第27讲曲线方程及性质的综合探究
高中数学备课教案平面曲线的方程与性质
高中数学备课教案平面曲线的方程与性质高中数学备课教案平面曲线的方程与性质一、直线的方程与性质1. 直线的标准方程直线的标准方程的一般形式为Ax + By + C = 0。
其中，A、B、C为实数，且A和B不同时为0。
2. 直线的截距式方程直线的截距式方程为x/a + y/b = 1。
其中，a和b分别为x轴和y轴上的截距，且a和b不同时为0。
3. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程为y = kx + b。
其中，k为斜率，b为y轴截距。
4. 直线的性质直线的性质包括斜率、与x轴和y轴的交点、与另一条直线的关系等。
二、二次曲线的方程与性质1. 抛物线的一般方程抛物线的一般方程为y = ax² + bx + c。
其中，a、b、c为实数，且a不等于0。
2. 抛物线的顶点坐标抛物线的顶点坐标为(-b/2a , f(-b/2a))。
其中，f(x) = ax² + bx + c。
3. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴与x轴平行，其方程为x = -b/2a。
4. 抛物线的焦点和准线抛物线的焦点坐标为(Fx, Fy)，其中Fx = -b/2a，Fy = c - (b² - 1)/(4a)。
抛物线的准线方程为y = c - (b² - 1)/(4a)。
5. 椭圆的一般方程椭圆的一般方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
其中，(h, k)为椭圆中心的坐标，a和b分别为x轴和y轴方向上的半长轴长度。
6. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点坐标为(F₁x, F₁y)和(F₂x, F₂y)，其中F₁x = h - c，F₂x = h + c，F₁y = k，F₂y = k。
椭圆的准线方程为x = h ± a/e。
其中，e为离心率，e² = 1 - (b²/a²)。
7. 双曲线的一般方程双曲线的一般方程为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1。
曲线与方程教案
曲线与方程教案一、教学目标1. 了解曲线的基本概念和性质；2. 掌握曲线的方程的求法；3. 能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学内容1. 曲线的基本概念和性质（1）曲线的定义曲线是指平面上的一条不断变化的线条，可以是直线、圆、椭圆等等。
（2）曲线的性质曲线有很多性质，其中比较重要的有：• 曲线的长度：曲线的长度是指曲线上所有点的连线的长度之和； • 曲线的斜率：曲线的斜率是指曲线在某一点的切线的斜率；• 曲线的凸性：曲线的凸性是指曲线在某一点的切线与曲线的交点在曲线的上方或下方。
2. 曲线的方程的求法（1）直线的方程直线的方程可以表示为 y =kx +b 的形式，其中 k 是直线的斜率，b 是直线的截距。
（2）圆的方程圆的方程可以表示为 (x −a )2+(y −b )2=r 2 的形式，其中 (a,b ) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。
（3）椭圆的方程椭圆的方程可以表示为(x−a )2a 2+(y−b )2b 2=1 的形式，其中 (a,b ) 是椭圆的中心的坐标。
3. 应用实例（1）例题一已知一条直线的斜率为 2，截距为 3，求该直线与 x 轴、y 轴的交点坐标。
解：直线与 x 轴的交点坐标为 (32,0)，与 y 轴的交点坐标为 (0,3)。
（2）例题二已知一个圆的圆心坐标为 (2,3)，半径为 4，求该圆的方程。
解：该圆的方程为 (x −2)2+(y −3)2=16。
（3）例题三已知一个椭圆的中心坐标为 (2,3)，长轴长度为 6，短轴长度为 4，求该椭圆的方程。
解：该椭圆的方程为 (x−2)29+(y−3)24=1。
三、教学方法本教案采用讲授、练习、讨论等多种教学方法，注重理论与实践相结合，注重学生的主动参与和思考。
四、教学评价本教案注重培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力，能够提高学生的数学素养和综合能力，是一份优秀的教学资源。
2024版年度高中数学《曲线与方程》公开课优秀教学设计
培养学生的空间想象 能力、抽象概括能力 和推理论证能力。
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能够运用代数方法研 究几何问题，体会数 形结合的思想。
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曲线与方程在数学知识体系中地位
曲线与方程是平面解析几何的核心内 容，是研究几何图形性质的重要工具。
曲线与方程的学习对于提高学生的数 学素养和思维能力具有重要意义。
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明确目标
告知学生学习目标，明确本节课 的学习任务。
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新知探究：引导发现，自主构建
引导观察
通过实例引导学生观察 曲线与方程的对应关系。
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自主探究
让学生尝试自己建立曲 线与方程的联系，培养
自主探究能力。
交流讨论
教师点拨
组织学生交流讨论，分 享自己的发现和思路。
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针对学生的探究结果， 教师进行点拨和指导，
在解题过程中融入数学思 想方法，如数形结合、分 类讨论等。
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拓展延伸
对所学知识进行拓展和延 伸，引导学生深入思考相 关问题。
跨学科应用
介绍曲线与方程在其他学 科中的应用，拓宽学生视 野。
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互动式、探究式教学策略运用
提问与互动
通过提问和互动方式引导 学生积极参与课堂讨论和 思考。
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小组合作与探究
组织学生进行小组合作学 习和探究，共同解决问题。
实验与操作
借助数学工具进行实验和 操作，帮助学生直观理解 曲线与方程的概念和性质。
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03 教学过程设计
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导入环节：激发兴趣，引出主题
创设情境
利用生活实例或数学史故事，引 出曲线与方程的主题。
曲线的方程教案
曲线的方程教案教案标题：曲线的方程教学目标：1. 学生能够理解曲线的概念，并能够区分曲线与直线的不同之处。
2. 学生能够掌握曲线的方程表示方法。
3. 学生能够应用所学知识解决与曲线相关的问题。
教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔或白板笔、计算器、教学投影仪。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺、曲线图纸。
教学过程：引入（5分钟）：1. 教师通过引入问题或展示实际生活中的曲线图像，引起学生对曲线的兴趣。
2. 教师提问：你能否举出一些你在生活中见过的曲线？探究（15分钟）：1. 教师引导学生思考曲线与直线的区别，并通过黑板或白板上的图示进行解释。
2. 教师讲解曲线的方程表示方法，包括一次方程、二次方程、三次方程等，并通过示例进行说明。
3. 学生分组合作，自行设计一条曲线，并尝试用不同的方程进行表示。
讲解与演示（15分钟）：1. 教师通过投影仪或黑板上的图示，讲解一些常见曲线的方程表示方法，如直线方程、抛物线方程等。
2. 教师通过解析法和图像法，演示如何从方程中得出曲线的特征，如顶点、焦点等。
3. 教师解答学生在探究过程中遇到的问题，并给予指导。
练习与巩固（20分钟）：1. 学生独立完成课本上的相关练习题，巩固所学知识。
2. 学生分组进行小组讨论，解决与曲线相关的实际问题，如抛物线的最高点问题等。
3. 教师巡回指导学生的学习，解答他们在练习过程中遇到的问题。
拓展与应用（10分钟）：1. 学生自主探究其他类型的曲线方程表示方法，并尝试解决相关问题。
2. 学生展示自己设计的曲线方程，并解释其特点和应用场景。
3. 教师总结本节课的重点内容，并展示一些拓展资料供学生深入学习。
作业布置：1. 学生完成课后习题，巩固所学知识。
2. 学生自主选择一种曲线方程表示方法，设计一个与实际生活相关的问题，并用所选方程解决。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够了解曲线的概念、掌握曲线的方程表示方法，并能够应用所学知识解决与曲线相关的问题。
2024-2025学年华师版初中数学九年级(下)教案第26章二次函数26.3实践与探索(第3课时)
26.3实践与探索第3课时二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系教学目标1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.2.能运用二次函数的图象与性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根．教学重难点重点：理解方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.难点：二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程根的个数之间的关系.教学过程导入新课【问题】如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h (单位:m):h＝20t-5t2.（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要飞行多长时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要飞行多长时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多长时间？师生活动：教师引导学生将以上实际问题转化为数学问题，学生小组讨论后发现以上问题都可以转化为方程解决.通过师生共同讨论，发现知道二次函数的函数值求自变量的取值，就相当于解一个一元二次方程.问题（1）转化为解一元二次方程15＝20t-5t2.【活动】（师生互动）通过解方程，得到两个解，t1＝1，t2＝3，所以当小球飞行1s或3s时，它的飞行高度为15m.问题（2）转化为解一元二次方程20＝20t-5t2.【活动】（师生互动）通过解方程，得到两个解，t1＝t2＝2，所以当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.教师：为什么只在一个时间小球的高度为20m？学生：讨论得出，此时小球到达了最高点.问题（3）转化为解一元二次方程20.5＝20t-5t2.【活动】（师生互动）通过解方程发现此方程无解，所以小球飞行高度不可能到达20.5m.教师通过上一题的结论，进一步引导学生从实际问题的角度思考为什么方程无解，原因是小球飞行的最大高度为20m，小于20.5m.问题（4）转化为解一元二次方程0＝20t-5t2.【活动】（师生互动）通过解方程，得到两个解，t1＝0，t2＝4，0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面.所以小球从飞出到落到地面用了4s. 探究新知探究一：二次函数与一元二次方程的关系【思考】下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横教学反思教学反思坐标是多少?当x 取公共点的横坐标时，函数值是多少?由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1)y ＝x 2-x +1;(2)y ＝x 2-6x +9; (3)y ＝x 2+x -2.【活动】（师生互动）教师带领学生观察函数图象，得到函数图象与x 轴交点的纵坐标为0，反过来，要求函数图象与x 轴交点的横坐标，就是求当函数值为0时的自变量取值.学生独立完成下列表格后，小组内交流.【活动】（师生互动）通过以上探究，教师引导学生发现二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的交点横坐标就是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的解，因此二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的交点个数，由b 2-4ac 的取值情况决定.【归纳总结】通过本探究活动，引导学生建立二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的交点情况、方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）根的情况、b 2-4ac 的取值三者之间的对应关系.例1 已知二次函数y ＝x 2-(a-1)x ＋a -2，其中a 是常数． (1)求证：不论a 为何值，该二次函数的图象与x 轴一定有公共点.(2)当a ＝4时，该二次函数图象的顶点为A ，与x 轴交于B ，D 两点，与y 轴交于C 点，求四边形ABCD 的面积． 【探索思路】教师提问：要证明二次函数的图象与x 轴一定有公共点，教学反思可以转化为一元二次方程根的判断，如何转化？如何求四边形ABCD 的面积？学生回答：要判断二次函数的图象与x 轴的交点情况，只需要将二次函数转化为一元二次方程，然后判断方程的根的判别式的情况即可．要求四边形的面积，可利用x 轴，将一个四边形分成两个三角形后分别求面积再相加.(1) 【证明】y ＝x 2-(a -1)x ＋a -2.∵ Δ＝[-(a -1)]2-4(a -2)＝(a -3)2≥0， ∴ 方程x 2-(a -1)x ＋a -2＝0有实数根，∴ 不论a 为何值，该二次函数的图象与x 轴一定有公共点． (2) 【解】由题意可知，当a ＝4时，y ＝x 2-3x ＋2.∵ y ＝x 2-3x ＋2＝232x ⎛⎫- ⎪⎝⎭- 14，∴ A 31,24⎛⎫- ⎪⎝⎭. 当y ＝0时，x 2-3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2， ∴ B (1,0)，D (2,0)．当x ＝0时，y ＝2，∴ C (0,2)．∴ S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BDC ＝18＋1＝98.【总结】将二次函数表达式化为一般式，求出Δ＝b 2-4ac 的取值，运用Δ的取值，判断函数图象与x 轴的交点个数.探究二：运用二次函数图象，求一元二次方程的近似解例2 利用函数图象求方程x 2-2x -2＝0的实数根（结果保留小数点后 一位）.【探索思路】（教师引导学生思考）根据上面的探究可以得到，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根即为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点的横坐标．反过来，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点的横坐标即为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根.因此用函数图象求一元二次方程的解，需要先画出二次函数的图象.【解】画出函数y ＝x 2-2x -2的图象，如图所示.通过观察图象发现，它与x 轴交点的横坐标大约是-0.7和2.7，所以方程x 2-2x -2＝0的实数根为x 1≈-0.7，x 2≈2.7.【总结】我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，所以由图象求得的根，一般是近似的．探究三：二次函数与一元二次不等式的关系【活动】（师生互动）教师：如上图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标分别为（x 1,0）和（x 2,0）,且x 1<x 2，你能根据图象求出不等式ax 2＋bx ＋c >0和不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集吗？教学反思学生：观察图象、独立思考、小组内交流讨论：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在x 轴上方的点对应的x 的值组成不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在x 轴下方的点对应的x 的值组成不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集.例3 画出函数432--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题.（1）图象与x 轴、y 轴交点的坐标是什么？（2）当x 取何值时，y =0?这里x 的取值与方程x 2−x −34=0有什么关系？（3）当x 取什么值时，函数值y >0？当x 取什么值时，函数值y <0？ 【方法】引导学生利用数形结合的思想，观察分析，总结规律. 【分析】因为x 轴上的点的纵坐标为0，所以二次函数432--=x x y 的图象与x 轴的交点即图象上纵坐标为0的点，它的横坐标也就是方程0432=--x x 的根，也就是说，当x 取23或21-时，0=y .这里x 的值就是方程0432=--x x 的根.因为y 轴上的点横坐标为0，所以这个函数图象与y 轴的交点横坐标为0，即0=x 时，求出的y 的值就是图象与y 轴交点的纵坐标.这个函数图象在x 轴上方的点的纵坐标都为正，所以当x <−12或x >32时，y >0；同理，当−12<x <32时，y <0.【解】（1）如图所示，图象与x 轴的交点坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭、3,02⎛⎫⎪⎝⎭，与ｙ轴的交点坐标为30,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）当x ＝12-或x ＝32时，y =0, x 的取值与方程x 2− x −34=0的解相同. （3）当x <−12或x >32时，y >0；当−12<x <32时，y <0.课堂练习1.下列表格是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的自变量x 与函数y 的部分对应值.教学反思根据表格可得方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的取值范围是（ ）A.6<x <6.17B.6.17<x <6.18C.6.18<x <6.19D.6.19<x <6.202.若二次函数y ＝x 2-(m -1)x +4的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为( )A.1或-3B.5或-3C.-5或3D.以上都不对3.若二次函数y ＝-x 2+2x +k 的部分图象如图所示，且关于x 的一元二次方程-x 2+2x +k ＝0的一个解为x 1＝3，则另一个解x 2＝ .4.已知二次函数y ＝x 2-6x +8的图象如图所示，利用图象回答问题:(1)方程x 2-6x +8＝0的解是什么? (2)x 取什么值时，y ＞0?(3)x 取什么值时，y ＜0? 参考答案1.C2.B3.-14.解：(1)x 1＝2，x 2＝4；(2)x ＜2或x ＞4；(3)2<x<4. 课堂小结：(学生总结，老师点评)1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与一元二次方程之间的关系，当y 为某一确定值m 时，相应的自变量x 的值就是方程ax 2＋bx ＋c ＝m 的根．2．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点坐标为(x 0，0)，则x 0是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．4.二次函数与不等式的关系：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在x 轴上方的点对应的x 的值组成不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集.布置作业教材第28页第二个练习第1，2题，第30页习题26.3第3，4题.教学反思板书设计26.3实践与探索第3课时二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解.。
曲线的性质学情分析
曲线的性质学情分析1. 引言曲线是数学中一个重要的概念，具有丰富的性质和应用。
深入了解曲线的性质，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还能够为实际问题的解决提供指导。
本文旨在通过对曲线的性质进行学情分析，以期能够全面了解曲线的特点和应用。
2. 曲线的基本概念在开始分析曲线的性质之前，我们需要先了解曲线的基本概念。
曲线是平面上的一种图形，由一系列点按照特定规律连接而成。
根据曲线的形状和特征，可以分为直线、抛物线、椭圆、双曲线等不同类型。
3. 曲线的性质分析3.1 曲线的形状与方程的关系不同类型的曲线具有不同的形状特征，且可以通过数学方程进行描述。
例如，二次函数方程可以描述抛物线的形状，椭圆方程可以描述椭圆的形状。
通过研究曲线的方程，我们可以推导出曲线的性质和特点。
3.2 曲线的对称性与轴线曲线可能具有对称性，可以根据曲线的方程和性质判断曲线是否具有对称轴、中心对称或轴对称。
这些对称性的存在对于曲线的研究和应用具有重要意义。
3.3 曲线的切线与斜率切线是曲线在某一点上切于曲线且与曲线只有一个公共点的直线。
通过求解曲线的导数，可以求得曲线在某一点上的斜率，也就是切线的斜率。
切线和斜率是曲线研究中常用的工具，可用于确定曲线的拐点、最大值和最小值等重要特点。
3.4 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点是曲线形状的重要特征。
通过求解曲线的二阶导数，可以确定曲线在某一点上的凹凸性。
当曲线在某点上的凹凸性发生改变时，就会出现一个拐点。
凹凸性和拐点的研究对于曲线的绘制和应用具有重要价值。
4. 曲线的应用曲线的性质和特点在实际问题的解决中具有广泛的应用。
例如，通过分析曲线的对称性和轴线，可以设计出对称的建筑结构；通过研究曲线的切线和斜率，可以优化曲线上的速度和运动轨迹；通过分析曲线的凹凸性和拐点，可以预测经济和社会发展的趋势等等。
5. 总结通过对曲线的性质进行学情分析，我们可以更好地理解曲线的特点和应用。
曲线作为数学中重要的概念和工具，在数学、物理、工程等领域都具有广泛的应用前景。
曲线与方程教案
曲线与方程教案一、概述曲线与方程是高中数学中的一个重要的内容，它是研究数学对象（点、直线、圆等）的位置关系的一种方法。
在现实生活中，曲线与方程可以应用于各种问题的求解，例如物体的运动轨迹、电路的分析等。
二、教学目标1. 理解曲线与方程的基本概念和特点；2. 掌握一些常见曲线的方程；3. 能够通过方程确定曲线的位置和性质；4. 运用曲线与方程解决实际问题。
三、教学内容及教学步骤第一节曲线与方程的基本概念1. 引入：以一个物体的运动轨迹为例，由此导出曲线与方程的概念；2. 定义：介绍曲线与方程的基本概念，包括曲线、方程、坐标系等；3. 特点：讨论曲线与方程的一般特点，包括连续性、唯一性等。
第二节常见曲线与方程1. 直线的方程：介绍直线的一般方程和特殊情况的方程，如平行于坐标轴的直线等；2. 抛物线的方程：介绍抛物线的一般方程和特殊情况的方程，如开口方向、对称轴等；3. 圆的方程：介绍圆的一般方程和特殊情况的方程，如半径、圆心等；4. 椭圆的方程：介绍椭圆的一般方程和特殊情况的方程，如长轴、短轴等；5. 双曲线的方程：介绍双曲线的一般方程和特殊情况的方程，如焦点、渐近线等。
第三节方程与曲线的应用1. 方程与实际问题的转化：通过实际问题，让学生将问题转化为方程；2. 解方程求解问题：通过解方程，求解实际问题；3. 应用练习：让学生自己设计一些实际问题，并通过方程解决。
四、教学方法与手段1. 概念讲解法：通过讲解的方式介绍曲线与方程的基本概念和特点；2. 例题演示法：通过示例演示如何确定曲线的方程和解决实际问题；3. 合作学习法：让学生小组合作，共同解决实际问题，并归纳总结。
五、教学重点和难点1. 重点：直线、抛物线、圆、椭圆和双曲线的方程及其性质；2. 难点：方程与实际问题的转化。
六、教学评价与反思1. 评价方法：通过观察学生的思维、解题过程、课堂表现和小组讨论等方法进行评价；2. 反思：根据学生的反馈和评价结果，及时调整教学方法和教学内容，以提高教学效果。
曲线与方程教案
曲线与方程教案曲线与方程教案教学目标：1. 理解曲线和方程之间的关系；2. 能够根据给定的方程，画出相应的曲线；3. 掌握常见曲线的方程及其特点。
教学内容：1. 曲线的定义：曲线是指在平面上由一系列点连接而成的连续图形。
2. 方程的定义：方程是指数、代数、函数或者几何等方面的等式或不等式。
3. 曲线与方程的关系：方程可以表示曲线的几何特征，曲线是方程的图形解。
教学步骤：Step 1: 引入新知识执教教师可以使用简单的例子来引入曲线与方程之间的关系，比如以一元一次方程为例，通过给定方程y = 2x + 3，可以让学生画出与之对应的曲线并分析其几何特征。
Step 2: 曲线的方程与特征讲解常见曲线的方程及其特征：- 一次函数曲线：y = kx + b，斜率k决定曲线的斜率方向和变化趋势，截距b决定曲线的位置；- 二次函数曲线：y = ax² + bx + c，二次函数曲线的开口方向和大小由二次项的系数a决定；- 平方根函数曲线：y = √x，平方根函数曲线是一条从原点开始向右上方的开口曲线；- 绝对值函数曲线：y = |x|，绝对值函数曲线以y轴为对称轴，开口形状像字母V；- 正弦函数曲线：y = sinx，正弦函数曲线是一条周期性的波浪线。
Step 3: 案例演示与讲解以具体的曲线及其方程为例讲解如何绘制这些曲线，强调方程中的各个参数对曲线的影响，如斜率对曲线的倾斜程度，二次函数曲线的开口方向等。
Step 4: 练习与巩固开展练习活动，让学生根据给定的方程，画出相应的曲线，并分析其特征，如方程y = x² - 4x + 3对应的曲线的开口方向、顶点坐标等。
Step 5: 拓展应用引导学生思考如何利用方程来解决实际问题，如使用曲线方程来分析某种现象的趋势或者预测未来的发展方向。
Step 6: 总结与评价总结曲线与方程的关系，并评价本节课的学习情况。
可以通过提问或小测验的方式进行学生知识的巩固和检测。
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点评： 观察图形并结合条件， 有怎样的特征？
如何得到含a,b,c的式子？
5、圆 x2 y 2 r 2 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程为： 在点（2，1）处的切线方程为_______. 点评：
1、从方程形式上去进行类比…… 2 2 x0 x y0 y x y 2 2 2 2 1 2 1 x y r 2 2 r r r r
2 2 x y x0 x y0 y r 2 类似地，可求得椭圆 1 8 2
x2 y 2 1 8 2
？？
1、从几何本质上去进行类比……
x2 y 2 1 8 2
y
x y 8
2 2
横坐标不变， 纵坐标变 为……？
o
x
(2,1)
横坐标不变， 纵坐标变 为……？
(2,2)
2 x 2 (2 y) 8
第27讲
曲线方程及性质的综合探究
邗江区瓜洲中学 祁卫忠
课前诊断
,0, A2 (1,0) 作两条互 1、 分别过 A 1 1 相垂直的直线，则它们的交点的轨迹方程 2 2 是_________ x y 1 。
点评： 方法一:直接法:设点,列等式,化简. 方法二:定义法. 注意: A1 1,0, A2 (1,0) 这两点的取舍.
交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设 G是圆C上任意一点. （1）求圆C的方程； （2）若直线FG与直线 l 交于点T，且G为线段FT的 中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
GF 1 （3）在平面上是否存在一点P，使得 GP 2
？
若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
第(1)问：选择圆的标准方程还是一般方程？
（切线) 2x 2 y 8
y
例1：
x2 y2 第（1）问答案： 1 36 9
Q
P O E B A
x
第（2）问： EP EQ 得到向量方面的什么结论？ EP EQ 0 利用这个结论，EP QP 可以怎样转化？
EP QP
=
EP (QE EP ) EP
2
进一步将问题转化成函数问题： EP
3、注意数形结合思想的运用，注重运算能力的训练； 4、例2为几何中定点问题，例3是范围问题，要在“为 什么可以这么做”，“怎么想到这样做的”这两个环 节上上多悟多思。
2 2
2
y
B
M（0，1）
F1
O
S
F2
x
A
x y 1 第（1）问：两个条件，求两个参数。 8 4
第（2）问①：“原点O在以线段MN为直径的圆上” 能得到什么？
例3、点评：
2
2
OM ON 0
需要将点坐标化！----解析的思想！
y0 kx0 2 2 y0 x0 第（2）问②：得到 2 2 1 b a 2 2 x y 0 4 0
2、已知AC、BD为圆 O : x 2 y 2 4 的两条相互垂直的弦，
垂足为M ABCD的面积的最大值为 1，则四边形 , 2 __________ y 5 。
点评： 先画图
(1)根据两弦垂直,面积如何表示? 1 s AC BD 2
2 2
B A d2 O d1 M D x
C
(2)圆心到两弦的距离 d1 , d 2 之间有等式关系吗?
m
点评：
分析条件“两圆在点 A 处的切线相互垂直” 能得到什么结论？
两切线分别过另一圆的圆心 AB与连心线什么关系？ 垂直
利用等面积计算AB的长度！
x y 4：如图，已知椭圆 a 2 b 2 1(a b 0) 的左顶点为A，左焦点为F,上顶点为B，
22Leabharlann 若BAO BFO 90 , 则椭圆的离心率为
需要消去哪些变量，保留哪些字母？
1 k 1 2 2 (1 k ) 2 a b 4
这里的 a
2
2
, b 也是暂时的，还需要换成e去表达！
2
解题反思:
1、坐标法，方程思想是处理解几问题的主要手法，也 是解析思想的关键所在。 2、强化解题思路的分析，注意对几何性质的分析，强
调解题过程的优化与规范；
2
2
( x 3) 2 y 2
1 2 利用椭圆方程消元： y 9 x 4
从而转化成二次函数问题
3 2 EP x 6 x 18 4
2
注意变量的范围！
变式：
若将条件改为: E (a,0)(a (0,6)) 答案如何？ 要注意对
a 进行分类讨论。
例2. 已知椭圆E：的左焦点为F，左准线 l 与x轴的
知圆心，半径
( x 4) y 16
2 2
第(2)问： 尝试画个图很重要！能不能求出点G的坐标？
注意两种情形！
P ( s, t ) 第(3)问：设G( x0 , y0 ) ， 量恒成立？
2 0 2 0
下面的式子对哪个变
2 2
3( x y ) (16 2s) x0 2ty0 16 s t 0
d1 d 2 OM 2 3
(3) 进一步转化为 AC 2 BD2 为定值,利用基本不等式解决问题.
思考:
求
AC BD
的最大值。
2 10
2 2 O : x y 5 与 圆 O2 : ( x m) 2 y 2 20 3、若圆 1 B 两点，且两圆在点 A 处的切线相互垂 相交于 A 、 20 直，则线段 AB 的长度是_____________ 。
x2 y 2 【变式】已知椭圆 C : a2 b2 1(a b 0)
的离心率为 2 ， 其左、右焦点分别为F1、F2 ，点P是椭圆上一点， | OP |= 1 (O为坐标原点). 且 PF1 PF2 0 ， x (Ⅰ)求椭圆C的方程； 2 y 1. 1 (Ⅱ)过点 S (0, 3 )且斜率为k的动直线 l 交椭圆于A,B两 点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的 圆恒过这个点?若存在，求出M的坐标，若不存在， 说明理由.