2015高考理科数学《曲线与方程》练习题

2015高考理科数学《曲线与方程》练习题[A组基础演练·能力提升]一、选择题1．方程x2－y2＝0对应的图象是( )解析：由x2－y2＝0得，y＝x或y＝－x，故选C.答案：C2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0解析：设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.答案：D3．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点的椭圆经过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )A．y2－x248＝1(y≤－1) B．y2－x248＝1(y≥1)C．x2－y248＝1(x≤－1) D．x2－y248＝1(x≥1)解析：由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又∵|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，∴点F的轨迹方程为y2－x248＝1(y≤－1)．答案：A4．有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ，由于△ABP 为正三角形， ∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R . 而R ＝|PF |＝x －a 2＋y 2， ∴|x |＝32·x －a2＋y 2.整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，即x ＋3a212a 2－y 24a2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线． 答案：D5．已知点A (1,0)和圆C ：x 2＋y 2＝4上一点R ，动点P 满足RA →＝2AP →，则点P 的轨迹方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝1C ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝1D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1解析：设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则有RA →＝(1－x 0，－y 0)，AP →＝(x －1，y )． 又RA →＝2AP →， ∴⎩⎨⎧1－x 0＝2x －1，－y 0＝2y .∴⎩⎨⎧x 0＝－2x ＋3，y 0＝－2y .又R (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，∴(－2x ＋3)2＋(－2y )2＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1.答案：A6．设A 1，A 2是椭圆x 29＋y 24＝1的长轴两个端点，P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.x 29＋y 24＝1B.y 29＋x 24＝1C.x 29－y 24＝1 D.y 29－x 24＝1-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----解析：设交点为P (x ，y )，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，P 1(x 0，y 0)，P 2(x 0，－y 0)， ∵A 1，P 1，P 共线，∴y －y 0x －x 0＝yx ＋3.① ∵A 2，P 2，P 共线，∴y ＋y 0x －x 0＝yx －3.② 由①②解得x 0＝9x，y 0＝3yx，代入x 209＋y 204＝1，化简，得x 29－y 24＝1.答案：C 二、填空题7．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．解析：如图，|AD |＝|AE |＝8，|B F |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．答案：x 29－y 216＝1(x >3)8．(2014年成都模拟)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝ 2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )， 则OP →＝－12OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1. 答案：x 24a 2＋y 24b2＝19．已知真命题：若A 为⊙O 内一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是以O ，A 为焦点，OB 长为长轴长的椭圆．类比此命题，写出另一个真命题：若A 为⊙O 外一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是________．解析：如图，连接AP ，由于P 是线段AB 垂直平分线上一点，故有|PA |＝|PB |，因此||PA |－|PO ||＝||PB |－|PO ||＝|OB |＝R ＝定值，其中R 为⊙O 的半径． 又由于点A 在圆外，故||PA |－|PO ||＝|OB |＝R <|OA |，故动点P 的轨迹是以O ，A 为焦点，OB 为实轴长的双曲线． 答案：以O ，A 为焦点，OB 为实轴长的双曲线 三、解答题10.如图所示，直线l 1与l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |＝17，|AN |＝3，且|NB |＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----解析：以l 1为x 轴，l 2为y 轴建立平面直角坐标系，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F .设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，N (x N,0)． 依题意有x A ＝|ME |＝|DA |＝|AN |＝3，y A ＝|DM |＝|AM |2－|DA |2＝2 2. ∵△AMN 是锐角三角形， ∴x N ＝|ME |＋|EN |＝|ME |＋|AN |2－|AE |2＝4，x B ＝|BF |＝|BN |＝6.设P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则P ∈{(x ，y )|(x －x N )2＋y 2＝x 2，x A ≤x ≤x B ，y >0}． ∴曲线段C 的方程为y 2＝8(x －2)(3≤x ≤6，y >0)． 11．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)求过点P (1,2)且与圆C 相切的直线l 的方程；(2)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程；(3)圆C 上有一动点M (x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．解析：(1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)，则由|2－k |k 2＋1＝2，得k 1＝0，k 2＝－43，从而所求的切线方程为y ＝2和4x ＋3y －10＝0.(2)当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d (d >0)，则23＝24－d 2，得d ＝1，从而1＝|－k ＋2|k 2＋1，得k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.(3)设Q 点的坐标为(x ，y )，M 点坐标是(x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)，∵OQ →＝OM →＋ON →，∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)⇒x ＝x 0，y ＝2y 0.∵x 20＋y 20＝4，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝4，即x 24＋y 216＝1. ∴Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1，轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆．12．(能力提升)(2014年恩施模拟)在直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点，|OM →|＝5，ON →＝255OM →.过点M 作MM 1⊥y 轴于点M 1，过N 作NN 1⊥x 轴于点N 1，OT →＝M 1M →＋N 1N →.记点T 的轨迹为曲线C ，点A (5,0)、B (1,0)，过点A 作直线l 交曲线C 于两个不同的点P 、Q (点Q 在A 与P 之间)．(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得|BP |＝|BQ |，并说明理由．解析：(1)设点T 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x ′，y ′)，则M 1的坐标为(0，y ′)， ON →＝255OM →＝255(x ′，y ′)，于是点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫255x ′，255y ′，N 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫255x ′，0，所以M 1M →＝(x ′，0)，N 1N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，255y ′.由OT →＝M 1M →＋N 1N →，有(x ，y )＝(x ′，0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0，255y ′，所以⎩⎨⎧x ＝x ′，y ＝255y ′.由此得x ′＝x ，y ′＝52y . 由|OM →|＝5，得x ′2＋y ′2＝5，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝5，得x 25＋y 24＝1，即所求的方程表示的曲线C 是椭圆．(2)点A (5,0)在曲线C 即椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆C 无交点，所以直线l 的斜率存在，并设为k ，直线l 的方程为y ＝k (x －5)．由方程组⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，y ＝k x －5得(5k 2＋4)x 2－50k 2x ＋125k 2－20＝0.-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----依题意知Δ＝20(16－80k 2)>0， 得－55<k <55. 当－55<k <55时，设交点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点为R (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝50k 25k 2＋4，x 0＝x 1＋x 22＝25k 25k 2＋4.∴y 0＝k (x 0－5)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫25k 25k 2＋4－5＝－20k25k 2＋4. 又|BP |＝|BQ |⇔BR ⊥l ⇔k ·k BR ＝－1，k ·k BR ＝k ·20k 5k 2＋41－25k 25k 2＋4＝20k 24－20k 2＝－1⇔20k 2＝20k 2－4，而20k 2＝20k 2－4不可能成立，所以不存在直线l ，使得|BP |＝|BQ |.[B 组 因材施教·备选练习]1．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)解析：如图所示，设直线MP 与直线NP 分别与动圆C 切于点E 、F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |，所以点P 的轨迹是以M 、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．设对应的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a ＝1，c ＝3，b 2＝8.故P点的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)．答案：A2．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线解析：在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DC 与A 1D 1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD 过直线DC 且平行于A 1D 1，以D 为原点，分别以DA 、DC 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设点P (x ，y )在平面ABCD 内，且到A 1D 1到DC 的距离相等，∴|x |＝y 2＋a 2，∴x 2－y 2＝a 2，故该轨迹为双曲线．答案：D3．由抛物线y 2＝2x 上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连接顶点O 与P 的直线和连接焦点F 与Q 的直线交于点R ，则点R 的轨迹方程是________．解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202，y 0，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0∴OP 的方程y ＝2y 0x ①QF 的方程为：y ＝－y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12② 由①、②消去y 0得y 2＝－2x 2＋x . 答案：y 2＝－2x 2＋x======*以上是由明师教育编辑整理======。