线C是按逆时针方向取的，我们称它为
柯西积分公式.
C
f ( z) dz 2i f ( z0 ) z z0
第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函 数在C内有一个奇点z0，该奇点在被积函数解析 式的分母。 2i, n 1, 1 dz n n 1. ( z z0 ) 0, z z r
C
C 12
C2
2i e 2 ( 2 1)! ( z i )
zi
2i e 2 ( 2 1)! ( z i )
z
z i
2
(1 i )(e ie )
i
i
2
(1 i ) (cos1 si n1) i 2 si n ( 1
解
2z 1 2z 1 2z 1 C z 2 z dz C1 z 2 z dz C2 z 2 z dz 2z 1 2z 1 y z 1 z C dz dz C1 C2 z 1 z C
由C积分 公式
2z 1 2z 1 2i 2i z 1 z 0 z z 1
此式称为柯西不等式.
证明 对于任意的 R1 : 0 R1 R, f z 在 z z0 R1上解析，
.
由导数公式，有
|f
( n)
n! f (z) ( z0 ) || dz | n 1 2i C ( z z0 )
n! M M n 1 2R n! n . 2 R R
e e e dz dz dz 2 2 2 2 2 2 C (1 z ) C1 (1 z ) C2 (1 z )
z z z
z
C1
e e 2 2 (z i) (z i) dz dz 2 2 C2 ( z i ) (z i)
z
z
z
C1
C
1
C2 1 x
o
4i
由平均值公式还可以推出解析函数的一个 重要性质，即解析函数的最大模原理。解析函 数的最大模原理，是解析函数的一个非常重要 的原理，它说明了一个解析函数的模，在区域 内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函 数恒等于常数。
D内解析， 定理3.8(最大模原理) 设 f ( z )在区域
由复合闭路定理得 , 任意包含 z0 在 内 部 的 曲 线C1 C的 内 部
f (z) f (z) C z z0 dz C1 z z0 dz
C D
z0
C1
特别取
C1 { z z z0 ( 0可充分小)}
f ( z )的连 续性 , 在C上的 函数值 f (z) 当 0时, f ( z ) f ( z0 )
课后作业： P 一、 思考题：3
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